高考数学模拟试题卷带答案5

高考数学模拟试题卷带答案5

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）下列各式中，值为

2

2

的是（ ）

（A ）??75cos 75sin （B ）18

cos 22-π

（C ）

?-?

151152

tg tg （D ）

2

)

240cos(1?--

（2）已知x x f 2log )(=，则)1(1x f --的大致图形是（ ）

（3）如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1的长为l ，

,60,45111?=∠?=∠AC A DAC 则三棱锥C —B 1C 1D 1的体积为（ ）

（A ）

3242l （B ）

3

48

3l （C ）348

2l （D ）

324

3l （4）已知等差数列{a n }，公差为2，且S 100=10000，则a 1+a 3+a 5+…+a 99=（ ） （A ）2500 （B ）5050 （C ）5000 （D ）4950

（5）（理）如果θ是第二象限的角，那么直线02sin cos =++θθy x 的倾斜角的大小是（ ）

（A ）)(θctg arctg - （B ）)(θπctg arctg - （C ）)(θtg arctg -

（D ）)(θπtg arctg -

（文）直线bx+ay=1（a ＜0，b ＜0＝的倾斜角的余弦值是（ ）

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1x y

O

-2

(A)x

y O 2(B)

x

y O 2(C)

x

y

O 2(D)

（A ）

2

2

b

a a + （B ）

2

2

b

a b + （C ）

2

2

||b

a b + （D ）

2

2

||b

a a +

（6）已知三棱锥P —ABC 的三个侧面与底面全等，且底面边长BC=2，AB=AC=3，则以BC 为棱，以面BCP 与面BCA 为面的二面角的正弦值为（ ）

（A ）3

22

（B ）1 （C ）

522

（D ）2

3 （7）如果不等式1||<-m x 成立的充分非必要条件是2

1

31<

（A ）3

4

21<<-

m （B ）3

4

21≤≤-

m （C ）21-

4

>m

（D ）2

1

-≤m 或3

4

≥

m （8）（理）已知函数)12arcsin()(+=x x f )01(≤≤-x ，则)12

(

1π

-f 的值为 （A ）8

426-- （B ）41

-

（C ）8

426-+ （D ）41 （文）若点P )sin ,(cos αα在直线x y 2=上，则)4

2cos(π

α+的值为（ ）

（A ）

10

2

（B ）1027-

（C ）

10

2

7 （D ）10

2-

（9）53)(x y +展开式的第三项为10，则y 关于x 的函数图象的大致形状为

（10）（理）已知圆锥曲线的参数方程为 ?????

==α

αsin 32cos 2

y x （α为参数）

，F 1、F 2为此曲线的两焦点，若以此曲线所在直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则过F 1、F 2的直线的极坐标方程为（ ）

x

y

O (A)

x

y O

(B)

x

y

O

(C)

x

y

O

(D)

（A ）21cos =

θρ （B ）21cos -

=θρ （C ）2

1

sin =θρ

（D ）2

1

sin -=θρ

（文）已知曲线C 与C ′关于直线02=+-y x 对称，若C 的方程为

074422=++-+y x y x ，则C ′的方程为（ ）

（A ）0318822=+-++y x y x （B ）0318822=+--+y x y x （C ）0318822=++++y x y x

（D ）0318822=-+-+y x y x

（11）设F 1、F 2是双曲线122=-y x 的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹方程是（ ）

（A ）422=+y x （B ）222=+y x

（C ）122=+y x

（D ）222=-y x

（12）有一位同学写了这样一个不等式：

)(112

2R x c

c c

x c x ∈+≥

+++，他发现，当

c=1，2，3时，不等式对一切实数x 都成立，由此他作出如下猜测： ①当c 为所有自然数时，不等式对一切实数x 都成立； ②只存在有限个自然数c ，对R x ∈不等式都成立； ③当1≥c 时，不等式对一切R x ∈都成立； ④当0>c 时，不等式对一切R x ∈都成立． 则正确的是（ ）

