2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值

第二节函数的单调性与最值

1．函数的单调性

理解函数的单调性及其几何意义．

2．函数的最值

理解函数的最大值、最小值及其几何意义．

知识点一函数的单调性

1．单调函数的定义

自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的

2.单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．

易误提醒求函数单调区间的两个注意点：

(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

必记结论

1．单调函数的定义有以下若干等价形式：

设x1，x2∈[a，b]，那么

①

f(x1)－f(x2)

x1－x2

>0?f(x)在[a，b]上是增函数；

f(x1)－f(x2)

x1－x2

<0?f(x)在[a，b]上是减函数．

②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数．

2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．

[自测练习]

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1

x

B ．f (x )＝(x －1)2

C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．

3．已知函数f (x )＝????

?

－x 2

－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )

A ．[－3,0)

B ．[－3，－2]

C ．(－∞，－2]

D ．(－∞，0)

知识点二 函数的最值

易误提醒 在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 必备方法 求函数最值的五个常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．

(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．

[自测练习]

4．函数f (x )＝1

1＋x 2(x ∈R )的值域是( )

A ．(0,1)

B ．(0,1]

C ．[0,1)

D ．[0,1]

5．已知函数f (x )＝x 2＋2x (－2≤x ≤1且x ∈Z )，则f (x )的值域是( )

A ．[0,3]

B ．[－1,3]

C ．{0,1,3}

D ．{－1,0,3}

考点一 函数单调性的判断|

1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1

x ＋1

D ．f (x )＝－|x |

给出解析式函数单调性的两种判定方法

1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． 2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．

考点二 函数的单调区间的求法|

求下列函数的单调区间： (1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；

(2)y ＝log 1

2(x 2－3x ＋2)．

函数单调区间的四种求法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0) B.????0，12 C ．[0，＋∞)

D.???

?1

2，＋∞ 考点三 函数单调性的应用|

函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：

1．求函数的值域或最值．

2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式． 4．求参数的取值范围或值． 探究一 求函数的值域或最值

1．(2015·高考浙江卷)已知函数f (x )＝?????

x ＋2x －3，x ≥1，

lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )

的最小值是________．

探究二 比较两个函数值或两自变量的大小

2．已知函数f (x )＝log 2x ＋1

1－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )

A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0

B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0

C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0

D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0

探究三 解函数不等式

3．(2015·西安一模)已知函数f (x )＝?

????

x 3，x ≤0，

ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值

范围是( )

A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

C ．(－1,2)

D ．(－2,1)

探究四 利用单调性求参数的取值范围

4．(2015·江西新余期末质检)已知f (x )＝?????

(2－a )x ＋1(x <1)，

a x (x ≥1)

满足对任意x 1≠x 2，都有

f (x 1)－f (x 2)

x 1－x 2

>0成立，那么a 的取值范围是( )

A.????32，2

B.????1，3

2 C ．(1,2)

D ．(1，＋∞)

函数单调性应用问题的四种类型及解题策略

(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(3)利用单调性求参数．

①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；

②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．

1.确定抽象函数的单调性以及解含“f ”的不等式

【典例】 (12分)函数f (x )对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，有f (x )>1.

(1)求证：f (x )是R 上的增函数；

(2)若f (4)＝5，解不等式f (2t －1)－f (1＋t )<2.

[思路点拨] (1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)结合题意，将含“f ”的不等式f (2t －1)－f (1＋t )<2转化为f (m )

[模板形成]

A 组 考点能力演练

1．(2015·吉林二模)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －

x

B ．y ＝x

C ．y ＝ln x

D ．y ＝|x |

2．(2015·河南信阳期末调研)下列四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝1

x 2＋1

；

③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝????

?

－x (x ≤0)，－1x (x >0).

其中值域为R 的函数有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 3．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与函数g (x )＝a

x ＋1

在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围为( )

A ．(0,1)∪(0,1)

B ．(0,1)∪(0,1]

C ．(0,1)

D ．(0,1]

4．已知函数f (x )＝?

????

x 2－4x ＋3，x ≤0，

－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )

A ．(2,6)

B ．(－1,4)

C ．(1,4)

D ．(－3,5)

5．(2016·浦东一模)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝

f (x )

x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋3

2是区间I 上的“缓增函数”，则

“缓增区间”I 为( )

A ．[1，＋∞)

B ．[0，3]

C ．[0,1]

D ．[1，3]

6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

<0，则f (3)，f (－2)，f (1)的大小关系为________．

7．设函数f (x )＝????

?

1，x >0，0，x ＝0，

－1，x <0，

g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．

8．(2015·长春二模)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．

9．已知f (x )＝x

x －a

(x ≠a )．

(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．

10．已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1

x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )

＝g (x )·h (x )．

(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝1

4时，求函数f (x )的值域．

B 组 高考题型专练

1．(2014·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－

x

D ．y ＝log 0.5(x ＋1)

2．(2013·高考安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝?

????

－x ＋6，x ≤2，

3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，

则实数a 的取值范围是________．

4．(2015·高考湖北卷)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝________时，g (a )的值最小．

1.解析：根据函数的图象知，函数f (x )＝1

x 在(0，＋∞)上单调递减，故选A.答案：A

2.解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－1

2，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)

上的增函数，当x >－1

2时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是????－12，＋∞.答案：???

?－1

2，＋∞ 3.解析：要使函数在R 上是增函数，

则有?????

