第一讲 连续性

随机事件

一、教学目标

让学生学习事件，随机事件及其性质和运算

二、教学重点

随机事件的定义、性质及运算

三、教学难点

随机事件的运算

四、教学内容和要点

一、随机事件

自然现象和社会现象是丰富多彩的，人类也在探询其中的规律和奥秘。在众多的现象中，人们发现，有一些在一定条件下必然出现，比如向上抛出的硬币必然会落下，悬浮的磁针总是指向南北，这些现象称为确定性现象。还有一些现象，比如，在相同的条件下抛出同一枚硬币，落下后的结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷前不能确定将要出现的结果是什么。这类现象虽然不能事前预知确切的结果，但是，经过人们长期实践和研究后发现，在大量重复实验情况下，它的结果又呈现出某种规律性。这种在个别试验中结果呈现出不确定性，而在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象，叫做随机现象。概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

§1随机试验与随机事件

(一) 随机试验

试验包括各种各样的科学实验，但我们在这里最关心的是如下这类试验∶

试验E1∶抛一枚硬币，观察正面H (币值面) 和反面T出现的情况；

试验E2∶抛一枚硬币三次，观察正面H和反面T出现的情况；

试验E3∶抛一枚硬币三次，观察正面H出现的次数；

试验E4∶从一批灯泡中随意抽取一只，测试它的寿命；

试验E5∶抛掷一枚骰子，观察出现的点数；

试验E6∶从一个装着红(R)、黄(Y)、兰(B)三种颜色球的袋子里，任意摸出一个球，观察其颜色。

这些试验都具有以下三个特征∶

1．试验可以在相同条件下重复进行；

2．各次试验的结果不一定相同，但事先能够明确试验的所有可能的结果；

3．进行某次试验之前，不能确定那一个结果会发生。

在概率论中，同时具备这三个特点的试验叫随机试验，用E表示。我们是通过对随机试验结果的分析来研究随机现象的。为简便起见，本书以后所提到的试验都指的是随机试验。

(二) 样本空间

对于随机试验，尽管每次试验之前，不能确定哪一个结果会发生，但是，事先能够明确试验的所有可能的结果，这些所有可能结果的全体叫做试验E的样本空间，记为S。样本空间的元素，也就是E的每个结果，叫做样本点。

下面就是前几个试验的样本空间∶

试验E1∶S1={H，T}

试验E2∶S2={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}

试验E3∶S3={0，1，2，3}

试验E4∶S4={ t | t ≥0 }

试验E5∶S5={1，2，3， (6)

试验E6∶S6={R、Y、B}

从这几个试验可以看出，样本空间的元素由试验目的所确定，同样的试验过程，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样。

(三) 随机事件

在进行随机试验时，我们关心的是那些满足某种条件的样本点所组成的集合。这些集合是试验E的样本空间S的子集合，它实际上是一些可能发生也可能不发生的事情，我们称之为随机事件，简称事件，用大写英文字母表示。

例1-1已知10个同类产品有8个正品2个次品，从中任意抽取三个，研究出现正品和次品的情况，则以下事情可能会出现∶

事件1∶被抽到的三个产品全是正品，不妨记为A；

事件2∶被抽到的三个产品有一个次品两个正品，记为B；

事件3∶被抽到的三个产品有两个次品一个正品，记为C；

事件4∶被抽到的三个产品至少有一个是次品，记为D；

事件5∶被抽到的三个产品至少有两个是正品，记为E；

可以看出，A、B、C、D、E都是随机事件，而A、B、C事件和D、E事件又有所不同，前者是这个试验中最简单的随机事件，叫做基本事件，它是由一个样本点组成的单点集；后者D是由基本事件B和C组成，E是由基本事件A和B组成。

此外还可以看到，事件“被抽到的三个产品全是次品”是不可能发生的，称之为不可能事件，记作V ；事件“被抽到的三个产品至少有一个正品”是肯定要发生的，称之为必然事件，记作U 。为讨论问题方便起见，我们把不可能事件和必然事件也当作随机事件看待。

§2 事件之间的关系与运算

从例1-1 中可以看到，在随机试验中，有些事件是比较简单的，有些则比较复杂。我们有必要搞清楚事件之间的关系。 （一） 事件的包含与相等

设有A 、B 两个事件，如果A 发生，那么B 一定也发生，则称B 包含A ，记作B ?A ；这时也说A 包含于B ，记作 A ?B 。在例1-1 中有 E ?A 和B ?D 。(图1-1)

如果事件A 包含事件B ，同时事件B 也包含事件A ，也就是A 、B 相互包含，则说事件A 与B 相等，或称为等价，记作A=B 。(图1-1)

