不等式证明的若干方法(毕业论文维普查重百分之八)

本科生毕业论文(设计)

题目：不等式证明的若干方法

学生姓名：谢竹琴

学号： 201310010215

专业班级：应数13102班

指导教师：邓习军

完成时间： 2017年4月26日

目录

0前言 (1)

1中学数学证明不等式的常用方法 (1)

1.1比较法 (1)

1.1.1 作差法 (2)

1.1.2 作商法 (3)

1.2 分析法 (3)

1.3 综合法 (4)

1.4 反证法 (5)

1.5 放缩法 (6)

1.6 数学归纳法 (6)

1.7 换元法 (7)

1.7.1 三角换元法 (7)

1.7.2 比值换元法 (8)

1.8 公式法 (9)

1.9 分解法 (9)

1.10 构造法 (9)

1.10.1 构造方程法 (9)

1.10.2 构造函数模型 (10)

1.11 借助几何法 (10)

2高等数学中不等式证明 (11)

2.1利用函数极值 (11)

2.2利用函数单调性 (12)

2.3利用均值不等式 (12)

2.4利用Cauchy(柯西)不等式 (13)

2.5利用拉格朗日中值定理 (14)

2.6利用泰勒公式 (15)

2.7利用Jensen(詹森)不等式 (15)

2.8利用定积分的性质 (16)

2.9利用赫尔德不等式 (17)

3小结 (17)

参考文献 (18)

致谢 (18)

摘要：无论在初等数学还是在高等数学中，不等式都是十分重要的内容。本文系统的

总结概括了证明不等式的一些基本方法。其中包括比较法，分析法，数学归纳法，分解法，构造法和公式法等十一种在中学数学中频繁采纳的办法。此外，本文还概括了包括利用定积分性质，泰勒公式，均值不等式，拉格朗日中值定理等九种在大学数学中常见的证明不等式的方法。

关键词：中学数学，高等数学，不等式证明

abstract：Regardless of elementary mathematics in higher mathematics, the inequality is very important. This paper summarizes some of the basic methods of proving inequality. Includes comparison, analysis, mathematical induction, method, method of construction and formula 11 frequently adopted approach in middle school mathematics. In addition, also outlined in this paper include the use of the definite integral character, Taylor's formula, the average value inequality, Lagrange's mean value theorem are nine common way to proving inequalities in mathematics at the University.

Keywords：Middle school mathematics，higher school mathematics，proofs of inequality

0前言

其实在现实生活中我们能够看到的不等关系比相等关系要多。但就像在数学史中人们对等式的研究要早于对不等式的研究那样，在我们数学的学习过程中，我们也是先接触了等式的相关知识，再接触不等式的相关知识。

在学习数学的时候，我们发现不等式知识是一个非常重要的内容，无论是在中学还是大学都是核心内容。从某种程度上讲，能否利用所学知识灵活地解决较为复杂的不等式证明问题，集中反映了个人的数学基本功和解决实际问题的能力。但在本文中，我只系统的总结概括了证明不等式的常用基本方法。希望通过本文的研究与探讨，能够对一般不等式的证明的系统化的证明途径做到有迹可循。

1中学数学证明不等式的常用方法

1.1比较法

比较法的核心内容是把不等号两边的部分相除，把结果来与1比较（作商比较法），或者把不等号两边的部分相减，把它的结果与0来比较（作差比较法）。比较法是证明不等式最直接和简单的一种方法。 1.1.1 作差法

从不等式两边相减后得到的差是正数还是负数来判断不等式两边的大小，它的依据是:如果0a b ->，那么a b >；如果0a b -<,那么a b <。不等号的两边相减后，它的差，如果大于0则当作被减数的那部分大于当作减数的那部分。如果小于0，则当作被减数的那部分小于当作减数的那部分，因此作差法通常也称为求差法。

例1.1：若10<-（0>a 且1≠a ）。

分析：当我们用作差法来求证时，要分为1>a 和10<a 时，

因为 11,110>+<---=x a ． （2）当10<+<--=x a ．

综合（1）（2）知)1(log )1(log x x a a +>-． 例1.2：错误！未找到引用源。

222ab bc ac a b c ++≤++.

