四川省眉山市东坡区眉山中学2015届高三数学9月月考试题理

眉山中学2015届高三9月月考

数学（理工类）

一．选择题本大题共10小题，每题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.5()12i

z i z i

=

+是虚数单位，则的共轭复数为（ ） A ．2i - B ．2+i C ．2i -- D ．2i -+

2.若二项式8(2)70a

x a x

+的展开式中的常数项为，则实数可以为（ ）

A ．2 B

C

．2 D ． 1

2

3.阅读程序框图（如图），如果输出的函数值在[]1,3上，则输入的 实数x 取值范围是（ ）

A ．[]20,log 3

B ．[]2,2-

C ．[]{}20,log 32?

D ．[]{}22,log 32-?

4.设m 、n 是不同的直线，αβ、是不同的平面，有以下四个命题： ①若,m n m αα⊥⊥则∥n ②若,m αβ⊥∥m αβ⊥则 ③,m m n n α⊥⊥则 ∥α

④若,n n αββ⊥⊥则∥α

其中，真命题的序号是（ ）

A ．①④

B ．①③

C ．②④

D ．②③

5.下列有关命正确的是（ ）

A ．命题“若2

=1x 则x=1”的否命题为“若21,x =≠则x 1” B ．“1x =-是2

560x x --=”必要不充分条件

C ．命题“21,,10x x x ?∈+∞+-（）使是＜”的否定是：“2(1,),10x x x ?∈+∞+-≥均有”

D ．命题“已知,,1,45x y R x y x y ∈≠≠+≠若或则”为真命题

6.设平面点集A=1

(,)()()0x y y x y x ??--≥????

，B={}

22(,)(1)(1)1x y x y -+-≤，则A B ?所表示的平

面图形面积为（ ） A ．34

π

B ．35

π

C ．47

π

D ．

2

π

7. 3位好友不约而同乘一列火车去旅游，该列火车有10节车厢，那么至少有2人在同一节车厢相遇的概率为（ ）.

A.

29200 B. 725 C. 29

144

D. 718 8.点P 是双曲线22

22221222:1():x y C a C x y a b a b

-=+=+＞0,b ＞0与圆的一个交点，且

12211212=PF F F F C ∠∠PF F ，其中、分别为双曲线的左、右焦点，

则双曲线1C 的离心率为（ ） A

B

C

D

1 9.如图，设P 为正四面体A —BCD 表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P 到四个顶点距离组成的集合M 。如果M 中有且只有2个元素，则符合条件的点P 有（ ）

A ．4个

B ．6个

C ．10个

D ．12个

10.已知212

12()l n ,()f x x a x x x x x =+

若对任意两个不等的正数、

＞都有

1212

()()f x f x -＞2(x -x )成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1

2

a ＞

B ．12

a ≥

C ．a ＞0

D ．a ＞2

二.填空题：本大题共5个小题，每题5分共25分，把答案填在横线上。 11.设(0,),(sin2,cos ),(cos ,1),2

a b a π

θθθθ∈==若∥,tan b θ则=

12.某几何体的三视图如图所示，当xy 取最大值时，该几何体的体积为

13.设数列{}n a 满足：{}1120141

2,1,n n n n

a a a n a +==-∏∏，记数列的前项积为则的值为 14.

已

知

平

面

区

域

{(,)0:2x y y l y mx m

Ω=≤≤=+直线和曲线

[]2c o s :(,)0,2s i n x C x y l C y θθπθ??=??

?

∈???=?????

，有两个不同交点，直线与曲线围成的平面区域为M ，向区

域Ω内随机投一点

A ，点

A

落在区域

M

内有概率为()P M ，若

2(),12p M m ππ-??

∈??

??

则实数的取值范围为

B

A

D

C

. P

15.给出以下命题：

①若f '（x 0）＝0，则f （x 0）为f （x ）的极值。

②若f （x ）的极大值为f （x 1），f （x ）的极小值为f （x 2），则f （x 1）＞f （x 2）； ③△ABC 中，若222sin sin sin A B C +?＜，则ABC 是钝角三角形；

④若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间(,)42

ππ

是减函数，则a

∈(

-∞ ⑤设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S

a ＋

b ＋

c ；类比

这个结论可知：四面体S －ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球的半径为R ，四面体P －ABC 的体积为V ，则R ＝3V

S 1＋S 2＋S 3＋S 4

其中正确命题的序号为 三.解答题。

16.（本小题满分12

分）已知2())4cos 4

f x x x π

-+

（1）求()f x 的最小正周期及最小值 （2）若0,()3,2x f x x π??

