概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章
第三章 多维随机变量及其分布
1.[一] 在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。考虑两种试验:(1)放回抽样,(2)不放回抽样。我们定义随机变量X ,Y 如下:
?????= 若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品
,1,,0X
?????=
若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1,,0Y
试分别就(1)(2)两种情况,写出X 和Y 的联合分布律。
解:(1)放回抽样情况
由于每次取物是独立的。由独立性定义知。
P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=3625
12101210=
? P (X=0, Y=1 )=365
1221210=
? P (X=1, Y=0 )=365
1210122=
? P (X=1, Y=1 )=
36
1
122122=
? 或写成
(2)不放回抽样的情况
P {X=0, Y=0 }=6645
1191210=
? P {X=0, Y=1 }=
66
10
1121210=
?
P {X=1, Y=0 }=6610
1110122=
? P {X=1, Y=1 }=
66
1
111122=
? 或写成
3.[二] 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X 表示Y 的联合分布律。
解:(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为
P {X=0, Y=2 }=
35147
2
222=
C C C P {X=1, Y=1 }=
3564
722
1213=C C C C P {X=1, Y=2 }=35
64
712
2213=
C C C C P {X=2, Y=0 }=35347
2223=
C C C P {X=2, Y=1 }=
35
124
7
12
1223=C C C C
P {X=2, Y=2 }=
353472223=
C C C P {X=3, Y=0 }=352471233=
C C C P {X=3, Y=1 }=35
247
1233=
C C C P {X=3, Y=2 }=0
5.[三] 设随机变量(X ,Y )概率密度为??
???<<<<--=其它,04
2,20),6(),(y x y x k y x f
(1)确定常数k 。 (2)求P {X <1, Y <3} (3)求P (X <1.5}
(4)求P (X+Y ≤4}
分析:利用P {(X , Y)∈G}=
?????=o
D G G
dy dx y x f dy dx y x f ),(),(再化为累次积分,其
中??
?
???????<<<<=42,20),(y x y x D o
解:(1)∵???
?
+∞∞-+∞
∞
---=
=
20
12
)6(),(1dydx y x k dy dx y x f ,∴8
1=
k (2)8
3
)6(8
1)3,1(32
1
?
?=
--=
< Y X P (3)32 27)6(81),5.1()5.1(4 25.10 =--=∞<≤=≤? ? dy y x dx Y X P X P (4)3 2 )6(81)4(40 20 =--= ≤+? ? -dy y x dx Y X P x 6.(1)求第1题中的随机变量(X 、Y (2)求第2题中的随机变量(X 、Y 解:(1)① 放回抽样(第1题) 0 3625 365 1 36 5 36 1 边缘分布律为 X 0 1 Y 0 1 P i · 65 6 1 P ·j 65 6 1 ② 不放回抽样(第1题) 0 6645 6610 1 66 10 66 1 边缘分布为 X 0 1 Y 0 1 P i · 65 6 1 P ·j 65 6 1 (2)(X ,Y )的联合分布律如下 解: X 的边缘分布律 Y 的边缘分布律 X 0 1 2 3 Y 1 3 P i · 81 83 83 81 P ·j 86 8 2 7.[五] 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为 ???? ?≤≤≤≤-=其它 求边缘概率密度0 . 0,10) 2(8.4),(x y x x y y x f 解:??? ??≤≤-=-== ? ? ∞ +∞ -其它 10) 2(4.2)2(8.4),()(0 2x x x dy x y dy y x f x f x X ?????≤≤+-=-==?? ∞ +∞ -其它0 1 0)43(4.2)2(8.4),()(12y y y y dx x y dx y x f y f y Y 8.[六] 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为 ???? ?<<=-. ,00,),(其它y x e y x f y 求边缘概率密度。 解:??? ??≤>=== ? ? +∞--∞ +∞ -0, 00 ,),()(x x e dy e dy y x f x f x x y X ?? ? ? ?≤>===? ? --∞+∞ -, 0, 0, 0,),()(0 y y ye dx e dx y x f y f y y y Y 9.