导数复习经典例题分类(含答案)

导数解答题题型分类

题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；

例1.已知函数321

()23

f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．

（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22

()3

f x a ->恒成立，求a 的取值范围．

例2.设2

2(),1

x f x x =

+()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；

（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。

例3.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，

32

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+-++>

（Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

例4.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.

（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）

恒成立，求实数x 的取值范围.

例5.已知函数23)(a

x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为510

2，函数

33)()(22

+-=a

bx x f x g ．

（1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；

（2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数

m 的取值范围．

题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；

例6．已知函数232

)1(31)(x k x x f +-

=，kx x g -=31

)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

例7.已知函数.3

13)(23a

x ax x f -+-=

（I ）讨论函数)(x f 的单调性。

（II ）若函数)(x f y =在A 、B 两点处取得极值，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值

范围。

例8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，其中a 为实数．

(Ⅰ)求导数f '(x)；(Ⅱ)若f '(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值； (Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围

例9.已知：函数c bx ax x x f ++-=23)(

（I ）若函数)(x f 的图像上存在点P ，使点P 处的切线与x 轴平行，求实数b a , 的关系式； （II ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围.

例10．设()y f x =为三次函数，且图像关于原点对称，当1

2

x =时，()f x 的极小值为1-．

（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：当),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．

例11．在函数)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点（1，f （1））处的切线与直线.076=++y x 平行，

导函数)('x f 的最小值为－12。（1）求a 、b 的值；（2）讨论方程m x f =)(解的情况（相同根算一根）。

例12．已知定义在R 上的函数),,()(3R c b a c bx ax x f ∈++=，当1-=x 时，)(x f 取得极大值3，

1)0(=f .

（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）已知实数t 能使函数f (x)(t,t 3)+在区间上既能取到极大值，又能

取到极小值，记所有的实数t 组成的集合为M.请判断函数()

()()f x g x x M x

=∈的零点个数.

例13.已知函数)(,42)1(3)(223x f k x k kx x f 若+-+-=的单调减区间为（0，4） （I ）求k 的值；

（II ）若对任意的)(52],1,1[2t f a x x x t =++-∈的方程关于总有实数解，求实数a 的取值范围。

例14.已知函数b a R x x bx ax x f ,,()(23∈-+=是常数)，且当1=x 和2=x 时，函数)(x f 取得极值. （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.

例15.已知f (x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋2．

⑴若f(x)在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值； ⑵若函数y ＝x 2＋x －5的图象与函数y ＝x

k 2

-的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．

例16. 设函数ax x x x f +-=

23

3

1)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值. （1）求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；

（2）当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围.

题型三：函数的切线问题；

例17.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围

为(1,3)，求：

（1）()f x 的解析式；

（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例18. 已知32()4f x x ax x =--（a 为常数）在2x =时取得一个极值， （1）确定实数t 的取值范围，使函数()f x 在区间[,2]t 上是单调函数； （2）若经过点A （2，c ）（8c ≠-）可作曲线()y f x =的三条切线，求c 的取值范围．

题型四：函数导数不等式线性规划结合；

例19.设函数3211

()(,)32

g x x ax bx a b R =+-∈，在其图象上一点(,)F x y 处的切线的斜率记为()f x ．

(1)若方程()f x 有两个实根分别为-2和4，求()f x 的表达式；

(2)若()g x 在区间[]1,3-上是单调递减函数，求22a b +的最小值。

例20.已知函数),(3

1)(23

R b a bx ax x x f ∈-+=

（1）若)(x f y =图象上的是)3

11

,1(-处的切线的斜率为)(,4x f y =-求的极大值。

（2）)(x f y =在区间]2,1[-上是单调递减函数，求b a +的最小值。

例21. 已知函数23)(nx mx x f +=（m ，R n ∈，n m >且0≠m ）的图象在))2(,2(f 处的切线与x 轴平行.

