49、一次函数与反比例函数的综合应用[1]
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一、选择题
1. （2011四川凉山，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，反比列函数a
y x
=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图象是（ ）
考点：二次函数的图象；正比例函数的图象；反比例函数的图象．
专题：数形结合．
分析：由已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向可以知道a 的取值范围，对称轴可以确定b 的取值范围，然后就可以确定反比例函数x
a
y =与正比例函数y ＝bx 在同一坐标系内的大致图象．
解答：解：∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口方向向下，∴a ＜0， 对称轴在y 轴的左边，∴x ＝－a
b
2＜0，∴b ＜0， ∴反比例函数x
a
y =
的图象在第二四象限， 正比例函数y ＝bx 的图象在第二四象限． 故选B ．
点评：此题主要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a 的值，简单的图象最少能反映出2个条件：开口向下a ＜0；对称轴的位置即可确定b 的值． 2. （2011?青海）一次函数y=﹣2x+1和反比例函数y=的大致图象是（ ）
A 、
B 、
A
B
D
C
C、D、
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。
分析：根据一次函数的性质，判断出直线经过的象限；再根据反比例函数的性质，判断出反比例函数所在的象限即可．
解答：解：根据题意：一次函数y=﹣2x+1的图象过一、二、四象限；反比例函数y=过一、
三象限．
故选：D．
点评：此题主要考查了一次函数的图象及反比例函数的图象，重点是注意y=k1x+b中k1、b
及y=中k2的取值．
3.（2011山东青岛，8，3分）已知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=k
x
在同一直角坐标
系中的图象如图所示，则当y1＜y2时，x的取值范围是（）
A．x＜﹣1或0＜x＜3 B．﹣1＜x＜0或x＞3 C．﹣1＜x＜0 D．x＞3 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：数形结合。
分析：根据图象知，两个函数的图象的交点是（﹣1，3），（3，﹣1）．由图象可以直接写出当y1＜y2时所对应的x的取值范围．
解答：解：根据图象知，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=k
x
的交点是（﹣1，3），（3，
﹣1），
∴当y1＜y2时，﹣1＜x＜0或x＞3；
故选B．
点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解答此题时，采用了―数形结合‖的数学思想．
（2011杭州，6，3分）如图，函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），若y1＞y2，则x的取值范围是（）
A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2
C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：计算题．
分析：根据反比例函数的自变量取值范围，y1与y2图象的交点横坐标，可确定y1＞y2时，x 的取值范围．
解答：解：∵函数y1=x-1和函数y2=2x的图象相交于点M（2，m），N（-1，n），
∴当y1＞y2时，-1＜x＜0或x＞2．
故选D．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题的运用．关键是根据图象的交点坐标，两个函数图象的位置确定自变量的取值范围．
4.（2011浙江台州，9，4分）如图，双曲线y=m
x
与直线y=kx+b交于点M．N，并且点M
的坐标为（1，3），点N的纵坐标为﹣1．根据图象信息可得关于x的方程m
x
=kx+b的解为
（）
A．﹣3，1 B．﹣3，3 C．﹣1，1 D．﹣1，3 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：首先把M点代入y=m
x
中，求出反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式求出N
点坐标，求关于x的方程m
x
=kx+b的解就是看一次函数与反比例函数图象交点横坐标就是x
的值．
解答：解：∵M（1，3）在反比例函数图象上，∴m=1×3=3，∴反比例函数解析式为：y=3
x
，
∵N也在反比例函数图象上，点N的纵坐标为﹣1．∴x=﹣3，∴N（﹣3，﹣1），
∴关于x 的方程
m
x
=kx +b 的解为：﹣3，1．故选：A ． 点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，关键掌握好利用图象求方程的解时，就是看两函数图象的交点横坐标．. 5. （2011?丹东，6，3分）反比例函数y=x
k
的图象如图所示，则一次函数y=kx+k 的图象大致是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。 专题：数形结合。 分析：根据反比例函数y=
x
k
的图象所在的象限确定k ＞0．然后根据k ＞0确定一次函数y=kx+k 的图象的单调性及与y 轴的交点的大体位置，从而确定该一次函数图象所经过的象限．
解答：解：根据图示知，反比例函数y=x
k
的图象位于第一、三象限， ∴k ＞0，
∴一次函数y=kx+k 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴，且该一次函数在定义域内是增函数，
∴一次函数y=kx+k 的图象经过第一、二、三象限； 故选D ．
点评：本题考查了反比例函数、一次函数的图象．反比例函数y=
x
k
的图象是双曲线，当k ＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k ＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
6. （2011?宜昌，15，3分）如图，直线y=x+2与双曲线y=3
m x
在第二象限有两个交点，那么m 的取值范围在数轴上表示为（ ）
考点：反比例函数与一次函数的交点问题；在数轴上表示不等式的解集。
A 、
B 、
C 、
D 、
分析：因为直线y=x+2与双曲线y=
3
m x
-在第二象限有两个交点，联立两方程求出m 的取值范围即可，然后在数轴上表示出m 的取值范围． 解答：解：根据题意知，直线y=x+2与双曲线y=3
m x
-在第二象限有两个交点， 即x+2=
3
m x
-有两根， 即x 2+2x+3﹣m=0有两解， △=4﹣4×（3﹣m ）＞0， 解得m ＞2，
∵双曲线在二、四象限， ∴m ﹣3＜0， ∴m ＜3，
∴m 的取值范围为：2＜m ＜3． 故在数轴上表示为．
故选B ．
点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题和在数轴上表示不等式的解集的知识点，解答本题的关键是联立两方程解得m 的取值范围．
7. （2011贵州毕节，9，3分）一次函数)0(≠+=k k kx y 和反比例函数)0(≠=
k x
k
y 在同
一直角坐标系中的图象大致是( )
考点：反比例函数的图象；一次函数的图象。专题：探究型。
分析：分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A 、由反比例函数的图象在一、三象限可知k ＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k ＜0，两结论相矛盾，故本选项错误；B 、由反比例函数的图象在二、四象限可知k ＜0，由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的正半轴可知k ＞0，两结论相矛盾，故本选项错误；C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知k ＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k ＜0，两结论一致，故本选项正确；D 、由反比例函数的图象在一、三象限可知k ＞0，由一次函数的图象与y 轴交点在y 轴的负半轴可知k ＜0，两结论相矛盾，故本选项错误．故选C ．
点评：本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答此题的关键．
8. （2011?贵阳10，分）如图，反比例函数y 1=
x
k 1
和正比例函数y 2=k 2x 的图象交于A （﹣1，﹣3）、B （1，3）两点，若
x
k 1
＞k 2x ，则x 的取值范围是（ ）
