2017高考精选高难度压轴填空题----平面向量
1. 在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ?＝_____________ 【答案】2
7-
解析： 2
7)(21)()()()(-=+?-=?-=+?-=?AC AB AB AC AQ AB AC QP AQ AB AC AP BC
2.
0,31=?==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =.
设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则
m n
等于 【答案】3
[解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈得 ???==?+=n
y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m x y 330tan 0== 法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈两边同乘或得
???????=??=?=?=?n n OB OC m m 333两式相除得3=n m
A
B C
P
Q
3. 在△ABC 中，若4=?=?，则边AB 的长等于 22 解析：4=?=?88)(2=?=+?
4. 已知点G 是ABC ?的重心，点P 是GBC ?内一点，若,AP AB AC λμλμ=++则的取值范围是___________)1,32
( 解析：=+=+='32
λ
)()(31
GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+< )(31 [)(31 n m t +?++?++ =nt mt )1(31)1(31+++，则)1,32 (31 32∈+=+t μλ 5. 已知O 为ABC ?所在平面内一点，满足22OA BC +=22OB CA += 22OC AB +，则点O 是ABC ?的 心 垂心 解析 ： 22OA BC +=22OB CA +=0 ))(())((=-++-+? 02=??，可知AB OC ⊥，其余同理 6. 设点O 是△ABC 的外心，AB ＝c ，AC ＝b ，()1122=+-c b 则→BC ·→AO 的取值 范围 ??????2,41 - A B C G P G ’ P ’ 解析：()1122=+-c b 222b b c -=?200<b )(2 122cos cos )(22c b R c cR R b bR cR bR -=?-? =-=?-=?βα ∈--=-=41)21(22b b b ??????2,41- 7. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于_____ 32 解析：（2007全国联赛类似38.39题）因为2=?+?AF AC AE AB ， 所以2)()(=+?++?，即22=?+?+?+。因为12=， 11 33236133133-=??-+??=?，-=，所以21)(1=--?+，即2=?BC BF 。设EF 与BC 的夹 角为θ，则有2cos ||||=??θ，即3cos θ=2，所以3 2cos =θ 8. 已知向量α,β,γ满足||1α=,||||αββ-=,()()0αγβγ-?-=.若对每一确定的β,||γ的最大值和最小值分别为,m n ,则对任意β,m n -的最小值是 2 1 解析：数形结合.=,=AC ,-=BC ,,=AD BD CD ⊥?-=-=αγβγ,， 点D 在以BC 为直径的圆上运动，m n -就是BC ，而2 1121,≥?≥?==BC BC AB BC AC （C B A ,,共线时取等号）和9题相同. 9. 已知向量a ，b ，c 满足 | a | = 1，|a - b | = | b |，(a - c ) (b - c ) = 0 ，若对每一个确定的b ，|c | 的最大值和最小值分别为m ，n ，则对于任意的向量b ，m + n 的 B C D A B C O α β B 最小值为_________ ．2 3 解析：本题和8完全相同。数形结合，具体参见8 10. 设21,e e 是夹角为060的两个单位向量，已知21,e e ==，y x +=， 若PMN ?是以M 为直角顶点的直角三角形，则实数y x -取值的集合为_____________{1} 解析：画图解即可 11. 如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点D A ,分别在x 轴，y 轴上正半轴上滑动，则?的最大值为________2 12sin ))((+=++θ 12. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为0120。如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动，若y x +=，其中R y x ∈,， 则y x +的最大值是___2 解析： 13)(2222222=-+=-+=?++=xy y x xy y x OB OA xy y x OC 22)2(3131)(y x xy y x +?+≤+=+ 【研究】如果要得到y x ,满足的准确条件，则建系，)2 3,21(),0,1(-==则 )23,21(y y x -=，则满足11)2 3()21(222=-+?=+-2xy y x y y x ，且0,2 121≥-≥-y y x 【变题】给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OB y OA x OC +=，其中x 、y ∈R ，则2 2)1(y x +-的最大值为 2 解析：建系，利用坐标法是可以得到y x ,最准确的满足条件，如)1,0(),0,1(==OB OA ),(y x =，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，故满足)0,0(122≥≥=+y x y x 13. 在平行四边形中，ABCD 已知?=∠==60DAB 1,AD 2,AB ，点AB M 为的中点，点 P 在CD BC 与上运动（包括端点），则?的取值范围是 ]1,2 1[- 解析：分两种情形，结合图形分析。（1）当P 在BC 上时，BP AB AP +=，则 ]1,2 1[211∈-=?+?=?BP ；同理，当P 在CD 上时，]2 1,21[2121-∈+-=?DM 14. 在周长为16的PMN ?中，6MN =，则PM PN ?的取值范围是 [)716， 解析：PM PN ?ab b a ab c b a ab ab -=-+=-+?==322 362cos 22222θ，因10=+b a ，故25)2 (2=+≤b a ab ，PM PN ?732≥-=ab ，或者用消元的方法 25)5()10(2+--=-=a a a ab 25≤，当5==b a 时取等号，故PM PN ? 