专题四 探究型问题

探究型问题

中考考点精讲

考点一：条件探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件．

例1 （新疆）如图，?ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；

（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

对应训练

1．（襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；

（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．

①当旋转角为度时，边AD′落在AE上；

②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．

当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并证明．

考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论．

例3 （盐城）如图①，A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC 外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1．

（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1=AB；

（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系．（不需要证明）

对应训练

2．在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．

（1）如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正方形；

（2）如图2，当点A的横坐标为时，求点B的坐标；

考点三：规律探究型：

规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，

对应训练

4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣1（a≠0）过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，

P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．

（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；

（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；

（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；

（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

四、中考真题演练

一、选择题

1．（永州）如图，下列条件中能判定直线l1∥l2的是（）

A．∠1=∠2 B．∠1=∠5 C．∠1+∠3=180°D．∠3=∠5

2．（安顺）如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC

3．（湘潭）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD

二、填空题

使得平行四边形ABCD为菱形．

8．（北京）在平面直角坐标系xOy中，有一只电子青蛙在点A（1，0）处．

第一次，它从点A先向右跳跃1个单位，再向上跳跃1个单位到达点A1；

第二次，它从点A1先向左跳跃2个单位，再向下跳跃2个单位到达点A2；

第三次，它从点A2先向右跳跃3个单位，再向上跳跃3个单位到达点A3；

第四次，它从点A3先向左跳跃4个单位，再向下跳跃4个单位到达点A4；…

依此规律进行，点A6的坐标为；若点A n的坐标为（2013，2012），则n= ．

9．（湛江）如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，

则顶点A3的坐标是，A92的坐标是．

三、解答题

11．（茂名）如图，在?ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．

（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，说明理由．

12．（白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

13．（无锡）如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO=CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题．

（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；

（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明．（命题请写成“如果…，那么…．”的形式）

14．（宁波）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上，并写出平移后抛物线的解析式．

15．（凉山）先阅读以下材料，然后解答问题：

材料：将二次函数y=-x 2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位， 求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）． 解：在抛物线y=-x 2+2x+3图象上任取两点A （0，3）、B （1，4）， 由题意知：点A 向左平移1个单位得到A ′（-1，3），再向下平移2个单位得到A ″（-1，1）； 点B 向左平移1个单位得到B ′（0，4），再向下平移2个单位得到B ″（0，2）． 设平移后的抛物线的解析式为y=-x 2+bx+c ．则点A ″（-1，1），B ″（0，2）在抛物线上．可得：

112b c c --+=??=?，解得：0

2

b c =??

=?．所以平移后的抛物线的解析式为：y=-x 2+2． 根据以上信息解答下列问题：将直线y=2x-3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式． 16．（湖州）一节数学课后，老师布置了一道课后练习题： 如图，已知在Rt △ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BO ⊥AC ，于点O ，点PD 分别在AO 和BC 上，PB=PD ， DE ⊥AC 于点E ，求证：△BPO ≌△PDE ．

（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：

根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．

（2）特殊位置，证明结论：若PB 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP=CD ． （3）知识迁移，探索新知

若点P 是一个动点，点P 运动到OC 的中点P′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D′， 请直接写出CD′与AP′的数量关系．（不必写解答过程）

17．（张家界）如图，△ABC中，O是AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

18．（德阳）如图，已知AB是⊙O直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C作⊙O的切线与ED的延长线交于点P．

（1）求证：PC=PG；

（2）点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若点G是BC的中点，

试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系，并写出证明过程；

解答

考点一：例1 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=OC，AB∥CD．∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF．∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）如图，连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，