A 、﹣1＜x ＜0
B 、﹣1＜x ＜1
C 、x ＜﹣1或0＜x ＜1
D 、﹣1＜x ＜0或x ＞1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：数形结合。
分析：根据题意知反比例函数和正比例函数相交于A 、B 两点，若要
x
k 1
＞k 2x ，只须y 1＞
y 2，在图象上找到反比例函数图象在正比例函数图象上方x 的取值范围． 解答：解：根据题意知： 若
x
k 1
＞k 2x ， 则只须y 1＞y 2，
又知反比例函数和正比例函数相交于A 、B 两点， 从图象上可以看出当x ＜﹣1或0＜x ＜1时y 1＞y 2， 故选C ．
点评：本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=
x
k 中
10.（2011广西百色，10，4分）二次函数的图象如图，则反比例函数y =﹣x
与一次函数y =bx +c 的图象在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：根据二次函数的图象，推出a ＜0，c ＜0，顶点坐标都为正值，即可推出，b ＞0，﹣a ＞0，根据反比例函数和一次函数的图形的性质推出反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三，四象限，所以图象大致为B 项中的图象． 解答：解：∵二次函数图象的开口向下， ∴a ＜0，
∵顶点坐标都为正值， ∴a
b
2
＞0， ∴b ＞0， ∴﹣a ＞0，
∴反比例函数在第一、三象限，一次函数经过第一、三、四象限． 故选B ．
点评：本题主要考查反比例函数的图象的性质．二次函数图象的性质．反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a 、b 的取值范围． 11. （2011?恩施州5,3分）一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=
x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象如图所示，若y 1＞y 2，则x 的取值范围是（ ）
A 、﹣2＜x ＜0或x ＞1
B 、﹣2＜x ＜1
C 、x ＜﹣2或x ＞1
D 、x ＜﹣2或0＜x ＜1
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：数形结合。
分析：根据图象可以知道一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象的交点的横坐标，若y 1＞y 2，则根据图象可以确定x 的取值范围．
解答：解：如图，依题意得一次函数y 1=k 1x+b 和反比例函数y 2=x
k 2
（k 1?k 2≠0）的图象的交点的横坐标分别为x=﹣2或x=1， 若y 1＞y 2，则y 1的图象在y 2的上面， x 的取值范围是﹣2＜x ＜0或x ＞1． 故选A ．
点评：此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结
点评：本题主要考查了反比例函数y=
k
x
中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．
13. （2011陕西，8，3分）如图，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与
反比例函数x y x y 2
4=-=和的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、
BC ，则△ABC 的面积为 （ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 考点：反比例函数综合题。 专题：计算题。
分析：先设P （0，b ），由直线APB ∥x 轴，则A ，B 两点的纵坐标都为b ，而A ，B 分别在反比例函数x
y x y 2
4=-=和的图象上，可得到A 点坐标为（﹣，b ），B 点坐标为（，b ），
从而求出AB 的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．
解答：解：设P （0，b ），∵直线APB ∥x 轴，∴A ，B 两点的纵坐标都为b ，而点A 在反比
例函数y=﹣的图象上，∴当y=b ，x=﹣，即A 点坐标为（﹣，b ），又∵点B 在反比例
函数y=的图象上，∴当y=b ，x=，即B 点坐标为（，b ），∴AB=﹣（﹣）=，∴S △ABC =?AB?OP=?b=3．
故选A ．
点评：本题考查了点在函数图象上，点的横纵坐标满足函数图象的解析式．也考查了与坐标轴平行的直线上的点的坐标特点以及三角形的面积公式． 二、填空题
1. （2011江苏南京，15，2分）设函数y =2x 与y =x ﹣1的图象的交点坐标为（a ，B ），则11
a b
-的值为 ﹣
1
2
． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。
分析：把交点坐标代入2个函数后，得到2个方程，求得a，B的解，整理求得﹣的值即可．
解答：解：∵函数y=2
x
与y=x﹣1的图象的交点坐标为（a，B），
∴B=2
a
，B=a﹣1，
∴2
a
=a﹣1，
a2﹣a﹣2=0，
（a﹣2）（a+1）=0，解得a=2或a=﹣1，∴B=1或B=﹣2，
∴则11
a b
-的值为
1
2
．
故答案为：1
2
．
点评：考查函数的交点问题；得到2个方程判断出a，B的值是解决本题的关键．
2.（2011江苏苏州，18，3分）如图，已知点A3），AB丄x轴，垂足为
B，连接OA，反比例函数
k
y
x
=
（k＞0）的图象与线段OA、AB分别交于点C、D．若AB=3BD，
以点C为圆心，CA的5
4倍的长为半径作圆，则该圆与x轴的位置关系是__________（填‖
相离‖，―相切‖或―相交―）．
考点：直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析：根据D1），得出反比例函数
k
y
x
=
解析式，再根据A点坐标得出
AO直线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出AC的长度，再利用直线与圆的位
置关系得出答案．
解答：解：∵已知点A 3），AB=3BD ，
∴AB=3，BD=1，
∴D 1），
∴反比例函数
k
y x =
解析式为：
y= ，
∴AO 直线解析式为：y=kx ，
3= ，
∴k=
∴y=
，
∴直线y=
与反比例函数y=的交点坐标为：
x=±1，
∴C 点的横坐标为1，
CO=2，
∴，
∴CA 的 5
4倍= 51)2，
CE= ，
∵ 5
1)2-
5
2＞0，
∴该圆与x轴的位置关系是相交．
故答案为：相交．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出AC的长是解决问题的关键．
3.（2011湖北荆州，16，3分）如图，双曲线y=2x （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，AB∥x轴．将△ABC沿AC翻折后得AB′C，B′点落在OA上，则四边形OABC的面积是2．
考点：反比例函数综合题；翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，由角平分线的性质得，CD=CB′，则△OCD≌△OCB′，再由翻折的性质得，BC=B′C，根据反比例函数的性质，可得出S△OCD= 12xy，则S△OCB′= 12xy，由AB∥x轴，得点A（x-a，2y），由题意得2y（x-a）=2，从而得出三角形ABC的面积等于12ay，即可得出答案．
解答：解：延长BC，交x轴于点D，
设点C（x，y），AB=a，
∵OC平分OA与x轴正半轴的夹角，
∴CD=CB′，△OCD≌△OCB′，
再由翻折的性质得，BC=B′C，
∵双曲线y=2x （x＞0）经过四边形OABC的顶点A、C，
∴S△OCD= 12xy=1，
∴S△OCB′= 12xy=1，
∵AB∥x轴，
∴点A（x-a，2y），
∴2y（x-a）=2，
∴S △ABC = 12ay= 12，
∴S OABC =S △OCB′+S △ABC +S △ABC =1+ 12+ 12=2． 故答案为：2．
点评：本题是一道反比例函数的综合题，考查了翻折的性质、反比例函数的性质以及角平分线的性质，是中考压轴题，难度偏大．
4.（2011广西崇左，8，2分）若一次函数的图象经过反比例函数x
y 4
-=图象上的两点（1，m ）和（n ，2），则这个一次函数的解析式是 ．
考点：待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：一次函数的图象经过反比例函数x
y 4
-
=图象上的两点（1，m ）和（n ，2），先代入求出m ，n 的值，再用待定系数法可求出函数关系式． 解答：解：（1，m ）和（n ，2）在函数x
y 4
-=图象上，因而满足函数解析式， 代入就得到m =﹣4，n =﹣2，
因而点的坐标是（1，4）和（﹣2，2）， 设直线的解析式是y =kx +b ， 根据题意得到??