[七] 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为?? ???≤≤=其它,01 ,),(2 2y x y cx y x f (1)试确定常数c 。(2)求边缘概率密度。 解: l= ?? ? ?? ∞+∞ -+-∞+∞ -=?=== 4 21 21432),(10 5 2 10 c c dy y c ydx cx dy dxdy y x f y y ?? ??? ≤--==?,01),1(8 21421)(~4212 2x x ydy x x f X x X ?? ???≤≤==?+-其它 01027421)(~252y y ydx d y f Y y y Y 15. 第1题中的随机变量X 和Y 是否相互独立。 解:放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 } = P {X=0}·P {Y=0} =36 25 P {X=0, Y=1 } = P {X=0}P {Y=1}=365 P {X=1, Y=0 } = P {X=1}P {Y=0}=365 P {X=1, Y=1 } = P {X=1}P {Y=1}= 36 1 在放回抽样的情况下,X 和Y 是独立的 不放回抽样的情况: P {X=0, Y=0 } = 66 45 1191210= ? P {X=0}= 6 51210= P {X=0}= P {X=0, Y=0 } + P {Y=0, X=1 }= 6 511101121191210=?+? P {X=0}·P {Y=0} = 36 25 6565= ? P {X=0, Y=0 }≠P {X=0}P {Y=0} ∴ X 和Y 不独立 16.[十四] 设X ,Y 是两个相互独立的随机变量,X 在(0,1)上服从均匀分布。Y 的概率密度为?? ???≤>=.0,00 ,21)(2y y e y f y Y (1)求X 和Y 的联合密度。(2)设含有a 的二次方程为a 2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。 解:(1)X 的概率密度为?????∈=其它 ,0)1,0(,1)(x x f X Y 的概率密度为 ?? ???≤>=-.0,00 ,21)(2y y e y f y Y 且知X , Y 相互独立, 于是(X ,Y )的联合密度为 ??? ??><<==-其它 0,1021)()(),(2y x e y f x f y x f y Y X (2)由于a 有实跟根,从而判别式0442 ≥-=?Y X 即:2 X Y ≤ 记}0,10|),{(2 x y x y x D <<<<= dx e de dx dy e dx dxdy y x f X Y P x x y y D x ??????? ----=-===≤1010202 2 1 22 22 12 1),()( 1445 .08555.013413.05066312.21)5.08413.0(21))2()1((2121 2100 2 2 =-=?-=--=Φ-Φ-=? -=?- πππ πdx e x 19.[十八] 设某种商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为 ???? ?≤>=-0 0,)(t t te t f t 并设各周的需要量是相互独立的,试求(1)两周(2)三周的需要量的概率密度。 解:(1)设第一周需要量为X ,它是随机变量 设第二周需要量为Y ,它是随机变量 且为同分布,其分布密度为 ???? ?≤>=-0 0,)(t t te t f t Z=X+Y 表示两周需要的商品量,由X 和Y 的独立性可知: ? ? ?>>=--其它 00 ,0),(y x ye xe y x f y x ∵ z ≥0 ∴ 当z<0时,f z (z ) = 0 当z>0时,由和的概率公式知 z y z y z y x z e z dy ye e y z dy y f y z f z f ----∞+∞-=?-=-=?? 6 )()()()(30)( ∴ ?????≤>=-0 0, 6 )(3z z e z z f z z (2)设z 表示前两周需要量,其概率密度为?????≤>=-0 0, 6 )(3z z e z z f z z 设ξ表示第三周需要量,其概率密度为: ???? ?≤>=-0 0, )(x x xe x f x ξ z 与ξ相互独立 η= z +ξ表示前三周需要量 则:∵η≥0, ∴当u <0, f η(u ) = 0 当u>0时 u y u y u ξηe u dy ye e y u dy y f y u f u f ----∞+∞-=?-= -= ? ?120 )(6 1)()()(50 )(3 所以η的概率密度为 ??? ??≤>=-0 0120 )(5u u e u u f u η 22.[二十二] 设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从N (160,202 )分布。随机地选取4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。 解:设X 1,X 2,X 3,X 4为4只电子管的寿命,它们相互独立,同分布,其概率密度为: 2 2202)160(20 21 )(?-- ?= t T e πt f 8413 .0) 20 60 180(2120160 202)160(20121 )180(}180{1 2 18022 2查表 令 -Φ==-?-== ?