八年级数学上册 13.2 全等图形学案
13.2 全等图形
一学习目标
1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。
2、知道全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等。
3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 二、重点难点
教学重点:全等三角形的性质。
教学难点:找全等三角形的对应边、对应角。 三、合作探究
1.观察35页图案,指出这些图案中中形状与大小相同的图形
2.学生自己动手(同桌两名同学配合)取一张纸,将自己事先准备好的三角板按在纸上,画下图形,照图形裁下来,纸样与三角板 、 完全一样. 3.获取概念
形状与大小都完全相同的两个图形就是 .(要是把两个图形放在一起,能够完全重合,就可以说明这两个图形的形状、大小相同.) 即:全等形的准确定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形. 推得出全等三角形的概念:
对应顶点: 、对应角: 、 对应边: 。 “全等”符号: 读作“全等于” 导入新课
将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ;将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ;将△ABC 旋转180°得△AED .
甲
D
C
A
B
F
E 乙
D
C
A
B
丙
D
C
A
B
E
议一议:各图中的两个三角形全等吗?
得出: ≌△DEF ,△ABC ≌ ,△ABC ≌ . (注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上)
启示:一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,?但 、 都没有改变,所以平移、翻折、旋转前后的图形 ,这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略. 观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边有什么关系?对应角呢? 全等三角形的性质: , 。 四、精讲精练 精讲:
例1、如图,△OCA ≌△OBD ,C 和B ,A 和D 是对应顶点,?
C A
B E
O
D
C
A
B
E 说出这两个三角形中相等的边和角.
例2、如图,已知△ABE ≌△ACD ,∠ADC=∠AEB ,
∠B=∠C ,?指出其他的对应边和对应角.
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边;两个对应角所夹的
边也是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角;两条对应边所夹的
角是对应角.
例3、已知如图△ABC ≌△ADE ,试找出对应边、对应角.
精练
(1)下面是两个全等的三角形,按下列图形的位置摆放,指出它们的对应顶点、对应边、对应角
(2)如图,,ACD ABE ???AB 与AC ,AD 与AE 是对应边,已知:
30,43=∠=∠B A ,
求ADC ∠的大小。
五、课堂小结:全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 六、作业 :教材:第37页习题:A 组
教学反思:
B
C
D
A
C
D
C
A
D
A
D
B
D
D
B
D
人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点
人教版八年级上册数学《全等三角形》知识点定义 能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。(注:全等三角形是相似三角形中相似比为1:1的特殊情况) 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 由此,可以得出:全等三角形的对应边相等,对应角相等。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角; 表示:全等用“≌”表示,读作“全等于”。 判定公理 1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”),这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。 2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。 3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。由3可推到 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”) 5、直角三角形全等条件有:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边,直角边”) 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意:在全等的判定中,没有AAA角角角和SSA(特例:直角三角形为HL,属于SSA)边边角,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。A是英文角的缩写(angle),S是英文边的缩写(side)。 H是英文斜边的缩写(Hypotenuse),L是英文直角边的缩写(leg)。 6.三条中线(或高、角分线)分别对应相等的两个三角形全等。 性质 三角形全等的条件: 1、全等三角形的对应角相等。 2、全等三角形的对应边相等 3、全等三角形的对应顶点相等。 4、全等三角形的对应边上的高对应相等。 5、全等三角形的对应角平分线相等。 6、全等三角形的对应中线相等。 7、全等三角形面积相等。 8、全等三角形周长相等。 9、全等三角形可以完全重合。 三角形全等的方法: 1、三边对应相等的两个三角形全等。(SSS) 2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA) 4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)推论 要验证全等三角形,不需验证所有边及所有角也对应地相同。以下判定,是由三个对应的部分组成,即全等三角形可透过以下定义来判定:
七年级数学下全等三角形证明题精选