?=+-=+2
24
b k b k ，
解得???
????=-=31432b k ．
因而一次函数的解析式是3
14
32+-
=x y ． 点评：本题主要考查了函数解析式与图象的关系，函数的图象上的点满足函数解析式，反之，满足解析式的点一定在函数的图象上．
5.（2011湖北黄石，15,3分）若一次函数y=kx+1的图象与反比例函数x
y 1
=的图象没有公共点，则实数k 的取值范围是04
1
<<-
k ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。
专题：计算题；数形结合。
分析：因为反比例函数x
y 1
=的图象在第一、三象限，故一次函数y=kx+b 中，k ＜0，解方
程组??
???=+=x y b kx y 1
求出当直线与双曲线只有一个交点时，k 的值，再确定无公共点时k 的取值
解答：解：由反比例函数的性质可知，x
y 1
=
的图象在第一、三象限， ∴当一次函数y=kx+1与反比例函数图象无交点时，k ＜0，
解方程组???
??=+=x y b kx y 1
，得kx 2+x ﹣1=0， 当两函数图象只有一个交点时，△=0，即1+4k=0，解得4
1-=k ， ∴两函数图象无公共点时，04
1
<<-k ． 故答案为：04
1
<<-
k ． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据形数结合，判断无交点时，图象的位置与系数的关系，找出只有一个交点时k 的值，再确定k 的取值范围． 6.（2011成都，25，4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知反比例函数x
k
y 2=
(0≠k )满足：当x ＜0时，y 随x 的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线k x y 3+-=都经过点P ，且7=
OP ，则实数3
7=
k ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。 分析：由反比例函数y ＝
x
k
2当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，可判断k ＞0，设P （x ，y ），则P 点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy ＝2k ，x ＋y ＝3k ，又OP 2＝x 2＋y 2，将已知条件代入，列方程求解． 解答：解：∵反比例函数y ＝
x
k
2当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴k ＞0， 设P （x ，y ），则xy ＝2k ，x ＋y ＝3k ， 又∵OP 2＝x 2＋y 2，
∴x 2＋y 2＝7，即（x ＋y ）2－2xy ＝7， （3k ）2－4k ＝7， 解得k ＝3
7
或－1，而k ＞0， ∴k ＝
3
7． 故答案为：
3
7．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数．一次函数解析式，列方程组求解．
7.（2011?包头，18，3分）如图，已知A （﹣1，m ）与B （2，m+33）是反比例函数y=的图象上的两个点，点C 是直线AB 与x 轴的交点，则点C 的坐标是 （1，0） ．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题。 专题：计算题。
分析：根据反比例函数的性质，横纵坐标的乘积为定值，可得出关于k 、m 的两个方程，即可得出反比例函数的解析式，从而得出点C 的坐标．
解答：解：∵A （﹣1，m ）与B （2，m+33）是反比例函数
y=的图象上的两个点，
∴???=+=-k
m k m )33(2，解得k=23，m=﹣23， ∴A （﹣1，﹣23）与B （2，3） 设直线AB 的解析式为y=ax+b ，
∴?????=+-=+-3232b a b a ，∴?????-==3
3b a ， ∴直线AB 的解析式为y=3x ﹣3， 令y=0，解得x=1， ∴点C 的坐标是（1，0）． 故答案为（1，0）．
点评：本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；求一次函数和x 轴的交点坐标．
8. （2011浙江宁波，18，3）正方形的A 1B 1P 1P 2顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝
x
2
（x ＞0）的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2
，顶
点P 3在反比例函数y ＝x
2
（x ＞0）的图象上，顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为
考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。
分析：作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，设P 1（a ，a
2），则CP 1
＝a ，OC ＝
a
2
，易得Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ，则OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，所以OA 1＝B 1C ＝P 2D ＝a 2－a ，则P 2的坐标为（a 2，a
2
－a ），然后把P 2的坐标代入反比例函数y ＝
x 2，得到a 的方程，解方程求出a ，得到P 2的坐标；设P 3的坐标为（b ，b
2
），易得Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ，则P 3E ＝P 3F ＝DE ＝
b 2，通过OE ＝OD+DE ＝2+b
2
＝b ，这样得到关于b 的方程，解方程求出b ，得到P 3的坐标．
解答：解：作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，如图，
设P 1（a ，
a 2），则CP 1＝a ，OC ＝a
2
， ∵四边形A 1B 1P 1P 2为正方形，
∴Rt △P 1B 1C ≌Rt △B 1A 1O ≌Rt △A 1P 2D ，
∴OB 1＝P 1C ＝A 1D ＝a ，
∴OA 1＝B 1C ＝P 2D ＝a 2－a ，∴OD ＝a+a 2－a ＝a 2
，
∴P 2的坐标为（
a 2，a
2
－a ）， 把P 2的坐标代入y ＝
x 2（x ＞0），得到（a 2－a ）?a
2
＝2，解得a ＝－1（舍）或a ＝1，
∴P 2（2，1）， 设P 3的坐标为（b ，
b
2
）， 又∵四边形P 2P 3A 2B 2为正方形，
∴Rt △P 2P 3F ≌Rt △A 2P 3E ，
∴P 3E ＝P 3F ＝DE ＝b 2，∴OE ＝OD+DE ＝2+b 2
，
∴2+
b 2＝b ，解得b ＝1－3（舍），b ＝1+3，∴b 2
＝3
12+＝3－1， ∴点P 3的坐标为 （3+1，3－1）． 故答案为：（3+1，3－1）．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点为横纵坐标之积为定值；也考查了正方形的性质和三角形全等的判定与性质以及解分式方程的方法．
9. （2011浙江衢州，15，4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt △ABO ，AB ⊥x 轴于点B ，
斜边AO =10，si n ∠AOB =
35，反比例函数(0)k
y k x
=>的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则点D 的坐标为 （8，3
2
） ．
考点：反比例函数综合题。 专题：综合题。
分析：由斜边AO =10，si n ∠AOB =
3
5
，根据三角函数的定义可得到AB =6，再由勾股定理得到OB =8，即得到A 点坐标为（8，6），从而得到AO 的中点C 的坐标，代入反比例函数解析式确定k ，然后令x =8，即可得到D 点的纵坐标． 解答：解：∵斜边AO =10，si n ∠AOB =3
5
， ∴sin ∠AOB =3
105
AB AB OA ==， ∴AB =6，
∴OB ， ∴A 点坐标为（8，6）， 而C 点为OA 的中点， ∴C 点坐标为（4，3），
又∵反比例函数(0)k
y k x
=
>的图象经过点C ， ∴k=4×3=12，即反比例函数的解析式为y =12
x
，
∵D 点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，
∴当x =8，y =
128=32
， 所以D 点坐标为（8，3
2）．
故答案为（8，3
2
）．
点评：本题考查了用待定系数法确定反比例的解析式；也考查了正弦的定义和勾股定理以及求线段中点坐标．
10. （2011浙江丽水，16，4分）如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB =60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为k
y x
=