∞ -- ∞-du e u t dt t F X f u X π π 设N=min{X 1,X 2,X 3,X 4} P {N>180}=P {X 1>180, X 2>180, X 3>180, X 4>180} =P {X >180}4={1-p [X<180]}4= (0.1587)4=0.00063 27.[二十八] 设随机变量(X ,Y )的分布律为 (1)求P {X=2|Y=2},P {Y=3| X=0} (2)求V=max (X , Y )的分布律 (3)求U = min (X , Y )的分布律 解:(1)由条件概率公式 P {X=2|Y=2}=} 2{} 2,2{===Y P Y X P =08.005.005.005.003.001.005 .0+++++ = 2.025 .005 .0= 同理 P {Y=3|X=0}= 3 1 (2)变量V=max {X , Y } 显然V 是一随机变量,其取值为 V :0 1 2 3 4 5 P {V=0}=P {X=0 Y=0}=0 P {V=1}=P {X=1,Y=0}+ P {X=1,Y=1}+ P {X=0,Y=1} =0.01+0.02+0.01=0.04 P {V=2}=P {X=2,Y=0}+ P {X=2,Y=1}+ P {X=2,Y=2} +P {Y=2, X=0}+ P {Y=2, X=1} =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16 P {V=3}=P {X=3,Y=0}+ P {X=3,Y=1}+ P {X=3,Y=2}+ P {X=3,Y=3} +P {Y=3, X=0}+ P {Y=3, X=1}+ P {Y=3, X=2} =0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P {V=4}=P {X=4,Y=0}+ P {X=4,Y=1}+ P {X=4,Y=2}+ P {X=4,Y=3} =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24 P {V=5}=P {X=5,Y=0}+ ……+ P {X=5,Y=3} =0.09+0.08+0.06+0.05=0.28 (3)显然U的取值为0,1,2,3 P {U=0}=P {X=0,Y=0}+……+ P {X=0,Y=3}+ P {Y=0,X=1} + ……+ P {Y=0,X=5}=0.28 同理P {U=1}=0.30 P {U=2}=0.25 P {U=3}=0.17 或缩写成表格形式 (2)V0 1 2 3 4 5 P k0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28 (3)U0 1 2 3 P k0.28 0.30 0.25 0.17 (4)W=V+U显然W的取值为0,1, (8) P{W=0}=P{V=0 U=0}=0 P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1U=0} ∵V=max{X,Y}=0又U=min{X,Y}=1不可能 上式中的P{V=0,U=1}=0, 又P{V=1 U=0}=P{X=1 Y=0}+P{X=0 Y=1}=0.2 故P{W=1}=P{V=0, U=1}+P{V=1,U=0}=0.2 P{W=2}=P{V+U=2}= P{V=2, U=0}+ P{V=1,U=1} = P{X=2 Y=0}+ P{X=0 Y=2}+P{X=1 Y=1} =0.03+0.01+0.02=0.06 P{W=3}=P{V+U=3}= P{V=3, U=0}+ P{V=2,U=1} = P{X=3 Y=0}+ P{X=0,Y=3}+P{X=2,Y=1} + P{X=1,Y=2} =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13 P{W=4}= P{V=4, U=0}+ P{V=3,U=1}+P{V=2,U=2} =P{X=4 Y=0}+ P{X=3,Y=1}+P{X=1,Y=3} + P{X=2,Y=2} =0.19 P {W =5}= P {V+U=5}=P {V =5, U =0}+ P {V =5,U =1} +P {V =3,U =2} =P {X =5 Y =0}+ P {X=5,Y=1} +P {X=3,Y=2}+ P {X=2,Y=3} =0.24 P {W =6}= P {V+U=6}=P {V =5, U =1}+ P {V =4,U =2} +P {V =3,U =3} =P {X =5,Y =1}+ P {X=4,Y=2} +P {X=3,Y=3} =0.19 P {W =7}= P {V+U=7}=P {V =5, U =2}+ P {V =4,U =3} =P {V =5,U =2} +P {X =4,Y =3}=0.6+0.6=0.12 P {W =8}= P {V+U=8}=P {V =5, U =3}+ P {X =5,Y =3}=0.05 或列表为 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 [二十一] 设随机变量(X ,Y )的概率密度为 ???? ?+∞<<<<=+-其它 ,0 0,10,),()(y x be y x f y x (1)试确定常数b ;(2)求边缘概率密度f X (x ),f Y (y ) (3)求函数U =max (X , Y )的分布函数。 