重庆大学自动控制原理课程设计——倒立摆系统的控制器设计.(DOC)

自动控制理论课程设计

倒立摆系统的控制器设计

学生姓名：

指导教师：杨欣

班级：自动化7班

重庆大学自动化学院

二O一三年一月

课程设计指导教师评定成绩表

指导教师评定成绩：

指导教师签名：年月日

重庆大学本科学生课程设计任务书

目录

引言 (6)

1 数学建模 (7)

1.1直线一级倒立摆数学模型概述 (7)

1.2直线一级倒立摆的物理模型 (7)

1.3系统实际模型 (9)

2 开环响应分析 (10)

3 根轨迹法设计 (11)

3.1原系统的根轨迹分析 (11)

3.2根轨迹校正 (12)

3.2.1确定期望闭环零极点 (12)

3.2.2设计控制器 (13)

3.2 Simulink仿真 (18)

4 频率特性法 (18)

4.1 频率响应分析 (18)

4.2 频率响应设计 (20)

4.3 Simulink仿真 (24)

5 PID控制分析 (25)

6 总结 (26)

参考文献： (26)

引言

随着科学技术的迅速发展，新的控制方法不断出现，倒立摆系统作为检验新的控制理论及方法有效性的重要实验手段得到广泛研究。倒立摆控制系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统，作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过倒立摆直观地表现出来。倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置，并且使之没有大的振荡和过大的角度和速度。当摆杆到达期望的位置后，系统能客服随机扰动而保持稳定的位置。通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发生中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。倒立摆系统按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）。按照倒立摆的结构类型可以分为：悬挂式、直线、环形、平面倒立摆等。本设计是以直线一级倒立摆为被控对象来进行设计的。通过对直线一级倒立摆系统的研究，不仅可以轻松解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。

倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法。

1 数学建模

1.1直线一级倒立摆数学模型概述

直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一。系统的建模可分为两种：机理建模和实验建模。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。而实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。因此，本文采用机理模型对直线一级倒立摆进行建模分析。

1.2直线一级倒立摆的物理模型

若忽略空气阻力和各种摩擦力，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，其受力情况如图1所示。

图1

若将小车和摆杆分别进行受力分析，则可得到两者的受力分析图，如图2和图3所示。根据牛顿力学，建立起小车和摆杆的运动方程，进而得到小车各种传递函数。

图2（小车受力分析）

图3（摆杆受力分析）

表<一> 倒立摆数学模型符号说明

1）对于小车

小车水平方向的合力

（1-1）

摆杆水平方向的合力

（1-2）

摆杆水平方向的运动方程

（1-3）

N x b F x M --= )sin (22

θl x dt

d m N +=θθθθsin cos 2 ml ml x m -+=F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2

2)对于摆杆 摆杆力矩平衡方程

（1-4） （注：因为θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，所以等式前面有负号） 摆杆垂直方向的合力

（1-5）

摆杆垂直方向的运动方程

（1-6） 水平方向的运动方程

（1-7） 垂直方向的运动方程

（1-8）

用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后，两个运动方程如下（其中 ）：

（1-9） （1-10） 摆杆角度和小车位移的传递函数：

（1-11） 摆杆角度和小车加速之间的传递函数：

（1-12）

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

（1-13）

其中 （1-14）

1.3系统实际模型

将表一中的实际参数代入，可得到系统的实际模型： 摆杆角度对于小车位移的传递函数：

（1-15）

sin cos Pl Nl I θθθ

--=222(cos )sin cos d P mg m l ml ml dt θθθθθ

-==--θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2 θθθcos sin )(2x ml mgl ml I -=++φπθ+=x ml mgl ml I =-+φφ)(2u ml x b x

m M =-++φ )(mgl s ml I mls s X s -+=

Φ222

)()()(2

2()()()s ml

A s I ml s mgl

Φ=+-s q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s

q

ml s U s -+-++=

Φ2324

2

)()()()(])())([(22ml ml I m M q -++=26705

.00102125.002725.0)()(22

-=

Φs s s X s

摆杆角度对于小车加速度的传递函数：

（1-16）

摆杆角度对于小车所受外界作用力的传递函数： （1-17）

小车位移对于小车加速度的传递函数：21

)()(s

s V s X = （1-18） 2 开环响应分析

数学模型建立好之后，我们得到摆杆角度对于小车加速度的传递函数式（1-16）

和小车位移对于小车加速度的传递函数式（1-18）。当输入为小车加速度时，利用Matlab 的Simulink 仿真工具进行仿真，可得到原系统的开环传递阶跃响应曲线和脉冲响应曲线。 仿真系统的结构如图4

图4

2

()0.02725

()0.01021250.26705s A s s Φ=-30942.29169.270883167.035655.2)()(2

3

--+=Φs s s s U s

响应曲线如下：

图5 小车位置阶跃响应图6 小车位置脉冲响应

图7 摆杆角度阶跃响应图8 摆杆角度脉冲响应从以上4幅响应曲线可知，当输入为小车加速度时，摆杆角度和小车位置的阶跃响应和脉冲响应都是发散的，系统是不稳定的。下面对以小车加速度为输入，以摆杆角度为输出的系统，对开环传递函数

26705

.0

0102125

.0

02725

.0

)

(

)

(

2-

=

Φ

s

s

V

s设计校正装置，使系统稳定并具有符合条件的良好的性能指标。

3 根轨迹法设计

3.1原系统的根轨迹分析

根据传递函数式（1-16）利用Matlab得到原系统

的根轨迹如图9。两个极点为p1=5.1136，p2=-5.1136，无零点。Matlab编程如下：>> s=tf('s');

2

()0.02725

()0.01021250.26705

s

A s s

Φ

=

-

>> G0=0.02725/(0.0102125*s^2-0.26705); >> rlocus(G0)