（A ）①③ （B ）②

（C ）①③④

（D ）④

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上． （13）在等差数列{a n }中，a 3=0，S 7=－14，已知等比数列{b n }中，b 5=a 5，b 7=a 7，则b 6= ．

（14）若双曲线14)1(2

2=--m

y x 的一条准线是y 轴，则m= ．

（15）若A=},154|{N a a a ∈≤≤，从A 中每次取出三个元素，使它们的和为3的倍数， 则满足上述条件的不同取法的种数有 种．（用数字作答） （16）降水量是指水平地面上单位面积的降雨水的深度，用上口直径为40cm ，底面直径为28cm ，深为36cm 的圆台形水桶（轴截面如图）来测量降水量，如果在一次降雨过程中，用此桶盛的雨水正好是

桶深的6

1

，则本次下雨的降水量是 （精确到1mm ）．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

（理）解关于x 的不等式：)9

19

(log 2)1(log 33x x a a -+≤-，（a ＞0且a ≠1）．

（文）解关于x 的不等式：0]1)1(lg[32>+++-a x a a x ，（a ＞0且a ≠1）．

（18）（本小题满分12分） 已知

z 1=3+4i ，z 2=65)sin cos ββi + 1arg ),2

(z =<<απβπ

且

.13

5

)sin(=

+βα （Ⅰ）求2

β

tg ；

（Ⅱ）设z 1、z 2在复平面内所对应点分别为P 、Q 、O 为坐标原点，以OP 、OQ 为边作平行四边形OPRQ ，求对角线OR 的长及平行四边形OPRQ 的面积．

36

20

614

B A

D C O

（19）（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P —ABCD 的侧面PAD 与底面ABCD 垂直，△PAD 是边长为a 的正三角形，ABCD 为直角梯形， AB//CD ，DC=2a ，∠ADC=90°，∠DCB=45°，E 为BP 中点，F 在PC 上且PF=

4

1

PC ． （Ⅰ）求证EF//平面PAD ； （Ⅱ）求三棱锥E —PCD 的体积．

P

A

B

C

D F

E

（20）（本小题满分12分，文科做（Ⅰ）、（Ⅱ），理科全做）

已知奇函数).(,1

22

2)(R x a a x f x

x ∈+-+?= （Ⅰ）试确定实数a 的值，并证明f （x ）为R 上的增函数； （Ⅱ）记,,1)]12([log 212n n n n a a a S f a +++=--= 求n n S ∞

→lim ；

（Ⅲ）若方程α=)(x f 在（－∞，0）上有解，试证0)(31<<-αf ．

（21）（本小题满分12分）

某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，入世后因竞争加剧收入将逐月减少．分析测算得入世第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且入世后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自入世后第一个月起累计收入T

与时间n（以月为单位）的关系为T n=an+b，且入世第一个月时收入将为90 n

万元，第二个月时累计收入为170万元，问入世后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．

（22）（本小题满分14分，文科只做（Ⅰ）、（Ⅱ），理科全做）

已知抛物线C ：)0,0(),(2

>≠+=n m n x m y 的焦点为原点，C 的准线与直线

)0(02:≠=+-k k y kx l 的交点M 在x 轴上，l 与C 交于不同的两点A 、B ，

线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N （p ，0）．

（Ⅰ）求抛物线C 的方程； （Ⅱ）求实数p 的取值范围；

（Ⅲ）若C 的焦点和准线为椭圆Q 的一个焦点和一条准线，试求Q 的短轴的端点的轨迹方程．

高考模拟测试5 数学参考答案及评标准

一、

选择题（每小题5分，满分60分）本题考查基本知识和基本运算。

（理科）（1）B （2）C （3）C （4）D （5）A （6）B （7）A （8）A （9）A （10）A （11）C （12）A

（文科）（1）B （2）C （3）C （4）D （5）A （6）B （7）A （8）B （9）A （10）A （11）C （12）A

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分． （13）24± （14）m=12 （15）76 （16）32mm

三、解答题

（17）本题考查函数性质、不等式等基础知识；考查运算能力和分类讨论思想. 满分12分．

（理）解：原不等式等价于???

