二次函数专题讲座

二次函数专题讲座

一、定义型问题

1、小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a 1x 2+b 1x+c 1（a 1≠0，

a 1，

b 1，

c 1是常数）与y=a 2x 2+b 2x+c 2（a 2≠0，a 2，b 2，c 2是常数）满足a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．

求函数y=﹣x 2+3x ﹣2的“旋转函数”．

小明是这样思考的：由函数y=﹣x 2+4x ﹣3可知，a 1=﹣1，b 1=4，c 1=﹣3，根据a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0，求出a 2，b 2，c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

（1）直接写出函数y=﹣x 2+4x ﹣3的“旋转函数”；

（2）若函数2335y x mx =-+-与23y x nx n =-+互为“旋转函数”，求2015415

m n +（）的值； （3）设点A （m,n ）在抛物线上L ：2y ax bx c =++的图像上，证明：点A 关于原点的对称点在抛物线L 的“旋转函数”上。

（4）已知函数11

42y x x =-+（）(﹣）的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，试证明经过点A 1，B 1，C 1的二次函数与函数1142

y x x =-+（）(﹣）互为“旋转函数”。

2、如果二次函数的二次项系数为l ，则此二次函数可表示为y=x2+px+q ，我们称[p ，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．

（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．

（2）探究下列问题：

①若一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．

②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？

二、几何图形与二次函数问题

如图，已知二次函数）1＜m ＜0（其中m -x ）m -1（+x =y 2的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线l ．设P 为对称轴l 上的点，连接PA 、PC ，PA=PC

（1）求∠ABC 的度数；

（2）证明：△PAC 是等腰直角三角形；

（3）在坐标轴上，是否存在点Q ，使得△CBQ 与△PAC 全等，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

三、二次函数中的面积最值问题

如图，二次函数y=ax 2+bx 的图象经过点A （2，4）与B （6，0）．

（1）求a ，b 的值；

（2）点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x （2＜x ＜6），写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．

四、二次函数中的线段最值问题 如图，抛物线2－bx +x 2

1=y 2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；

⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点P 是抛物线上对称轴l 上的一个动点，当PC+PA 的值最小时，求点P 的坐标．

(或问当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标及△PAC 周长的最小值)

五、实际问题与二次函数

某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克不低于成本，且不高于80元。经市场调查，每天的销售量y

（1）求（2）设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数表达式（利润＝收入－成本）

（3）试说明（2）中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？