【数学】甘肃省天水市秦安县第一中学2015届高三第一次模拟考试(理)

甘肃省天水市秦安县第一中学2015届高三

第一次模拟考试（理）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目、试卷类型用2B 铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一个选项是符合题目要求的.

1．已知集合 {}

{}|2,,1,0,2,3M x x xR N =<=-，则 M

N =

A.{0,1,2}

B. {-1,0,1,2}

C.{-l,0,2.3 l

D.{0,l,2,3} 2.设复数z 满足(1 -i)z=2i ，则z=

A.-1+i

B.-1-i

C.1+i

D. l-i

3．等比数列 {}n a 的前n 项和为 n S ，已知 321510,9S a a a =+=，则 1a = A.

13 B ． 13- C. 19 D. 19

- 4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面

α， n ⊥平面 β.直线 l 满足

,n,,l m l l l αβ⊥⊥??, 则

A ．//αβ，且//l α B. αβ⊥，且l β⊥

C ．

α与 β相交，且交线垂直于l D ． α与β相交，且交线平行于l ，

5．已知实数x ，y 满足 (01)x

y

a a a <<<，则下列关系式恒成立的是

A.

22

1111

x y >++ B. 22

ln(1)ln(1)x y +>+ C. 3

3

x y > D. sin sin x y >

6．设函数f(x)满足 ()()cos f x f x x π+=+，当 0x π≤<时，()0f x =，则 11(

)3

f π

=

A ．

12 B ．

C.0 D ． 1

2

-

7．若多项式 2108910018910(1)(1)(1)(1)x x a a x a x a x a x ++=+++???+++++，则 8a = A.45 B.9 C.- 45 D.-9

8. 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布2(105,10)N ，已知

(95105)0.32P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）

A ．10

B ．9

C ．8

D ．7

9．过抛物线C ：22x y =的焦点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，若抛物线C 在点B 处的切线斜率为1，则线段||AF =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10. 已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)f =3，且()f x 的导数()f x '在R 上恒有

()2f x '<()x R ∈，则不等式()21f x x <+的解集为（ ）

A ．(1,)+∞

B ．(,1)-∞-

C ．(1,1)-

D ．(,1)-∞-∪(1,)+∞

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.） 11．阅读右侧程序框图,输出的结果i 的值为 。

12．8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲

学校至少分到两个名额的分配方案为_________（用数字作答） 13．已知球与棱长均为3的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积

为 。

14．在三角形ABC 中，已知AB=4，AC=3 ，BC=6 ，P 为BC 中

点，则三角形ABP 的周长为___________.

15．定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足：(1)(2)2()f x f x =；

（2）当42≤≤x 时， ()13f x x =--，则集合

{}()(34)S x f x f ==中的最小元素是 .

三、解答题：（本大题共6小题,满分75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

（第11题图）

16．（本题满分12分）已知函数)sin()(?ω+=x A x f (∈x R ，0>A ，0>ω，2

0π

?<

<)图

象如图，P 是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为原点．且2||=OQ ，25||=OP ，2

13

||=PQ ． （1）求函数)(x f y =的解析式；

（2）将函数)(x f y =图象向右平移1个单位后得到函

数)(x g y =的图象，当]2,0[∈x 时，求函数

)()()(x g x f x h ?=的最大值．

17．（本小题满分12分）

如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥ 平面SCD ，AD =DC =2，BC =1，又SD =2，∠SDC=120°. （1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；

（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值. 18．（本小题满分12分）某游乐场有A 、B 两种闯关游戏，

甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A ，丙丁两人各自独立进行游戏B ．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为13

，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为12

．

（1）求游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关成功的人数的概率； （2）记游戏A 、B 被闯关总人数为X ，求X 的分布列和期望．

19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 中,111,2,n n n a a a +=+=且 （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S 求。

20．（本小题满分13分）

已知函数21

()()2

g x f x x bx =+-，函数()ln f x x a x =+在x =1处的切线l 与直线2

x y +=垂直.

S

A

B

C

D

（第17题图）

（1）求实数a 的值；

（2）若函数()g x 存在单调递减区间，求实数b 的取值范围；

（3）设1212()x x x x <、是函数()g x 的两个极值点，若72

b ≥，求12()()g x g x -的最小值.

