2013年浙教版初二上册数学总复习知识点

a

三角形的初步知识1

一、三角形的基本概念：

1、三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。 三角形ABC 记作：△ABC 。

2、相关概念： 三角形的边：组成三角形的三条线段。记作： AB 、AC 、BC 。 三角形的内角：每两条边所组成的角（简称三角形的角）。 记作：∠A 、∠B 、 ∠C

3、三角形的分类：

?

?

?

?????等边三角形一般等腰三角形

等腰三角形不等腰三角形

按边分：三角形)1(

??

?

?

?

????

?钝角三角形等腰直角三角形一般直角三角形直角三角形锐角三角形

按角分：三角形)2(

二、三角形三边关系：

1、三角形任何两边的和大于第三边。

几何语言：若a 、b 、c 为△ABC 的三边，则a+b>c,a+c>b, b+c>a. ？？这个在实际解题中该怎样应用？

2、三边关系也可表述为：三角形任何两边的差都小于第三边。

三、三角形的内角和定理：

三角形三个内角的和等于1800。

几何语言：△ABC 中，∠A+∠B+∠C=1800。

四、三角形的三线： 问题1、如何作三角形的高线、角平分线、中线？

问题2、三角形的高线、角平分线、中线各有多少条，它们的交点在什么位置？

问题3、三角形的中线有什么应用？

C B A

例题与练习

例1、如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 、AC 上的两点，连接BE 、AD 交于点F 。 问：（1）、图中有多少个三角形？把它们表示出来。 （2）、△AEF 的三条边是什么？三个角是什么？

练习：右图中有几个三角形

例2、已知线段a b c 满足a+b+c=24cm, a:b=3:4, b+2a=2c ,问能否以a 、b 、 c 为三边组成三角形，如果能，试求出这三边，如果不能，请说明理由。

练习

1、四组线段的长度分别为2，3，4；3，4，7； 2，6，4；7，10，2。其中能摆成三角形的有（ ） A ．一组 B ．二组 C ．三组 D ．四组

2、已知三角形两条边长分别为13厘米和6厘米，那么第三边长应是多少厘米？

3、已知三角形两条边长分别为19厘米和8厘米，第三边与其中一边相等，那么第三边长应是多少厘米？

例3、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，求三角形各角的度数，并判断它是什么三角形。

练习：

1、在△ABC 中，若∠A －∠B=∠C ，则此三角形是（ ） A 、钝角三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、无法确定

2、如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 边上的高，且CD 、BE 相交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC=( ) A 、150° B 、100° C 、120° D 、130°

3、在△ABC 中，如果∠A ∶∠B ∶∠C=2∶2∶4，则这个三角形中最大的角_______度；按角分，这是一个_________三角形；按边分，这是一个_________三角形；

例4、如图，AE 、AH 分别为△ABC 的角平分线和高，∠B=∠BAC ， ∠C=360

。 求∠BAE 和∠HAE 的度数。

B A

C

E

H

E

D C B

A

练习：

1、如图，在△ABC 中，∠BAC=600，∠C=400，AD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ADC 的度数。

2、如图，AC 为BC 的垂线，CD 为AB 的垂线，DE 为BC 的垂线，D 、E 分别在△ABC 的边AB 和BC 上，则下列说法中 ①△ABC 中，AC 是BC 边上的高；②△BCD 中，DE 是BC 边上的高。 ③△DBE 中，DE 是BE 边上的高；④△ACD 中，AD 是CD 边上的高。 其中正确的为 。

强化提升题：

1、判断下列长度的三条线段能否组成三角形，并说明理由。（单位：cm ）

k+1； k+2 2k+2 （k ＞2） 2、若abc 为三角形的三条边长，化简b a c b c a c b a ----++--= 3、已知三角形的三条边长分别为3，x ，9，化简____________32

1

43-

3=-+x x 4、如图，AD 是△ABC 的中线E 是AD 的中点，则图中面积相等的三角形

共有 对。

5、已知：如图，在△ABC ，∠BAC=80°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B=60°， 求∠AEC 的度数