(I) 试确定m 、n 的符号；

(II) 若函数)(x f y =在区间[,]n m 上有最大值为2n m -，试求m 的值.

题型五：函数导数不等式的结合

例22.已知函数()()0≠++

=x b x

a

x x f ，其中R b a ∈,. （Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式； （Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性；

（Ⅲ）若对于任意的??

????∈2,21a ，不等式()10≤x f 在???

???1,41上恒成立，求b 的取值范围.

例23.已知函数321()1(,3

R f x x ax bx x a =+-+∈，b 为实数）有极值，且在1=x 处的切线与直线

01=+-y x 平行.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，

请说明理由；

例24.已知函数d cx x ax x f ++-=234

1

31)(（a 、c 、d ∈R ）满足0)1(',0)0(==f f 且0)('≥x f 在R

上恒成立。

（1）求a 、c 、d 的值；（2）若4

1

243)(2-+-=b bx x x h ，解不等式0)()('<+x h x f ；

例25.设函数2()()f x x x a =--（x R ∈），其中a R ∈

（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；

（3）当3a >时，证明存在[1,0]k ∈-，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x -≥-对任意的x R ∈恒成立。

导数解答题题型分类之拓展篇答案2014-05-31

题型一

经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：

第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；

经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）； 第三种：关于二次函数的不等式恒成立； 第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立）；参考例4； 例1、解：（Ⅰ）'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，

∴2x =是方程2220x bx -+=的一个根，解得3

2

b =.

令'()0f x >，则2320x x -+>，解得1x <或2x >.

∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞.

（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，

∴()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]

上的最小值，且 2(2)3f a =+. 若当[1, 3]x ∈时，要使22

()3

f x a ->恒成立，只需

22(2)3f a >+， 即222

33

a a +>+，解得 01a <<.

例2、解：(1)法一:(导数法)2222

4(1)224()0(1)(1)

x x x x x

f x x x +-+'==≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。

法二:22

0,022(),(0,1]111

x x f x x x x x =???

=

=?∈+?+??, 复合函数求值域. 法三:2222(1)4(1)22

()2(1)4111

x x x f x x x x x +-++=

==++-+++用 对号函数 求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.

由条件,只须[0,1][52,5]a a ?--，∴5205

451

2a a a -≤??≤≤?-≥?.

例3、解：（Ⅰ）/2

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

?=-?=+?， 解得32a b =-??=-?

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-

（Ⅲ）令2()()()(1)3[1,4]2

t

h x f x g x x t x x =-=-++-∈

∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2(2)26t x x x -≥-

（1）当[1,2)x ∈时2

26

,2x t x x

-≤- 解得1t ≤-； （2）当2x =时 t R ∈；

（3）当(2,4]x ∈时226

2x t x x

-≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞

例4、解：（Ⅰ）32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-

令'()f x =0,得[]124

0,2,13

x x ==

?- 因为0>a ，所以可得下表：

x

[)2,0-

(]0,1

'()f x + 0 - ()f x

↗ 极大 ↘

因此)0(f 必为最大值,∴50=）（f 因此5=b ， (2)165,(1)5,(1)(2)f a f a f f -=-+=-+∴>- ， 即11516)2(-=+-=-a f ，∴1=a ，∴ .52(23+-=x x x f ）

（Ⅱ）∵x x x f 43)(2-='，∴0(≤+'tx x f ）等价于0432≤+-tx x x ， 令x x xt t g 43)(2-+=，

则问题就是0)(g ≤t 在]1,1[-∈t 上恒成立时，求实数x 的取值范围，为此只需?

??≤≤-0)10

)1(（g g ，即

???≤-≤-0

532

2x x x x ， 解得10≤≤x ，所以所求实数x 的取值范围是[0，1].