．在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′． （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 （4，0） ；
（2）设P （t ，0），当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 4≤t ≤
考点：反比例函数综合题；解二元一次方程组；根的判别式；解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形；勾股定理。 专题：计算题。
分析：（1）当点O ′与点A 重合时，即点O 与点A 重合，进一步解直角三角形AOB ，利用轴对称的现在解答即可；
（2）求出∠MP ′O =30°，得到OM =
1
2
t ，OO ′=t ，过O ′作O ′N ⊥X 轴于N ，∠OO ′N =30°，求出O ′的坐标，同法可求B ′的坐标，设直线O ′B ′的解析式是y
=k x +b
，代入得得到方程组
1
222
tk b t k b
=++-=+，求出方程组的解即可得到解
析式y =
（-）x ﹣
4t 2
+2t ，求出反比例函数的解析式y
=x
，代入上式整理得出方程（
﹣
x 2+
2
）x ﹣
，求出方程的判别式b 2﹣4ac ≥0，求出不等式的解集即可． 解答：解：（1）当点O ′与点A 重合时
∵∠AOB =60°，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′． AP ′=OP ′，
∴△AOP ′是等边三角形， ∵B （2，0）， ∴BO =BP ′=2，
∴点P 的坐标是（4，0）， 故答案为：（4，0）．
（2）解：∵∠AOB =60°，∠P ′MO =90°， ∴∠MP ′O =30°， ∴OM =
1
2
t ，OO ′=t ， 过O ′作O ′N ⊥X 轴于N ， ∠OO ′N =30°， ∴ON =
12t ，NO
， ∴O ′（
12t
）， 同法可求B ′的坐标是（
﹣
，
设直线O ′B ′的解析式是y =k x +b
，代入得；1
222
tk b t k b =++-=+，
(完整版)《反比例函数的应用》综合练习及答案
3 反比例函数的应用 教材跟踪训练 （一）填空题：（每空2分，共12分） 1．长方形的面积为60cm2，如果它的长是ycm，宽是xcm，那么y是x的 函数关系，y写成x的关系式是。 2．A、B 途中是匀速直线运动，速度为v km/h，到达时所用的时间是t h， 那么t是v的函数，t可以写成v的函数关系式 是。 3．如图，根据图中提供的信息，可以写出正比例函数的关系式 是；反比例函数关系式是。 （二）选择题（5′×3＝15′） 1．三角形的面积为8cm2，这时底边上的高y（cm）与底边x（cm） 之间的函数关系用图象来表示是。 2．下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是 A：小明完成100m赛跑时，时间t（s）与跑步的平均速度v（m/s）之间的关系。 B：菱形的面积为48cm2，它的两条对角线的长为y（cm）与x（cm）的关系。 C：一个玻璃容器的体积为30L 间的关系。 D：压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系。 3．如图，A、B、C为反比例函数图象上的三个点，分别从A、 B、C向xy轴作垂线，构成三个矩形，它们的面积分别是S1、 S2、S3，则S1、S2、S3的大小关系是 A：S1＝S2＞S3B：S1＜S2＜S3 C：S1＞S2＞S3D：S1＝S2＝S3 x y -1 O 2 x y B A O C
（三）解答题（共21分） 1．（12分）如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象。 ①请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量。 ②写出此函数的解析式 ③若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ ④如果每小时排水量是5m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 2．（9分）如图正比例函数y=k 1x 与反比例函数x y 2 交于点A ，从A 向x 轴、y 轴分别作垂线，所构成的正方形的面积为4。 ①分别求出正比例函数与反比例函数的解析式。 ②求出正、反比例函数图象的另外一个交点坐标。 ③求△ODC 的面积。 D x y B A O C
一次函数综合应用
一次函数综合应用
5．在如图所示的平面直角坐标系中，直线AB： y=k 1x+b 1 与直线AD：y=k 2 x+b 2 相交于点A（1，3）， 且点B坐标为（0，2），直线AB交x轴负半轴于点C，直线AD交x轴正半轴于点D． （1）求直线AB的函数解析式； （2）根据图象回答，不等式k 1x+b 1 ＜k 2 x+b 2 的解 集； （3）若△ACD的面积为9，求直线AD的解析式；*（4）若点M为x轴一动点，当点M在什么位置时，使AM+BM的值最小？求出此时点M的坐标． 6．如图，已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B（0，﹣1），与x轴以及y=x+1的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为（1，n）， （1）点A的坐标是，n= ，k= ，b= ； （2）x取何值时，函数y=kx+b的函数值大于函数y=x+1的函数值； （3）求四边形AOCD的面积．
2017年12月04日数学的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一．解答题（共7小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M 在线段OA和射线AC上运动． （1）求直线AB的解析式． （2）求△OAC的面积． （3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面 积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得：， 解得：， 则直线的解析式是：y=﹣x+6； （2）在y=﹣x+6中，令x=0，解得：y=6， S △OAC =×6×4=12； （3）设OA的解析式是y=mx，则4m=2， 解得：m=， 则直线的解析式是：y=x， ∵当△OMC的面积是△OAC 的面积的时， ∴当M 的横坐标是×4=1， 在 y=x中，当x=1时，y=，则M的坐标是（1， ）； 在y=﹣x+6中，x=1则y=5，则M的坐标是（1，5）．则M的坐标是：M 1 （1，）或M 2 （1，5）． 当M的横坐标是：﹣1， 在y=﹣x+6中，当x=﹣1时，y=7，则M的坐标是（﹣1，7）； 综上所述：M的坐标是：M 1 （1，）或M 2 （1，5） 或M 3 （﹣1，7）． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，直线AB： y=k 1 x+b 1 与直线AD：y=k 2 x+b 2 相交于点A（1，3），且点B坐标为（0，2），直线AB交x轴负半轴于点C，直线AD交x轴正半轴于点D． （1）求直线AB的函数解析式； （2）根据图象直接回答，不等式k 1 x+b 1 ＜k 2 x+b 2的解集； （3）若△ACD的面积为9，求直线AD的函数解析式； （4）若点M为x轴一动点，当点M在什么位置时，使AM+BM的值最小？求出此时点M的坐标． 【解答】解：（1）把A、B两点代入， 得， 解得：， 故直线AB的函数解析式为y=x+2； （2）由图象可得不等式的解集是：x＜1； （3）因为， 得CD=6，所以D点坐标（4，0），有
反比例函数的应用
5.3反比例函数的应用 一、自主学习： 1、已知一个三角形的面积是6，它的底边是x ，底边上的高是y ，则y 与x 的函数关系式是_________；若x=3，则y=_________,若y=6则x=___________。 2、某自来水公司计划新建一个容积为4×104m 3的长方体蓄水池。 ⑴蓄水池的底面积S （m 3）与其深度h （m ）有怎样的函数关系？ ⑵若深度设计为5m ，则底面积应为_______m 2. 3、设有反比例函数y k x =+1，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________ 4、如图，点A 、B 为反比例函数(0)k y x x =<上的两点，则12S S 与的大小关系为（ ） A ．12S S < B. 12S S > C. 12S S = D.无法确定。 5、设直线(0)y kx k =<与双曲线5y x =-交于点11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则12213x y x y -的值为___________ 二、合作学习，共同探索 1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。 ⑴如果小明以每分钟120字的速度录入，他需要多长时间才能完成？ ⑵完成录入的时间t （min ）与录入文字的速度v （字/min ）有怎样的函数关系？ ⑶小明希望能在3小时内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？ 1y 2y y 3y 三、巩固练习： 1．京沈高速公路全长658km ，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t （h ）与行驶的平均速度v （km/h ）之间的函数关系式为 2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x 人完成这项任务，试写出人均报酬y （元）与人数x （人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m 3）是它的体积V （m 3）的反比例函数，当V ＝10时，ρ ＝1.43，（1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V ＝2时氧气的密度ρ 4．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v （米/分），所需时间为t （分） （1）则速度v 与时间t 之间有怎样的函数关系？ （2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