分析：本题中不等号两边是关于c b a ,,的多项式，作差后不适合用因式分解，考虑它特

殊的结构，可以作差后考虑配方法来判断符号。 证明: 因为 222()a b c ab bc ac ++-++

2222221

(222)2

a b ab b c bc a c ac =+-++-++- 2221

[()()()]02

a b b c c a =-+-+-≥ 所以 222ab bc ac a b c ++≤++. 1.1.2 作商法

作商法是把不等符号左右两边的项做比值,然后和1来比,比值看是比1大还是比1小。

例1.3：设+

∈R b a ,，求证：()

2

b a b

a a

b b a +≥。

分析：由于要进行比较的两个式子是幂的结构，我们可以结合函数的单调性来证明,所以采用作商比较法来证明会比较方便合理。 证明：作商得：

()

2

2

2

2

b a a b b a b a b a b a b

a

ab b

a ---+??

? ??=?=,

又由指数函数的性质

当b a =时,12

=?

?

?

??-b a b a ；当0>>b a 时,

1>b a ,02>-b a ,12

>??

? ??-b

a b a .

当0>>a b 时,10<

>??

?

??<--b

a b a b a .从而有 ()

2

b a b

a a

b b a +≥

1.2 分析法

分析法是假设题目给我们的是一个正确的不等式，我们思考让它正确的某些条件，继续思考能让这些条件正确的另外一些条件，这样的来慢慢递推，要让推导过程的步骤全部都可以逆推的，这就证明了题目给的不等式是对的。 例1.4：若0,0a b >>，且2c a b >+，求证：

c a c <<

分析：题目要我们证明的这个不等式从它的形式结构上来看，比较难找到它的规律性，

它和我们学习过的一些不等式定理和一些不等式的重要的结论也没有什么直接的联系，所以我们可以用分析法来找它的证明途径。

证明：证c a c <<

只需证a c -<，

即证a c -< 也就是22()a c c ab -<-， 即证22a ac ab -<-， 即证2()ac a a b >+， ∵0,2,0a c a b b >>+>，

∴2

a b

c +>

≥2c ab >即有20c ab ->， 又 由2c a b >+可得2()ac a a b >+成立，

∴ 所求不等式c a c <<

1.3 综合法

对于一些较难的不等式，我们用逆向思维，利用一些被证明过的不等式或不等式的一些性质，来推导出我们求证的东西，这就是综合法。

例1.5：错误！未找到引用源。，证明444

()22

a b a b ++≥（错误！未找到引用源。） 分析：这个题目如果我们准备用比较法来证明，那证明过程将会很麻烦，因为，要我们证明的不等式中有一个分式的四次方4

(

)2

a b +，把它展开后会比较复杂。但如果我们使用综合法来证明，从重要的已知不等式：222a b ab +≥出发，再合理的利用一些不等式的相关性质及“配方”的技巧来证明比较简单。

证明：∵错误！未找到引用源。（当且仅当22a b =时取等号）

两边同加4444222():2()()a b a b a b ++≥+，

即：44222

()22

a b a b ++≥ （1） 又：∵ 222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号） 两边同加22222():2()()a b a b a b ++≥+

∴ 222

()22

a b a b ++≥ ∴ 2224

()()22

a b a b ++≥ （2） 由（1）和（2）可得444

()22

a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）． 1.4 反证法

我们假设结论不成立，再经过一番逻辑正确的推论，得到和已经知道的对的东西不吻合的论断，来否决首先提出的假设，以此来确认此前所给假设是错误的，这就是反证法，反证法遵循的是否定的否定即为肯定的逻辑思维。

例1.6： 错误！未找到引用源。10<

a c c

b b a )1()1()1(---，，三数中，不可能都大于

41

证明：假设a c c b b a )1()1()1(---，，

三数都大于4

1

， 即41)1(>-b a ，41)1(>-c b ，41

)1(>-a c ．

又∵10<

∴2

1)1(>-b a ，2

1)1(>-c b ，2

1)1(>-a c ． ∴2

3)1()1()1(>-+-+-a c c b b a ① 又∵21)1(b a b a +-≤

-，21)1(c b c b +-≤-，2

1)1(a

c a c +-≤-． 以上三式相加，即得：

23

)1()1()1(≤

?-+?-+?-a c c b b a ② 显然①和②相互冲突，那我们的假定是错的，从而得证。

1.5 放缩法

放缩法是把不等式不等号的两边通过加上某些项或者通过减少某些项让我们得到的式子和原来的式子相差小但是可以让我们方便应用不等式性质的方法。适合用放缩法来解的题目一般比较灵活多样，要我们巧妙的来把它变形，所以变形这一步是放缩法的精髓。

