称多县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

称多县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）

A．90种B．180种C．270种D．540种

2．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：

“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面ABCD的距离为1丈，问它的体积是（）

A．4立方丈B．5立方丈

C．6立方丈D．8立方丈

3．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）

A． B．8 C． D．

4．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长概率为（）

A．B．C．D．

5．sin（﹣510°）=（）

A．B．C．﹣D．﹣

6．A={x|x＜1}，B={x|x＜﹣2或x＞0}，则A∩B=（）

A．（0，1）B．（﹣∞，﹣2）

C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）

7．与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为（）

A．B．

C．D．

8．命题“?x∈R，使得x2＜1”的否定是（）

A．?x∈R，都有x2＜1 B．?x∈R，使得x2＞1

C．?x∈R，使得x2≥1 D．?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1

9．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x）恒成立，则不等式x2f（）﹣f（x）

＞0的解集为（）

A．（0，1） B．（1，2） C．（1，+∞）D．（2，+∞）

10．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）

A．B．C．D．

11．如果一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位：cm），则此几何体的表面积是（）

A．8cm2 B．cm2C．12 cm2D．cm2

12．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（）

A．B．C．D．

二、填空题

13．已知（1+x+x 2）（x ）n （n ∈N +

）的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n= ．

14．已知线性回归方程=9，则b= ．

15．已知椭圆+

=1（a ＞b ＞0）上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=θ，

且θ∈[

，

]，则该椭圆离心率e 的取值范围为 ．

16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．

17．以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 ．

18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边CD 上，若在平行四边形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q

取自△ABE 内部的概率是 ．

三、解答题

19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =-∈.

（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；

（2）当(2,1)x ∈-时，121()x x a f x ->---，求的取值范围.

20．（本题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，2

3

3-=n n a S （+∈N n ）. （1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）若数列}{n b 满足143log +=?n n n a b a ，记n n b b b b T ++++= 321，求证：2

7

<

n T （+∈N n ）.

【命题意图】本题考查了利用递推关系求通项公式的技巧，同时也考查了用错位相减法求数列的前n项和.重点突出运算、论证、化归能力的考查，属于中档难度.

21．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．

（1）求证：BD1∥平面A1DE；

（2）求证：A1D⊥平面ABD1．

22．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

(不等式选做题)设，且，则的最小值为

（几何证明选做题）如图，中，，以为直径的半圆分别交于点，若,则

23．已知p ：“直线x+y ﹣m=0与圆（x ﹣1）2+y 2=1相交”；q ：“方程x 2﹣x+m ﹣4=0的两根异号”．若p ∨q 为真，￢p 为真，求实数m 的取值范围．

24．（本小题满分12分）

如图（1），在三角形PCD 中，AB 为其中位线，且2BD PC =，若沿AB 将三角形PAB 折起，使

PAD θ∠=，构成四棱锥P ABCD -，且

2PC CD

PF CE

==. （1）求证：平面 BEF ⊥平面PAB ； （2）当 异面直线BF 与PA 所成的角为

3

π

时，求折起的角度.

称多县高中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C 31C 62C 21C 42

=540种．

故选D ．

2． 【答案】 【解析】解析：

选B.如图，设E 、F 在平面ABCD 上的射影分别为P ，Q ，过P ，Q 分别作GH ∥MN ∥AD 交AB 于G ，M ，交DC 于H ，N ，连接EH 、GH 、FN 、MN ，则平面EGH 与平面FMN 将原多面体分成四棱锥E -AGHD 与四棱锥F -MBCN 与直三棱柱EGH -FMN .

由题意得GH ＝MN ＝AD ＝3，GM ＝EF ＝2，

EP ＝FQ ＝1，AG ＋MB ＝AB －GM ＝2，

所求的体积为V ＝13（S 矩形AGHD ＋S 矩形MBCN ）·EP ＋S △EGH ·EF ＝13×（2×3）×1＋1

2×3×1×2＝5立方丈，故选B.

3． 【答案】C

【解析】

【分析】通过三视图分析出几何体的图形，利用三视图中的数据求出四个面的面积中的最大值． 【解答】解：由题意可知，几何体的底面是边长为4的正三角形，棱锥的高为4，并且高为侧棱

垂直底面三角形的一个顶点的三棱锥，

两个垂直底面的侧面面积相等为：8， 底面面积为： =4

，

另一个侧面的面积为： =4

，

四个面中面积的最大值为4；

故选C ．

4．【答案】C

【解析】解：如图所示，△BCD是圆内接等边三角形，

过直径BE上任一点作垂直于直径的弦，设大圆的半径为2，则等边三角形BCD的内切圆的半径为1，显然当弦为CD时就是△BCD的边长，

要使弦长大于CD的长，就必须使圆心O到弦的距离小于|OF|，

记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长}={弦中点在内切圆内}，

由几何概型概率公式得P（A）=，

即弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是．

故选C．

【点评】本题考查了几何概型的运用；关键是找到事件A对应的集合，利用几何概型公式解答．5．【答案】C

【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣，

故选：C．

6．【答案】D

【解析】解：∵A=（﹣∞，1），B=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞），

∴A∩B=（﹣∞，﹣2）∪（0，1），

故选：D．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

7．【答案】A

【解析】解：由于椭圆的标准方程为：

则c2=132﹣122=25

则c=5

又∵双曲线的离心率

∴a=4，b=3

又因为且椭圆的焦点在x轴上，

∴双曲线的方程为：

故选A

【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．

8．【答案】D

【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是?x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，