反比例函数及应用
《反比例函数》回顾与思考 【教学目标】①体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。②能画出反比例函数的图象，根据图象和解析表达式y ＝k x (k≠0)探索并理解其性质(k ＞0或k ＜0时，图象的变化)。 【知识梳理、基础训练】 考点一 反比例函数的定义 一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．其自变量x 的取值范围是 . 反比例函数的解析式还可以写成xy ＝k (k ≠0)，它表明在反比例函数中自变量x 与其对应函数值y 之积总等于已知常数k . 考点二 反比例函数的图象和性质 1．反比例函数y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的图象是 ．因为x ≠0，k ≠0，相应地y 值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x 轴和y 轴，但永不与x 轴、y 轴 ． 某农场的粮食总产量为1500吨，设该农场人数为x 人，平均每人占有粮食数为y 吨，则y 与x 之间的函数图象大致是（ ） A B C D 2．反比例函数的图象和性质 反比例函数y ＝k x (k 是常数，k ≠0)的图象总是关于 对称的，它的位置和性质受k 的符号的影响. ①当k ＞0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 ； ②当k ＜0时，函数的图象在第 象限，在每一象限内,y 随x 的增大而 . 反比例函数的图象是双曲线，它既是轴对称图形，其对称轴是直线y ＝x 和直线y ＝-x ；又是中心对称图形. 对称中心是原点. 1.在下列反比例函数中，图象在一、三的是 ，图象在二、四的是 ，图象在每一象限内，y 随x 增大而减小的是 ，y 随x 增大而减小的是 . x y 3)1(-= x y 2)2(= x y 23)3(= x y 3)4(-= 2.已知直线y=5x 与双曲线y ＝5x 的一个交点为（1，5），则一个交点坐标为为 3．当x >0时，函数y ＝－5x 的图象在第( )象限 A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 4．已知反比例函数的图象经过点(－1,2)，则它的解析式是( ) A ．y ＝－12x B ．y ＝－2x C ．y ＝2x D ．y ＝1x
九年级数学反比例函数综合应用题.doc
九年级数学反比例函数综合应用题 1.如图，一次函数y二kx+b的图象1与坐标轴分别交于点E、F,与双曲线y二-一(x<0)交 于点P (-1, n), M F是PE的中点.(1)求直线1的解析式；(2)若直线XP与1交于点A, 与双曲线交于点B (不同于A),问a为何值吋，PA-PB? 9 2.如图，已知反比例函数y二兰的图象与正比例函数y二kx的图象交于 x 点A (m, -2). (1)求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B 2 的坐标；(2)试根据图象写出不等式纟 > 滋的解集；(3)在反比例 x 函数图象上是否存在点C,使AOAC为等边三角形？若存在，求岀点C的坐标；若不存在，请说明理由. 3.如图，肓线y二-x+3与x, y轴分别交于点A, B,与反比例函数的图象交于点P (2, 1). (1)求该反比例函数的关系式；(2)设PC丄y轴于点C,点A关于y 轴的对称点为A'；①求AA' BC的周长和sinZBA, C的值; ②对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标，使得sinZBMC二丄.
4.将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S （单位：千米）与平均耗油量a （单位：升/ 千米）之间是反比例函数关系S二* （k是常数，kHO）?已知某轿车油箱注满油后，以平均耗a 油量为每千米耗油0. 1升的速度行驶，可行驶700千米.（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y二kx+b的图象与x轴交于点A （-1, 0）,与反比 例函数y二纟在第一象限内的图象交于点B（^,n）.连接0B,若S x 2 （1）求反比例函数与一次函数的关系式; （2）直接写出不等式组岂＞心+方的解集. lx 之间的函数关系式，并指出"的取值范围.
一次函数和反比例函数的综合应用讲义 (NXPowerLite)
反比例函数与一次函数的综合应用 开心哈哈 一次函数k与b, k不为0来才成立; b为0来正比例, b不为0来一般地; 反比例函数k值, k不为0来才存在; 不与坐轴打交道, 与一次函数常相守; 两者结合请注意, 性质图像不相忘. 制胜装备 1、巩固一次函数和反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象． 2、巩固反比例函数图象的变化其及性质并能运用解决某些实际问题． 战前总动员 远山 苏格拉底和拉克苏相约，到很远很远的地方去游览一座大山。据说，那里风景如画，人们到了那里，会产生一种飘飘欲仙的感觉。 许多年以后，两人相遇了。他们都发现。那座山太遥远太遥远。他们就是走一辈子，也不可能到达那个令人神往的地方。 拉克苏颓丧地说：“我用尽精力奔跑过来，结果什么都不能看到，真太叫人伤心了。” 苏格拉底掸了掸长袍上的灰尘说：“这一路有许许多多美妙的风景，难道你都没有注意到？” 拉克苏一脸的尴尬神色：“我只顾朝着遥远的目标奔跑，哪有心思欣赏沿途的风景啊！” “那就太遗憾了。”苏格拉底说，“当我们追求一个遥远的目标时，切莫忘记，旅途处处有美景！” 战况分析 重点: 一次函数和反比例函数的性质在实际中的应用 难点: 数学建模思想在函数中的应用 易错点: 反比例函数的定义及性质理解不透,忽略条件 扫清障碍
1、一次函数、正比例函数的概念及联系。 一次函数：若两个变量x 、y 间的关系可以表示成＿＿＿＿＿＿＿ (k 、b 为常数，k ≠0)形式，则称y 是x 的一次函数（x 是自变量，y 是因变量）。特别地，当b ＝0时，称y 是x 的正比例函数。即正比例函数是一次函数的特殊情况。 2、一次函数图象的特征（y = kx + b ，k ≠0，b ≠0） （1）一次函数的图象不过原点，和两坐标轴相交，它是经过点（0，b ），（－b k ，0）的一条直线。正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点（0,0）的一条直线。 （2）一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）图象是平行于直线y ＝kx （k ≠0）且过（0，b ）的一条直线。 3、如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 （ ）的形式，自变量x ，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的其它表示形式： 。 4、反比例函数 （k ≠0）的图象是 。 当k ＞0时，两支曲线分别位于 象限内，并且在每一个象限内y 值随着x 值的增大而 ； 当k ＜0时，两支曲线分别位于 象限内，并且在每一个象限内y 值随着x 值的增大而 。 5、双曲线 与坐标轴是否存在交点？答： 。 小试牛刀 1、(03辽宁) 已知一次函数y=kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数错误!未找到引用源。的图象在（ ） A ．第一、二象限 B ．第三、四象限 C ．第一、三象限 D ．第二、四象限 2、（09年广东）如图能表示错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。(k ≠0)在同一坐标系中的大致图象是（ ） . 3. x k y =x k y =O x y A C O x y D x y o O x y B
专题训练：反比例函数与一次函数的综合应用(含答案)