732≥-=ab ；同时86106ab ， PM PN ?1632<-=ab 另法：本题可以得出P 的轨迹是椭圆，得出椭圆方程然后设P 坐标来解决 15. 已知||4,||6,O A O B O C x O A y O B ===+且21x y +=，AOB ∠是钝角，若 ()||f t OA tOB =- 的最小值为||OC 的最小值是 37解析：',,'B A C y x ?+=共线，用几何图形 解）()||f t OA tOB =- 的最小值为为A 到OB 的距离，易得0120=∠AOB ，要使||OC 最小， 则'AB OC ⊥，利用面积法可求得 16. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为 12 解析：坐标法解，)sin ,(cos ),1,2 1 (),1,1(θθ=-== O B B ’ A C 32 由AC DE AP λμ=+得??? ????+=+-=??????=+-=+θθμθθθθλθμλθμλsin cos 23sin cos 2cos 2sin 21sin 1cos 21， 1sin cos 2sin 13sin cos 23cos 2sin 2-++?=++-= +θθθθθθθμλ，令]2,0[,s i n c o s 2s i n 1)(πθθθθθ∈++= f ，0)sin cos 2(cos sin 22)('2>+-+=θθθθθf ，故)(θf 最小值为21)0(=f ，μλ+最小值为2 1 17. 已知P 为边长为1的等边ABC ?所在平面内一点，且满足2+=，则 PB PA ?=________3 解析：如图 CA CB CP 2+=CA BP 2=?，?= 3120cos 214)(02=??+=?+=?+PB BA PB PB BA PB 18. 已知向量M={ | =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={|=(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ?N=________{})62,46( 解析：15'5242'4231=?? ??+=++-=+λλλλλ 19. 等腰直角三角形ABC 中，90A ∠=? ，AB = ，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点M N 、分别为AB 边和AC 边上的点，且M N 、关于直线AD 对称，当12PM PN ?=-时，AM MB =______3 解析：))((++=? 20. 如图在三角形ABC 中，E 为斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，AB ＝1, P A C C A D E B 则()() CA CD CA CE ??的最大值是 227 解析： ()()CA CD CA CE ??272cos sin 21cos sin 21cos 2142232≤==?= A A A A CA A CA CD 21. 已知A ， B ，C 是平面上不共线上三点，动点P 满足?? ????++-+-=→→→→OC OB OA OP )21()1()1(31λλλ)0(≠∈λλ且R ,则P 的轨迹一定通过ABC ?的______________重心 解析：设重心为G ，3 2)(3)2(3λλ λ =+=?-+-= CG λ=，故P G C ,,三点共线 22. 已知点O 为ABC ? 24==,则=? 6 解析：61224cos 2cos 4)(=?-?=∠-∠=-=?R R R R BAO R CAO R AB AC AO BC AO 23. 设D 是ABC ?边BC 延长线上一点，记AC AB AD )1(λλ-+= ，若关于x 的方程 01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____ 4-<λ或122--=λ 解析：令x t sin =则01)1(22 =++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(λ，或者1220--=?=?λ 又AC AB AD )1(λλ-+=λ=?0 所以4-<λ或122--=λ 24. O 是锐角?ABC 所在平面内的一定点,动点P 满足:OP OA =+2AB AB Sin ABC λ? + ∠? 2AC AC Sin ACB ????∠?,()0,λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过?ABC 的______心 内心 解析：设高为AD ，则AD AP 1+=λ显然成立 25. 已知O 为坐标原点，(),OP x y =，(),0OA a =，()0,OB a =，()3,4OC =，记PA 、PB 、PC 中的最大值为M ，当a 取遍一切实数时，M 的取值范围是 _____)7?-+∞? ≥x y ≥ ，此时max {M =,当a 取遍一切实数时，点A 在x 轴上滑动，而到点C 的距离等于到x 轴距离的点的轨迹是以C 为焦点，x 轴为准线 的抛物线，其方程为)2(8)3(2-=-y x ,它交直线 x y =于点P )627,627(-- =，而A 为x PA ⊥的垂足时M 最小，即最小是627- 法2：对于某个固定的a ,到M 的最大值显然可以趋向∞+，M 最小值呢？实际上就是当P 为ABC ? ==M =的最小值，因为当P 不是外心时， 至少有一个会变大，这样M 就变大.解得外心坐标为P )14 225,14225(22----a a a a , ==最小，则圆与坐标轴相切，此时a a a =--14 2252627-=?a 26. 已知ABC ?中，I 为内心，2,3,4,AC BC AB AI xAB y AC ====+且，则x y +的值为 _________ . 23 , 解析：延长AI 交BC 于点'I ,则 AI 32313223+=+== 27. 设G 是ABC ?的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60° 解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==?==，下面用余弦定理即可求解 28. 平面内两个非零向量βα, 1=，且α与αβ-的夹角为0135 的取值 范围是_________]2,0( 45 sin 10=，)43,0(πθ∈ 29. 在ABC ?中，2,1==AC AB ，O 为ABC ?外接圆的圆心，则=?____ 23 解析： 2(2)(2)(=?-?=-? 2 3)2=- 30. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=．则C ∠= ．135 解析：3450OA OB OC +-=2 222524169=?++? 090=∠?===AOB r OC OB OA 31. 