????

-≤->->-)

919(9log )1(log 091901323x x x x a a a a （5分）

即?????≤-+<<0

187)(91912

x x x a a a （6分） 得?????≤≤-<<2

99191x

x a a （7分） 21≤<∴x

a （8分） 当a ＞1时，不等式解集为}2log 0|{a x x ≤< （10分） 当0＜a ＜1时，不等式解集为{02log |<≤x x a } （12分） （文）解：11)1(32>+++-a x a a x （6分） 0))((2>--∴a x a x （8分）

当0＜a ＜1时，a 2＜a ，不等式解集为{a x a x x ><或2|} （10分） 当a ＞1时，不等式解集为}|{2a x a x x ><或 （12分） （18）本题考查三角运算能力，考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题

和解决问题的能力. 本题满分12分．

解：（Ⅰ）)2

,0(5

4sin ,5

3cos πααα∈==且 （1分）

2

32

2

π

βαπ

πβπ

<

+<∴

<<

（2分） 65

16

sin )sin(cos )cos(])cos[(cos -=+++=-+=αβααβααβαβ （5分）

65

63

sin =

β （6分） 7

9s i n c o s 12=

-=∴βββtg （7分） （Ⅱ）i z z z R 671321+-=+= （9分） 4658||=∴OR （10分） 又325

253

sin cos cos sin )sin(=

-=-αβαβαβ （11分） S OPRQ =|OP|·|OQ|·sin （β-α）=253 （12分）

（19）本题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力，

满分12分．

（I ）证：∵侧面PAD ⊥底面ABCD CD ⊥AD

∴CD ⊥平面PAD (2分) 同理AB ⊥平面PAD 且AB ⊥AP

取DC 、PC 中点为H 、G ，连结BH 、HG ， 则BH ⊥DC

又∠BCH=45°∴∠CBH=45°

由AB=AP=a ，CH=HB=a ，.2,2a BC a BP ==∴ 又CD=2a, DP=a, a DP CD CP 522=+=∴

△ PBC 中，G 为PC 中点，∴BG ⊥PC 易得a BH a HG a BG ===,2

1,2

3

∴△BGH 为直角三角形，且BG ⊥GH ∴GB ⊥平面PDC （5分）

∴GB ⊥CD 又CD ⊥HB ∴CD ⊥平面BGH ∴平面BGH ∥平面PAD

∴BG ∥平面PAD ∵EF ∥BG ∴EF ∥平面PAD （7分）

另法：作FM ∥CD 交PD 于M ?MF=

14DC=2a 作EN ∥AB 交PA 于N ?NE=12AB=2

a

? MF ∥NE 且MF ＝NE ?EFMN 为平行四边形?EF ∥MN ? EF ∥平面PAD

（II ）∵BG ⊥平面PDC ，EF ∥BG ∴EF ⊥平面PDC ∴EF 为三棱锥E —PDC 的高 （9分） 且EF=a a BG 4

32

32

12

1=?= 312

34

322

131a a a a V PDC E =????=∴-

即312

3a V PDC E =- （12分）

另法：取AD 的中点Q,

P

A

B

C

D F

E G H

E P D C V -=N PDC V -=Q PDC V -=P QDC V -

=

113

(2)3222a a a ????＝3312

a （20）本题考查函数概念、函数奇偶性、单调性、值域以及数列等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力. 满分12分．

解：（I ）22()21x x a a f x --?+--=+ 22

()21

x x

a a f x ?+--=-+ ?2222

2121

x x

x x

a a a a --?+-?+-=-++ ?0)1(2)1(=-+?-a a x 1a ∴=

2

()121

x

f x ∴=-+ （2分） 设+∞<<<∞-21x x

)