专训2 反比例函数与一次函数的综合应用 名师点金：反比例函数单独考查的时候很少，与一次函数综合考查的情况较多，其考查形式有：两种函数图象在同一坐标系中的情况，两种函数的图象与性质，两种函数图象的交点情况、交点坐标，用待定系数法求函数表达式及求与函数图象有关的几何图形的面积等． 反比例函数图象与一次函数图象的位置判断 1．【2015·兰州】在同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx －k 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)的 图象大致是( ) 2．一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝k x (k ≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象如 图所示，则k ，b 的取值范围是( ) A ．k >0，b >0 B ．k <0，b >0 C ．k <0，b <0 D ．k >0，b <0 (第2题) (第3题) (第4题) 反比例函数与一次函数的图象与性质 3．(中考·仙桃】如图，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数y 2＝k 2 x 的图象交于A (1，2)，B 两点，给出下列结论： ①k 1
4．已知函数y 1＝x (x ≥0)，y 2＝4 x (x >0)的图象如图所示，则以下结论： ①两函数图象的交点A 的坐标为(2，2)； ②当x >2时，y 1>y 2； ③当x ＝1时，BC ＝2； ④两函数图象构成的图形是轴对称图形； ⑤当x 逐渐增大时，y 1随着x 的增大而增大，y 2随着x 的增大而减小． 其中正确结论的序号是____________． 反比例函数与一次函数的有关计算 类型1 利用点的坐标求面积 5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋n 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与双曲线y ＝4 x 在第一象限内交于点C (1，m )． (1)求m 和n 的值； (2)过x 轴上的点D (3，0)作平行于y 轴的直线l ，分别与直线AB 和双曲线y ＝4 x 交于点 P ，Q ，求△APQ 的面积． (第5题)
反比例函数与实际应用 应用题
实际问题与反比例函数（1） 1．京沈高速公路全长658km，汽车沿路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系式为 2．完成某项任务可获得500元报酬，考虑由x人完成这项任务，试写出人均报酬y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 3．一定质量的氧气，它的密度ρ（kg/m3）是它的体积V（m3）的反比例函数，当V＝10时，ρ＝1.43，（1）求ρ与V的函数关系式；（2）求当V＝2时氧气的密度ρ 4．小林家离工作单位的距离为3600米，他每天骑自行车上班时的速度为v（米/分），所需时间为t（分）,（1）则速度v与时间t之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用15分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ （2）如果小林骑车的速度最快为300米/分，那他至少需要几分钟到达单位？5．学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6 吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y天, （1）则y与x之间有怎样的函数关系 （2）画函数图象 （3）若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？ 实际问题与反比例函数 (二) 达标练习： 1、某蓄水池的排水管每小时排水8米3，6小时可交将满池水全闻排空。 （1）蓄水池的容积是多少？ （2）如果每小时排水量达到Q（米）3，那么将满池水排空所需时间为t(小时)，
写出t 与Q 之间的函数关系。 2、学校锅炉旁建有一个储煤为库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完。若每天耗煤量为x 吨，那么这批煤能维持y 天。 （1） y 与x 之间有怎样的函数关系？ （2） 请画出函数图象； （3） 若每天节约0.1吨，则这批煤能维持多少天？ 巩固提高 1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气体体积V （立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位） （1）写出这个函数的解析式； （2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？ （3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？ 实际问题与反比例函数（三） 求反比例有关的面积 1、如图2，在x 轴上点P 的右侧有一点D ，过点D 作x 轴的垂线交双曲线x y 8 于点B ，连结BO 交AP 于C ，设△AOP 的面积为S 1，△BOD 面积为S 2，则S 1与S 2的大小关系是S 1 S 2。（选填“>”“<”或“＝”）面积= 。 O x y 图2 A B D P C
反比例函数的图像和性质的综合应用
反比例函数的图像和性质的综合应用 【基础知识精讲】 1、反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y= k x （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 反比例函数y= k x （k≠0）还可以写成：①1 -=kx y （k≠0） ②k xy =（k≠0）. 2、反比例函数的概念需注意以下几点：（1） k 为常数，k≠0； （2） k x 中分母x 的指数为1；(3) 自变量x 的取值范围是x≠0的一切实数； （4） 因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数． 3、反比例函数的图象． 4、反比例函数y=k x 具有如下的性质: 性质1、反比例函数k y x = （0k ≠）（1）当0k >时，图象在一、三象限；在每个象限内，y 随x 增大而减小；（2）、当0k <时，图象在二、四象限；在每个象限内，y 随x 增大而增大； 性质2、反比例函数k y x = （0k ≠）的图象是中心对称图形，也是轴对称图形； 因此， 当点P （a ，b ）在图象上时，Q （－a ，－b ）和R （b ，a ）也在图象上。
5、反比例函数y= k x （k≠0）中k 的几何意义： 过函数 y= k x （k≠0）的图像上任一点),(y x p 作PM⊥x 轴，PN⊥y 轴，所得矩形PMON 的面积 S 矩形=∣xy ∣=∣k ∣, S △POM =2 1 ∣k ∣。 一、【基础训练】 1. 反比例函y= 5 m x -的图象的两个分支分别在第二、四象限内,那么m 的取值范围是( ) <0 >0 C.m<5 >5 2. 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)是反比例函数y=- 2 x 图象上的两点,若x 1
11反比例函数及其应用
第11讲反比例函数及其应用 一、选择题 1．(2017·郴州)已知反比例函数y＝k x的图象过点A(1，－2)，则k的值为(C) A．1 B．2 C．－2 D．－1 2．反比例函数y＝－3 2x中常数k为(D) A．－3 B．2 C．－1 2D．－ 3 2 3．(2017·广东) 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x(k1≠0)与双曲线y ＝k2 x(k2≠0)相交于A，B两点，已知点A的坐标为(1,2)，则点B的坐标为(A) A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(－1，－1) D．(－2，－2) 4．(2017·潍坊)一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝a－b x，其中ab<0，a，b为 常数，它们在同一坐标系中的图象可以是(C) 5．反比例函数y＝1－k x图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围 是(A) A．k>1 B．k>0 C．k<1 D．k<0 6．(2017·天津)若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝－3 x的图象 上，则y1，y2，y3的大小关系是(B) A．y1 C．y3 反比例函数试题 一、选择 1．已知反比例函数x k y = 的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 2.反比例函数k y x = 在第一象限的图象如图所示，则k 的值可能是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．