6、如图（1）如图（1），在△ABC 中，OB 、OC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线．若∠A 为x °， 则∠BOC 为多少？（2）如图（2），BO 、CO 为△ABC 两外角∠DBC 、∠BCE 的平分线，若∠A 为x?°，?则∠BOC 为多少？（3）如图（3），BO 、CO 为△ABC 一内角∠ABC 与外角∠ACD 的平分线，若∠A 为x °，则∠BOC 为多少？

A B C D E A B C D

八年级上册第二章《特殊三角形》复习

一、知识结构

本章主要学习了等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质与判定以及勾股定理、HL 定理等知识，这些知识点之间的结构如下图所示：

等腰Rt

两直角三角形全等的判定

直角三角形的性质和判定等边三角形的性质和判定等腰三角形的性质和判定直角三角形等边三角形

等腰三角形特殊三角形

二、重点回顾

1．等腰三角形的性质：

等腰三角形两腰_______；等腰三角形两底角______(即在同一个三角形中，等边对_____)；等腰三角形三线合一，这三线是指________________、________________、________________，也就是说一条线段充当三种身份；等腰三角形是________图形，它的对称轴有_________条。

2．等腰三角形的判定：

有____边相等的三角形是等腰三角形；有_____相等的三角形是等腰三角形（即在同一个三角形中，等角对_____）。

注意：有两腰相等的三角形是等腰三角形，这句话对吗？

3．等边三角形的性质：

等边三角形各条边______，各内角_______，且都等于_____；等边三角形是______图形，它有____条对称轴。

4．等边三角形的判定：

有____边相等的三角形是等边三角形；有三个角都是______的三角形是等边三角形；有两个角都是______的三角形是等边三角形；有一个角是______的______ 三角形是等边三角形。

5．直角三角形的性质：

直角三角形两锐角_______；直角三角形斜边上的中线等于_______；直角三角形两直角边的平方和等于________（即勾股定理）。

30°角所对的直角边等于斜边的________ 6．直角三角形的判定：

有一个角是______的三角形是直角三角形；有两个角_______的三角形是直角三角形；两边的平方和等于_______的三角形是直角三角形。

一条边上的中线等于该边长度的一半，那么该三角形是直角三角形，但不能直接拿来判断某三角形是直角三角形，但有助于解题。

7．直角三角形全等的判定：

斜边和___________ 对应相等的两个直角三角形全等。 8．角平分线的性质：

在角内部到角两边___________在这个角的平分线上。

F

E O B C

A F E O

B C

A 1

2D E F B C A 三、重点解读

1．学习特殊三角形，应重点分清性质与判定的区别，两者不能混淆。一般而言，根据边角关系判断一个图形形状通常用的是判定，而根据图形形状得到边角关系那就是性质；

2．等腰三角形的腰是在已知一个三角形是等腰三角形的情况下才给出的名称，即先有等腰三角形，后有腰，因此在判定一个三角形是等腰三角形时千万不能将理由说成是“有两腰相等的三角形是等腰三角形”；

3．直角三角形斜边上的中线不仅可以用来证明线段之间的相等关系，而且它也是今后研究直角三角形问题较为常用的辅助线，熟练掌握可以为解题带来不少方便；

4．勾股定理反映的是直角三角形两直角边和斜边之间的平方关系，解题时应注意分清哪条是斜边，哪条是直角边，不要一看到字母“c ”就认定是斜边。不要一看到直角三角形两边长为3和4，就认为另一边一定是5；

5．“HL ”是仅适用于判定直角三角形全等的特殊方法，只有在已知两个三角形均是直角三角形的前提下，此方法才有效，当然，以前学过的“SSS ”、“SAS ”、“ASA ”、“AAS ”等判定一般三角形全等的方法对于直角三角形全等的判定同样有效。

切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，也就是边边角，没有边边角定理。因此在证明全等时千万不要这样做。 本章解题时用到的主要数学思想方法：

⑴ 分类讨论思想（特别是在语言模糊的等腰三角形中）（留意后面的例题）

⑵ 方程思想：主要用在折叠之后产生直角三角形时，运用勾股定理列方程；还有就是在等腰三角形中求角度，求边长（留意后面的例题）

⑶ 等面积法

四、典型例题

（一）、角平分线+平行线

1、在△ABC 中，三内角互不相等，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB 。过O 点作EF, 使EF ∥BC 。（1）图中有几个等腰三角形？（2）猜测线段BE 、CF 、EF 有什么数量关系，并说明理由。

