求函数解析式及值域的基本方法
求函数解析式的基本方法
求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。
一、定义法
根据函数的定义求其解析式的方法。
例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。
解：因为
)
1x (1x )x (f ,
11x ,
1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以
二、换元法
已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。 例2. 同例1。 解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则，
所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=，
所以)1x (1x )x (f 2≥-=。 评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。
三、方程组法
根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。
例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。 解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ①
1x )x (f 2)x (f +-=-+∴
② ②①-?2得1x 3)x (f 3+=， 所以31
x )x (f +=。
评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。
四、特殊化法
通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。
解：令
x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得，
所以0)0(f =，
所以)R x (x x )x (f 2∈+=
五、待定系数法
已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。
例5. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ，且不等式x 2)x (f ->的解集为（1，3），方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根，求)x (f 的解析式。
解：因为的0x 2)x (f >+解集为（1，3），
设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且，
所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---=
a 3x )a 42(ax 2++-=
①
由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ②
因为方程②有两个相等的实根，
所以0a 9a 4)]a 42([2=?-+-=?，
即,01a 4a 52=-- 解得51
a 1a -==或 又51
a ,0a -
=<所以，
将51
a -=①得
53x 56x 51)x (f 2---=。
六、函数性质法
利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。
例6. 已知函数)x (f y =是R 上的奇函数，当)x (f ,13)x (f ,0x x 求时-=≥的解析式。
解析：因为)x (f 是R 上的奇函数，
所以)x (f )x (f ),x (f )x (f --=-=-即，
当0x ,0x >-<时，
13)13()x (f )x (f x x +-=--=--=--
所以
?????<+-≥-=-0x ,130x ,13)x (f x x
函数值域的八大求法
方法一：观察法
例1. 求函数2x 4y -=的值域。 解析：由]2,0[x 4,0x 40x 222∈-≥-≥知及。 故此函数值域为]2,0[。
评注：此方法适用于解答选择题和填空题。
方法三：反函数法
例3. 求函数)4x (2x 1x y -≥+-=的值域。 解析：由
2x 1x y +-=得y 11y 2x -+=。 由4x -≥，得4y 11y 2-≥-+，解得1y 25y <≥或。
∴此函数值域为),25[)1,(+∞?-∞。
评注：此方法适用范围比较狭窄，最适用于x 为一次的情形。
方法四：分离常数法 注意形如)ad bc ,0a (b ax d cx y ≠≠++=的值域为),a c ()a c ,(+∞?-∞。
方法五：判别式法
例5. 求函数
1x x 1x y 22--+=的值域。 解析：原式整理可得0)1y (yx x )1y (2=+---。
当01y =-即1y =时，2x -=原式成立。
当01y ≠-即1y ≠时，0)]1y ()[1y (4y 2≥+---=?，解得552y 552y -≤≥或。 综上可得原函数值域为),552[]552,(+∞?--∞。
评注：此方法适用于x 为二次的情形，但应注意01y =-时的情况。
方法六：图象法
例6. 求函数1x 1
y -=)0x (1≥-的值域。
解析：作出此函数的图象，如下图所示。可知此函数值域为),1(]2,(+∞-?--∞。 评注：此方法最适用于选择题和填空题，画出函数的草图，问题会变得直观明了。
方法七：中间变量法
例7. 求函数
5x 3x y 22-+=的值域。
解析：由上式易得1y 3y 5x 2-+=
。 由1y 53y ,01y 3y 5,0x 2>-≤≥-+≥或解得知
。 故此函数值域为),1(]53,(+∞?--∞。
评注：此方法适用范围极其狭窄，需要灵活掌握。 方法八：配方法
例8. 求函数3x 2x y +-=的值域。 解析：因为22)1x (y 2≥+-=，故此函数值域为),2[+∞。
评注：此方法需要灵活掌握，常常可以达到意想不到的效果。
函数值域的求法(精选例题)
函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43
3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-
4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2
6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-
求函数解析式及值域的基本方法
求函数解析式的基本方法 求函数解析式是中学数学的重要内容，是高考的重要考点之一。本文给出求函数解析式的基本方法，供广大师生参考。 一、定义法 根据函数的定义求其解析式的方法。 例1. 已知x 2x )1x (f +=+，求)x (f 。 解：因为 ) 1x (1x )x (f , 11x , 1]1)x [(x 2x )1x (f 22≥-=≥+-+=+=+所以 二、换元法 已知)x (g ),x (f )]x (g [f 把求看成一个整体t ，进行换元，从而求出)x (f 的方法。 例2. 同例1。 解：令2)1t (x ,1t x ,1t ,t 1x -=-=≥=+则， 所以)1t (1t )1t (2)1t ()t (f 22≥-=-+-=， 所以)1x (1x )x (f 2≥-=。 评注：利用换元法求函数解析式必须考虑“元”的取值范围，即)x (f 的定义域。 三、方程组法 根据题意，通过建立方程组求函数解析式的方法。 例3. 已知定义在R 上的函数)x (f 满足1x )x (f 2)x (f +=+-，求)x (f 的解析式。 解：1x )x (f 2)x (f +=+- ， ① 1x )x (f 2)x (f +-=-+∴ ② ②①-?2得1x 3)x (f 3+=， 所以31x )x (f +=。 评注：方程组法求解析式的关键是根据已知方程中式子的特点，构造另一个方程。 四、特殊化法 通过对某变量取特殊值求函数解析式的方法。