例5、解：∵223)(x a x f ?='，∴由33

22=?x a

有a x ±=，即切点坐标为),(a a ，),(a a --

∴切线方程为)(3a x a y -=-，或)(3a x a y +=+，整理得023=--a y x 或023=+-a y x ∴

5

10

2)1(3|22|2

2=

-+--a a ，解得1±=a ，∴3)(x x f =，∴33)(3+-=bx x x g 。（1）∵b x x g 33)(2-='，)(x g 在1=x 处有极值，∴0)1(='g ，即03132=-?b ，解得1=b ，∴33)(3+-=x x x g （2）∵函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，∴033)(2≥-='b x x g 在区间]1,1[-上恒成立，∴0≤b ，

又∵)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上恒成立，∴)1(42g mb b ≥+-，即b mb b 3442-≥+-，∴3+≥b m 在]0,(-∞∈b 上恒成立，∴3≥m ∴m 的取值范围是[)+∞,3 题型二答案：

经验1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种：

第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题； 第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；

特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；

经验2：函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；

第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；

例6解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，

∴0)1()(2>+-='x k x x f 在区间),2(+∞上恒成立

即x k <+1恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k

（2）设3

12)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ， )1)(()1()(2

--=++-='x k x k x k x x h

令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，

①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意…②当1

x ),(k -∞ k )1,(k

1 ),1(+∞ )(x h ' + 0 —

0 + )(x h ↗ 极大值3

12623-+-

k k ↘ 极小值21-k ↗ 由于

02

1

<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2

<---k k k ∴???>--<0

2212k k k ，解得31-

例7、解：（1）,63)(2x ax x f -='a x x x f 200)(21==='或得，当a>0时，

),2

(,)2,0(,)0,(+∞-∞a

a 递减递增递增；

当a<时，),0(,)0,2

(,)2,(+∞-∞递减递减a

a 递减。

（2）当a>0时

x )0,(-∞ 0

)2,0(a a 2 ),2

(+∞a

)(x f ' + 0 － 0 + )(x f 增 极大值 减 极小值 增

此时，极大值为.3

14)2(,31)0(2a a

a f a f -+-=-=极小值为…………7分

当a<0时

x )2,(a -∞ a

2 )0,2

(a 0

),0(+∞ )(x f ' － 0 + 0 － )(x f 减 极小值 增 极大值 减

此时，极大值为.3

1)0(,314)2(2a f a a

a f -=-+-=极小值为因为线段AB 与x 轴有公共点所以

,0)

1)(4)(3(0)2()0(3

≤+--≤?a a a a a f f 即解得]4,3[)0,1[?-∈a

例8、解：（Ⅰ）423)(2--='ax x x f

（Ⅱ）由43)(.242

1)(,210)1(223--='+--=∴==-'x x x f x x x x f a f 得，由0)(='x f 得34

=x 或

x =1-又4509(),(1),(2)0,(2)0,3272

f f f f =-

-=-==()f x ∴在[-2，2]上最大值29，最小值2750

-

（Ⅲ）423)(2

--='ax x

x f ， 由题意知(2)0,480,(2)0,840,2 2.266,22,6f a f a a a a ?

?'-≥+≥???

'≥?-≥?-≤≤????-≤≤?

?-≤≤?

例9、解：（I ）设切点P ),( y x ∴0|23)(2

=+-='= x x b ax x x f , ∴0232

=+-b ax x ,因为存在极值点，所以01242≥-=?b a ，即b a 32≥。（II ）因为1-=x ，3=x 是方程0

23)(2

=+-='b ax x x f 的根，

所以9,3-==b a ，∴c x x x x f +--=93)(23。

∴)3)(1(3963)(2

-+=--='x x x x x f ,∴1,3,0)(-<>>'x x x f ；∴31,0)(<<-<'x x f ∴)(x f 在1-=x 处取得极大值，在3=x 处取得极小值. 函数图像与x 轴有3个交点，∴0

)3(0)1(<>-??