2、在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，BO 平分∠ABC ， CO 平分∠ACB,过O 点作EF ，

使EF ∥BC ，且∠EBO=30°。若BE=5，△ABC 的周长为_________。

（二）、角平分线+垂线 3、如图：AB=AC ，∠1=∠2，AE ⊥CD 于F 交BC 于点E ，求证：AB=CE 。

D E

A B

C

E D

C

A B

F F E A

B C

D

M

N D

B

A C

E

4、如图，△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，求证：BD=2CE

(三)、直角三角形的一个锐角平分线+斜边上的高线

5、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，CD ⊥AB 于D ，它们交于点F ，△CFE 是等腰三角形吗？试说明理由.

（四）、等边三角形的几个基本图形：

6、等边三角形ABC 中，BD=CE ，连接AD 、BE 交于点F 。∠AFE=_________。

7、如图点A 、C 、E 在同一直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，M 、N 分别是AD 、BE 的中点。说明： △CMN 是等边三角形。

8、已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC?的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，可得结论h 1+h 2+h 3=h ，请你探索以下问题：当点P 在△ABC 内（图2）和点P 在△ABC 外（图3）这两种情况时，h 1、h 2、h 3与h?之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由．

B

A D C

E P

B A D

C

F E

P B

A

D

C

F E P

A B C D E

M

N

图1 A B C D

E

M N

图2 A B

C D M N 图3 C

M A

B

E D （五）、等腰直角三角形的几个基本应用

9、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥M 于E 。 (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1位置时，说明△ADC ≌△CEB 的理由； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2位置时，说明DE=AD －BE 的理由；

(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时，试问DE 、 AD 、BE 有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并说明理由.

10、如图，在直角△ABC 中，∠C=90，AC=BC ，D ，E 分别在BC 和AC 上，且BD=CE ，M 是AB 的中点。求证：△MDE 是等腰直角三角形。

（六）、勾股定理、勾股定理的逆定理、勾股定理与方程

11、观察下面表格中所给出的三个数a ，b ，c ，其中a ，b ，c 为正整数，且a

（1）：试找出他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b ，c 的值

12、如图，P 是等边三角形ABC 内

的一点，连结PA 、PB 、PC ，?以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ 。

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

,3,4,5 32+42=52 5,12,13 52+122=132 7,24,25 72+242=252 9,40,41 92+402=412

…….. ……

21,b,c 212+b 2=c 2

A

B C

D

13、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积

分析：对于没有图形的大题（指需要过程的题目），最好自己画图，与人

方便，与己方便。

解：设这个等腰三角形为ABC，高为AD，设BD为x，则AB为（16-x），

由勾股定理得：x2+82=(16-x)2

即x2+64=256-32x+x2

∴x=6

∴S?ABC=BC?AD/2=2 ?6 ?8/2=48

14、矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩

形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。

（七）、需要分类讨论的（主要是由语言的模糊造成要讨论）

有一个角等于50°，另一个角等于__________的三角形是等腰三角形。

有一个直角三角形的两条直角边为3，4，则第三条边长为__________

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长。

（八）作图题

如图，求作一点P，使PC=PD,并且使点P到∠AOB两边的距离相等，并说

明你的理由．

作图题的基本要求：结论不能丢。格式：什么什么即为所求。

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．（1）（2）（3）

E

G C

D

B

A

M

D B C

A

2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，?若已知中间的小等边三角形的边长是a ，则六边形的周长是_______． 3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度． 4．如图4，在等腰直角△ABC 中，∠B=90°，将△ABC 绕顶点A

逆时针方向旋转60

°后得到△AB ′C ′，则∠BAC ′等于________．

（4） （5） 5．如图5，沿AC 方向开山修渠，为了加快施工进度，?要在小山的另一边同时施工．从AC 上的一点B 取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A 、C 、E 成一直线，那么开挖点E 离D 的距离约为_______米（精确到1米）．

6．等腰△ABC 的底边BC=8cm ，腰长AB=5cm ，一动点P 在底边上从点B 开始向点C 以0.25cm/秒的速度运动，当点P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点P?运动的时间应为________． 7．如图7

，在△ABC

中，

AB=AC ，∠BAD=20?°，且AE=?AD ，则∠CDE=________．

（7） （8） （9）

8．如图8，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，∠A=44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（ ） A ．44° B ．68° C ．46° D ．22°

