【整理 】广东省汕头市金山中学2013届高三上学期期末数学理试题

图2

侧视图

俯视图

正视图

汕头市金山中学2012-2013学年度第一学期期末考试

高三理数 2012年12月

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.

第Ⅰ卷 （选择题 共40分）

一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 } 则U C M =

A ．U

B ．{1,3,5}

C ．{3,5,6}

D ．{2,4,6}

2．若向量BA

=（2,3），CA =（4,7），则BC =

A ．（-2,-4）

B ．(2,4)

C ．(6,10)

D ．(-6,-10) 3．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是

A ．ln(2)y x =+ B

．y = C ．y=12x

??

???

D ．1y x x =+

4．一空间几何体的三视图如图所示, 该几何体的体积为

12π+

，则正视图中x 的值为 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2

A. 4

B. 2

C. 3

D. 4

6．△ABC 中，已知cosA=

135，sinB=5

3

，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B. 6556 C. 6516或6556 D. 65

16-

7.从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是

A.

49 B. 13 C. 29 D. 19

8.设0,0a b >>． A.若2223a b a b +=+，则b a > B.若2223a b

a b +=+，则b a <

C.若2223a b a b -=-，则b a >

D.若2223a b

a b -=-，则b a <

第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）

二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)

9．设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是______. 10．已知某位同学五次数学成绩分别是：121，127,123，a ，125，若其平均成绩是124，则

这组

数据的方差是_______.

11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2

324a a =-，则n a = 。

12．如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO ·BC

=_______. 13．已知在锐角ABC ?中，A B BC 2,1==,则

_______,cos =A

AC

ks5u AC 的取值范围为________.

14．设)2,(2≥∈=*n N n N n ，将N 个数N x x x ,,21依次放入编号为

N ,,2,1 的N 个位置，得到排列N x x x P 210=.将该排列中分别位于奇数

与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前

2N 和后2

N

个位置，得到排列 N N x x x x x x P 421311-=，将此操作称为C 变换，将1P

分成两段，每段2

N

个数， 并对每段作C 变换，得到2P ；当22-≤≤n i 时，将i P 分成i

2段，每段

2i

N

个数， 并对每段作C 变换，得到1+i P ，例如，当8=N 时，846273512x x x x x x x x P =，此时

7x 位于2P 中的第4个位置.

（1）当16=n 时，7x 位于2P 中的第___个位置； （2）当)8(2≥=n N n

时，173x 位于4P 中的第___个位置.

三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）

已知函数()sin()(00π)f x A x A ??=+><<，

，x R ∈的最大值是1，其图象经过点π132M ?? ???

，． （1）求()f x 的解析式；

（2）已知π02αβ??∈ ??

?

，，，且3()5f α=，12()13

f β=，求()f αβ-的值．

(第12题)

16．（本小题满分12分）

2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

(Ⅰ) 请你根据上表的数据统计估计该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．

17．（本小题满分14分）

某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨。该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：

（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？

（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒

生产总量之和的2

3

？（生产总量是指各年年产量之和）

18．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 中，),1(2

1

32,113211Z n n a n na a a a a n n ∈≥+=++++=+ 。 (1)求数列{}n a 的通项公式n a ; (2)求数列{}

n a n 2的前n 项和n T ;

(3)若存在*

∈N n ，使关于n 的不等式λ)1(+≤n a n 成立，求常数λ的最小值。 19．（本小题满分14分）

设函数1ln )(-+

=x a x x f 在)1

,0(e

内有极值．(注：e 是自然对数的底数．) （I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若101<x ，求证：e

e x

f x f 1

2)()(12-+>-． 20．（本小题满分14分）

设函数),1,(11)(R x n N n n x f x

∈>∈??

?

??+=且.

(Ⅰ)当x =6时, 求x

n ??

?

??+11的展开式中二项式系数最大的项；

(Ⅱ)对任意的实数x , 证明

2

)

2()2(f x f +＞);)()()((的导函数是x f x f x f ''

(Ⅲ)是否存在N a ∈, 使得an ＜∑=???