例1.7：设n 是正整数，求证121

21112

1<+++++≤

n n n ． 分析：要我们求一个n 项分式n

n n 21

2111+

++++ 的范围，因为n 没有确定取值，所以它的和我们求不出来，这个题目，我们可以采用“化整为零”的方法，通过观察每一项的范围，再求整体的范围．

证明：由),,2,1(2n k n k n n =>+≥，得

n

k n n 1121<+≤． 当1=k 时，

n n n 11121<+≤； 当2=k 时，n

n n 1

2121<+≤

……

当n k =时，

n

n n n 1121<+≤． ∴1212111221=<+++++≤=n

n n n n n n ． 1.6 数学归纳法

带有字母n 的含不等号的题目的求证我们较多时候会用到这种方法，我们一般首先假设在1n =与n k =时含不等号的式子是正确的，再推导当1n k =+的时候含不等号的式子也是正确的，那么原来的含不等号的式子得到证明。 例1.8：求证：

111113

123224

n n n n +++???+>+++(n 为大于1的自然数). 分析：这个题目要我们求证的是多个分式的和，但由于的n 取值我们不知道，所以我们不方便用其他方法来证明，我们能够看到这个题目的形式比较像我们在高中学习的数学归纳法的形式，所以这里我们试着采用数学归纳法来证明比较好。

证明: （1）当2n =时,2117212212S =

+>++； （2）当n k =时,1324

k S >

； 下证当1n k =+时,原不等式也成立： 因为 111113123224

k k k k +++???+>+++, 所以

1111111112342(1)1232k k S S k k k k k k k k +??-=

+++???+-+++???+ ?+++++++??

111[]212(1)1k k k =

+-+++ 11

212(1)k k =

-++ 1

02(1)(21)

k k =

>++

所以 11324k k S S +>>

,即 11324

k S +> 由（1）（2）知原不等式成立.

1.7 换元法

换元法是把给的不等式里面的结构不太简单的项当做一个全部，通过一些更简单的字母来顶替，用顶替后的式子求解后换回去的方法。 1.7.1 三角换元法

选择合适的三角函数公式来换元，根据三角函数的性质来证明的方法叫三角换元法。

例1.9：已知0>a ，0>b ，且1=-b a ，+∈R b a 、．求证：1)1)(1(10<+

-

．

分析：题目要我们证明：1)1)(1(10<+

-

b a a a

，由这个的范围是0到1，我们可

以联想到正、余弦函数它们的值域。 证明：令θ=2sec a ，θ=2tan b ，且2

0π<

θ<，

则)tan 1

(tan )sec 1(sec sec 1)1)(1(12θ+θ?θ-θθ=+-

b

b a a a )sin cos cos sin ()cos cos 1(cos 2θθ

+θθ?θ-θθ=

θ=θ

θ?θθ?θ=sin cos sin 1cos sin cos 22

∵20π

<

θ<，∴1sin 0<θ<，即1)1)(1(10<+-

b a a a 成立． 1.7.2 比值换元法

对于那些有多个等比式不等式的题目,我们可以先假设一个未知数去代替这个比值,然后再将比值代入不等式中来解,这就是比值换元法。 例1.10：已知12123y z x +--=

=,求证：2223

414x y z ++≥.

分析：这个题目已知条件为三个相等的分式，我们可以设他们都等于一个未知数k,再化成三个等式，分别用k 来表示题目中的三个未知数，再将三个式子带入要证的式子，就能够证明出来。

证明: 设12

123

y z x k +--=

==, 于是 23,12,1+=-=+=k z k y k x , 把以上各式代入222x y z ++得:

222x y z ++=2

22k+1+(2k-1)(32)k ++（）

2533

14()44141414

k =+

+≥. 1.8 公式法

使用某些固定公式,能够帮助我们求证某些很难证明的不等式。

例1.11：已知c b a ,,为ABC ?的三边长,求证：444222222222c b a c b c a b a ++>++.

证明: 由海伦公式))()((c p b p a p p S ABC ---=

?,其中)(2

1

c b a p ++=

. 两边平方,移项整理得4442222222222)(16c b a c b c a b a S ABC ---++=?, 而0>?ABC S ,

所以 444222222222c b a c b c a b a ++>++.

1.9 分解法

按照规定法则，把一个数或者一个式子分成几个数或者几个式子，使比较难的问题变成容易求的一些基本问题，以便于各个击破,用更方便快捷的方法解题。 例1.12：已知2≥n ,且N n ∈,求证：)11(1

31211-+>++++

n n n n

. 证明: 因为 ??

?