12)(12()22(2)()(21

2121++-=-x x x x x f x f 012,012,222121>+>+

)(x f ∴在R 上单调递增 （4分） （II ）1

211122--

=+--

=n n n a （5分）

)2

1

2()2

12

12

12

11(1

132----=+++++-=n n n S 2l i m -=∴∞

→n n S （7分） （III ）11

22

1)(<+-

=x

x f 又f （x ）为奇函数，且在R 上为单调增函数

)1,1()(-∈∴x f （9分） 当)0,1()()0,(-∈-∞∈x f x 时 欲使)0,()(-∞=在αx f 上有解

01<<-∴α （10分）)0()()1(f f f <<-∴α即0)(3

1<<-αf

即.0)(31<<-αf （12分） 另法：欲使)0,()(-∞=在αx f 上有解，也就是方程2

121

x α=-

+(,0)-∞在上有解，

所以2

1,021

x

x α∈-

-∞<<+的值域(1,0)-， 01<<-∴α )0()()1(f f f <<-∴α 即0)(3

1<<-αf

即.0)(31<<-αf

（21）本题考查建立不等关系式、数列求和、解不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分１２分．

解：入世改革后经过n 个月的纯收入为n T n --300万元 （3分） 不改革时的纯收入为]22

)

1(3[70?-+-n n n n （6分） 又??

?==∴??

?+=+=10

80

217090b a b

a b a （7分） 由题意建立不等式n n n n n n )1(3703001080--->--+ （9分） 即2.120290112>>-+n n n 得 （11分）

13,=∈n N n 取

答：经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入． （12分）

（22）本题考查椭圆、抛物线的概念和性质，直线的性质；考查运算能力和逻辑思维能力，以及综合应用知识的能力．满分１４分．

解：（I ）由题意，抛物线顶点为（－n ，0），又∵焦点为原点∴m ＞0 准

线

方

程

n m

x --

=4

且有m=4n.

（2分）

∵准线与直线l 交点在x 轴上，交点为)0,2

(m -

又l 与x 轴交于（－2，0），∴m=4，n=1 ∴抛物线方程为

y 2=4

（x+1）

（4分）

（II ）由)0(0)1(4)1(4)

1(40222222

≠=-+-+????

?+==+-k k x k x k x y k y kx 得

0)1(162>-=?k ∴－1＜k ＜1且k ≠0 （5分）

2

221)1(22k k x x -=+

k

y y 22

21=+

（6分）

∴AB 的中垂线方程为0],)1(2[1222

=---=-y k

k x k k y 令

得2

222

)1(22k k k p =-+= （7分） ∴p ∈（2，+∞） （8分） 另法：由2

22

1)1(22

k k x x -=

+ ，k

y y 22

21=+

?AB 的中点M(2

22(1)k k

-,2k

) ,

由AB ⊥MN ?,(2k

-0)/[

22

2(1)k k - - p]= 1k

-

?2

222

)1(22k

k k p =-+= ∴p ∈（2，+∞）

（III ）∵抛物线焦点F （0，0），准线x=－2 ∴x=－2是Q 的左准线

设Q 的中心为O ′（x ，0），则短轴端点为（±x ，y ） （9分）

（1） 若F 为左焦点，则c=x ＞0，b=|y|

∴a 2=b 2+c 2=x 2+y 2

依左准线方程有22

-=+-c c

a

22

2-=++-∴x x

y x

即y 2=2x （x ＞0） （12分） （2） 若F 为右焦点，则x ＜0，故c=－x ，b=|y|

∴a 2=b 2+c 2=x 2+y 2

依左准线方程有22-=--c c

a 即2)(22-=---+-∴x x

y x 化简得2x 2+2x+y 2=0

即12)2

1

(422=++y x （x ＜0，y ≠0） （14分）

（理）难度系数参考 总体难度0.60与0.59之间 各题难度系数参考:

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12）

难度 0.96 0.92 0.89 0.95 0.92 0.85 0.8 0.8 0.85 0.83 0.45 0.45

题号 （13） （14） （15） （16） （17） （18） （19） （20） （21） （22）

难度 0.80 0.87 0.5 0.6 0.78 0.7 0.65 0.64 0.66 0.5

文科总体难度0.5