21．（本小题满分14分）如图，F 1，F 2是椭圆C ：

2

212

x

y +=的左、右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两个动点，且线段

AB 的中点M 在直线l ：x ＝－1

2

上．

（1）若B 点坐标为(0，1)，求点M 的坐标； （2）求22F A F B ?的取值范围．

(第21题图)

参考答案

选择题

填空题11．7 12．15 13．π2

9 14．7+

214

15、6

16．解（Ⅰ）由余弦定理得5

1|

|||2cos ==

∠OQ OP POQ ，

∴5

2

sin =∠POQ ，得P 点坐标为)1,21

(．

∴ 1=A ，

6)212(42=-=ωπ

，3

π

ω=． 由1)6sin()21(=+=?πf ，20π?<<得3

π

?=．

∴)(x f y =的解析式为)3

3

sin()(π

π

+

=x x f ．

（Ⅱ）x x g 3

sin

)(π

=，

x x x x x x g x f x h 3

cos 3sin 233sin 213

sin

)3

3

sin(

)()()(2π

πππ

π

π

+=

+

=?= 4

1)632sin(2132sin 43432cos 1+-=+-=

ππππ

x x x

． 当]2,0[∈x 时，]6

7,6[632π

πππ-∈-x ， ∴ 当2632πππ=-x ，即1=x 时4

3

)(max =x h ．

17．（本小题满分12分）

解：过点D 作DC 的垂线交SC 于E ,以D 为原点, 分别以,,DC DE DA 为,,x y z 轴建立空间上角坐标系。

00120,30SDC SDE ∠=∴∠=,又2SD =,则点S 到y 轴的距离为1,到x 轴的距离

则有(0,0,0)D

,(S -,(0,0,2)A ,(2,0,0)C ,(2,0,1)B 。 （4分）

（1）设平面SAB 的法向量为(,,)n x y z =，

(2,01),(2)AB AS =-=-- ．

则有2020

x z x z -=???--=??

，取x =

(3,5,n

=，又(3,

SC =，

18、解：(1) 2

1211137

233233436

P ??=???+??= ???。。。。。4分

（2）X 可取0，1，2，3，4 22114

0)=332236

P X ==

???（， 112212112211121)+=3322332236

P X C C ==????????（，

1122111112112211132)++=33223322332236

P X C C ==

???????????（， 11221211111163)+=3322332236

P X C C ==????????（，

11111

4)=

332236P X ==

???（。。。。。。。。。。。。。。。8分

X 的分布列为：

∴4120123436363636363

EX =

?????++++=．

，。。。。。。。12分

19、解：（1）n n n a a 21=++ ………………………………………………. ①

∴1212+++=+n n n a a ………………………………………..…②

②-①得n n n a a 22=-+

又 11=a 12=∴a ……………………………………….1分 故：当n 为奇数时

113422)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

122242++++=-- n n 3

1

231+?=n …………………………………………………..4分

当n 为偶数时

224422)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- 1222242++++=-- n n 3

1

231-?=n

故???????-?+?=3123

13

1231n n n a 分为偶数为奇数7.............................n n

（2）31

231312313123131231212212-?++?++-?++?=-n n n S

)2222(31

2122n n ++++=-

分12.....................................................).........12(3

2

2-=n

20. 解： ∵()ln f x x a x =+，…………1分 ∵l 与直线20x y +=垂直，∴

1a =. …………3分

（2）()ln g x =()

0g x '<在()0,+∞上有解，0x >设()()211u x x b x =--+，则()010u =

>，所以b 的取值范围是

()3,+∞. ………8分

01,t <<∴

…………13分

21．(Ⅰ) 因为点M 是AB 的中点，所以可设点A ),1(m -.

代入椭圆方程2

212x y +=，得22-

=m 或2

2=m ， 则A 点坐标为)22,1(-

-或)2

2

,1(-，所以M 点坐标为 )422,21(--或)4

2

2,21(+-．

，，，，，，4分 (Ⅱ) 当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为x ＝－

1

2

，此时 22F A F B ?＝

118

．，，，，5分 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k ，M (－1

2

，m ) (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．

由 2

21122221,2

1,

2

x y x y ?+=????+=?? 得

(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)12

12

y y x x -?

-＝0， 则

－1＋4mk ＝0，

故

(第18题图)

于是

22F A F B ?＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2

＝x 1x 2＋y 1y 2－(x 1＋x 2)＋1

＝x 1x 2＋y 1y 2＋2

＝x 1x 2＋(14m x 1＋2818m m +)(14m x 2＋281

8m m +)＋2

＝ 222

3(81)8

8(18)

m m +++．………………12分 令t ＝1＋8m 2，则1＜t ＜8，于是

22F A F B ?＝238

8t t + ＝18(3t ＋8

t )．

所以，22F A F B ?的取值范围为，258）．………..14分