??+++??? ??++??? ??+++=+++++

11131121)11(131211n n n n n n n n n n n n 1134232134232+?=+?????>+++++

= . 所以 ).11(1

31211-+>++++

n n n n

1.10 构造法

构造法是通过假定一定的数学模型来求解问题，所以用这方法的时候，一定要考虑好模型的选取。 1.10.1 构造方程法

构造方程法是先构造出和原不等式形式相同结果不同的式子，然后通过之间联系解题的方法。

例1.13:求证：),2(3tan sec tan sec 312

2Z k k ∈π

+π≠θ≤θ+θθ-θ≤ 证明：设θ

+θθ

-θ=tan sec tan sec 22y ，

则0)1(tan )1(tan )1(2=-+++-y y y θθ. 当 1=y ，命题显然成立.

当 1≠y 时，0)3)(13()1(4)1(22≥--=--+=?y y y y ，

∴33

1

≤≤y

综上所述，原不等式成立 1.10.2 构造函数模型

我们都知道，函数是中学数学中重要内容，原本看起来没函数关系的题目, 可以合理的构造成函数模型, 来进行求解。

例1.14: 已知++=αβγπ,证明2222cos 2cos 2cos x y z xy yz xz αβγ++≥++.

分析：这个题目我们可以看到它含有的未知数和参数都比较多，而且形式也比较复杂。这个时候我们可以通过构造函数模型，通过函数的相关知识来求解。 证明: 考虑函数222()2cos 2cos 2cos f x x y z xy yz xz αβγ=++---

= 2222(cos cos )2cos x y z x y z yz αββ-+++-, 因为 222=4(cos cos )4(2cos )y z y z yz αγβ?+-+-

24(sin sin )0y z αγ=--≤.

注意到开口向上，所以()f x ≥0恒成立.

所以 2222cos 2cos 2cos x y z xy yz xz αβγ++≥++.

1.11 借助几何法

我们利用数形关系,把一部分代数(或三角)不等式转化为几何问题来证明的方法称作几何法。

例1.15：已知a 是一个小于1的正数,证明

≥

证明: 作边长为1的正方形ABCD ,并用,EF GH 将它划分为

四个矩形,使,AE a AG b ==,

则可根据三角形两边之和大于第三边的道理,

得到,OA OC AC BO OD BD +≥+≥, 即：

（1

（2(1)+(2)即得

≥2高等数学中不等式证明

2.1利用函数极值

像()f x A ≥（或()f x A ≤）（在某区间上）这样的形式的不等式，我们利用函数极值的知识来证明它。

例2.1：证明不等式错误！未找到引用源。,其中0,0x b ≥>.

证明: 令,错误！未找到引用源。记A =

即要证()f x A ≤,由于()f x A ≤,由于()f x 在[0,]+∞上连续可导, 且有:

所以()f x 在[0,]+∞上只有一个极值点x

=

，并且由极值的充分条件可以得到，()f x 在x

=

得到的是只有一个极大值也是最大值，所以()f x 在[0,]+∞里具

有最大值，并且最大值

为f A ==,

故()f x A ≤=,即1

1

1111+-≤

+-+b b bx x 。 2.2利用函数单调性

这种方法一般需要我们组建一个新的辅助函数。 例2.2：证明不等式 e

e ππ>.

证明：要证 e

e ππ

>,只需证明ππln e >,即只要证明

π

π

ln ln >e e . 令)(ln )(e x x x x f ≥=

,则 0ln 1)(2<-='x

x

x f ,)(e x >. 因为 )(x f 在[)+∞,e 上单调递减， 又因为 π,即

π

π

ln ln >e e ，所以原题得证 2.3利用均值不等式

已知,a b 正数,

则：2

112a b a b

+≤≤≤

+.因为这个不等式中有各种平均数的关系,用这个式子能帮助解决很多不等式证明问题。

例2.3：已知,a b ,c 是正实数,且1a b c ++=,求证：111

(1)(1)(1)8a b c

---≥.

分析: 不等式右边的值是8，左边是3个差不多的式子相乘，容易想到，对左边3个因式分别使用均值不等式，可以得到3个2

连乘，又111a b c a a a -+-==≥

形可入手。

证明：因为,,a b c 是正实数,1a b c ++=,

所以

111a b c a a a -+-==≥

.

同理 11b b -≥ 11c c -≥

.

上面三个式子不等号的两侧都是大于零的数,可以各自求积,得:

111(1)(1)(1)=8a b c a b c

---≥ 当且仅当1

a=b=c=3

时取等号.