解:(1)]1[),(11100 )(-+∞ +-+∞∞-+∞ ∞ --== = ?? ?? e b dx dy be dx dy y x f y x ∴ 1 11 --= e b (2)? +∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()( ??? ??<<-=≥≤=--∞++-? 1 0,110010 )(x e e dy be x x x y x 或 ??? ??>=≤== -+-+∞ ∞ -? ? 0,0),()(10 ) (y e dx be y dx y x f y f y y x Y (3)F u (ω)=P {U ≤ u }=P {u Y X ≤),max()=P {X ≤ u , Y ≤ u } =F (u , u )= ?? ∞-∞ -u u dy dx y x f ),( u<0, F U (u ) = 0 ?? --+---== <≤u u u y x U e e dy dx be u F u 0 1 2 ) (1)1()(,10 ?? -+--== ≥u u y x U e dy dx be u F u 0 10 )(1)(,1 第1章 随机变量及其概率 1,写出下列试验的样本空间: (1) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次,记录 投掷的次数。 (2) 连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次, 记录投掷的次数。 (3) 连续投掷一枚硬币直至正面出现,观察正反面出现的情况。 (4) 抛一枚硬币,若出现H 则再抛一次;若出现T ,则再抛一颗骰 子,观察出现的各种结果。 解:(1)}7,6,5,4,3,2{=S ;(2)},4,3,2{ =S ;(3)},,,,{ TTTH TTH TH H S =; (4)}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。 2,设B A ,是两个事件,已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ,求)])([(),(),(),(___ ___AB B A P AB P B A P B A P ??。 解:625.0)()()()(=-+=?AB P B P A P B A P , 375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P , 875.0)(1)(___ --=AB P AB P , 5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=?-?=-?=?AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 3,在100,101,…,999这900个3位数中,任取一个3位数,求不包含数字1个概率。 解:在100,101,…,999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为648998=??,所以所求得概率为 72.0900 648= 4,在仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中,任取一个三位数。(1)求该数是奇数的概率;(2)求该数大于330的概率。 解:仅由数字0,1,2,3,4,5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=??个。(1)该数是奇数的可能个数为48344=??个,所以出现奇数的概率为 48.0100 48= (2)该数大于330的可能个数为48454542=?+?+?,所以该数大于330的概率为 48.0100 48= 5,袋中有5只白球,4只红球,3只黑球,在其中任取4只,求下列事件的概率。 (1)4只中恰有2只白球,1只红球,1只黑球。 (2)4只中至少有2只红球。 (3)4只中没有白球。 解: (1)所求概率为338412 131425=C C C C ; 第七章参数估计 1.[ 一] 随机地取8只活塞环,测得它们的直径为(以 求总体均值卩及方差b 2的矩估计,并求样本方差 S 2。 n 2 6 (X i x) 6 10 i 1 S 2 6.86 10 6。 ln L(e ) nln(e ) n e inc (1 e ) In d 寫⑹ (1) f (x) e c e x (e 1},x c 0,其它 其中c >0为已知, e >1, e 为未知参数。 (2) f(x) 、e x e 1,0 x 1 0,其它. 其中e >0, e 为未知参数。 (5) P(X x) m p x (1 p)m x ,x 0,1,2, ,m,0 p 1, p 为未知参数。 解: ( 1) E(X) xf(x)dx c e c e x e dx e c e c e 1 e 1 e c 令 e c X e 1, 令 e 1 X X c (2) E(X) xf (x)dx e x e dx - 丄匚,令- '-e X ,We ( X )2 2.[二]设X , X ,…,X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律 中的未知参数的矩估计量。 得e 1 e (5) -e 1 解:(1)似然函数 n L (e ) f (人)e n c n e (x 1 x 2 i 1 X n ) mm 计) 解:U,b 2的矩估计是 X 74.002 E (X ) = mp 令 mp = X ,解得?莖 m 3.[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计 量。 