在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝7，AC =3，以A 为圆心，r =2为半径作一个圆，设PQ 为圆A 的任意一条直径，记T ＝→ →?CQ BP ,则T 的最大值为 ．22 A C O D E 解析：设,的夹角为θ，注意到由余弦定理知 060=∠CAB ，故→ →?CQ BP ?+?+?+?=++=))((θcos 14884)(60cos 380+=?+=--?+??]22,6[-∈ 32. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =BD ，1AD =， 则AC AD ?=____________3 33. 已知点O 为△ABC 内一点，且OA →＋2OB →＋3OC →＝0→，则△AOB 、 △AOC 、△BOC 的面积之比等于_______________3:2:1 法一：延长OB,OC 至B ’,C ’，使得OB OB 2'=,OC OC 3'=，则O 为''C AB ?重心，然后由面积计算；法二：建立坐标系，设A(0,0),C(c,0),B(a,b),O(x,y)， ???=-=-+0 620632y b x c a 3:1:3=?=???ABC AOC S S y b 34.已知A.B.C 是△ABC 的三个顶点，ABC AB ??+?+?=则,2为_________________三角形. 直角三角形 解：注意到2AB CB AB AC AB =?+?,故0=? 35.平面上的向量,满足422=+，且0=?,若向量3 231+= 的最大值为___________ 3 4916)34(912≤?≤+=PB ，即A P ,重合时. 36.已知在平面直角坐标系中，),,(),3,2(),1,0(),21,1(),0,0(y x P Q N M O 动点满足A B C P Q 0OQ OP ON OP OM OP ?≤?≤≤?≤则.10,1的最大值为 解析：即已知???≤≤≤+≤1 0120y y x 求y x 32+最大值问题，线性规划问题. 37、在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=?，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+= . 解析： BC AB AH μλ+=2 1，两边同数乘得μλ3=；两边同数乘AB 得368=-μλ 解方程组得3261,21=+?==μλμλ 38. 如图，在ABC ?和AEF ?中，B 是EF 的中点，2AB EF ==， 3CA CB ==， 若7AB AE AC AF ?+?=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于 _．3 1 解析：39632=?=，下面求 -?+?=-?-=?)()()( (])()([7)(?+++?-=?+?= ]4[7][72?+?+-=?-?+?+- =]22 14[7+?- -，解方程得2=? 39. 如图，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB=EF=1，CA=CB=2，若2AB AE AC AF ?+?=，则EF 与BC 的夹角等于 ； 解析：3 π 解题思路：在已知等式中，将不知模长的向量作替换转化。 ()()A B A E A C A F A B A B B E A C A B B F ?+?=?++?+ 1A B B E A C A B A C B F =+?+?+? EF 与BC 的夹角EF 与BC 的夹角∵BE BF =-， C ∴AB AE AC AF ?+?1()AC AB BF AC AB =+-?+? 12BC BF AC AB =+?+?= 而在等腰△ABC 中，作底边的高CD ，则在Rt △ACD 中由已知边长可得 1 12cos 24 CAB ∠==，设EF 与BC 的夹角为α。 ∴1||||cos ||||cos 2BC BF AC AB CAB α+?+?∠=， 从而1cos 2α=，又0απ<<，∴3 πα=。 40. 如图，已知Rt BCD △的一条直角边BC 与等腰Rt ABC △的斜边BC 2AB =，30CBD ∠=，AD mAB nAC =+， 则m n - ＝ .-1 解析：AD mAB nAC =+两边分别同乘,分别得到 n AC AD m AB 4,4=?=?4)()(4-=?+=?=-?n m 41.在ABC ?中，若I 是其内一点，满足0=?+?+?IC c IB b IA a ，求证：I 为内心 证明：)()()()(b c bc c b a c b a +=++?=++++? b c IA bc c b a +=++?，注意到b c ,是单位向量，则I 在角平分线上，同理可得I 是内心. 42. 已知向量,,满足条件：0OA OB OC ++=，且OA OB OC ===2，点P 是?ABC 内一动点，则=?+?+? 18 . 43. 如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外 的点D ，若B nO A mO C O +=，则n m +的取值范围是 （-1,0 ） 解析：设)1(-<=λλOC OD B nO A mO C O +=n m λλ+=?，由于 D B A ,,共线 )0,1(1 1-∈=+?=+λλλn m n m 44.如图，AC n AB m AP +=，点P n m ,满足的条件是___________1>+n m ，0,0>>n m 解析：设AP 与BC 交与点'P ，)1('>=λλ )(1'n m +=λ，1>=+λn m 45. 在△ABC 中，π6A ∠= ，D 是BC 边上任意一点（D 与B 、C 不重合），且22||||AB AD BD DC =+?，则B ∠等于 12 5π 解析：22||||AB AD BD DC =+?0)()(=?+??=?+? 说明AD 是BC 边中垂线，得AB=AC 46. 在ABC Rt ?中，?=∠90C ，,2==BC AC D 是ABC ?内切圆圆心，设P 是⊙D 外 的三角形ABC 区域内的动点，若μλ+=，则点),(μλ所在区域的面积为 π4 121- 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=? 中考数学填空压轴题大 全 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8- 2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是． 【答案】8555， 【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+== ，222(21)(221) 1256 +?++==， 2223(31)(231)123146+?+++== ，……，2222(1)(21) 123146 n n n n ++++++==…． ∴222229(291)(2291) 123296 +?