2.4利用Cauchy(柯西)不等式

柯西不等式 ∑∑∑===≤n

i i

n

i i

i n

i i b

a

b a 1

21

22

1

)(也可写作

∑∑∑===≤

n

i i

n i i n

i i

i b

a b

a 1

21

21

当被积

函数)(x f ,)(x g 在闭区间[]b a ,上连续,则有

dx x g dx x f dx x g x f b

a b a b a ???≤??

????222

)()()()(.

例2.4： 已知0)(≥x f ,在闭区间[]b a ,上一致连续,?=b

a

dx x f 2)(,R k ∈,求证:

4)cos )(()sin )((22≤+??b

a

b a

kxdx x f kxdx x f .

分析：这个题目在形式上就长得像柯西不等式，我们利用柯西不等式来证明它。 证明：由柯西不等式知,

22])sin )()(([)sin )((dx kx x f x f kx x f b

a

b

a

??=

kxdx x f dx x f b a

b

a

??≤2sin )()(

?=b

a

kxdx x f 2sin )(2.

同理 kxdx x f kxdx x f b

a

b a

??≤22cos )(2)cos )((,

所以

????==+≤+b a

b

a

b a

b a

dx x f dx kx kx x f kxdx x f kxdx x f 4

)(2]cos )[sin (2)cos )(()sin )((2222

2.5利用拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系，[1]拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式，而且拉格朗日公式有几种等价形式，在用拉格朗日中值定理证明不等式时要选择最合适的形式。以下叙述拉格朗日中值定理的几种等价形式. ⅰ) 拉格朗日中值定理: 若函数)(x f 满足如下条件： (1))(x f 在闭区间[]b a ,上连续； (2)(x f )在开区间()b a ,内可导； 则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得a

b a f b f f --=')

()()(ξ.

ⅱ)拉格朗日公式几种等价形式: (1)))(()()(a b f a f b f -'=-ξ, b a <<ξ; (2)[])()()()(a b a b a f a f b f --+'=-θ, 10<<θ; (3)h h a f a f h a f )()()(θ+'=-+, 10<<θ. 例2.5：设b a ≤<0，证明不等式

a

a

b a b b a b -≤≤-ln . 证明:显然等式当且仅当0>=b a 时成立. 下证:当b a <<0时,有

a

a

b a b b a b -<<-ln . 作辅助函数x x f ln )(=，

则)(x f 在[]b a ,上满足拉格朗日中值定理，故()b a ,∈?ξ， 使

ξ

1

ln ln =--a b a b .①

由于b a <<<ξ0, 所以

b

a 1

11>>ξ.② 由①②得

a

a b a b b 1ln ln 1<--<,

所以

a

a

b a b b a b -<<-ln . 2.6利用泰勒公式

泰勒定理：若函数f 在区间[]b a ,上n 阶连续可导，在()b a ,内存在

)1(+n 阶导函数，则对任意给定的[]b a x x ,,0∈，至少存在一点()b a ,∈ξ，使得

n

n x x n x f x x x f x x x f x f x f )(!

)()(!2)())(()()(00)(2

00000-++-''+-'+=

10)1()()!

1()

(++-++n n x x n f ξ. 例2.6：若)(x f 在[]1,0上二次可微,且),1()0(f f =1)(≤''x f .证明 2

1)(≤'x f . 证明：设[]1,0∈x ,由泰勒公式知

21)0)((21

)0)(()()0(x f x x f x f f -''+

-'+=ξ，101≤<

1

)1)(()()1(x f x x f x f f -''+-'+=ξ, 102<<≤ξx .②

由①-②得:

])1)(()([2

1

)(2221x f x f x f -''-''='ξξ

所以 ])1()()([21

)(2221x f x f x f -''+''≤'ξξ

])1([21

22x x -+≤

2)]1([21

x x -+≤

2

1

=.

得证.

2.7利用Jensen(詹森)不等式

定理： 若f 为[]b a ,上的凸函数，则对任意[]b a x i ,∈，),,2,1(0n i i =>λ, 11

=∑=n

i i λ,有 )()(1

1

i n

i i i n

i i x f x f ∑∑==≤λλ.

例2.7： 证明不等式 3

)(c b a c

b a ab

c c b a ++≥,其中c b a ,,均为正数.

证明：设0,ln )(>=x x x x f .