七年级数学下---全等三角形证明题精选 1、已知:如图,四边形ABCD 中,AC 平分角BAD ,CE 垂直AB 于E ,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE 2、已知:如图,AB 、CD 交于O 点,CE//DF ,CE=DF ,AE=BF 。求证:∠ACE=∠BDF 。 3. 已知:如图,△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,E 是AD 上一点,BE 的延长线交AC 于F ,若BD=AD ,DE=DC 。求证:BF ⊥AC 。 4. 已知:如图,△ABC 和△A 'B 'C '中,∠BAC=∠B 'A 'C ',∠B=∠B ',AD 、A 'D '分别是∠BAC 、∠B 'A 'C '的平分线,且AD=A 'D '。求证:△ABC ≌△A ’B ’C ’。 5、已知:如图,AB=CD ,AD=BC ,O 是AC 中点,OE ⊥AB 于E ,OF ⊥D 于F 。求证:OE=OF 。 6.已知:如图,AC ⊥OB ,BD ⊥OA ,AC 与BD 交于E 点,若OA=OB ,求证:AE=BE 。 7.已知:如图,AB//DE ,AE//BD ,AF=DC ,EF=BC 。求证:△AEF ≌△DBC 。 8.如图,B ,E 分别是CD 、AC 的中点,AB ⊥CD ,DE ⊥AC 求证:AC=CD (连接AD ) 9.已知:如图,PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线,?它们交于点P ,PD ⊥BM 于D ,PF ⊥BN 于F .求证:BP 为∠MBN 的平分线. 10、如图,已知AD 是∠BAC 的平分线, DE ⊥AB 于E , DF ⊥AC 于F , 且BE=CF , 求证: (1)AD 是△ABC 的中线;(2)AB=AC . 11.在△ABC 中,∠ACB =90°,AC =BC ,直线MN 经过点C ,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E . (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证:①△ADC ≌△CEB ;②DE =AD +BE ; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,求证:DE =AD -BE ; (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,试问DE ,AD ,BE 具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明. 12、如图,等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AD 为腰CB 上的中线,CE ⊥AD 交AB 于E . 求证∠CDA =∠EDB .(作CF ⊥AB ) C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3 1 2 C D A B C D E F A 1 2 E C D B
北师大版七年级下册数学 图形的全等
4.2 图形的全等 一、学习目标: 1.了解全等图形、全等多边形、全等三角形. 2.平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响. 3.掌握全等多边形性质与识别方法,全等三角形的性质. 4.简单应用全等多边形性质、全等三角形的性质解决实际问题. 二、学习重点: 全等多边形的性质与识别方法;全等三角形的性质应用. 三、学习难点: 平移、旋转、翻折等图形基本运动对全等图形的影响. 四、学习设计: (一) 观察教材中几组图形。 (二)学习过程 阅读课本 填空:_________________________和______都相同。 下面,我们看看图形的运动对全等图形有何影响? 活动请同学们在方格纸中任意画一个多边形,先将这个多边形沿某一方向平移一定距离(与原图形无重叠);再将原多边形绕形外一点顺时针(或逆时针)旋转一定角度(与原图形无重叠);然后将原图形沿形外某格线对称;最后将这些图形剪下来,将其叠合.你能发现什么?通过这个活动过程,说明了什么问题? 说明图形经过平移、旋转、翻折的图形运动,位置发生了变化,但形状和大小却没有改变,图形运动前后的两个图形是全等的;反过来,也就是说,两个全等的图形经过图形运动一定能重合. 请你说说什么是全等多边形?什么是全等多边形的对应顶点、对应角、对应边?你认为全等多边形有何特征? 全等多边形对应边、对应角分 别相等. 如图1,四边形ABCD与四边形 EFGH全等,可记为四边形ABCD≌四 边形EFGH,请指出对应顶点、对应 角、对应边. 全等多边形的识别方法:如果 两个多边形对应边、对应角分别相等,那么这 两个多边形全等. 三角形是特殊的多边形,所以,全等三角 形的对应边、对应角分别相等;如果两个三角 形的___________、__________分别相等,那 么这两个多边形全等. 例1 如图2,已知将△ABC绕其顶点A顺 时针方向旋转 20°后得到△ADE.
2019年秋新版人教版八年级上数学全册导学案
第一课时三角形的边 一、新课导入 1、三角形是我们早已熟悉的图形,你能列举出日常生活中有什么物体是三角形吗? 2、对于三角形,你了解了哪些方面的知识?你能画一个三角形吗? 二、学习目标 1、三角形的三边关系。 2、用三边关系判断三条线段能否组成三角形。 三、研读课本 认真阅读课本的内容,完成以下练习。 (一)划出你认为重点的语句。 (二)完成下面练习,并体验知识点的形成过程。 研读一、认真阅读课本(P63至P64“探究”前,时间:5分钟) 要求:知道三角形的定义;会用符号表示三角形,了解按边角关系对三角形进行分类。一边阅读一边完成检测一。 研读二、认真阅读课本( P64“探究”,时间:3分钟) 要求:思考“探究”中的问题,理解三角形两边的和大于第三边; 游戏:用棍子摆三角形。 检测练习二、6、在三角形ABC中, AB+BC AC AC+BC AB AB+AC BC 7、假设一只小虫从点B出发,沿三角形的边爬到点C, 有路线。路线最近,根据是:,于是有: (得出的结论)。 8、下列下列长度的三条线段能否构成三角形,为什么? (1)3、4、8 (2)5、6、11 (3)5、6、10 研读三、认真阅读课本认真看课本( P64例题,时间:5分钟) 要求:(1)、注意例题的格式和步骤,思考(2)中为什么要分情况讨论。 (2)、对这例题的解法你还有哪些不理解的? (3)、一边阅读例题一边完成检测练习三。 检测练习三、 9、一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长; ②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.(要有完整的过程啊!) 解: (三)在研读的过程中,你认为有哪些不懂的问题? 四、归纳小结 (一)这节课我们学到了什么?(二)你认为应该注意什么问题? 五、强化训练 【A】组 1、下列说法正确的是 (1)等边三角形是等腰三角形 (2)三角形按边分类课分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (3)三角形的两边之差大于第三边 (4)三角形按角分类应分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