ln x i 0 (解唯一故为极大似然估计 量) In X i nln c i 1 ⑵ L(B ) n n _ f (X i ) e 2(X 1X 2 X n ) 0 1 ,ln L(B ) n 2~ n ln( 0) (0 1) In X i i 1 dI nL(0) n d 0 2 1 0 1 n In X i 0, i 1 ? (n In x i )2 0 (解唯一)故为极大似然 估 2.一 0 计量。 n m m n X i n mn 召 (5) L(p) P{X X i } p i1 (1 p) i1 , i - 1 X 1 X n n n n In L(p) In m X i x i In p (mn X i )l n(1 p), i 1 i 1 i 1 i 1 n mn x i i 1 0 1 p n X i d In L(p) i 1_ dp p n Xi - 解得 p q — —,(解唯一)故为极大似然估计量。 mn m 4.[四(2)]设X , X,…,X.是来自参数为入的泊松分布总体的一个样本,试求入 的极大似然估计量及矩估计量。 解:(1)矩估计 X ~ n 入),E ( X )=入,故*= X 为矩估计量。 (2)极大似然估计L (入) n P(X i ;入) 1 n X i *1 X 1 !X 2! X e n *, In L(入) i X i In In X i ! d In L(入) d 入 n X i i 1 入 0 ,解得* X 为极大似然估计 量。 第五章 大数定律及中心极限定理 注意: 这是第一稿(存在一些错误) 1、 解(1)由于{0}1P X ≥=,且()36E X =,利用马尔科夫不等式,得 () {50}0.7250 E X P X ≥≤ = (2)2 ()2D X =,()36E X =,利用切比雪夫不等式,所求的概率为: 223 {3240}1(364)10.75164 P X P X <<=--≥≥-== 2、解:()500,0.1i X B :, 500500121 1500111610%5%192.8%5000.05125i i i i D X P X ==?? ???? ?-<≥-==???? ∑∑ 3、 解 ξ服从参数为的几何分布,1 1(),(2,3,4)2n P n n ξ-?? === ? ?? L 可求出2 ()()3,()2n E nP n D ξξξ∞ == ===∑ 于是令 ()2 a b E ξ+=,2b a ε-=,利用切比雪夫不等式,得 有2 () ()1(())175%D P a b P E ξξξξεε <<=--≥≥-= 从而可以求出()3()3a E b E εξεξε==-=-=+=+4、解:()()()() ()() () 1,,n n n X n n n x F x P X x P X x X x F x a =≤=≤≤==L ,()0,x a ∈。 则() ()()() ()1 1 n n n X n nx p x n F x p x a --==,()0,x a ∈。 ()()10 1 n n a X n nx n E x x dx a a n -=?=+? , ()()()() 2 12 22 121n n a X n nx n n D x x dx a a a n n n -??=?-= ?+??++? 。 概率论与数理统计习题答案 完全版 浙大第四版(高等教育出版社) 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1) ? ??????=n n n n o S 1001 , ,n 表小班人数 (3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。([一] 2) S={10,11,12,………,n ,………} (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。 ([一] (3)) S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,} 2.[二] 设A ,B ,C 为三事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列事件。 (1)A 发生,B 与C 不发生。 表示为: C B A 或A - (AB+AC )或A - (B ∪C ) (2)A ,B 都发生,而C 不发生。 表示为: C AB 或AB -ABC 或AB -C (3)A ,B ,C 中至少有一个发生 表示为:A+B+C (4)A ,B ,C 都发生, 表示为:ABC (5)A ,B ,C 都不发生, 表示为:C B A 或S - (A+B+C)或C B A ?? (6)A ,B ,C 中不多于一个发生,即A ,B ,C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为:C A C B B A ++。 (7)A ,B ,C 中不多于二个发生。 相当于:C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为:ABC C B A 或++ (8)A ,B ,C 中至少有二个发生。 相当于:AB ,BC ,AC 中至少有一个发生。故 表示为:AB +BC +AC 6.[三] 设A ,B 是两事件且P (A )=0.6,P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 解:由P (A ) = 0.6,P (B ) = 0.7即知AB ≠φ,(否则AB = φ依互斥事件加法定理, P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾). 