+++++= (8555) 2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程： 计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得 2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得 S ＝211－1. 所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________. 【答案】201831 2 -， 【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得 3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32 ＋…＋3 2017 ＝2018312 -. 3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点 P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为． 【答案】（2，0）， 【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0）， P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），…… 观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数212=?； （2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”； （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______． 【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图． 5．（2017湖北黄石）观察下列各式： …… 按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可） 【答案】 1 n n +， 1．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，将△BEF 沿EF 折叠，点B 落在B ′ 处．如图1，当B ′ 在AD 上时，B ′ 在AD 上可移动的最大距离为_________；如图2，当B ′ 在矩形ABCD 内部时，AB ′ 的最小值为______________． 2．如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A 、B 两点，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，若AB ＝80cm ， _______________ 则在F 1和F 2围成的封闭图形上，平行于y 轴的线段长度的最大值为_____________． 9．如图，四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝7，CD ＝2，AD ＝x ，则x 的取值范围是（ ）． 10．已知正数a 、b 、c 满足a 2＋c 2＝16，b 2＋c 2＝25，则k ＝a 2＋b 2的取值范围是_________________． 11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 在AB 上，BD ＝AB ，则∠A 的取值范围是_________________． 12．函数y ＝2x 2 ＋4|x |－1的最小值是____________． 13．已知抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋4（0＜ a ＜3），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是抛物 线上两点，若x 1＜x 2，且x 1＋x 2＝1－a ，则y 1 __________ y 2（填“＞”、“＜”或“＝”） 14．如图，△ABC 中，∠A 的平分线交BC 于D 60°，则AD 的长为___________． 15．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝交AC 于E ，DF ⊥AB 交BC 于F ，设AD ＝x y 关于x 的函数解析式为A D B C F B ′ E F F F 图1 A D B C F B ′ E F F F 图2 A x D B C 7 4 2 C 一、选择题【共12道小题】 1、下列说法中正确的是( ) A.两个单位向量的数量积为1 B.若a··c且a≠0,则 C. D.若b⊥c,则()··b 参考答案与解析:解析：A中两向量的夹角不确定中若a⊥⊥与c反方向则不成立中应为中b⊥·0,所以()····b. 答案：D 主要考察知识点:向量、向量的运算 2、设e是单位向量222,则四边形是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形参考答案与解析:解析：,所以,且∥,所以四边形是平行四边形.又因为2,所以四边形是菱形. 答案：B 主要考察知识点:向量、向量的运算 3、已知1，a与b的夹角为90°,且2a3b，4b,若c⊥d,则实数k的值为( ) A.6 6 C.3 3 参考答案与解析:解析：∵c⊥d,∴c·(23b)·(4b)=0,即212=0,∴6. 答案：A 主要考察知识点:向量、向量的运算 4、设0≤θ＜2π,已知两个向量=(θ，θ)(2θ，2θ)，则向量长度的最大值是( ) A. B. C. D. 参考答案与解析:解析：=(2θθ,2θθ), 所以≤=. 答案：C 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 5、设向量(13)，(-2,4)，(-12)，若表示向量4a、4b-2c、2()、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(26) D.(-26) 参考答案与解析:解析：依题意,4422()0,所以644(-2，-6). 答案：D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 6、已知向量(3，4)，(-3，1)，a与b的夹角为θ,则θ等于( ) A. C.3 3 参考答案与解析:解析：由已知得a·3×(-3)+4×15，5，， 所以θ=. 由于θ∈［0，π］, 所以θ=. 所以θ 3. 答案：D 主要考察知识点:向量与向量运算的坐标表示 1.在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝3，P 是边BC 的垂直平分线上的一点，则BC AP ?u u u r u u u r ＝_ _ ___________ 【答案】2 7- 解析： 2 7 )(21)()()()(- =+?