例 4. 已知函数)x (f 的定义域为R ，并对一切实数x ，y 都有)1y 2x (x )y (f 3)x (f )y x (f 2++++=-，求)x (f 的解析式。 解：令 x x )0(f 3)x (f )x (f 20y 2+++==得， 令)0(f 3)0(f )0(f 20y x +===得， 所以0)0(f =， 所以 )R x (x x )x (f 2∈+= 五、待定系数法 已知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据已知条件建立关于待定系数的方程，从而求出函数解析式的方法。 例5. 已知二次函数)x (f 的二次项系数为a ，且不等式x 2)x (f ->的解集为（1，3），方程0a 6)x (f =+有两个相等的实根，求)x (f 的解析式。 解：因为的0x 2)x (f >+解集为（1，3）， 设0a ),3x )(1x (a x 2)x (f <--=+且， 所以x 2)3x )(1x (a )x (f ---= a 3x )a 42(ax 2++-= ① 由方程0a 6)x (f =+ 得0a 9x )a 42(ax 2=++- ② 因为方程②有两个相等的实根， 所以0a 9a 4)]a 42([2=?-+-=?， 即,01a 4a 52=-- 解得51a 1a -==或 又51 a ,0a - =<所以，
求函数值域的几种方法
高中数学中求函数值域的几种方法 汝南双语学校赵保刚 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题. 定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或谈化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。 若有非空数集A到B的映射f:A→B，则函数：y=f(x)(x∈A,y∈B)的值域是自变量x在f作用 下的函数值y的集合C，很明显，C B，求函数值域的方法要随函数式的变化而灵活掌握，同时应注重数形结合，等价转换，分类讨论等重要数学思想的理解与运用。下面通过八个方面的例题来加以说明。 题型一定义法 要深刻领会映射与函数值域的定义。 例1．已知函数f:A→B（A，B为非空数集），定义域为M，值域为N，则A，B，M，N的关系：（）。 A．M＝A，N＝B B．M N，N＝B C．M＝A，N B D．M A，N B 说明：函数的定义域是映射f：A→B中的原象集合A，而值域即函数值的集合是集合B的子集。 故：应有M＝A，N B，选C。 例2．已知函数f(x)=2log2x的值域是[-1，1]，求函数y=f-1(x)的值域。 分析：要求反函数的值域，只需求原函数的定义域。 解：由已知可得 f(x)∈[-1，1]，，解之得，
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
函数的定义域、值域及解析式
函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念
高一数学求函数的定义域与值域的常用方法教案
一. 教学内容： 求函数的定义域与值域的常用方法 求函数的解析式，求函数的定义域，求函数的值域，求函数的最值 二. 学习目标 1、进一步理解函数的定义域与值域的概念； 2、会应用代换、方程思想求简单的函数解析式； 3、会求基本初等函数、简单的复合函数及含参变量函数的定义域、值域和最值； 4、会将求函数值域问题化归为求函数的最值问题，重视函数单调性在确定函数最值中的作用； 5、会求实际问题中的函数解析式、定义域、值域和最值问题； 6、会用集合、区间或不等式表示函数的定义域和值域。 三. 知识要点 （一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g （x），以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f（x）的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 （二）求函数定义域 1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示； 2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题； 3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；
高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
函数的定义域值域和解析式
函数的定义域、值域和解析式 1．函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2.求函数定义域的主要依据： ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。 指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式 定义域 值域 一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域
,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域 （1）1 log 1 )(2-=x x f （2）)1(log 1 |2|)(2---=x x x f （3）y=x x x -+||)1(0 ; 解：（1）由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x ＞2． ∴所求定义域为（2，+∞） ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 （2）由题意得 ∴所求定义域为（3，+∞） （3）由题意 化简 故函数的定义域为{x|x ＜0且x ≠-1}. 练习：求函数的定义域 （1） y=2 3 2 531 x x -+-; （2）)34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域 求复合函数y ＝f(t)，t ＝q(x)的定义域的方法： ①若y ＝f(t)的定义域为(a ，b)，则解不等式得a ＜q(x)＜b 即可求出y ＝f(q(x))的定义域； ②若y ＝f(g(x))的定义域为(a ，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解：（1）0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为［0, 3 1］ . （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞ ). （3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 .