如图5，A 、B 是函数2 y x = 的图象上关于原点对称的任意两点， BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S > 4．市一小数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm 2的矩形学具进行展示. 设矩形的宽为x cm ，长为y cm ，那么这些同学所制作的矩形长y （cm ）与宽x （cm ）之间的函数关系的图象大致是 ( ) 5．一次函数y =kx +b 与反比例函数y =kx 的图象如图5所示，则下列说法正确的是 （ ） O B C A 图5 A ．它们的函数值y 随着x 的增大而增大 B ．它们的函数值y 随着x 的增大而减小 C ．k ＜0 D ．它们的自变量x 的取值为全体实数 6．如图，点P 在反比例函数1 y x =(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P '.则在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是 A ．)0(5>-=x x y B.)0(5>=x x y C. )0(6 >-=x x y D. )0(6>=x x y 7．一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E ”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x 、y ，剪去部分的面积为20，若210x ≤≤，则y 与x 的函数图象是（ ） 8．在反比例函数1k y x -= 的图象的每一条曲线上，y x 都随的增大而增大，则k 的值可以是（ ） P 2 10 5 y 5 y 10 O y 10 y y x 2 2 A ． B ． C ． D ． 12 专训1 反比例函数与几何的综合应用 名师点金:解反比例函数与几何图形的综合题,一般先设出几何图形中的未知数,然后结合函数的图象用含未知数的式子表示出几何图形与图象的交点坐标,再由函数解析式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组),解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数解析式中待定字母的值. 反比例函数与三角形的综合 1.如图,一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝x 6(x>0)的图象交于 A(m,6),B(3,n)两点. (1)求一次函数的解析式; (2)根据图象直接写出使kx ＋b (第3题) 反比例函数与矩形的综合 4.如图,矩形OABC 的顶点A,C 的坐标分别就是(4,0)与(0,2),反比例函数y ＝x k (x>0)的图象过对角线的交点P 并且与AB, (第4题) BC 分别交于D,E 两点,连接OD,OE,DE,则△ODE 的面积为________. 5.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的对角线OB,AC 相交于点D,且BE ∥AC,AE ∥OB 、 (1)求证:四边形AEBD 就是菱形; (2)如果OA ＝3,OC ＝2,求出经过点E 的双曲线对应的函数解析式. (第5题) 反比例函数与菱形的综合 6.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 在第一象限内,边BC 与x 轴平行,A,B 两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y ＝x 3的图象 (第6题) 经过A,B 两点,则菱形ABCD 的面积为( ) A .2 B .4 C .2 D .4 7.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合,点B 在y 轴的正 反比例函数综合练习题 一、选择题： 1、函数()9222--+=m m x m y 是反比例函数，则m 的值是（ ） （A ）24-==m m 或 （B ）4=m （C ）2-=m （D ）1-=m 2、已知k ≠0，在同一坐标系中，函数y=k （x+1）与 y=x k 的图像大致是（ ） 3、在函数y=x k （k ＞0）图象上有三点A 1（X 1，y 1），A 2（x 2，y 2），A 3（x 3，y 3）。已知x 1＜x 2＜0＜x 3，则下列各式中，正确的是（ ） A ：y 1＜y 2＜y 3 B ：y 3＜y 2＜y 1 C ：y 2＜y 1＜y 3 D ：y 3＜y 1＜y 2 4、下列说法正确的是（ ） ①反比例函数y= x k 的图象与x 轴、y 轴都没有公共点.②反比例函数y=x k 1与y=x k 2（k 1≠k 2）的图象可能有交点. ③反比例函数y=x k 与一次函数y=kx+b 的图象可能没有交点 A 、① B 、② C 、①② D 、①③ 5．如图，已知双曲线(0)k y k x =<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为（ ） A ．12 B ．9 C ．6 D ．4 6、直线)0(<=k kx y 与双曲线x y 2-=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为( ) A.-5 B.-10 C.5 D.10 D B A y x O C 5题 7题 9题 10题 11题 7、如图，反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8、若反比例函数11k y x = 和正比例函数22y k x =的图像都经过点(1,2)A -，若12y y >，则x 的取值范围是（ ） A B C D E y x O M 反比例函数的应用 一、选择题 1．如果等腰三角形的底边长为x 。底边上的高为y ，则它的面积为定植S 时，则x 与y 的函数关系式为（ ） B. 2．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ（单位：kg /m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象如图3所示，当310m V =时，气体的密度是（ ） A ．5kg /m 3 B ．2kg /m 3 C ．100kg /m 3 D ，1kg /m 3 3．下列问题中，两个变量间的函数关系式是反比例函数的是 A. 小颖每分钟可以制作2朵花，x 分钟可以制作y 朵花 B. 体积为10cm 3的长方体，高为hcm ，底面积为Scm 2 C. 用一根长50cm 的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm ，面积为Scm 2 D. 汽车油箱中共有油50升，设平均每天用油5升，x 天后油箱中剩下的油量为y 升 4．已知长方形的面积为20cm 2，设该长方形一边长为ycm ，另一边的长为xcm ，则y 与x 之间的函数图象大致是【 】 5．如图，过反比例函数y x ＞0)图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB ，设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ） A.S 1＞S 2 B.S 1＜S 2 C.S 1=S 2 D.S 1、S 2的大小关系不能确定 6x （ ） A ．x =1 B ．x =2 C ．x =3 D ．x =4 7．如图，反比例函数y x >0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E 若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题 8．学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场. 设它的一边长为x (米)，则另一边的长y (米)与x 的函数关系式为 . 9．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的6103?株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n （单位：株/平方米），总种植面积为S （单位：平方米），则n 与S 的函数关系式为____________________．（不要求写出自变量S 的取值范围） 10．某种汽车可装油400L ，若汽车每小时的用油量为x （L ）. (1)用油量)(h y 与每小时的用油量x （L ）的函数关系式为 ； (2)若每小时的用油量为20L ，则这些油可用的时间为 ； （3）若要使汽车继续行驶40h 不需供油，则每小时用油量的范围是 . 11．一定质量的二氧化碳，其体积V （)3 m 是密度 )/(3m kg ρ的反比例函数，请你根据图中的已知条 件，下出反比例函数的关系式 ，当V =1.93 m 时，ρ= . 九年级数学反比例函数综合应用题 1．如图，一次函数y=kx+b 的图象l 与坐标轴分别交于点E 、F ，与双曲线y=-x 4（x ＜0）交于点P （-1，n ），且F 是PE 的中点．（1）求直线l 的解析式；（2）若直线x=a 与l 交于点A ，与双曲线交于点B （不同于A ），问a 为何值时，PA=PB ？ 2．如图，已知反比例函数y=x 2的图象与正比例函数y=kx 的图象交于点A （m ，-2）．