图9

从根轨迹上可看到，有一条根轨迹起始于右半平面的极点，两条根轨迹沿着虚轴向无限远处延伸，即无论增益如何变化，系统都不稳定。我们必须增加控制器对其进行校正。

3.2根轨迹校正

设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足 最大超调量 调节时间 3.2.1确定期望闭环零极点

由传递函数式（1-16）可知，原系统是二阶振荡系统，根据系统的性能指标要求，

令p σ=0.1，由超调量：

1.02

1/==--ζπζσe

p （3-1）

得到ζ=0.591155，取ζ≈0.6 由ζ=βcos 可得，13.53=β° 又由调节时间：

%

10%≤p σ误差带）%2(5.0s t s =

n

s t ζω5

.4=

=0.5s （△=±2%） （3-2）

将ζ=0.6代入式（3-2）得到n ω=15

特征根为s 1,2=12-±-ζωζωn n （3-3） 将ζ=0.6，n ω=15代入式（3-3）得到期望主导极点s 1,2 =-9±12j

3.2.2设计控制器

从图9根轨迹中可知，根轨迹并不通期望主导极点s1和s2，因此需要对系统进

行超前校正，设控制器为：

c

c

p s z s K

s Gc ++=)( （3-4） 根据对系统动态性能要求确定了一对期望的闭环共轭附属主导极点s1和s2，现

取S1，如图10所示。引用串联校正装置后，由于s d 在根轨迹上，所以应当满足相角条件，即

）（d 0s -180G c ∠?±=? （3-5）

图10

根据正弦定理有

)

sin(sin γβπγ

ω--=

n c z （3-6）

)

sin()

sin(c c n c p ?γβπ?γω---+=

（3-7）

∑=-?=-=2

1

1042.112)(i d Pi S s G （3-8）

）

（d 0s -180G c ∠?=?=67.58° 根据最大α法，)(2

1

c ?βπγ--=

=29.645° （3-9） 代入式（3-6）及式（3-7）得

)

sin(sin c n c z ?γγ

ω+=

=7.47875 (3-10)

)

sin()

sin(γ?γωc n c p +=

=30.08524 （3-11）

校正后的系统的开环传递函数为：

26705.00102125.002725

.008524.30)47875.7()()(20-++==s s s K s G s G Q c

根据幅值条件|)()(d d s H s G |=1，可得到K=175.643

则得到控制器为

08524

.30)

47875.7(643.175)(++=

s s s G c

将控制器装入原系统，我们可以得到校正后系统的根轨迹如图11：

clear;

num=[0.02725];

den=[0.0102125 0 -0.26705]; numlead=-7.47875; denlead=-30.08524; [Z,P,K]=tf2zp(num,den); Za=[Z;numlead]; Pa=[P;denlead];

[num2,den2]=zp2tf(Za,Pa,K); sys=tf(num2,den2); rlocus(sys)

图11 KK=175.643;

sys2=zpk(Za,Pa,KK*K);

sysc=sys2/(1+sys2);

t=0:0.005:5;

step(sysc,t)

得到响应曲线，如图12

图12

从图12可以看到，系统稳定性较好，响应速度快，但超调量较大。因此对控制器进行进一步的改进。将增加的这一对零极点左移，以减少闭环零点和极点的影响，经过多次尝试，找到零点为-8和极点为-50，增益为500时，系统有较好的性能指标。响应曲线如图13，根轨迹如图14。

图13

图14

由图14的响应曲线可看到，校正后的系统能在0.5秒内稳定，具有很好的稳定性，

并且超调量有大大的减小，平稳性增强。

3.2 Simulink 仿真

建立仿真模型如下：

图15

仿真结果如下：

图16

由图16可看到，系统的超调量较小，调节时间短，性能指标较好，系统校正成功。

4 频率特性法

4.1 频率响应分析

经过前面的模型建立，得到实际系统的开环传递函数为：

2()0.02725

()0.01021250.26705

s A s s Φ=

-

其中输入为小车的加速度V (s)，输出为摆杆的角度Φ(s)。

题目要求：

利用频率特性法设计控制器，使得校正后系统的性能指标满足：

(1)系统的静态位置误差常数为10；

(2)相位裕量为50 ；

(3)增益裕量等于或大于10 分贝。

利用MATLAB 绘制系统的Bode 图（图17）和奈奎斯特图（图18）。>> s=tf('s');

>> G0=0.02725/(0.0102125*s^2-0.26705);

>> figure;margin(G0);

>> grid on

图17

图18

由图18可以看出，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半平面。

根据奈奎斯特稳定判据可知系统不稳定，需要设计控制器来校正系统。

4.2 频率响应设计

直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题： 考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为：

2()0.02725

()()0.01021250.26705s G s V s s Φ=

=

-

设计控制器()c G s ，使得系统的静态位置误差常数为10，相位裕量为50度，增裕量等于或大于10 分贝。 根据要求，控制器设计如下：

1) 选择控制器，上面我们已经得到了系统的Bode 图，可以看出，在中频段，Bode 图是以-20的斜率穿过零分贝轴，因此给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：

T

s T s Kc T s T s K Ts Ts K s Gc 11

1111)(++

=++

=++=ααα

α （4-1） 则已校正系统具有开环传递函数G (s )G (s )令：

120.02725*

()()0.01021250.26705

K G s K G

s s ==- （4-2）

式（4-2）中*c K K α=

2) 根据稳态误差要求计算增益K

1026705

.0-s 0102125.002725

.01s 1s lim 20=++=→T T K Kp s ）（α （4-3）

所以K 98=

于是： 120.02725*98

()0.01021250.26705G s s =

-

3) 在MATLAB 中画出1()G s 的Bode 图：