?f f ，

∴)27,5(-∈c

例10解：（Ⅰ）设32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ 其图像关于原点对称，即()()f x f x -=- 得 3232ax bx cx d ax bx cx d -+-+=----∴0 0b d ==， 则有 3()f x ax cx =+ 由

2()3f x ax c '=+ ， 依题意得 102f ??'= ???∴043=+c a ① ，11

1128

2f a c ??=+=- ???② 由①②

得 4,3a c ==- 故所求的解析式为：3()43f x x x =-.（Ⅱ）由2()1230f x x '=->解得：1

2

x >

或1

2x <- ， ),2

1(),1(∞+?∞+ ∴),1(∞+∈x 时，函数()f x 单调递增；设()()1122,,,x y x y 是

),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点，且21x x >，则有21y y >∴过这两点的直线的斜率

2121

0y y k x x -=>-.

例11、解：（1）)'3(.0,12,123)('2>-=∴-+=a b b ax x f 且的最小值为 又直线,63)1(',6076-=+=-=++b a f y x 因此的斜率为)'6(.12,2-==∴b a （2）由（1）知)2)(2(6126)(',122)(23-+=-=∴-=x x x x f x x x f ，列表如下：

x )2,(--∞ 2- )2,2(- 2

),2(+∞

f ′

+ 0 － 0 + f （x ）

极大值 极小值

所以，函数f （x ）的单调增区间是)2,(--∞和),2(+∞

)

'12(.

,2828;,28,28;,28,28.28)2(2)(,28)2(2)(,18)3(,28)2(,10)1(方程有三根时当方程有二根时或当方程有一根时或当上的极小值是

在上的极大值是在<<--==-<>∴-===--==-==-m m m m m f x x f f x x f f f f

例12、解：（1）由1)0(=f 得c=1

??

?=+--=-=+=-+=3

1)1(0

3)1(,3)('2

'

b a f b a f b ax x f ，得3,1-==b a ∴13)(3+-=x x x f

（2）)1)(1(3)('+-=x x x f 得1-=x ，1=x 时取得极值.由)3,(1+∈-t t ，)3,(1+∈t t 得

.12-<<-t ∴)1,2(--=M .31)()(2-+==x

x x x f x g ，2'1

2)(x x x g -=，∴当M x ∈时，

0)('

x f x g ∈=

,)

()(的零点有且仅有1个

例13、解：（I ）x k kx x f )1(63)(2+-=' 又1,0)4(=∴='k f （II ）t t t f 123)(2-='∴0)(10;0)(01<'<<>'<<-∴t f t t f t 时时。

,3)1(,5)1(-=-=-f f 5)(-≥∴t f 8258522-≥++a a x x 8

1558258-≤-≤-∴a a 解得 例14、解：（Ⅰ）123)(2-+='bx ax x f ， 依题意0)2()1(='='f f ，即??

?=-+=-+,

01412,0123b a b a 解得43,61=-=b a ∴x x x x f -+-=234

3

61)(（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线)(x f y =与)

02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，即024

3

6123=---m x x x 在[]0,2-上有两个不同的实数解。设

=)(x ?m x x x ---2436123，则22

3

21)(2--='x x x ?， 由=')(x ?0的4=x 或1-=x ，当)

1,2(--∈x 时0)(>'x ?，于是)(x ?在[]1,2--上递增；当)0,1(-∈x 时0)(<'x ?，于是)(x ?在[]0,1-上递减. 依

题意有1213001213310)0(0)1(0)2(<≤?????

?

???

?≥<-≥??????≤>-≤-m m m m ???∴实数m 的取值范围是12

13

0<

≤m . 例15、解：⑴f '(x)＝3x 2＋2bx ＋c ，由题知f '(1)＝0?3＋2b ＋c ＝0，f(1)＝－1?1＋b ＋c ＋2＝－1∴b＝1，c ＝－5，f(x)＝x 3＋x 2－5x ＋2，f'(x)＝3x 2＋2x －5

f(x)在[－3

5，1]为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数∴b＝1，c ＝－5符合题意 ⑵即方程：x

k x x 2

52-=

-+恰有三个不同的实解：x 3＋x 2－5x ＋2＝k(x≠0) 即当x≠0时，f (x)的图象与直线y ＝k 恰有三个不同的交点，由⑴知f (x)在]3

5,[--∞为增函数，

f (x)在]1,35[-为减函数，f (x)在(1，＋∞)为增函数，又27

229

)35(=

-f ，f (1)＝－1，f (2)＝2∴27

229

1<<-k 且k≠2

例16、解：（1）由题意 a x x x f +-='2)(2 当21+=x 时，)(x f 取得极值， ∴所以

0)21(=+'f ()