∈=????

且求的值。

17. （本小题满分12分） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图1-4所示．

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；

(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．

18（本小题满分12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．

(1)证明：PB ∥平面AEC ；

(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积．

19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为*n 1()n n S S a n N =-∈且 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2

）设12

1

,log n n n b c a =

=记12,n n T c c c =++

+证明： 1.n T ＜

20.（本小题满分13分）已知F （0，1）是中心在坐标原点O 的椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 的离心率e 为

12

. （1）求椭圆C 的方程； （2）设112

2()()

M x y N x y ,、,为椭圆C 上不同的点，直线MN 的斜率为1;k A 是满足(0)

OM ON OA λλ+=≠u u u r u u u r u u r

的点，且直线OA 的斜率为2k . ①求12k k g 的值；

②若A 的坐标为3

(,1)2

，求实数λ的取值范围.

21.（本小题满分14分）设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf ′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．

(1)令g 1(x)＝g(x)，g n ＋1(x)＝g(g n (x))，n∈N ※

，求g n (x)的表达式； (2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)设n ∈N ※

，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明．

眉山中学2015届高三9月月考数学（理）答案

一选择题 1 ----5 A D C A C 6 ----10 D B A C B

二 填空题 11.1

2

12.2- 14.[]0,1 15 .③④⑤

三解答题

17解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此

P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15，

P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为

P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3

＝0.064，

P (X ＝1)＝C 13·0.6(1－0.6)2

＝0.288，

P (X ＝2)＝C 23·0.62

(1－0.6)＝0.432，

P (X ＝3)＝C 33·0.63

＝0.216. X 的分布列为

因为X ～B (3，0.6)0.6)＝0.72.

18解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ?平面AEC ，PB ?平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .

(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．

如图，以A 为坐标原点，AB →

，AD ，AP 的方向为x 轴、y

轴、z 轴的正方向，|AP →

|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D ()0，3，0，E ? ????0，32，12，

AE →

＝? ??

??0，

32，12. 设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →

＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，

则?????n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即?????mx ＋3y ＝0，32

y ＋12z ＝0， 可取n 1＝? ????

3m ，－1，3.

又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量， 由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝1

2

，即

3

3

＋4m 2＝12，解得m ＝32

. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38

.

21. 由题设得，g (x )＝x

1＋x (x ≥0)．

(1)由已知，g 1(x )＝

x 1＋x

，

g 2(x )＝g (g 1(x ))＝

x

1＋x

1＋x

1＋x

＝

x

1＋2x

， g 3(x )＝

x

1＋3x

，…，可得g n (x )＝

x

1＋nx

. 下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，g 1(x )＝x

1＋x ，结论成立．

②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )＝x

1＋kx

.

那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k （x ）1＋g k （x ）＝x

1＋kx 1＋

x 1＋kx

＝x

1＋（k ＋1）x

，即结论成

立．

由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．

(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立，即ln(1＋x )≥ax

1＋x 恒成立．

设φ(x )＝ln(1＋x )－ax

1＋x (x ≥0)，

则φ′(x )＝11＋x －a （1＋x ）2＝x ＋1－a

（1＋x ）

2，

当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0， ∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴a ≤1时，ln(1＋x )≥

ax

1＋x

恒成立(仅当x ＝0时等号成立)． 当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )<0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.

即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax

1＋x

不恒成立．

综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．

(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋n

n ＋1，

比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．

证明如下：

方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x

1＋x

，x >0.

令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1

下面用数学归纳法证明．

①当n ＝1时，1

2

②假设当n ＝k 时结论成立，即12＋13＋…＋1

k ＋1

那么，当n ＝k ＋1时，12＋13＋…＋1k ＋1＋1k ＋2

k ＋1

＝ln(k ＋2)，

即结论成立．

由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．

方法二：上述不等式等价于12＋13＋…＋1

n ＋1

在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x

1＋x ，x >0.

令x ＝1n ，n ∈N ＋，则ln n ＋1n >1n ＋1.

故有ln 2－ln 1>12，ln 3－ln 2>1

3，……

ln(n ＋1)－ln n >1n ＋1，上述各式相加可得ln(n ＋1)>12＋13＋…＋1n ＋1

， 结论得证．