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )-P (A ∪B ) (*) (1)从0≤P (AB )≤P (A )知,当AB =A ,即A ∩B 时P (AB )取到最大值,最大值为 P (AB )=P (A )=0.6, (2)从(*)式知,当A ∪B=S 时,P (AB )取最小值,最小值为 P (AB )=0.6+0.7-1=0.3 。 7.[四] 设A ,B ,C 是三事件,且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ,8 1 )(= AC P . 求A ,B ,C 至少有一个发生的概率。 解:P (A ,B ,C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+ P (ABC )= 8 508143=+- 8.[五] 在一标准英语字典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词,若从26 第六章 统计量与抽样分布 注意: 这是第一稿(存在一些错误) 1、解:易知的X 期望为μ,方差为2n σ ,则()0,1X N μσ-:近似地 , 所以,( ) (0.10.10.909X P X P μσ μσσ σ? ? - ? -<=<≈Φ= ? ? ??? 。 2、解 (1)由题意得: 2 2 2 2211111 ()()()()n n i i i i E X D X E X D X E X n n n σμ==??=+=+=+ ???∑∑ ()2211111111 ()()n n i i i i E X X E X X E X X n n n σμ==?=?==+∑∑ (2)1X X -服从正态分布,其中: 1()0E X X -=,22 1122111()( )()()n n n D X X D X D X n n n σ----=+= 从而 2 11~(0,)n X X N n σ-- 由于 ~(0,1)i X N μ σ -,1,2,i n =L ,且相互独立,因此: () ()2 22 1 ~n i i X n μχσ =-∑ ~(0,1)X N μ-,所以()()2 22 ~1n X μχσ - 由于 ()2 22 (1)~1n S n χσ --,所以 () () ()2 2 2 2 22 (1)/~1,1(1)n X n X n S F n n S μ μσσ---=-- (3)由于 () 2 /2 2 1 ~(/2)n i i X n μχσ=-∑ ,以及 () 2 2 1/2 ~(/2)n i i n X n μχσ=+-∑ ,因此有: 第三章 多维随机变量及其分布 1.[一] 在一箱子里装有12只开关,其中2只是次品,在其中随机地取两次,每次取一只。考虑两种试验:(1)放回抽样,(2)不放回抽样。我们定义随机变量X ,Y 如下: ???? ?=ο若第一次取出的是次品若第一次取出的是正品,1, ,0X ???? ?=ο 若第二次取出的是次品若第二次取出的是正品,1, ,0Y 试分别就(1)(2)两种情况,写出X 和Y 的联合分布律。 解:(1)放回抽样情况 由于每次取物是独立的。由独立性定义知。 P (X=i , Y=j )=P (X=i )P (Y=j ) P (X=0, Y=0 )=3625 12101210=? P (X=0, Y=1 )=3651221210=? P (X=1, Y=0 )=3651210122=? P (X=1, Y=1 )= 36 1122122=? 或写成 (2)不放回抽样的情况 P {X=0, Y=0 }=66451191210=? P {X=0, Y=1 }= 66 101121210=? P {X=1, Y=0 }=66101110122=? P {X=1, Y=1 }= 66 1111122=? 或写成 3.[二] 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球,在其中任取4只球,以X 表,Y 的联合分布律。 解:(X ,Y )的可能取值为(i , j ),i =0,1,2,3, j =0,12,i + j ≥2,联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2 222= C C C P {X=1, Y=1 }= 3564 722 1213= C C C C P {X=1, Y=2 }=35 64 712 2213= C C C C P {X=2, Y=0 }=35347 2223= C C C P {X=2, Y=1 }= 35 124 7 12 1223= C C C C 概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版(高等教育出版社) 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)([一] 1) ???????=n n n n o S 1001, ,n 表小班人数 (3)生产产品直到得到10件正品,记录生产产品的总件数。([一] 2) S={10,11,12,………,n ,………} (4)对某工厂出厂的产品进行检查,合格的盖上“正品”,不合格的盖上“次品”,如连续查出二个次品就停止检查,或检查4个产品就停止检查,记录检查的结果。 