()

0212212

=++-+∴a ∴即 1-=a

此时当21+x 时，0)(>'x f ，

)21(+f 是函数)(x f 的最小值。

（2）设)()(x g x f =，则 033123=---b x x x ，x x x b 33

1

23--=……8分

设x x x x F 33

1

)(23--=，b x G =)( 32)(2--='x x x F ，令032)(2=--='x x x F 解得1-=x 或3=x 列表

如下：

x 3-

)1,3(-- 1- )3,1(- 3 )4,3( 4 )(x F '

+ 0 __

0 +

∴函数)(x F 在)1,3(--和)4,3(上是增函数，在)3,1(-上是减函数。

当1-=x 时，)(x F 有极大值3

5

)1(=-F ；当3=x 时,)(x F 有极小值9)3(-=F

函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，∴函数)(x F 与)(x G 的图象有两个公共点

35320<<-∴b 或 9-=b {}9)3

5

,320(--∈∴ b 题型三答案：

经验1：在点处的切线，易求；

经验2：过点作曲线的切线需四个步骤；

第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数； 例17、解：（1）由题意得：2'()323(1)(3),(0)f x ax bx c a x x a =++=--<

∴在(,1)-∞上'()0f x <；在(1,3)上'()0f x >；在(3,)+∞上'()0f x < 因此()f x 在01x =处取得极小值4-

∴4a b c ++=-①，'(1)320f a b c =++=②，'(3)2760f a b c =++=③

由①②③联立得：169a b c =-??

=??=-?

，∴32()69f x x x x =-+-

（2）设切点Q (,())t f t ，,()()()y f t f t x t -=-

232(3129)()(69)y t t x t t t t =-+--+-+-

222(3129)(3129)(69)t t x t t t t t t =-+-+-+--+ 22(3129)(26)t t x t t t =-+-+-过(1,)m - 232(3129)(1)26m t t t t =-+--+- 32()221290g t t t t m =--+-=

令22'()66126(2)0g t t t t t =--=--=，

求得：1,2t t =-=，方程()0g t =有三个根。

需：(1)0(2)0g g ->?????--+-

>-?

故：1116m -<<；因此所求实数m 的范围为：(11,16)-

例18、解：（1）∵函数()f x 在2x =时取得一个极值，且2()324f x x ax '=--，

(2)12440f a '∴=--=，2a ∴= 2()344(32)(2)f x x x x x '∴=--=+-． 23x ∴=-或2x =时，2()0,3f x x '=<-或2x >时，2

()0,23

f x x '>-<<时，

()0f x '<， ()f x ∴在2(,],[2,)3

-∞-+∞上都是增函数，在2

[,2]3-上是减函数． ∴使()

f x 在区间[,2]t 上是单调函数的t 的取值范围是2

[,2)3

-

)(x F 9- 35 9- 3

20-

x y

P

11O （2）由（1）知32()24f x x x x =--．设切点为00(,)P x y ，则切线的斜率2

000()344k f x x x '==--，所以切线方程为：322

000000(24)(344)()y x x x x x x x ---=---．

将点(2,)A c 代人上述方程，整理得：3200028880x x x c +++=-．

∵经过点(2,)(8)A c c ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，∴方程3200028880x x x c -++-=有三个

不同的实根． 设320000()2888g x x x x c =--++，则

2

000002()6168023

g x x x x x '=-+=?==或，0()g x 在2(,)3-∞上单调递增，在2(,2)3上单调递减，

在(2,)+∞上单调递增， 故2()0,

3

(2)0,

g g g g ?