由)(x f 的一阶和二阶导数1ln )(+='x x f ,x

x f 1

)(=

'' 可知, x x x f ln )(=在0>x 时为严格凸函数,依詹森不等式有

))()()((3

1

)3(

c f b f a f c b a f ++≤++， 所以

)ln ln ln (31

3ln 3c c b b a a c b a c b a ++≤++++， c c b b a a c

b a

c b a ln ln ln 3

ln

)(++≤++++ 即c b a c

b a

c b a c b a ≤++++)3

(

. 又因为 33c

b a ab

c ++≤.

所以 c b a c b a c b a abc ≤++3

)

(，

不等式得证.

2.8利用定积分的性质

性质1 设f 为[]b a ,上的可积函数,若0)(≥x f , []b a x ,∈,则 ?≥b

a dx x f 0)(.

推论 若f 与g 为[]b a ,上的两个可积函数，且)()(x g x f ≤，[]b a x ,∈， 则有??≤b

a

b

a

dx x g dx x f )()(.

性质2 如果函数f 在[]b a ,上能够积分,那么f 在[]b a ,上也能够积分,且

dx x f dx x f b

a

b

a

??

≤)()(.

例2.8： 设)(x f 在[]1,0上连续,且0)(>x f .证明 ??≥10

1

)(ln )(ln dx x f dx x f .

证明：记?=1

)(dx x f A ,

因为 0)(>x f , 所以 0>A .

1)

()]1)((1ln[)(ln

-≤-+=A

x f A x f A x f . 两端积分

???=-≤

-1

1

1

01)(1ln )(ln dx x f A Adx dx x f . 因为 ???==≤1

10

10

)(ln ln ln )(ln dx x f A Adx dx x f .

所以 ??≥10

1

)(ln )(ln dx x f dx x f .

不等式得证

2.9利用赫尔德不等式

设(1,2,,,1,2,,)ij a i n j m =???=???是正实数,(1,2,,)j a j m =??? 是正实数,且

121m a a a ++???+=,则1

2

1212121

1

1

1

()()()n

m

n n n n

a a a a a a i i in i i im i i i i a a a a a a ====???≥???∑∑∑∑[9]

例2.9：已知,,a b c R +∈,且22229a b c +=,求证：2c c

a b

+≥证明: 利用赫尔德不等式,得

2222(

)()[()()]c c c c c a b a b c b +++ 23

≥ 3(21)=+ 即 2

29(

)27c c a b +≥.

所以

2c c

a b +≥不等式得证

3小结

不等式在数学整个学习和研究的过程中都是一个重要的内容，它涉及了初等数学和高等数学的许多方面，在数学中有着不可代替的作用。而不等式的证明则是不等式研究的重要内容.

因此，本文对不等式的一些常用的基本证明方法进行了系统的总结，并精选典型的

例题来说明其证明方法，以便大家对不等式的证明有更好的理解，找到恰当的方法来证

明。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系编.数学分析上册(第四版)[M].北京:高等教育出版社，2010

[2] 段达明.不等式证明的若干方法[J].教学月刊,2007，6（6）:57～59

[3] 李长明，周焕山．初等数学研究［M］．北京：高等教育出版社，1995

[4] 华东师范大学数学系编.数学分析下册(第四版)[M].北京:高等教育出版社，2010

[5] 钱吉林等主编.数学分析题解精粹(第二版)[M].崇文书局,2009

[6] 许克明.证明不等式的几种方法[N].四川师范大学学报（自然科学版）,1983

[7] 王建福等编著.高等数学同步辅导及习题全解[M].徐州:中国矿业大学出版社,2006

[8] 霍连林.著名不等式[M].北京:中国物质出版社,1994

[9] 刘绍学.数学选修4-5不等式选讲[M].北京:人民教育出版社,2005

[10]Tom M.Apostol.Mathematical Analysis(second Edotion)[M].Beijing:China Machine Press,1994

致谢：时光荏苒，光阴似箭。四年的大学学习就要结束了，大学四年经历了很多，也学

到了很多，这篇论文作为我大学四年数学学习的一个总结，经过两个多月的努力，我的

毕业论文终于完成了。一个月的时间查找资料完成初稿，还有一个多月的时间都是在老

师的指导下反复的修改，我感觉到能定稿这一步真的不容易。

首先我要感谢我的毕业论文指导老师邓习军老师，反复的指导我修改论文。在邓

老师的一次次的指导下，我一次次的发现自己准备定稿的论文的不足之处还是有很

多，在邓老师的严格要求下，我改正了很多，也学到了很多。另外我还要感谢在我写

论文期间给予过我帮助的其他老师和同学，以此表示衷心的感谢！