求函数值域的常见方法大全教师版
第 1 页 共 6 页 求函数值域的几种常用方法 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就求函数值域的方法归纳如下，供参考。 一、直接观察法 这是最基本的方法，通过对函数的定义域及其对应关系的观察分析，求函数的值域。 例1 求函数y = x 1 的值域。 解： x ≠0 ，∴ x 1 ≠0 显然函数的值域是：（ -∞，0 ）∪（0 ，+∞）. 例2 求函数y = 3 -x 的值域。 解： x ≥0 ∴- x ≤0 3 -x ≤3 故函数的值域是：(,3]-∞ . 二、反函数法 当一个函数存在反函数又便于求其反函数时，可以通过求原函数的定义域来确定反函数的值域。 例3 求函数y = 6 54 3++x x 值域。 解：由原函数式可得：x = 3 564--y y ， 则其反函数为：4653x y x -= - 其定义域为：x ≠5 3 ， 故所求函数的值域为：33 (,)(,)55 -∞?+∞. 注：本题还可以用分离系数法，把原函数式变形为：3252530 y x = ++同样达到目的。 例4 求函数11()211()2 x x y -= +值域。 解：由原函数式可得：1 21log 1y x y -=+， 则其反函数为：1 2 1log 1x y x -=+ 由 101x x ->+，知11x -<<， 故所求函数的值域为：(1,1)-. 注：本题还可以利用函数的有界性法，把原函数式变形为：11()02 1x y y -= >+同样达到目的 三、配方法 配方法是求二次函数（即形如2 ()()()f x ag x bg x c =++的函数）值域最基本的方法之一。 例5 求函数y =2 x -2x + 5，x ∈[-1，2]的值域。 解：将函数配方得：y =（x -1）2 + 4， x ∈[-1，2]， 由二次函数的性质可知： 当x = 1时，min y = 4 ， 当x = - 1，时max y = 8 ， 故函数的值域是：[ 4 ，8 ]. 例6 求函数y = 的值域。 解： 将函数变形为：y =故函数的值域是：[ 0 ， 3 2 ].
求复合函数定义域值域解析式(集锦)
求复合的定义域、值域、解析式（集锦） 一、 基本类型： 1、 求下列函数的定义域。 （1）12)(-+=x x x f （2）x x x x f -+=0 )1()( （3） 1 11--= x y （4）()28 x f x = - 二、复合函数的定义域 1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域 2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域 2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域 3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 （1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法： （1） 求函数 y x =+
分分式法 求2 1 +-= x x y 的值域。 解：（反解x 法） 四、判别式法 （1）求函数22221 x x y x x -+=++；的值域 2）已知函数21 ax b y x += +的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。 五：有界性法： （1）求函数1e 1e y x x +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加 （1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法 已知 23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x 1 ）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数 ,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y +=+++求()f x 。 令x=0，y=2x 待定系数法 设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ).
高中数学求函数值域的方法十三种审批稿
高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。
【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2
人教版必修一求函数值域的几种常见方法
人教版必修一求函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 4)4(|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 4)4(|2 -≤}. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y ④x x y 1 + = 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3， ∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f 即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2} ③1 111 111 +- =+-+= +=x x x x x y ∵ 01 1≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法） ④当x>0，∴x x y 1+ ==2)1(2 +- x x 2≥， 当x<0时，)1(x x y -+ --==－2)1(2 --- -x x 2-≤ ∴值域是 ]2,(--∞[2，+∞).（此法也称为配方法） 函数x x y 1+ =的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 4 3 21 -1-2-3 -4 -6 -4 -2 2 4 6 y=x o -2 -112 f x () = x+ 1x
高一数学函数解析式的七种求法
高一数学函数解析式的七种求 法(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得672---=x x y
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
函数专题之值域与最值问题 一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域. 例1:求函数) + =的值域. y- 3x 3 2( 点拨：根据算术平方根的性质，先求出) -的值域. 3 2(x 解：由算术平方根的性质，知) 2(x -≥3。∴函数的值域为) 3 -≥0，故3+) 2(x 3 ,3[+∞ . 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算 术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域. 例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。 这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域. 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。 此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。 配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4:求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域. 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题
函数专题之值域与最值问题 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。
求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值 一、 求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2)0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y =)0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。
函数值域求法大全定稿版
函数值域求法大全 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
函数值域求法十一种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y =的值域。 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域。 解：∵0x ≥ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 解：将函数配方得： 4)1x (y 2+-=
∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 （1）当1y ≠时，R x ∈ 解得：23y 2 1≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21 例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