=>???=

极大极小 得：280827c -<<-． 题型四答案： 例19、解：（1）根据导数的几何意义知2()`()f x g x x ax b ==+-由已知-2，4是方程20x ax b +-=的

两个实根由韦达定理，2424a b -+=-??-?=-? ∴2

8

a b =-??=?，2()28f x x x =--

（2）()g x 在区间[]1,3-上是单调递减函数，所以在[]1,3-区间上恒有 2()`()0f x g x x ax b ==+-≤，即2()0f x x ax b =+-≤在[]1,3-区间上恒成立 这只需满足(1)0(3)0f f -≤??≤?即可，也即139a b b a +≥??-≥?而22a b +可视为平面区域139a b b a +≥??-≥?

内的点到原点距

离的平方由图知当2

3

a b =-??=?时，22a b +有最小值13；

例20、解：（1）bx ax x x f -+=233

1

)( b ax x x f -+='∴2)(2由题意得

3,13113

14421311)1(4)(=-=??

????-=-+-=-+∴-=-='b a b a a f x f 且 x x x x f 33

1

)(23--=∴ )3)(1()(-+='x x x f 令3,10)(21=-=='x x x f 得

由此可知 x )1,(--∞ －1 )3,1(- 3 ),3(+∞ )(x f ' + 0 － 0 +

)(x f ↗ 极大值3

5

↘ 极小值－9 ↗

1-=∴x 当时)(x f 取极大值3

5

（2）]2,1[)(-=在x f y 上是减函数 ]2,1[02)(2-≤-+='∴在b ax x x f 上恒成立

??

?≤+-≥-+???≤-+≤-+????≤'≤-'∴0440

120440210)2(0)1(b a b a b a b a f f 即 作出不等式组表示的平面区域如图

当直线b a z +=经过点)2,2

1(-P 时 b a z +=取最小值23

例21、解：(I)由图象在))2(,2(f 处的切线与x 轴平行，

知0)2(='f ，∴m n 3-=① …………3分

n

0 2

3

又m n <，故0m . ………… 4分 (II)令06323)(22=-=+='mx mx nx mx x f , 得0=x 或2=x …………………… 6分

易证0=x 是)(x f 的极大值点，2=x 是极小值点（如图）. ………… 7分 令0)0()(==f x f ，得0=x 或3=x . …………………………………………8分 分类：(I)当30≤

由①，②解得9

1

=m ，符合前提30≤

(II)当3>m 时，n m m m f x f 24max )()(+==,∴224n m n m m -=+. ③

由①，③得 019323=-+-m m m . 记193)(23-+-=m m m m g , ∵06)1(3963)(22>+-=+-='m m m m g ,

∴)(m g 在R 上是增函数，又3>m ，∴026)3()(>=>g m g ,

∴0)(=m g 在()

+∞,3上无实数根.综上，m 的值为9

1

=m .

题型五答案：

例22、解：（Ⅰ）2()1a

f x x

'=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-．由切点(2,(2))P f 在

直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =．

所以函数()f x 的解析式为8

()9f x x x

=-+．

（Ⅱ）解：2()1a

f x x

'=-．

当0a ≤时，显然()0f x '>（0x ≠）．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数．

当0a >时，令()0f x '=，解得x a =±．

当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表： x (,)a -∞- a - (,0)a - (0,)a a (),a +∞ ()f x ' ＋ 0 － － 0 ＋ ()f x ↗ 极大值 ↘ ↘ 极小值 ↗

所以()f x 在(,)a -∞-，(),a +∞内是增函数，在(,0)a -，(0,)+∞内是减函数．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1

[,2]2

a ∈，

不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤?????，即3944

9a

b a b ≤-≤-?