（二） 事件的和与积

事件A 或B 至少有一个发生，称为A 与B 的和，也称为并，记作A+B 或A B 。(图1-2)在例1-1 中有 D=B+C 和E=A+B 。

依此类推，称“ n 个事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生”的事件为这 n 个事件

的并，记作

n n

i i

A A A A

+++=∑= 211

或 n i n

i A A A A 211

==；称“可列个事件

,,,,

21n A A A 中至少有一个发生”的事件为这可列个事件的并，记作

++++=∑∞

=n i i A A A A 211

或 n i i A A A A 211

=∞

= 。

事件A 与B 同时都发生，称为A 与B 的积，也称为交，记作A B 或A B 。(图1-2)

依此类推，称“ n 个事件n A A A ,,,21 同时都发生”的事件为这 n 个事件的交，

记作

n n

i i

A A A A

211

=∏= 或

n n

i i

A A A A

211

==；称“可列个事件

,,,,21n A A A 同时都发生”的事件为这可列个事件的交，记作

n i i

A A A A

211

=∏∞

= 或

n i i

A A A A

211

=∞

= 。

（三） 对立事件与事件的差

事件“非A ”或“A 不发生”称为A 的对立事件，记作A (图1-3)。

对立事件也叫逆事件。易知A =A ，也就是说A 也是A 的对立事件，而且在一次试验中，A 和A 不会同时发生(即它们互相排斥)，但A 和A 至少有一个发生，就是说A 和A 满足∶

U

A A V A A =+=

事件A 发生而B 不发生，称为A 同B 的差，记作A-B ，由这个定义可知B A B A =-。(图1-3)

（四） 互不相容事件

如果事件A 与事件B 不可能同时发生，即 A B=V ，则 A 和B 是互不相容事件。(图1-4)

例 1-2 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。记事件A ={1}，即“出现点数1”； 事件B ={1，3，5}，即“出现奇数点”；事件C ={1，2}，即“出现的点数不超过2”；事件D ={1，2，3，4}，即“出现的点数不超过4”；事件E ={1，2，3，4，5}，即“出现的点数不

超过5”； 事件F ={2， 4}，即“出现小于5的偶数点”，则B ?A ，B +D =E ，B C =A ，B-D ={5 }，B ={2，4，6}=“出现偶数点”， B 与F 互不相容。

（五） 事件的运算规律 1、 关于并的运算

A +B=

B +A (加法交换律) A +(B +

C )=(A +B )+C (加法结合律) A +A=A (加法重迭律) A +A = U (互补律) A +U= U (加法吸收律) A +V=A (加法吸收律) 2、关于交的运算 A B=B A (乘法交换律) A (B C )=(A B ) C (乘法结合律) A A=A (加法重迭律) A A =V (互逆律) A U=A (乘法吸收律) A V=V (乘法吸收律) 3、关于并同交的分配律

A (

B +

C )=A B +A C (第一分配律) A +B C =(A +B )(A +C ) (第二分配律) 4、关于并、交、逆的对偶律 (德·摩根律)

B A B A =+ B A AB +=

注意 B A AB ≠ ，从图1-5上可以很清楚地看到这一点。

（六）集合与事件

事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然可以按照集合论里集合之间的关系和集合运算来处理。表1-1表达了它们之间的对应关系。

表1-1

注：上述事件、集合的记号也可以通用，比如：S、Ω既可以表示样本空间也可以表示必然事件，V、Φ既可以表示空集也可以表示不可能事件。为方便起见，在本章以下的内容中，不再严格区分这两类符号。

例 1-3设A、B、C是三个事件，用A、B、C的事件式分别表示

1．A、B、C都发生；

2．A 、B 、C 至少两个发生； 3．A 、B 、C 中不多于两个发生。 解 1． 显然是 ABC

2． 包括“两个发生”和“三个都发生”这两种情况∶ABC C B A BC A C AB +++，

我们还可以利用运算规律化简∶

)

()()(ABC C B A ABC BC A ABC C AB ABC

C B A BC A C AB +++++=+++

AUC UBC ABU C

B B A B

C A A C C AB ++=+++++=)()()(

AC BC AB ++=

3．包括“一个都没发生”、“只发生了一个”、“发生了两个”这三种情况∶ C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A ++++++

这样讨论比较麻烦，不妨换一个角度来考虑，事件“A 、B 、C 中不多于两个发生”，也就是“除了三个都发生这种情况以外，其他全是”。这样，事件就可以表示为C B A ??。用事件的运算规律进行化简，可以验证这一点。

五、采用的教学方法和手段

教学方法 主要采用讲述法，有时让学生参加讨论。 教学手段 可以用多媒体，用ppt 文件投影辅助。