（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B 的坐标；（2）试根据图象写出不等式kx x 2 的解集；（3）在反比例 函数图象上是否存在点C ，使△OAC 为等边三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=-x+3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数的图象交于点P （2，1）． （1）求该反比例函数的关系式；（2）设PC ⊥y 轴于点C ，点A 关 于y 轴的对称点为A′；①求△A′BC 的周长和sin ∠BA′C 的值； ②对大于1的常数m ，求x 轴上的点M 的坐标，使得sin ∠BMC= m 1． 4．将油箱注满k 升油后，轿车可行驶的总路程S （单位：千米）与平均耗油量a （单位：升/ 千米）之间是反比例函数关系S=a k （k 是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．（1）求该轿车可行驶的总路程S 与平均耗油量a 之间的函数解析式（关系式）；（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A （-1，0），与反比例函数y=x m 在第一象限内的图象交于点B （21，n ）．连接OB ，若S △AOB =1． （1）求反比例函数与一次函数的关系式； （2）直接写出不等式组?????+>>b kx x m x 0的解集． 6．已知双曲线y=x k 和直线AB 的图象交于点A （-3，4），AC ⊥x 轴于点C ．（1）求双曲线y= x k 的解析式；（2）当直线AB 绕着点A 转动时，与x 轴的交点为B （a ，0），并与双曲线 y=x k 另一支还有一个交点的情形下，求△ABC 的面积S 与a 之间的函数关系式，并指出a 的取值范围． 专题复习：反比例函数与一次函数 谷城县茨河镇中心学校文有书 学习目标：1.进一步理解反比例函数中k的几何意义，并能熟练计算图形的面积；能根据图象比较函数值的大小. 2.通过数形结合、转化的思想方法总结解题的一般思路. 教学重点：面积的计算方法及函数值的大小比较方法. 教学难点：利用转化的方法计算图形的面积. 教学过程： 一、诊断练习 已知直线与双曲线交于A、B两点. 1. 如图(1)若点，则点B的坐标为______，直线解析式______，双曲线解析式______ (1) (2) 2.如图(2)，过点A作AC⊥x轴垂足为C，若，则双曲线的解析式为_________ 二、反思归纳 1.正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称 2.反比例函数k的几何意义 三、合作探究 例：已知直线AB与双曲线交于A、B两点. (1)如图，点，点D在x轴上，若四边形OACD是菱形，求双曲线及直线CD的解析 式 求反比例函数解析式的关键：找到曲线上一点坐标. 求反比例函数解析式的方法： 1.利用k的几何意义求解 2.通过利用勾股定理、平移、全等、相似等方法求出点的坐标. (2)将直线AB向上平移后，若A，，求△OAB的面积 归纳：当坐标轴穿过所求图形时，宜用分割的方法求面积. 变式一：在上图中，BO的延长线交双曲线于点F，连接AF，求△OAF的面积 归纳：当所求图形在同一象限时，可用割补法求面积. 变式二：如图，若A，，分别过A、F两点向x轴作垂线，垂足分别为N、M.求四边形AFMN的面积. x x x x 归纳：合理转化图形，充分利用反比例函数k 的几何意义. 求反比例函数中图形面积的方法： 1.若所求图形面积是可直接求出的，则可以按照相应图形面积公式直接计算； 2.若所求图形面积是不可直接求出的，则采用割补法; 3.转化面积时，注意观察是否需要使用反比例函数k 的几何意义. (3)直线AF ： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、F 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 归纳：根据函数图象比较大小的一般步骤：1.找交点2.分区域3.写范围 变式一：直线： 的图象与双曲线： 的图象交于A 、B 两点，请写出 时， 自变量x 的取值范围. 变式二：一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A 、B 两点．已知当 时 当 时 ，求一次函数的解析式. 四、反思小结 1.知识上： 2.方法上： 3.思想上： 五、巩固练习 如图，已知直线1y x m =+与x 轴、y 轴分别交于点B 、A ，与双曲线 分别交于点C 、D ，且C 点的坐标为（1-，2）. (1)分别求出直线AB 及双曲线的解析式； (2)求出△OCD 的面积； (3)利用图象直接写出：当x 在什么范围内取值时， . 六、课外作业 专题复习学案 x x x x 反比例函数的综合应用 1、已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A （－2，0），与反比例函数在第一象限内的图象的交于点B （2，n ），连结BO ，若S △AOB ＝4． （1）求该反比例函数的解析式和直线AB 的解析式； （2）若直线AB 与y 轴的交点为C ，求△OCB 的面积． 2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，菱形OABC 的顶点C 在x 轴上，顶点A 落在反比例 函数m y x = （0m ≠）的图象上．一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与该反比例函数的图象交于A 、D 两点，与x 轴交于点E ．已知5AO =，20OABC S =菱形，点D 的坐标为（4-，n ） ． （1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接CA 、CD ，求△ACD 的面积． 3、已知反比例函数x k y = 的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积 为2．若直线b ax y += 经过点A ，并且经过反比例函数x k y = 的图象上另一点C （n ，一2）． ⑴求直线b ax y +=的解析式； ⑵设直线b ax y +=与x 轴交于点M ，求AM 的长；（3）求x 使 b ax x k +> 4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数4 y x = （0x >）的图象与一次函数y x b =-+的图象的一个交点为(4,)A m ． （1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y x b =-+的图象与y 轴交于点B ，P 为一次函数y x b =-+的 图象上一点，若OBP △的面积为5，求点P 的坐标． 反比例函数的应用集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8- 第4课时 §反比例函数的应用 教学目标 1、经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程 2、体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 教学重点和难点 重点：反比例函数的应用 难点：反比例函数的应用 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 “学习的目的在于应用”，学过反比例函数的定义、图象、性质以后，要把所学的这些知识应用到实际问题中去。 实际问题是千变万化、多种多样的，但涉及反比例函数的实际问题总呈现一定的规律。这样，我们就从实际问题中抽象出反比例函数，化实际问题的解决，为反比例函数问题的解决。 二、师生共同研究形成概念 1、反比例函数的应用 1）书本例子——压力与压强 引导学生得出：为什么只需在第一象限作函数的图象 2）做一做书本P 144 做一做 图形所提供的信息包括：直观上看，I与R之间可能是反比例函数关系，利用相关知识 U=得到确认；由图象上点A的坐标可知，当用电器电阻为9Ω时，电流为4A。 IR 2、讲解例题 例1 某一电路中，电压U保持不变，电流I与电阻R成反比，它们的函数图象如下图。 1）求I与R之间的函数关系； 3）当电阻R = 6Ω时，求电流I的值。 三、随堂练习 1、书本 P 145 随堂练习 2、《练习册》 P 46 km/时，所需时间为4h。 3、一辆汽车从A地走向B地，当平均时速为60h 1）求平均速度v与时间t之间的函数关系式； km/时，求所需时间； 2）当平均速度v= 40h 3）若所需时间t为3h，求平均速度v。 四、小结 通过学习，能够分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型。数学与现实生活密切联系，我们要增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。 五、作业 书本 P 146 习题 1 六、教学后记反比例函数应用题
反比例函数与几何的综合应用及答案
九年级数学反比例函数综合练习题精选
反比例函数的应用(含答案)
初中九年级数学反比例函数综合应用题
反比例函数与一次函数的综合运用
反比例函数的综合应用
反比例函数的应用