????，对任意的1[,2]2a ∈成立．从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7

,]4

-∞．

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例23、解：（1）321()1,3

f x x ax bx =+-+ 2()2,f x x ax b '∴=+-由题意(1)121,f a b '∴=+-=

2.b a ∴= ① .02)(,)(2有两个不等实根方程有极值=-+='∴b ax x x f x f

22440,0.a b a b ∴?=+>∴+> ②

由①、②可得，220.

20.a a a a +>∴<->或故),0()2,(+∞--∞∈ a （2）存在8.3a =- 由（1）可知0)(,2)(2='-+='x f b ax x x f 令，

22122,2.x a a a x a a a ∴=--+=-++

x

),(1x -∞ 1x ),(21x x 2x )(2∞+x )(x f ' +

－ 0

+

)(x f 单调增 极大值

单调减

极小值

单调增

1123

1)(,)(,2223222=+-+=

=∴ax ax x x f x f x x 则取极小值时， 063022

22=-+=∴a ax x x 或.

220,20,0().

x a a a a =-++==若即则舍 22

2222222

2360,()0,220,40.

80,

4,

24

2.

3

x ax a f x x ax a ax a a x a a a a '+-==∴+-=∴-=≠∴=∴-++=∴=-<- 若又

)(,3

8

x f a 使得函数存在实数-=∴的极小值为1.

例24、解：（1）2

1'()2f x ax x c =-+，(0)0,'(1)0f f == ，0102d a c =??∴?-+=??，即012

d c a =???=-??，

从而2

11'()22f x ax x a =-+-。'()0f x ≥ 在R 上恒成立，0

114()042

a a a >?

?

∴??=--≤??，

即20

1()04

a a >??

∴?-≤??，解得11

,,044a

c d ===。 （2）由（1）知，2111'()424f x x x =-+，231

()424

b h x x bx =-+- ，

∴不等式0)()('<+x h x f 化为2211131

0424424

b x x x bx -++-+-<，

即2

1()022b x b x -++<，∴1()()02

x x b --<

（a ）若12b >，则不等式0)()('<+x h x f 解为1

2x b <<；

（b ）若1

2b =，则不等式0)()('<+x h x f 解为空集；

（c ）若12b <，则不等式0)()('<+x h x f 解为12

b x <<。

例25、解：（Ⅰ）当1a =时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且 2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．

所以，曲线2(1)y x x =--在点(22)-，

处的切线方程是25(2)y x +=--，整理得 580x y +-=．

（Ⅱ）解：2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．

令()0f x '=，解得3

a

x =或x a =．由于0a ≠，以下分两种情况讨论．

（1）若0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：

x 3a ??- ???∞， 3a 3a a ??

???

，

a ()a +，∞ ()f x '

-

+ 0

-

因此，函数()f x 在3a x =

处取得极小值3a f ?? ???，且34327a f a ??

=- ???

； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． （2）若0a <，当x 变化时，()f x '的正负如下表：

x

()a -∞，

a

3a a ?? ???， 3a 3a ??+ ???，∞ ()f x '

-

+

-

因此，函数()f x 在x a =处取得极小值()f a ，且()0f a =；

函数()f x 在3a x =处取得极大值3a f ?? ???，且34327a f a ??

=- ???

．

（Ⅲ）证明：由3a >，得13a

>，当[]10k ∈-，时，cos 1k x -≤，22cos 1k x -≤． 由（Ⅱ）知，()f x 在(]1-∞，上是减函数，要使22(cos )(cos )f k x f k x --≥，x ∈R 只要22cos cos ()k x k x x --∈R ≤即22cos cos ()x x k k x --∈R ≤ ①

设2

2

11()cos cos cos 24g x x x x ??=-=-- ?

?

?，则函数()g x 在R 上的最大值为2． 要使①式恒成立，必须22k k -≥，即2k ≥或1k -≤．所以，在区间[]10-，上存在1k =-，使得

22(cos )(cos )f k x f k x --≥对任意的x ∈R 恒成立．