压轴高考数学复习导数大题精选10题-附详细解答

高考压轴导数大题

例1.已知函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点．（I ）求24a b -的最大值；

（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．

例3已知函数()θθcos 16

3cos 3423+-=x x x f ，其中θ,R x ∈为参数，且πθ20≤≤．

（1）当时0cos =θ，判断函数()x f 是否有极值；

（2）要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

例4．已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数'()y f x =的图象经过点(1,0)，(2,0). 求：（Ⅰ）0x 的值；（Ⅱ）,,a b c 的值.

例5设3=x 是函数()()()R x e b ax x x f x ∈++=-32的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()x f 的单调区间；

（Ⅱ）设0>a ，()x e a x g ??

? ?

?+=4252.若存在[]4,0,21∈εε使得()()121<-εεg f 成立，

求a 的取值范围

例6已知函数3

21()(2)13

f x ax bx b x =

-+-+ 在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；

（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。

1. 已知函数

1()22f x ax x =

+，()g x lnx =.

（Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调增函数，求a 的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数0a >，使得方程()()(21)g x f x a x '=-+在区间1

(,)

e e 内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

2. 如果

()0x f 是函数()x f 的一个极值，称点()()00,x f x 是函数()x f 的一个极值点.已知函数()()()00≠≠-=a x e b ax x f x

且

（1）若函数()x f 总存在有两个极值点B A ,，求b a ,所满足的关系；

（2）若函数()x f 有两个极值点B A ,，且存在R a ∈，求B A ,在不等式1

域内，证明：10<≤b .

3已知函数3221

()ln ,()3(,,R)

32f x x x g x x ax bx c a b c ==-+-+∈.

(1)若函数()()()h x f x g x ''=-是其定义域上的增函数，求实数a 的取值范围；

(2)若()g x 是奇函数，且()g x

的极大值是

g ，求函数()g x 在区间[1,]m -上的最大值；

(3)证明：当0x >时，12()1x

f x e ex '>

-+.

4已知实数a 满足0＜a ≤2，a ≠1，设函数f (x )＝13

x 3－12a +x 2

＋ax ．

(Ⅰ) 当a ＝2时，求f (x )的极小值；

(Ⅱ) 若函数g (x )＝x 3＋bx 2－(2b ＋4)x ＋ln x (b ∈R )的极小值点与f (x )的极小值点相同．求证：g (x )的极大值小于等于5/4

例1解（I ）因为函数32

11()32

f x x ax bx =

++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根，

设两实根为12x x ，（12x x <），则21x x -=

2104x x <-≤．于是

04，20416a b <-≤，且当11x =-，

23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是

(1)(1)(1)y f f x '-=-，即21

(1)32

y a b x a =++-

-，因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象，所以21

()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

-在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．

而()g x 321121

(1)3232

x ax bx a b x a =

++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++．

若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．

所以11a =--，即2a =-，又由2

48a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =

--．解法二：同解法一得21()()[(1)]32

g x f x a b x a =-++-

- 2133

(1)[(1)(2)]322

a x x x a =-++-+．因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <．设233()1222a a h x x x ?

???

=++

-+ ? ?????

，则当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；

或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102

h =?++=，所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故3

21()3

f x x x x =--．

例3解（Ⅰ）当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞内是增函数，故无极值. （Ⅱ）2'()126cos f x x x θ=-，令'()0f x =，得12cos 0,2

x x θ==.

由（Ⅰ），只需分下面两种情况讨论.

①当cos 0θ>时，随x 的变化'()f x 的符号及()f x 的变化情况如下表：