-=?-=+?-=? 2. 0,31=?==，点C 在AOB ∠内，AOC ∠30o =. 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ，则m n 等于 【答案】3 [解析]：法一：建立坐标系，设),(y x C 则由(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 得 ???==?+=n y m x n m y x 3)3,0()0,1(),(而030=∠AOC 故n m x y 330tan 0== 法二：(,)OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r 两边同乘或得 ??? ??? ? =?=?=?=?n n m m 333两式相除得3=n m 3.在△ABC 中，若4=?=?，则边AB 的长等于22 A O A B C P Q 解析：4=?=?CB AB AC AB 88)(2 =?=+?AB CB AC AB 4.已知点G 是ABC ?的重心，点P 是GBC ?内一点，若,AP AB AC λμλμ=++u u u r u u u r u u u r 则的取值范 围是___________)1,3 2( 解析： =+= +=''3 2 GP AG GP AG AP λ )()(31 GC n GB m t AC AB +++(其中1,10=+< A C B H E F P G 2017年中考压轴填空题精编 2301．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF ＝45°，过点E 、F 分别作AC 、BC 的垂线相交于点P ，垂足分别为G 、H ，则PG ·PH 的值为___________． 2302．已知抛物线C 1：y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点为P ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点P 关于 x 轴的对称点为Q ，抛物线C 2的顶点为A ，且过点Q ，对称轴与y 轴平行，若抛物线C 2的解析式为y ＝x 2 ＋2x ＋1，直线y ＝2x ＋m 经过A 、Q 两点，则抛物线C 1的解析式为______________． 2303．有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们 背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程 1－ax x －2 ＋2＝ 1 2－x 有正整数解的概率为____________． 2304．如图，点A 在抛物线y ＝x 2 －3x 的对称轴上，点B 在抛物线上，若AB 的最小值为2，则点A 的坐 标为____________． 2305．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝120°，∠ADC ＝90°，AB ＝2，BC ＝4，BD 平分∠ABC ，则AD ＝____________． D A C A B C P D 2306．已知直线y ＝ 1 2 x －1与双曲线y ＝ 2 x 的一个交点坐标为（a ，b ）（a ＜0），则 1 a ＋ 1 2b 的值为____________． 2307．已知直线y ＝kx ＋4与y 轴交于点A ，与双曲线y ＝ 5 x 相交于B 、C 两点，若AB ＝5AC ，则k 的值为_____________． 2308．已知二次函数y ＝－( x －m )2＋m 2 ＋1，当－2≤x ≤1时有最大值4，则m 的值为___________． 2309．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点P 是BC 边上一动点，且∠APD ＝∠B ，射线PD 交AC 于D ．若以A 为圆心，以AD 为半径的圆与BC 相切，则BP 的长是___________． 2310．将一副三角板按如图所示放置，∠BAC ＝∠BDC ＝90°，∠ABC ＝60°，∠DBC ＝45°，AB ＝2，连接AD ，则AD ＝____________． 2311．已知当0＜x ＜ 7 2 时，二次函数y ＝x 2 －4x ＋3－t 的图象与x 轴有公共点，则t 的取值范围是______________． A D B C 向量选填题训练1 1.下列判断正确的有（ ） ①若向量AB 与CD 共线，则,,,A B C D 在同一条直线上； ②若向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =； ④已知,R λμ∈，λμ≠，则()a λμ-与a 共线；⑤ABC ?中，必有0AB BC CA ++=. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2.若(2,3),(3,4)a b =-=-，则()a b -在()a b +上的投影等于（ ） A ．．．- D ．- 3.在ABC ?中，O 为中线AM 上的一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ?+的最小值是（ ） A ．．2 D ．2- 4.已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r ，若存在实数m 使得AB AC mAM +=u u u r u u u r u u u r 成立，则m =（ ） A ．2 B. 3 C. 4 D. 5 5.与向量(12,5)a =平行的单位向量为 . 6.已知(2,1),(,1)a b λ=--=，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 . 7.已知平面向量,(0,)αβααβ≠≠满足1β=，且α与βα-的夹角为120，则α的取值范围是 . 8.在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15BC e =，23DC e =，则OC =（ ） A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2 112e e - 9.对于菱形ABCD ，给出下列各式： ①BC AB =， ②||||BC AB =， ③||||BC AD CD AB +=-， \④222||||4||AC BD AB +=，其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10.已知向量(cos ,sin )a θθ=,(3,1)b =-，则2a b -的最大值、最小值分别是（ ） A ．4, B ．4,0 C ．16,0 D ．0 11．