－a

2

≥1，a <0，

－1－a －5≤a ，

解得－3≤a ≤－2，即a 的取值范围是[－3，－2]．答案：B

4.解析：因为1＋x 2≥1,0<1

1＋x 2

≤1，所以函数值域是(0,1]，选B.答案：B

5.解析：依题意，f (－2)＝f (0)＝0，f (－1)＝－1，f (1)＝3，因此f (x )的值域是{－1,0,3}，选D.答案：D

1.解析：当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈????0，3

2时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈????3

2，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－

1

x ＋1

为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.答案：C 2．判断函数g (x )＝－2x

x －1在(1，＋∞)上的单调性．

2.解：法一：定义法

任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1

则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)

(x 1－1)(x 2－1)，

因为1

所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)

∵g ′(x )＝－2(x －1)＋2x (x －1)2

＝2

(x －1)2>0， ∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 1.[解] (1)由于

y ＝?

????

－x 2

＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0， 即y ＝?????

－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2

＋2，x <0.

画出函数图象如图所示，

单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．

2.(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 1

2u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．

令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.

∴函数y ＝log 1

2(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．

又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝3

2

，且开口向上．

∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 1

2

u 在(0，＋∞)上是单调减函数，

∴y ＝log 1

2

(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．

解析：y ＝|x |(1－x )

＝????? x (1－x )(x ≥0)，－x (1－x )(x <0)＝?

????

－x 2＋x (x ≥0)，x 2－x (x <0) ＝??

?

－????x －122＋1

4

(x ≥0)，????x －122

－14

(x <0).

画出函数的草图，如图．

由图易知原函数在????0，1

2上单调递增． 答案：B

1.解析：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.

答案：0 22－3

2.解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋

1

1－x

在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0， ∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案：B

3.解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，且当x 1<0，

x 2>0时，f (x 1)f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2

答案：D

4.解析：依题意，f (x )是在R 上的增函数，于是有????

?

2－a >0，a >1，

(2－a )×1＋1≤a 1.解得3

2

≤a <2，故

选A.

答案：A

[规范解答] (1)证明：设x 1，x 2∈R 且x 10，

∴f (x 2－x 1)>1.(2分) 根据条件等式有

f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0， ∴f (x 1)

(2)由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，得f (a ＋b )－f (a )＝f (b )－1， ∴f (2t －1)－f (1＋t )＝f (t －2)－1，(8分) ∴f (2t －1)－f (1＋t )<2，即f (t －2)－1<2， ∴f (t －2)<3.

又f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，

∴f (t －2)<3＝f (2)．(10分) ∵f (x )是R 上的增函数，

∴t －2<2，∴t <4，故不等式的解集为(－∞，4)．(12分)

1.解析：因为定义域是R ，排除C ，又是增函数，排除A 、D ，所以选B. 答案：B

2.解析：依题意，注意到y ＝3－x 与函数y ＝????

?

－x (x ≤0)，－1x (x >0)的值域均是R ，函数y ＝

1

x 2

＋1

的值域是(0,1]，函数y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B. 答案：B

3.解析：注意到f (x )＝－(x －a )2

＋a 2

；依题意得?

????

a ≤1，

a >0，即0

答案：D

4.解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－

4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1

答案：B

5.解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋3

2的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)

上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－3

2x 2

＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋3

2x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．

答案：D

6.解析：由x 1，x 2∈(0，＋∞)时，f (x 2)－(x 1)x 2－x 1<0，

∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又f (－2)＝f (2)，1<2<3， ∴f (1)>f (－2)>f (3)． 即f (1)>f (2)>f (3)． 答案：f (1)>f (－2)>f (3)

7.解析：g (x )＝????

?

x 2

，x >1，0，x ＝1，

－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．

答案：[0,1)

8.解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1]

9.解：(1)证明：任设x 1

x 2＋2

＝

2(x 1－x 2)

(x 1＋2)(x 2＋2)

.

∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)

∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a

x －a

，

当a >0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)上单调递减，

∴0

10.解：(1)∵f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)1

x ＋3＝x ＋1x ＋3，

∴f (x )＝

x ＋1

x ＋3

，x ∈[0，a ](a >0)． (2)函数f (x )的定义域为????0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈????1，3

2， f (x )＝F (t )＝t

t 2－2t ＋4

＝

1

t ＋4t

－2. ∵t ＝4t 时，t ＝±2?????1，32，又t ∈????1，32时，t ＋4

t 单调递减，F (t )单调递增， ∴F (t )∈????

13，613.

即函数f (x )的值域为????13，613.

1.解析：y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝????12x 为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.

答案：A

2.解析：由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1

a <0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象

(图略)可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.

答案：C

3.解析：因为f (x )＝?????

－x ＋6，x ≤2，

3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，

＋∞)，所以?

????

a >1，

3＋log a 2≥4.解得1

答案：(1,2]

4.解析：f (x )＝????????x －a 22－a 2

4，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a

2处产生，即g (a )＝max ??????f (0)，f (1)，f ????a 2＝max ??????0，|1－a |，a 2

4＝max ?

??

???|1－a |，a 2

4，在同一坐标系中分

别画出y ＝|1－a |，y ＝a 2

4的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g (a )取得最小值，此时1－a

＝a 2

4

，则a ＝22－2(－2－22舍去)． 答案：22－2