故选：D．

【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

9．【答案】C

【解析】解：令F（x）=，（x＞0），

则F′（x）=，

∵f（x）＞xf′（x），∴F′（x）＜0，

∴F（x）为定义域上的减函数，

由不等式x2f（）﹣f（x）＞0，

得：＞，

∴＜x，∴x＞1，

故选：C．

10．【答案】C

【解析】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，

故外接球半径为，外接球的体积为，

故选C．

【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．

11．【答案】C

【解析】解：由已知可得：该几何体是一个四棱锥，

侧高和底面的棱长均为2，

故此几何体的表面积S=2×2+4××2×2=12cm2，

故选：C．

【点评】本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积，空间几何体的三视图，根据已知判断几何体的形状是解答的关键．

12．【答案】A

【解析】解：

=1×

故选A．

二、填空题

13．【答案】5．

【解析】二项式定理．

【专题】计算题．

【分析】要想使已知展开式中没有常数项，需（x）n（n∈N+）的展开式中无常数项、x﹣1项、x﹣2项，利

用（x）n（n∈N+）的通项公式讨论即可．

【解答】解：设（x）n（n∈N+）的展开式的通项为T r+1，则T r+1=x n﹣r x﹣3r=x n﹣4r，2≤n≤8，

当n=2时，若r=0，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；

当n=3时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠3；

当n=4时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠4；

当n=5时，r=0、1、2、3、4、5时，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中均没有常数项，故n=5适合题意；

当n=6时，若r=1，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠6；

当n=7时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠7；

当n=8时，若r=2，（1+x+x2）（x）n（n∈N+）的展开式中有常数项，故n≠2；

综上所述，n=5时，满足题意．

故答案为：5．

【点评】本题考查二项式定理，考查二项展开式的通项公式，突出考查分类讨论思想的应用，属于难题．14．【答案】4．

【解析】解：将代入线性回归方程可得9=1+2b，∴b=4

故答案为：4

【点评】本题考查线性回归方程，考查计算能力，属于基础题．

15．【答案】[，﹣1]．

【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤）；

F（﹣c，0）；

∵AF⊥BF，

∴=0，

即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，

故c2﹣a2cos2α﹣b2sin2α=0，

cos2α==2﹣，

故cosα=，

而|AF|=，

|AB|==2c，

而sinθ=

==，

∵θ∈[，]，

∴sinθ∈[，]，

∴≤≤，

∴≤+≤，

∴，

即，

解得，≤e≤﹣1；

故答案为：[，﹣1]．

【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．

16．【答案】．

【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c

∴b=，c=2a，

由余弦定理可得cosB===．

故答案为：．

【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．

17．【答案】 x ﹣y ﹣2=0 ．

【解析】解：直线AB 的斜率 k AB =﹣1，所以线段AB 的中垂线得斜率k=1，又线段AB 的中点为（3，1），

所以线段AB 的中垂线得方程为y ﹣1=x ﹣3即x ﹣y ﹣2=0， 故答案为x ﹣y ﹣2=0．

【点评】本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．

18．【答案】

．

【解析】解：由题意△ABE 的面积是平行四边形ABCD 的一半， 由几何概型的计算方法，

可以得出所求事件的概率为P=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】（1）{}

11x x x ><-或；（2）(,2]-∞-. 【解析】

试

题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--， 即1211x x ---<-，

当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >；

当

1

12x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解； 当1

2

x <时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-；

综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或.

（2）由121()x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，

所以当(1)()0x x a --≥时，121x x a x a -+-=--； 当(1)()0x x a --<时，121x x a x a -+->--

记不等式(1)()0x x a --<的解集为A ，则(2,1)A -?，故2a ≤-， 所以的取值范围是(,2]-∞-.

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论. 20．【答案】 【

解

析

】

21．【答案】

【解析】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，

∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，

∵OE∥BD1，OE?平面ABD1，BD1?平面ABD1，

∴BD1∥平面A1DE．

（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，

∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，

∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，

∴A1D⊥AB，

又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．

22．【答案】

【解析】A

B

23．【答案】

【解析】解：若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得1﹣

；

若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m＜4．

若p∨q为真，￢p为真，

则p为假命题，q为真命题．

∴．

∴实数m的取值范围是或．

【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．【答案】（1）证明见解析；（2）23

πθ=． 【解析】

试题分析：（1）可先证BA PA ⊥，BA AD ⊥从而得到BA ⊥平面PAD ，再证CD FE ⊥,CD BE ⊥可得CD ⊥

平面BEF ,由//CD AB ,可证明平面BEF ⊥平面PAB ；（2）由PAD θ∠=,取BD 的中点G ，连接,FG AG ,可得PAG ∠即为异面直线BF 与PA 所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：

（2）因为PAD θ∠=，取BD 的中点G ，连接,FG AG ，所以//FG CD ，1

2

FG CD =

，又//AB CD ，1

2

AB CD =，所以//FG AB ，FG AB =，从而四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，得；同时，

因为PA AD =，PAD θ∠=，所以PAD θ∠=，故折起的角度23

π

θ=.

考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质．