查出合格品记为“1”,查出次品记为“0”,连续出现两个“0”就停止检查,或查满4次才停止检查。 ([一] (3)) S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,} 2.[二] 设A ,B ,C 为三事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列事件。 (1)A 发生,B 与C 不发生。 表示为: C B A 或A - (AB+AC )或A - (B ∪C ) (2)A ,B 都发生,而C 不发生。 表示为: C AB 或AB -ABC 或AB -C (3)A ,B ,C 中至少有一个发生 表示为:A+B+C (4)A ,B ,C 都发生, 表示为:ABC (5)A ,B ,C 都不发生, 表示为:C B A 或S - (A+B+C)或 C B A ?? (6)A ,B ,C 中不多于一个发生,即A ,B ,C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为:C A C B B A ++。 (7)A ,B ,C 中不多于二个发生。 相当于:C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为:ABC C B A 或++ (8)A ,B ,C 中至少有二个发生。 相当于:AB ,BC ,AC 中至少有一个发生。故 表示为:AB +BC +AC 6.[三] 设A ,B 是两事件且P (A )=0.6,P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值,最大值是多少?(2)在什么条件下P (AB )取到最小值,最小值是多少? 第八章 假设检验 注意: 这是第一稿(存在一些错误) 1 、解 由题意知: ~(0,1)/X N n μ σ- (1)对参数μ提出假设: 0: 2.3H μ≤, 1: 2.3H μ> (2)当0H 为真时,检验统计量 2.3 ~(0,1)0.29/35 X N -,又样本实测得 2.4x =,于 是 002.4 2.3( )( 2.04)1(2.04)0.0207/0.29/35/H H X X P P P n n μμ σσ----=≥=≥=-Φ= (3)由(2)知,犯第I 类错误的概率为0.0207 (4)如果0.05α=时,经查表得 1.645z α=,于是 2.3 2.3{ }{ 1.645}/0.29/35 X X W z W n ασ-->=> (5)是。 2、 14.5515x =<故将希望得到支持的假设“15μ>”作为原假设,即考虑假设问题 0H : 15μ≥,1H :15μ< 因2 σ未知,取检验统计量为0 /X T S n μ-= ,由样本资料10n =,14.55x =, 1.2445s =和015μ=代入得观察值0 1.2857t =-,拒绝域为 ()0 0.059/X W T t S n μ??-==≤-?? ??,查分布表得()0.059 1.8331t =,()00.059t t >- 故接受原假设0H ,即认为该广告是真实的。 3、 解(1)由题意得,检验统计量1 /X Z n σ-= ,其拒绝域为 1 {}{ 1.66}/X W Z z W X n ασ-== ≥=≥ 当2μ=时,犯第II 类错误的概率为: 0021.662 {|}{ 1.66|2}P{ }=0.198//X P H H P X n n βμσσ--==≤==≤接受是错误的 (2) 2 22 (n 1)S ~(n 1)χσ --,当2σ未知时,检验统计量224S ,其拒绝域为: 2221W {24S (24)}{S 0.577}αχ-=<=< 当21.25σ=时,检验犯第I 类错误的概率为: 22 2 0024S 240.577 {|}{S 0.577| 1.25}P{}=0.012 1.251.25 P H H P ασ?==<==<拒绝是正确的 4、 (1)提出假设0H :3000μ=,1H :3000μ≠ 建立检验统计量0 /X T S n μ-= ,其中03000μ= 在显著水平0.05α=下,检验的拒绝域为 ()0 0.0257 2.3646/X W T t S n μ??-==≥=?? ??,由样本资料得观察值()00.0252958.753000 2.97271348.4375/8 t t -= =>,故有显著差异。 (2)μ的95%的置信区间为()()/2/21,1S S X t n X t n n n αα??- -+- ?? ? ,由样本资料得μ的95%的置信区间为()2925.93,2991.57 (3)(){}(){} 02127 2.9720.0207P P t n t P t =-≥=≥=。 5、 解 (1) ~(1)S /X t n n μ --。由题意得,样本测得的值为167.2x =, 4.1s =,100n =,经查表得()/299 1.984t α=,于是均值μ的95%的置信区间为: ()()/2/2(99s /,99s /)(166.4,168.0)x t n x t n αα+-=概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学
概率论与数理统计浙大四版习题答案第七章
浙大版概率论与数理统计答案---第五章
概率论与数理统计浙大第四版习题答案全
浙大版概率论与数理统计答案---第六章
概率论与数理统计浙大四版习题答案第三章
概率论与数理统计浙江大学第四版-课后习题答案(完全版)
浙大版概率论与数理统计答案第八章