八年级数学上册全等三角形知识点总结
第十二章《全等三角形 》 知识点归纳 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等; 3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等。SSS (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。ASA (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。SAS (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边 对应相等,因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) (3)已知条件中有一边一角对应相等,可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤: 1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系); 2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么; 3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。 常见考法 (1)利用全等三角形的性质:①证明线段(或角)相等;②证明两条线段的和差等于另一条线段;③证明面积相等; (2)利用判定公理来证明两个三角形全等; (3)题目开放性问题,补全条件,使两个三角形全等。
部编人教版七年级下册数学《图形的全等》教案
4.2 图形的全等 1.了解全等形、全等三角形的概念及全等三角形的对应元素;(重点) 2.理解并掌握全等三角形的性质,能用符号正确地表示两个三角形全等;(重点) 3.能熟练找出两个全等三角形的对应角和对应边.(难点) 一、情境导入 在我们的周围,经常可以看到形状、大小完全相同的图形,这类图形在几何学中具有特殊的意义.观察下列图案,指出这些图案中形状与大小相同的图形. 你能再举出一些例子吗? 二、合作探究 探究点一:全等图形 下列四个图形是全等图形的是() A.(1)和(3) B.(2)和(3) C.(2)和(4) D.(3)和(4) 解析:由图可知(2)、(3)、(4)图中的圆在等腰三角形中,(1)图中的圆在直角三角形中,所以排除(1).考虑(2)、(3)、(4)图中的圆,很明显(3)图中的圆小于(2)、(4)中的圆,所以能够完全重合的两个图形是(2)、(4).故选C. 方法总结:本题考查全等形的判断,要明确全等形的意义,即可以完全重合的图形,做题时要紧扣此点. 探究点二:全等三角形 【类型一】全等三角形的对应元素 如图,若△BOD≌△COE,∠B=∠C,指出这两个全等三角形的对应边;若△ADO≌△AEO,指出这两个三角形的对应角.
解析:结合图形进行分析,分别写出对应边与对应角即可. 解:△BOD与△COE的对应边为:BO与CO,OD与OE,BD与CE;△ADO与△AEO的对应角为:∠DAO与∠EAO,∠ADO与∠AEO,∠AOD与∠AOE. 方法总结:找全等三角形的对应元素的关键是准确分析图形,另外记全等三角形时,对应顶点要写在对应的位置上,这样就可以比较容易地写出对应角和对应边了. 【类型二】运用全等三角形的性质求三角形的角或边 如图,△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,求∠DEF的度数和CF的长. 解析:根据全等三角形对应边、对应角相等,求∠DEF的度数和CF的长. 解:∵△ABC≌△DEF,∠A=70°,∠B=50°,BF=4,EF=7,∴∠DEF=∠B=50°,BC=EF=7,∴CF=BC-BF=7-4=3. 方法总结:本题主要是考查运用全等三角形的性质求角的度数和线段的长,解决问题的关键是准确识别图形. 【类型三】全等三角形的性质与三角形内角和的综合应用 如图,△ABC≌△ADE,∠CAD=10°,∠B=∠D=25°,∠EAB=120°,求∠ACB的度数. 解析:根据“全等三角形的对应角相等”,可知∠EAD=∠CAB,故∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=2∠CAB+10°=120°,即∠CAB=55°.然后在△ACB中利用三角形内角和定理来求∠ACB的度数. 解:∵△ABC≌△ADE,∴∠CAB=∠EAD.∵∠EAB=120°,∠CAD=10°,∴∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB=2∠CAB+10°=120°,∴∠CAB=55°.∵∠B=∠D=25°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-55°-25°=100°. 方法总结:本题将三角形内角和与全等三角形的性质综合考查,解答问题时要将所求的角与已知角通过全等及三角形内角之间的关系联系起来. 三、板书设计 1.全等形与全等三角形的概念:能够完全重合的图形叫做全等形;能够完全重合的三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质:全等三角形的对应角、对应线段相等.
八年级数学上册全册导学案+分层练习合集(含答案)
11.1 与三角形有关线段 11.1.1 三角形边 1.通过具体实例,认识三角形概念及其基本要素. 2.学会三角形表示及根据“是否有边相等”对三角形进行分类. 3.掌握三角形三边关系. 阅读教材P2~4,完成预习内容. 知识探究 (一)三角形 1.定义:由不在____________三条线段首尾________所组成图形叫做三角形. 2.有关概念 如图,线段AB,BC,CA是三角形________,点A,B,C是三角形________,∠A,∠B,∠C是相邻两边组成角,叫做三角形________,简称三角形角. 3.表示方法:顶点是A,B,C三角形,记作“________”,读作“____________”. (1)三角形表示方法中“△”代表“三角形”,后边字母为三角形三个顶点,字母顺序可以自由安排,即△ABC,△ACB,△BAC,△BCA,△CAB,△CBA为同一个三角形. (二)三角形分类 1.等边三角形:三条边都________三角形.