已知向量a e ≠，1e =，对任意t R ∈，恒有a te a e -≥-，则（ ） A ．e ⊥(a －e ) B ．a ⊥(a －e ) C ．a ⊥e D ．(a ＋e )⊥(a －e ) 12.在ABC ?中，若3,4,60AB AC BAC ==∠=，则BA AC ?= . 13.平面向量,a b 中，若(4,3)a =-，1b =，且5a b ?=，则向量b = . 平面向量高考经典试题 海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______； 答案：3 2 ； 解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10） 设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为 实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得 1．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，点E 、F 分别在线段AB 、BC 上，将△BEF 沿EF 折叠，点B 落在B ′ 处．如图1，当B ′ 在AD 上时，B ′ 在AD 上可移动的最大距离为_________；如图2，当B ′ 在矩形ABCD 内部时，AB ′ 的最小值为______________． 2．如图，乐器上一根弦固定在乐器面板上A 、B 两点，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，若AB ＝80cm ，则AC ＝______________cm ．（结果保留根号） 3．已知抛物线y ＝ax 2－2ax －1＋a （a ＞0）与直线x ＝2，x ＝3，y ＝1，y ＝2围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是___________________． 4．如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为_______________． 5．如图，已知A 1（1，0），A 2（1，－1），A 3（－1，－1），A 4（－1，1）， A 5（2，1），…，则点A 2010的坐标是__________________． 6．在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝3，BC ＝4．若以C 点为圆心，r 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则r 的取值范围是_________________． 7．已知⊙A 和⊙B 相交，⊙A 的半径为5，AB ＝8，那么⊙B 的半径r 的取值范围是_________________． 8．已知抛物线F 1：y ＝x 2－4x －1，抛物线F 2与F 1关于点（1，0）中心对称，则在F 1和F 2围成的封闭图形上，平行于y 轴的线段长度的最大值为_____________． 9．如图，四边形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝7，CD ＝2，AD ＝x ，则x 的取值范围是（ ）． A D B C B ′ E F 图 1 A D B C B ′ E F 图 2 C B A A 1 A 2 A 6 A 10 A 3 A 7 A 4 A 5 A 9 A 8 x y O A x D B C 7 4 2 高考数学选择题、填空题压轴题高效突破 第一部分 1.(2018届高三湖北省2月七校联考理数试题第12题)对*N n ∈，设n x 是关于x 的方程023=-+n x nx 的实数根，),3,2(],)1[(???=+=n x n a n n （符号][x 表示不超过x 的最大整数）．则= +???++2017 2018 32a a a （ ） A ．1010 B ．1012 C ．2018 D ．2020 解：A ． 2.(江西省K12联盟2018届高三教育质量检测数学(理科)试题第12题)已知函数 2()2e 22e 1x f x ax a =-+--，其中e a R ，∈为自然对数的底数，若函数()f x 在区间(0，1)内有两个 零点，则a 的取值范围是（ ） A ．2(2e 12e 2e 1)---， B ．(2)2e 1-， C. 22(2e 2e 12e )--， D.2(22e )， 解：2()2e 22e-1x f x ax a =-+-，则2()4e 2(01)x f x a x '=-，，∈， ∵2244e 4e x <<，所以 (1)若2 2e a ≥时，则()0f x '<,函数()f x 在(O ，1)内单调递减，故在(O ，1)内至多有一个零点，故舍去； (2)若2a ≤时，则()0f x '>，函数()f x 在(0，1)内单调递增，故在(O ，1)内至多有一个零点；故舍去； (3)若2 22e a <<时，函数()f x 在10ln 2 2a ? ? ?? ?，上递减，在1ln 122a ?? ??? ， 上递增， 所以min 1()ln 2ln 2e 1222a a f x g a a ?? ==--- ??? ． 令()2ln 2e 1=2ln ln 22e 12 x h x x x x x x x =----+--2(2e )x <<，则()ln 1ln 2h x x '=-++，当(22e)x ，∈时，()0()h x h x '>， 为增函数；当2(2e 2e )x ，∈，()0h x '<，()h x 为减函数，所以 第7章 平面向量习题 练习7.1.1 1、填空题 （1）只有大小，没有方向的量叫做 ；既有大小，又有方向的量叫做 ； （2）向量的大小叫做向量的 ，模为零的向量叫做 ，模为1的向量叫做 ； （3）方向相同或相反的两个非零向量互相 ，平行向量又叫 ，规定： 与任何一个向量平行； （4）当向量a 与向量b 的模相等，且方向相同时，称向量a 与向量b ； （5）与非零向量a 的模相等，且方向相反的向量叫做向量a 的 ； 2、选择题 （1）下列说法正确的是（ ） A ．若|a |=0，则a =0 B ．若|a |=|b |，则a =b C ．若|a |=|b |，则a 与b 是平行向量 D ．若a ∥b ，则a =b （2）下列命题： ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或 相反；③向量AB u u u r 与向量CD u u u r 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；④如果a ∥b ，b ∥c .那么a ∥c 正确的命题个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.0 参考答案： 1、（1）数量；向量（2）模；零向量；单位向量（3）平行的向量；共线向量；零向量 （4）相等（5）负向量 2、（1）A （2）B 练习7.1.2 1、选择题 （1）如右图所示，在平行四边行ABCD 中，下列结论错误的是（ ） A ．