牛吃草问题(1)常规解法
牛吃草问题（一）
常规解法
专题简析：
牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。“一堆草可供10头牛吃3天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3×10÷6=5（天），如果把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。因为草每天走在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。
解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。正确计算草地上原有的草及每天长出的草，问题就容易解决了。
★房间广播★【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，那么这片草地可供25头牛吃几天？[【培优】风采(34257032)发布]
【解答】5天
头数时间总草量
10头20天原有草＋20天生长草
15头10天原有草＋10天生长草
25头？天原有草＋？天生长草
【讲解】怎样解答这类问题呢？关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为1份，由条件可知，前后两次青草的总量相差为10×20－15×10＝50份
为什么会多出这45份呢？这是第二次比第一次少的那20－10＝10天生长出来的，所以每天生长的青草为50÷10＝5份
从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足5头牛吃。由此，我们
可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的5头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，
那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（10－5）×20＝100份
把25头牛分两组，5头去吃生长的草，其余的20头去吃原有的草，那么可吃100÷20＝5天
★房间广播★【练习1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，20头牛吃10天，那么可供19头牛吃几天？[【培优】风采(34257032)发布]【解答】12天
头数时间总草量
24头6天原有草＋6天生长草
20头10天原有草＋10天生长草
19头？天原有草＋？天生长草
【讲解】设1头牛1天吃的草为1份，由条件可知，前后两次青草的总量相差为10×20－24×6＝56份，这是第二次比第一次多的那10－6＝4天生长出来的，所以每天生长的青草为56÷4＝14份。
从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足14头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的14头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（24－14）×6＝60份
把19头牛分两组，14头去吃生长的草，其余的5头去吃原有的草，那么可吃60÷5＝12天
★房间广播★【例2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固
定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？[【培优】风采(34257032)发布]
【解答】5头
头数时间总草量
20头5天原有草－5天减少的
15头6天原有草－6天减少的
？头10天原有草－10天减少的
【讲解】设1头牛1天吃的草为1份。
20头牛5天吃草20×5＝100份，15头牛6天吃草15×6＝90份。
青草每天减少（100－90）÷（6－5）=10份，
牛吃草前牧场有草100＋10×5=150份
150份草吃10天本可供150÷10=15头
但因每天减少10份草相当于10头牛吃掉，所以只能供牛15－10=5头
★房间广播★【练习2】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草每天以均匀的速度在减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天或可供16头牛吃6天。那么可供多少头牛吃8天？[【培优】风采(34257032)发布]
【解答】11头
头数时间总草量
20头5天原有草－5天减少的
16头6天原有草－6天减少的
？头8天原有草－8天减少的
【讲解】设1头牛1天吃的草为1份。
20头牛5天吃草20×5＝100份，16头牛6天吃草16×6＝96份。
青草每天减少（100－96）÷（6－5）=4份，
牛吃草前牧场有草100＋4×5=120份
8天后，牛实际上只能吃到120－8×4＝88份
所以只能供牛88÷8=11头吃
★房间广播★【例3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级台阶，女孩每分钟走15级台阶，结果男孩用5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问该扶梯共有多少级台阶？[【培优】风采(34257032)发布]
【解答】150级
速度时间级数
20级5分钟总级数－5分钟扶梯的
15级6分钟总级数－6分钟扶梯的
【讲解】与前两个题比较，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”，也可以看成是牛吃草问题。
上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5=100级，女孩6分钟走了15×6=90级，女孩比男孩少走了100—90=10级，多用了6—5=1分钟，说明电梯1分钟走10级。因男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和。所以扶梯共有（20+10）×5=150级。
★房间广播★【练习3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，小明和小红从扶梯上楼。已知小明每分钟走25级台阶，小红每分钟走20级台阶，结果小明用5分钟，小红用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？[【培优】风采(34257032)发布]
【解答】150级
速度时间级数
25级5分钟总级数－5分钟扶梯的
20级6分钟总级数－6分钟扶梯的
【讲解】上楼的速度可以分为两部分：一部分是小明、小红自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。小明5分钟走了25×5=125级，小红6分钟走了20×6=120级，女孩比男孩少走了125—120=5级，多用了6—5=1分钟，说明电梯1分钟走5级。因男孩5分钟到达楼上，扶梯行了5×5＝25级。所以扶梯共有125＋25=150级。
★房间广播★【例4】一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？[【培优】风采(34257032)发布]【解答】17人
人数时间总水量
12人3小时原有水量＋3小时漏入的
5人10小时原有水量＋10小时漏入的
？人2小时原有水量＋2小时漏入的
【讲解】设每人每小时能舀1份的水，12人3小时舀水12×3＝36份，5人10小时舀水5×10＝50份。10小时比3小时多舀的50－36＝14份水，就是10－3＝7小时漏入船里的，因此每小时漏入14÷7＝2份水。原来船里有36－2×3＝30份水。现在要想2小时舀完，那么还要漏入2×2＝4份水，则2小时共要舀30＋4＝34份水，需要34÷2＝17人来舀。
★房间广播★【练习4】有一水井，连续不段涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5台抽水机，20分钟抽完。现在12分钟内要抽完井水，需要抽水机多少台？[【培优】风采(34257032)发布]
【解答】8台
台数时间总水量
3台36分钟原有水量＋36分钟涌出的
5台20分钟原有水量＋20分钟涌出的
？台12分钟原有水量＋12分钟涌出的
【讲解】设每台每分钟能抽1份的水，3台36分钟抽水3×36＝108份，5台20分钟抽水5×20＝100份。36分钟比20分钟多抽的108－100＝8份水，就是36－20＝16分钟涌入井里的，因此每分钟涌入8÷16＝0.5份泉水。原来船里有108－0.5×36＝90份水。现在要想12分钟内抽完，那么还要涌入0.5×12＝6份水，则12分钟共要抽90＋6＝96份水，需要96÷12＝8台来抽。
★房间广播★【例5】有三块草地，面积分别为2公顷，4公顷，8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃8天，第二块草地可供20头牛吃10天。问第三块草地可供多少头牛吃5天？[【培优】风采(34257032)发布]【解答】72头。变成同样大小的草地来计算，则原题就变成了：有一块草地上的草一样厚，而且长得一样快。可供48头牛吃8天，第二块草地可供40头牛吃10天。问可供多少头牛吃5天？则可根据刚才的方法进行解答了。40×10＝400份，48×8＝384份，每天长（400－384）÷（10－8）＝8份，原有草400－10×8＝320份，5天吃完共吃320＋5×8＝360份，则需要360÷5＝72头牛。
★房间广播★【练习5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供17头牛吃30天，或供19头牛吃24天。现有一群牛吃了6天后卖掉4头，余下的牛又吃了2天将草吃完。这群牛原来有多少头？[【培优】风采(34257032)发布]
【解答】40头。设每头牛每天吃1份的草。17×30＝510份，19×24＝456份，每天长（510－456）÷（30－24）＝9份，原有草510－9×30＝240份，8天共吃了240＋9×
8＝312份，如果不卖掉，可以多吃2×4＝8份的草，原有的牛就可以吃8天可以吃312＋8＝320份，所以原有320÷8＝40头