2018年高考数学二轮复习第一部分专题七系列4选讲第一讲坐标系与参数方程教案选修4_4

第一讲 坐标系与参数方程(选修4－

4)

[考情分析]

坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，由于本部分在高考中考查的知识点较为稳定，在备考时应重点关注极坐标系中直线的方程，或者求解极坐标系中曲线的某个特征值，及已知直线和圆的参数方程判断直线和圆的位置关系，求最值问题等．本部分内容在备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题.

[真题自检]

1．(2017·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.

(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；

(2)设点A 的极坐标为(2，π

3)，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．

解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4

cos θ

.

由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2

＋y 2

＝4(x ≠0)．

(2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积

S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·|sin(α－π3)|＝2|sin(2α－π3)－

3

2

|≤2＋ 3. 当α＝－π

12时，S 取得最大值2＋ 3.

所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 2．(2016·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy

中，曲线C 1的参数方程为???

??

x ＝a cos t ，

y ＝1＋a sin t ，

(t 为

参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；

(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中 α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .

解析：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2

＋(y －1)2

＝a 2

，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．

将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2

－2ρsin θ＋1－a 2

＝0.

(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组?

??

??

ρ2

－2ρsin θ＋1－a 2

＝0，

ρ＝4cos θ.

若ρ≠0，由方程组得16 cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2

＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2

θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2

＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.

当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上．所以a ＝1.

3．(2016·高考全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为??

?

x ＝3cos α，

y ＝sin α

(α为

参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ?

????θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；

(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解析：(1)C 1的普通方程为x 2

3＋y 2

＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.

(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．

因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，

d (α)＝

|3cos α＋sin α－4|2

＝2??????sin ? ????α＋π3－2， 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为? ??

??32，12.

简单曲线的极坐标方程及应用

[方法结论]

1．圆的极坐标方程

若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2

－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2

0－r 2

＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；

(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；

(3)当圆心位于M ?

????a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 2．直线的极坐标方程

若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；

(3)直线过M ?

????b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 3．极坐标与直角坐标的互化方法

[题组突破]

1．(2017·太原模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线

C 的极坐标方程为ρcos ?

??

??θ－π

3

＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．

(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

解析：(1)由ρcos ? ????θ－π3＝1，得ρ? ??

??12cos θ＋32sin θ＝1. 因为???

??

x ＝ρcos θ，

y ＝ρsin θ，

所以C 的直角坐标方程为12x ＋3

2

y ＝1，即x ＋3y ＝2.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ? ????

233

，π2.

(2)由(1)可知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为?

????

0，233.

所以P 点的直角坐标为? ?

?

??1，33， 则P 点的极坐标为?

????

233

，π6. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π

6，ρ∈(－∞，＋∞)．

2．(2017·西安模拟)已知曲线C ：ρ＝338sin 2

θ＋1

，直线l ：ρ(cos θ－3sin θ)＝12.

(1)求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；

(2)设点P 在曲线C 上，求到直线l 的距离最小的点P 的坐标． 解析：(1)由ρ＝

338sin 2

θ＋1

，得8ρ2sin 2θ＋ρ2＝27,8y 2＋x 2＋y 2

＝27，即x 227＋y 2

3

＝1.

由ρ(cos θ－3sin θ)＝12，得ρcos θ－3ρsin θ－12＝0，即x －3y －12＝0. (2)设点P (33cos θ，3sin θ)，点P 到直线l 的距离d ＝|33cos θ－3sin θ－12|

2

＝

????

??6sin ? ????π3－θ－122

＝

3??????sin ? ????π3－θ－2，若点P 到直线l 的距离最小，则θ＝－π6，此时点P ? ????92，－32.

[误区警示]

1．极坐标方程与直角坐标方程互化时注意等价性．

2．在极坐标系中，若极角θ∈R ，则任一点的极坐标不唯一．

参数方程

[方法结论]

几种常见曲线的参数方程 (1)圆

以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是???

??

x ＝a ＋r cos α，

y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．

当圆心在(0,0)时，方程为?

??

??

x ＝r cos α，

y ＝r sin α，其中α是参数．

(2)椭圆

椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是???

??

x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．

椭圆x 2b 2＋y 2

a 2＝1(a ＞

b ＞0)的参数方程是?

??

??

x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．

(3)直线

经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是?

??

??

x ＝x 0＋t cos α，

y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．

[题组突破]

1．(2016·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2

＋y 2

＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；

(2)直线l 的参数方程是?

??

?? x ＝t cos α，

y ＝t sin α(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l

的斜率．

解析：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2

＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)由直线l 的参数方程???

??

x ＝t cos α，

y ＝t sin α

(t 为参数)，消去参数得y ＝x ·tan α.

设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为kx －y ＝0.

由圆C 的方程(x ＋6)2

＋y 2

＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5. 又|AB |＝10，由垂径定理及点到直线的距离公式得

|－6k |1＋k

2

＝

25－? ??

??1022

，即36k 2

1＋k 2＝904，

整理得k 2

＝53，解得k ＝±153，即l 的斜率为±153

.

2．(2017·惠州模拟)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，