AB=DC u u u r u u u r B ．AD+AB=A C u u u r u u u r u u u r C ．AB +AD=B D u u u r u u u r u u u r D ．AD+CB=0u u u r u u u r r （2）化简：AB+BC CD u u u r u u u r u u u r =（ ） A ．AC u u u r B ．AD u u u r C ．B D u u u r D ．0r 2、作图题：如图所示，已知向量a 与b ，求a +b A D C B a b 历年平面向量高考试 题汇集 高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 1. 已知椭圆),0(122 22>>=+b a b y a x N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任 意一点，且直线PN PM ,的斜率分别为)0(,2121≠k k k k ，若21k k +的最小值为1，则椭 圆的离心率为_______ 2 3 解析：设),(),,(),,(222211y x N y x M y x P --，2 12 1221211,x x y y k x x y y k ++=--=，把M,N 代入 方程作差得 22 2122122 212122121010))(())((a b k k b k k a b y y y y a x x x x -=?=+?=-++-+ 121222 2121=?=≥+a b k k k k 2. M 是以B A ,为焦点的双曲线22 2 =-y x 右支上任一点，若点M 到点)1,3(C 与到点B 的距离之和为S ，则S 的取值范围是_______),2226[+∞- 解析：222622-= -≥+-=+a AC MC a MA MC MB 3. 设B A ,为双曲线)0(22 22≠=-λλb y a x 同一条渐近线上的两不同点， )0,1(=m , 6||,=AB 3=，则双曲线的离心率为_______________2或 3 3 2 3=21,cos >= 1.已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，则实数p 的取值范围是________)2 3,3(- 解析：反面考虑，补集思想，?? ?≤≤-0)1(0)1(f f 23,3≥-≤?p p 2. 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数 a 的值为 4 解析：2008年高考题，本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥ - 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2?? ??? 上单调递增，在区间1,12?? ???? 上单调递减，因此()max 142g x g ??== ???，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 特殊方法：抓住???≥≤??????≥≥-440)2 1(0)1(a a f f 3.函数1)3()(2 +-+=x m mx x f 的 图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为_______1≤m 解析：显然0≤m 成立，当0>m 时，100230≤--≥?m m m 4.设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数 ???>≤=K x f K K x f x f x f k )(,)(),()(，取函数x e x x f ---=2)(，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则K 的取值范围是_______1≥K 解析：2009湖南理，由定义知，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =即为K x f ≤)( 一、选择题 1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥， 则λ的值 ( ) 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( ) 5．已知1,2,()0a b a b a ==+=r r r r r g ，则向量b r 与a r 的夹角为（ ） 6．设向量(0,2),==r r a b ，则,r r a b 的夹角等于（ ） 7．若向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→b 平行，则 =+→ →b a （ ） 8．已知()()0,1,2,3-=-=，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ). 9．设平面向量(1,2)a =r ，(2,)b y =-r ，若向量,a b r r 共线，则3a b +r r =（ ） 10．平面向量a r 与b r 的夹角为60o ，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +r r = 11．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 12．设向量)2,1(=→a ，)1,(x b =→，当向量→→+b a 2与→→-b a 2平行时，则→ →?b a 等于 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥r r r r r r r 且，则向量a b r u r 与的夹角为（ ） 142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ） 15．已知向量AB u u u r ＝(cos120°，sin120°)，AC u u u r ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的 形状为 A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)- D ．(3,2)- 18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--=r r r r 则a （ ） 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于 20． 已知向量,a b r r 满足0,1,2,a b a b ?===r r r r 则2a b -=r r （ ） 21．设向量a r =（1.cos θ）与b r =（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ） 23．