9．如图9，要在离地面5m 处引拉线固定电线杆，?使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1=5.2m ，L 2=6.2m ，L 3=7.8m ，L 4=10m 的四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ）

A ．L 1

B ．L 2

C ．L 3

D ．L 4

10．如图10，在△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上一点，且BD=BC=AD ．?则∠A 等于（ ）

A ．30° B

．36

° C ．45° D ．72°

（10） （11） 11．同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，?是一跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB ．当跷跷板的一头A 着地时，∠OAC=25°，?则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA ′等于（ ） A ．25° B ．50° C ．60° D ．130°

12、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( )

A. ab=h 2

B. a 2+b 2=2h 2

C.

a 1+

b 1=h

1 D.

2

1a +21b =21

h

如图所示，在△ABC 中，AB=6，AC=9，AD ⊥BC 于点D ，M 为AD 上任一点，则MC 2

-MB 2

等于

二、能力提升 13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求它的底边长．

14．（计算型说理题）已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．?试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由。

15．如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，?给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；

（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

三、应用与探究

16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、?CA上的点．

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．

（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：不等式的概念

1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1)不等号的类型:

①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；

③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；

④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；

⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；

(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。

(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。

要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；

(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，那么。

基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）要点诠释：

(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。

知识点三：一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：

(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：

①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式的解法

1.解不等式：

求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用

（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时

不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

3.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：

在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左

规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质

2、3要倍加小心）

2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为1。这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的一般步骤及注意事项

变形名称具体做法注意事项

去分母在不等式两边同乘以分母的最小公倍数

（1）不含分母的项不能漏乘（2）注意分数线有括号作用，去掉分母后，如分子是多项式，要加括号（3）不等式两边同乘以的数是个负数，不等号方向改变。

去括号根据题意，由内而外或由外而内去括号均

可

（1）运用分配律去括号时，不要漏乘

括号内的项

（2）如果括号前是“—”号，去括号

时，括号内的各项要变号

移项把含未知数的项都移到不等式的一边（通

常是左边），不含未知数的项移到不等式

的另一边

移项（过桥）变号

合并同类项把不等式两边的同类项分别合并，把不等

式化为或的形式

合并同类项只是将同类项的系数相

加，字母及字母的指数不变。

系数化1 在不等式两边同除以未知数的系数，若

且，则不等式的解集为

；若且，则不等式的

解集为；若且，则不

等式的解集为；若且，

则不等式的解集为；

（1）分子、分母不能颠倒

（2）不等号改不改变由系数的正负

性决定。

（3）计算顺序：先算数值后定符号

4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。

6、常见不等式的基本语言的意义：

（1），则x是正数；（2），则x是负数；

（3），则x 是非正数；（4），则x是非负数；

（5），则x 大于y；（6），则x小于y；

（7），则x不小于y；（8），则x不大于y；

（9）或，则x，y同号；（10）或，则x，y异号；

（11）x，y都是正数，若，则；若，则；

（12）x，y都是负数，若，则；若，则

第4章图形与坐标

第六章图形与坐标

一、确定位置的方法：

确定物体在平面上的位置有两种常用的方法:

A．有序数对法：用一对有序实数确定物体的位置。这种确定方法要注意有序，要规定将什么写在前，什么写在后。

B．方向、距离法：用方向和距离确定物体的位置（或称方位）。这种确定方法要注意参照物的选择，语言表达要准确、清楚。

二、平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。

三、点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

四、在直角坐标系中如何根据点的坐标：找出这个点，方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。

五、如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？

根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：

1、以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；

2、以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；

3、以已知线段中点为原点；

4、以两直线交点为原点；

5、利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。

六、各象限上及x轴，y轴上点的坐标的特点：

第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）

x轴上的点纵坐标为0，表示为（x，0）；y轴上的点横坐标为0，表示为（0，y）

七、图形“纵横向伸缩”的变化规律:

1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图

形比原来的图形在横向：①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0

2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图

形比原来的图形在纵向：①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0

八、图形“纵横向位置”的变化规律:

1、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a，所得的图形形状、大

小不变，而位置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|个单位。

2、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b ，所得的图形形状、大小不变，而位置向上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|个单位。