理由如下：

由（1）可知△AOE≌△COF，∴OE=OF，

∵AO=CO，∴四边形AECF是平行四边形，

∴AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，∴∠DAD1+∠CAB=90°，

∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠ABC=90°，

∴∠DAD1+∠ADD1=90°，∴∠ADD1=∠CAB，

在△ADD1和△CAB中，，∴△ADD1≌△CAB（AAS），∴DD1=AB；

（2）解：AB=DD1+EE1．

证明：过点C作CH⊥AB于H，

∵DD1⊥AB，∴∠DD1A=∠CHA=90°，∴∠DAD1+∠ADD1=90°，

∵四边形CADF是正方形，∴AD=CA，∠DAC=90°，

∴∠DAD1+∠CAH=90°，∴∠ADD1=∠CAH，

在△ADD1和△CAH中，，∴△ADD1≌△CAH（AAS），∴DD1=AH；同理：EE1=BH，∴AB=AH+BH=DD1+EE1；

证明：过点C 作CH ⊥AB 于H ，

∵DD 1⊥AB ，∴∠DD 1A=∠CHA=90°，∴∠DAD 1+∠ADD 1=90°， ∵四边形CADF 是正方形，∴AD=CA ，∠DAC=90°， ∴∠DAD 1+∠CAH=90°，∴∠ADD 1=∠CAH ，

在△ADD 1和△CAH 中，，∴△ADD 1≌△CAH （AAS ），∴DD 1=AH ；

同理：EE 1=BH ，∴AB=AH ﹣BH=DD 1﹣EE 1． 对应训练2． 解：（1）如图，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ， ∵矩形AOBC 是正方形，∴∠AOC=45°， ∴∠AOD=90°﹣45°=45°，∴△AOD 是等腰直角三角形， 设点A 的坐标为（﹣a ，a ）（a≠0），代入y=x 2，则（﹣a ）2=a ，解得a 1=﹣1，a 2=0（舍去）， ∴点A 的坐标﹣a=﹣1，故答案为：﹣1；

（2）过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥x 轴于点F ， 当x=﹣时，y=（﹣）2=，即OE=，AE=，

∵∠AOE+∠BOF=180°﹣90°=90°，∠AOE+∠EAO=90°，∴∠EAO=∠BOF ，

又∵∠AEO=∠BFO=90°，∴△AEO ∽△OFB ，∴===，

设OF=t ，则BF=2t ，∴t 2=2t ，解得：t 1=0（舍去），t 2=2，∴点B （2，4）； 考点三： 例3 解：（1）两边同时乘以x 得，x 2-3x+2=0，方程①根：x 1=1，x 2=2； 两边同时乘以x 得，x 2-5x+6=0，方程②根：x 1=2，x 2=3； 两边同时乘以x 得，x 2-7x+12=0，方程③根：x 1=3，x 2=4；

（2）方程④：x+

20

x

=9；方程④根：x 1=4，x 2=5． （3）第n 个方程：x+(1)

n n x

+=2n+1．此方程解：x 1=n ，x 2=n+1．

对应训练3．（2013，1） 考点四： 例4 解：（

1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=

∠D ， ∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC ， 在Rt △ABE 中，

∵sin ∠BAE=

BE AE =sin ∠FEC=FC EC ，∴FC EC ， （2）证明：在BA 边上截取BK=NE ，连接KE ，

∵∠B=90°，BK=BE ，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°， ∵CP 平分外角，∴∠DCP=45°， ∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP ，

∵AB=CB ，BK=BE ，∴AB-BK=BC-BE ， 即：AK=EC ，易得∠KAE=∠CEP ，

∵在△AKE 和△ECP 中，KAE CEP AK EC AKE ECP ∠=∠??

=??∠=∠， ∴△AKE ≌△ECP （ASA ），∴AE=EP ；

证明：作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，

∵在△ADM与△BAE中，

AD AD

ADM BAE

BAD ABE

=

?

?

∠=∠

?

?∠=∠

?

，∴△ADM≌△BAE（

AAS），∴MD=AE，

∵AE=EP，∴MD=EP，

∴M D∥EP，MD=EP，∴四边形DMEP为平行四边形．

对应训练4．解：（1）∵二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），

∴，解得a=，b=0，∴二次函数的解析式为y=x2﹣1，

（2）令y=x2﹣1=0，解得x=﹣2或x=2，由图象可知当﹣2＜x＜2时y＜0，

（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；

当m=2时，P点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4，

当m=4时，P点的坐标为（4，3），|PO|2

=25，|PH|

2=25，

由此发现|PO|2=|PH|2，

设P点坐标为（m，n），即n=m2﹣1 |OP|=，|PH|2=n2+4n+4=n2+m2，

故对于任意实数m，|PO|2=|PH|2；

（4）由（3）知OP=PH，只要OH=OP成立，△POH为正三角形，

设P点坐标为（m，n），|OP|=，|OH|=，

|OP|=|OH|，即n2=4，解得n=±2，

当n=﹣2时，n=m2

﹣1不符合条件，

故n=2，m=±2时可使△POH为正三角形．

四、中考真题演练

1．C2．B3．C4．∠B=∠C或AE=AD5．AC=CD6．AC=DF7．AD=DC8．（-2-3），4023 9．（0，（31，-31）10．12°

11．解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．

又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．

∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．

∵在△ADE与△BFE中，

1 2

DEA AEB

AE BE

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，∴△ADE≌△BFE（AAS）；

（2）解：CE⊥DF．理由如下：

如图，连接CE．

由（1）知，△ADE≌△BFE，

∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠2．

∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF．