辽宁省2016届高三上学期五校协作体期初考试数学(文)试题

2015-2016学年度上学期五校协作体高三期初考试

数学试题（文）

时间：120分钟 满分：150分 命题人：朱冬梅 校对人：丁红

说明：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成。第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上; 第Ⅱ卷为主观题，按要求答在试卷相应位置上。

第Ⅰ卷（选择题60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．设集合}0{,},{,

}ln ,2{=?==B A y x B x A 若，则y 的值为

A ．e

B ．1

C ．

e

1

D ．0 2.已知复数2014

1i z i

=+，则复数z 在复平面内对应的点位于

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3. 5.2PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据哈尔滨三中学生社团某日早6点至晚9点在南岗、群力两个校区附近的

5.2PM 监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的

茎叶图，南岗、群力两个校区浓度的方差较小的是 A ．南岗校区 B ．群力校区

C ．南岗、群力两个校区相等

D ．无法确定

4.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使

+

=成立的是

A ．=2

B ． ∥

C ． =﹣

D ． ⊥

5.已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2

n ＋1n ＋2

(n ∈N *

)，设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立考 号

姓 名

班 级

的自然数n

A ．有最大值63

B ．有最小值63

C ．有最大值31

D ．有最小值31 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为

3

7. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线与抛物线2

2y x =+有公共点，则此双曲线的

离心率的取值范围是

A ．[3,)+∞

B ．(3,)+∞

C ．(1,3]

D ．(1,3)

8.. 若下框图所给的程序运行结果为35S =，那判断框中应填入的关于k 的条件是

A.7k =

B.6k ≤

C.6k <

D.6k > 9.已知函数()()??

?>≤--=-7

,7,336

x a

x x a x f x 若数列{}n a 满足()()

*N n n f a n ∈=且{}n a 是递增数

列，则实数a 的取值范围是

A.??????3,49

B.??

? ??3,49 C. [)3,2 D.

()3,2

10. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为 A.π B. π2 C. π3 D. π4

11．若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2

－y 2

＝1；②y ＝x 2

－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2

对应的曲线中存在“自公切线”的有 A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④

12.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，

0)()(>+

'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)2

1

(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是 A ． b c a <<

B ．a c b <<

C ．c b a <<

D ．b a c <<

第Ⅱ卷 非选择题

二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）. 13．已知函数()232-=-a x x f 的图像过点（2,4）,则a =

14．设变量x ，y 满足约束条件：，则目标函数z=的最小值为 ．

15.过点A （1，1）与曲线C ：y=x 3

相切的直线方程是 .

16．若关于x 的函数()2222sin tx x t x

f x x t

+++=+（0t >）的最大值为M ，最小值为

N ，且4M +N =，则实数t 的值为 ．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，,2,3

3

2sin

==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且3

3

4,2==BD DC AD ,

（I ）求ABC ∠cos ； （II ）求BC 和AC 的长

18．（本小题满分12分）“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示。

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值

表供参考）

（23名幸运选手，

求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。

（参考公式：错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。）

19. （本小题满分12分）如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点.（I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .

20.(本小题满分12分)已知椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0，

). （1）求椭圆方程；

（2）设不过原点O 的直线l ：y kx m =+(0)k ≠，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为1k 、2k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

21.(本小题满分12分)已知函数()(1)x

f x x e -=+（e 为自然对数的底数）.

（1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设函数()()()x

x xf x tf x e ?-'=++，存在[]12,0,1,x x ∈使得122()()x x ??<成立，求

实数t 的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE ， 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F .

（Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.

（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，

GA 3=，求线段CE 的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为??

?=-=t

y t x 33，（t 为参数），以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42

=+-θρρ （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .

（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；

（Ⅱ）若1,1<

b

f a ab f >.

C

2015-2016学年度上学期五校协作体高三期初考试

数学试题（文）答案

一、

选择题：

1-5ＤＢＡＣＢ 6-10 ＣＡＤＤＣ 11-12 ＢＡ 二、填空：

13、３ 14、１ 15、3x ﹣y ﹣2=0或3x ﹣4y+1=0 16、２ 三、解答题：

17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，,2,3

3

2sin

==∠AB ABC 点D 在线段AC 上，且3

3

4,2=

=BD DC AD , （I ）求ABC COS ∠； （II ）求BC 和AC 的长

17、（Ⅰ）、3133212sin 21cos 2

2=???

? ???-=∠-=∠ABC ABC ................4分 （Ⅱ）、设

b DC a BC ==,则b AC b AD 3,2==

在ABC ?中，ABC COS BC AB BC AB AC ∠??-+=22

2

2

, 即,3

1

22492

2

???-+=a a b a a b 3

4

492

2-

+=….① ........6分 在ABC ?中，b

b BDA 23

3424

4316

cos 2??-+=∠，............8分

由0cos =∠+∠BDA COS BDC

得632

2

-=a b …② .....................10分

由①、②解得1,3==b a ，所以BC=3，AC=3............................12分

18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金。在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20

～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示。

（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）

（23名幸运选手，

求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率。 （参考公式：错误！未找到引用源。其中错误！未找到引用源。） 18. （1）

错误！未找到引用源。

有错误！未找到引用源。的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。------------- 6分 （2）（2）设事件A 为3名幸运选手中至少有一人在20~30岁之间，由已知得20~30岁之间的人数为2人，30~40岁之间的人数为4人，从6人中取3人的结果有20种，事件A 的结果有16种，错误！未找到引用源。 ------------- 12分

19. 如图，三棱台DEF ABC -中，2AB DE G H =，，分别为AC BC ，的中点. （I ）求证：//BD 平面FGH ；

（II ）若CF BC AB BC ⊥⊥，，求证：平面BCD ⊥平面EGH .