平移变换的坐标变化规律是：左正右负，上正下负

九、图形“倒转与对称”的变化规律:

1、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x 轴对称。（关于x 轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数）

2、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y 轴对称。（关于y 轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数）

3、将图形上各个点的横坐标分别乘以-1，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于原点对称。（关于原点对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数）

十、图形“扩大与缩小”的变化规律:

将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n 倍（n>0），所得的图形与原图形相比，形状不变；①当n>1时，对应线段大小扩大到原来的n 倍；②当0

【例题精讲】

例1、如果点M （1-x ，1-y ）在第二象限，那么点N （1-x ，y-1）在第 象限， 点Q （x-1，1-y ）在第 象限。 例2、已知点P （x, x ），则点P 一定 （ ）

A ．在第一象限

B ．在第一或第四象限

C ．在x 轴上方

D ．不在x 轴下方

例3、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C 的坐标为（ ） A ．（3，7） B ．（5，3） C ．（7，3） D ．（8，2） 例4、（1）如果a －b ＜0,且ab ＜0,那么点(a ，b)在( )

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限,

D 、第四象限. （2）在平面直角坐标系上点A （n,1-n ）一定不在 （ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 例5、已知点P （x 2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x= . 例6：已知：)54,21(-+a a A ，且点A 到两坐标轴的距离相等，求A 点坐标．

例7：在平面直角坐标系中，已知：)2,1(A ，)4,4(B ,在x 轴上确定点C ，使得BC AC +最小．求出最小距离。

例8：已知点)1,5(-m A ，点B （4，1-n ），且直线y AB //轴，求m 的值及n 的取值范围。

例9：已知点)5,114(2

-+-n m m M ，则点M 在平面直角坐标系中的什么位置？

例10：已知：)3,4(A ，)1,1(B ，)0,3(C ，求三角形ABC 的面积

一次函数知识点总结

基本概念

1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________.

2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y

都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2

-1中，是一次函数的

有（ ）

（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个

3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：

（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y=2x - B ．y=

12

x - C ．y=2

4x - D ．y=2x +·2x - 函数5y x =-中自变量x 的取值范围是___________.

已知函数22

1

+-

=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523<

523≤

5、函数的图像

一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。

7、描点法画函数图形的一般步骤

第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法

列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质

一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零

当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，?直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小． (1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0） (2) 必过点：（0，0）、（1，k ）

(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小 (5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴

例题：.正比例函数(35)y m x =+，当m 时，y 随x 的增大而增大. 若23y x b =+-是正比例函数，则b 的值是 （ ） A.0 B.

23 C.23- D.32

- .函数y =(k -1)x ，y 随x 增大而减小，则k 的范围是 ( )

A.0

B.1>k

C.1≤k

D.1

东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是_______________．

平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是__________．

10、一次函数及性质

一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.

注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数

一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-

k

b

，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移） （1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-

k

b

，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ????<>00

b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ????<<0

b k 直线经过第二、三、四象限 （4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.

（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. （6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；

当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位. 例题：若关于x 的函数1

(1)m y n x

-=+是一次函数，则m = ，n .

.函数y =ax +b 与y =bx +a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）

将直线y ＝3x 向下平移5个单位，得到直线 ；将直线y ＝-x -5向上平移5个单位，得到直线 .

若直线a x y +-=和直线b x y +=的交点坐标为(8,m ),则=+b a ____________. 已知函数y ＝3x +1，当自变量增加m 时，相应的函数值增加（ ） Ａ．3m +1 Ｂ．3m Ｃ．m Ｄ．3m －1

11、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.

根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的

交点：（0，b ），

.即横坐标或纵坐标为0的点.

b>0 b<0 b=0

经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0

图象从左到右上升，y随x的增大而增大

经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<0

图象从左到右下降，y随x的增大而减小

若m＜0, n＞0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过（）

A.第一象限

B. 第二象限

C.第三象限

D.第四象限

12、正比例函数与一次函数图象之间的关系

一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当

b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.

13、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

（1）两直线平行：k1=k2且b1≠b2

（2）两直线相交：k1≠k2

（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：

（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；

（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；

（3）解方程得出未知系数的值；

（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.

15、一元一次方程与一次函数的关系

任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x轴的交点的横坐标的值.

16、一次函数与一元一次不等式的关系

任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.