?

?+n

k k

k 111＜n a )1(+恒成立? 若存在, 试证明你的结论

并求出a 的值；若不存在, 请说明理由.

2012-2013学年度第一学期期末考试 ★ 高三理科数学 参考答案

一、选择题（40分）

9．),2()2,2

1

(+∞-

10．4 11．12-n 12．8 13．)3,2(;2 14．1123;64+?-n . 三、解答题（80分）

15．解：（1）依题意有1A =，则()s i n ()f x x ?=+，将点1

(,)32M π代入得1

sin()32

π?+=， 而0?π<<，536π

?π∴

+=，（4分）2π?∴=，故()sin()cos 2f x x x π

=+=；（6分） （2）依题意有312

cos ,cos 513

αβ==，

而,(0,

)2π

αβ∈，45sin ,sin 513

αβ∴=，（10分） 故3124556

()cos()cos cos sin sin 51351365

f αβαβαβαβ-=-=+=?+?=.（12分） 16.解：(Ⅰ) 众数约为22.5微克/立方米, 中位数约为37.5微克/立方米．(2分) （Ⅱ）去年该居民区PM 2.5年平均浓度为

7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5?+?+?+?+?+?=（微克/立方

米）．(

因为40.535>，所以去年该居民区PM 2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．（5分）

（Ⅲ）记事件A 表示“一天PM 2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，

则9()10P A =

.随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且ξ ～9(2,)10

B . 所以2299()()(1)(0,1,2)1010

k k

k P k C k ξ-==-=，

所以变量ξ的分布列为

012 1.8100100100E ξ=?

+?+?=（天）或2 1.810

E nP ξ==?=（天）.（12分） 17. 解：设从2011年起，该车第n 年啤酒和葡萄酒年生产量分别为n a 吨和n b 吨，经过n 年后啤酒和葡萄酒各年生产量的总量分别为n A 吨和n B 吨。

（1）设第n 年啤酒和葡萄酒生产的年生产量为n D 吨，依题意，116000(150%)n n a -=-=

32000

2n

， 11000(1100%)n n b -=+=5002n ?，

（*

n N ∈）， ·········································· 2分

则n n n D a b =+=320002n +5002n

?=64500(2)2n n

+5008000≥?=，

当且仅当

64

22

n n =，即3n =时取等号， 故2013年啤酒和葡萄酒生产的年生产量最低，为8000吨。 ···························· 6分

（2）依题意，2

3

n n n B A B ≥+，得2n n B A ≥，

∵1

16000[1()]

212320001212

n n n n A --==?-，1000[12]1000(21)12n n n B -=

=--， ∴1000(21)n

-≥213200022

n n -??，

∵210n ->，∴6

2642n ≥=，∴6n ≥，

从第6年起，葡萄酒各年生产的总量不低于啤酒各年生产总量与葡萄酒各年生产总量之和的2

3

。…

12分

18. 解：（Ⅰ）因为)(21

321321*+∈+=

+???+++N n a n na a a a n n 所以)2(2

)1(321321≥=-+???+++-n a n

a n a a a n n - -------1分 两式相减得n n n a n

a n na 2

211-+=+ 所以

)2(3)1(1

≥=++n na a n n

n ------------2分

因此数列{}n na 从第二项起，是以2为首项，以3为公比的等比数列

所以)2(322≥?=-n na n n ----3分

故???