【答案】

试题解析：（I ）证法一：连接,.DG CD 设CD GF M ?=,连接MH ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE G =，分别为AC 的中点，可得//,DF GC DF GC =，所以四边形DFCG 是平行四边形，则M 为CD 的中点，又H 是BC 的中点，所以//HM BD , 又HM ?平面FGH ，BD ?平面FGH ，所以//BD 平面FGH .

证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点， 可得//,,BH EF BH EF =所以HBEF 为平行四边形，可得//.BE HF 在ABC ?中，G H ，分别为AC BC ，的中点， 所以//,GH AB 又GH HF H ?=， 所以平面//FGH 平面ABED ， 因为BD ?平面ABED ， 所以//BD 平面FGH .

..............................6分

(II)证明：连接HE .因为G H ，分别为AC BC ，的中点，所以//,GH AB 由,AB BC ⊥得

GH BC ⊥，又H 为BC 的中点，所以//,,EF HC EF HC =因此四边形EFCH 是平行四边

形，所以//.CF HE

又CF BC ⊥，所以HE BC ⊥.

又,HE GH ?平面EGH ，HE GH H ?=，所以BC ⊥平面EGH ， 又BC ?平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面.EGH .............12分 20.(本小题满分12分)

已知椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0

).

（1）求椭圆方程；

（2）设不过原点O 的直线l ：y kx m =+(0)k ≠，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为1k 、2k ，满足124k k k =+，试问：当k 变化时，2m 是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由. 20. 解：（1）

依题意可得

2221

,c a a b c

?=?=

????=+?解得.1,2==b a

所以椭圆C 的方程是.14

22

=+y x ……………………………………………………4分

（2）当k 变化时，2m 为定值，证明如下：

由22

14

y kx m x y =+???+=??得，()2221484(1)0k x kmx m +++-=. ……………………6分 设P ),(11y x ，Q ),(22y x .

则122

814km

x x k +=-+，()()212241,*14m x x k -=?????+ …………………………………7分

直线OP 、OQ 的斜率依次为12,k k ，且124k k k =+, ∴12121212

4y y kx m kx m

k x x x x ++=

+=+

，得()12122kx x m x x =+,……………………9分 将()*代入得：21

2

m =

，………………………………………………………………11分 经检验满足0?>.……………………………………………………………………12分

21.(本小题满分12分)

已知函数()(1)x f x x e -=+（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）设函数()()()x

x xf x tf x e ?-'=++，存在[]12,0,1,x x ∈使得122()()x x ??<成立，求

实数t 的取值范围。 21.解：

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是的⊙O 直径，CB 与⊙O 相切于B ，E 为线段CB 上一点，连接AC 、AE ， 分别交⊙O 于D 、G 两点，连接DG 交CB 于点F . （Ⅰ）求证：C 、D 、G 、E 四点共圆.

（Ⅱ）若F 为EB 的三等分点且靠近E ，EG 1=，GA 3=，求线段CE 的长.

22.证明：（Ⅰ）连接BD ，则ABD AGD ∠=∠，90?∠+∠=ABD DAB ，90?

∠+∠=C CAB 所以∠=∠C AGD ，所以180?

∠+∠=C DGE ，所以,,,C E G D 四点共圆..5分

（Ⅱ）因为2

?=EG EA EB ，则2=EB ，又F 为EB 三等分，所以23=

EF ，43

=FB ， 又因为2

FB FC FE FD FG =?=?，所以8

3

=

FC ，2=CE …………………….10分

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为??

?=-=t

y t x 33，（t 为参数），以坐标原点为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为03cos 42=+-θρρ （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离d 的取值范围. 23.解：（I ）直线l 的普通方程为：0333=+-y x ；

曲线的直角坐标方程为1)2(2

2

=+-y x ---------------------------4分 （II ）设点)sin ,cos 2(θθ+P )(R ∈θ，则

2

|

35)6cos(2|2|33sin )cos 2(3|++=

+-+=π

θθθd 所以d 的取值范围是]2

2

35,2235[

+-.--------------------------10分

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数1)(-=x x f .

（Ⅰ）解不等式6)3()1(≥++-x f x f ；

（Ⅱ）若1,1<

b f a ab f >.

24. （I ）不等式的解集是(,3][3,)-∞-+∞U ------------------------------5分 （II ）要证)()(a

b f a ab f >，只需证|||1|a b ab ->-，只需证22)()1(a b ab ->-

而0)1)(1(1)()1(22222222>--=+--=---b a b a b a a b ab ，从而原不等式成立.----------------------------------------10分