化简 AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r = 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r （ ） 一、多选题 1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 2．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=， 2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ） A ．//P B CQ B ．2133 BP BA BC = + C ．0PA PC ?< D ．2S = 3．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 4．已知点()4,6A ，33,2B ??- ??? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 5．在△ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（ ） A ．1122AE A B A C → →→ =+ B ．2AB EF →→ = C ．1133 CP CA CB → →→ =+ D ．2233 CP CA CB → →→ =+ 6．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 D ．在ABC 中， sin sin sin +=+a b c A B C 8．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） 高考压轴题精选 1. 如图为函数()1)f x x = <<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别 交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值围为 ▲ . 解： 2. 已知⊙A ：22 1x y +=，⊙B : 2 2 (3)(4)4x y -+-=，P 是平面一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切 点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ . 解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得： 01143=-+y x ， 这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为 5 11 3. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ； 解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数， 3(1)n a n d =+-，1n n b q -= 依题意有1363(1)22642(6)64n n nd a d n d a b q q b q S b d q +++-?====? ??=+=? ① 由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一， 解①得2,8d q == 故1 32(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= 4. 在ABC ? 中，2==?AC AB （1）求2 2 +（2）求ABC ?面积的最大值． ||||2BC AC AB =-=422 2 A C 平面向量 一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论： ①= -②= +③2 - = 其中正确 ．．结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．0个 2．下列命题正确的是（） A．向量的长度与向量的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若 → a → b → c，则 → a → c 3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于( ) A.+ B. C. D.+ 4．若，且与也互相垂直，则实数的值为( ) A． B.6 C. D.3 5．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（）A. B. C. D. 6．己知(2,－1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( ) A.(－2,11) B.( C.(,3) D.(2,－7) 7．设， a b是非零向量，若函数()()() f x x x =+- a b a b的图象是一条直线，则必有（） A．⊥ a b B．∥ a b C．|||| = a b D．|||| ≠ a b 8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（） A.（2,2） B.（4,6） C. （－6,0） D.（2,2）或（－6,0）或（4,6） 9.在直角ABC ?中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是 （A） 2 AC AC AB =?（B）2 BC BA BC =? （C） 2 AB AC CD =?（D）2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ??? = 10．设两个向量22 (2,cos) aλλα =+-和(,sin), 2 m b mα =+其中,,m λα为实数.若2, a b =则 m λ 的取值范围是 ( ) A.[6,1] - B.[4,8] C.(,1] -∞ D.[1,6] - 10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)} 二. 填空题:11．若向量a b ，的夹角为 60，1 a b ==，则() a a b -=． 12．向量2411 ()() ，，， a=b=．若向量() λ ⊥ b a+b，则实数λ 平面向量高考真题精选（一） 一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、 BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N平面向量历年高考题汇编难度高
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