??≥?==-2,321,12n n

n a n n ------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2≥n 2232-?=n n n a n

当2≥n 时，2103236341-?+???+?+?+=n n n T ， ------------5分 121323)1(23433--?+?-+???+?+=∴n n n n n T ， ------------6分 两式相减得)2(3)2

1

(211≥-+=

-n n T n n ------------7分 又111==a T 也满足上式， ------------8分

所以)(3)2

1

(211*-∈-==

N n n T n n ------------9分 （Ⅲ）λ)1(+≤n a n 等价于1+≥n a

n λ， ------------10分

由（Ⅰ）可知当2≥n 时，)

1(3212

+?=

+-n n n a n n

设),,2(3

2)

1()(2

*-∈≥?+=

N n n n n n f n 则032)

1)(1()()1(1

-+-n n n n n f n f ， ------------12分 )(1)1(1n f n f ≥+∴，又31)2(1=f 及2121=a

， ------------13分

∴所求实数λ的取值范围为31≥λ,3

1

min =λ - -----14分

19解：（I ）函数1

ln )(-+=x a

x x f 的定义域是),1()1,0(+∞?；

2

2)

1(1)2()(-++-='x x x a x x f ，当)1,0(e x ∈时，有0)1(2

>-x x ，所以，由上式分子是二次函数，题意就转化为01)2()(2=++-=x a x x g 在)1

,0(e

x ∈有解且符合极值点要求，

令0))(()(=--=βαx x x g ，不妨设e

1

0<

<α，由2+=+a βα且1=αβ可得e >β；因此，只要01)0(>=g ，0121)1(2<++-

=e a e

e g ，得21

-+>e e a ． （II ）由0)(>'x f 得α<x ；由0)(<'x f 得1<

由101<

ln )()(1-+

=≤αααa

f x f ，由12>x 得1

ln )()(2-+

=≥βββa f x f ，所以，)()()()(12αβf f x f x f -≥-，由2+=+a βα且1=αβ得βββαβ1ln 2)()(-+=-f f ，由e >β，又β

ββ1

l n 2-+在e >β是递增的，所以，β

ββ1

ln 2-

+e e e e e 121ln 2-+=-

+>．即e

e x

f x f 1

2)()(12-+>-． 20.解（Ⅰ）：展开式中二项式系数最大的项是第4项，第4项是4T =3

3

6

3120

C n n ??= ???.

（Ⅱ）证法一：因()()22

112211x f x f n n ????

+=+++ ? ?????

≥11211x

n n ??

??

=+?+ ?

???

??

121x

n ??>+ ???

1121ln 12x

n ????>++ ? ?????()1121ln 12x

f x n n ????

'≥++= ? ?????

证法二：

因()()22112211x f x f n n ????+=+++ ? ????

?≥11211x

n n ????

=+?+ ?

???

??

而()11221ln 1x

f x n n ????

'=++ ? ?????

,故只需对11n ??+ ???和1ln 1n ??+ ???进行比较。

令()()ln 1g x x x x =-≥，有()11

1x g x x x

-'=-=

由1

0x x

-=，得1x =,因为当01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减；当1x <<+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以在1x =处()g x 有极小值1,故当1x >时，()()11g x g >=，从而有ln 1x x ->，亦即ln 1ln x x x >+>,故有111ln 1n n ????

+>+ ? ?????

恒

成立。所以()()()222f x f f x '+≥，原不等式成立。

（Ⅲ）对m N ∈，且1m >

有2012111111m k m

k m m m m m m C C C C C m m m m m ??????????+=++++++ ? ? ? ? ???????????

()()()()2111121111112!!!k m

m m m m m k m m m k m m m ---+-???????

=++++++ ? ? ?

?????? 11112111121111112!!!k m m k m m m m m m --????????????=+-++---++-- ? ??? ? ? ?????????????

111122!3!!!k m <++++++

()()

1111

2213211k k m m <++++++

??-- 11111112122311k k m m ????????=+-+-++-++- ? ? ? ?--????????

133m =-<,

又因()102,3,4,,k k m

C k m m ??>= ??? ，故1213m

m ??

<+< ???

∵11213m

m ??=≤+< ???又当m 时，有，从而有11213k

n

k n n k =??

<+< ??

?∑()1,>∈n N n 成立，

即存在2a =，使得11213k

n

k n n k =??

<+< ??

?∑恒成立。