高二数学寒假作业(人教A版必修五)不等关系与不等式word版含答案
高二数学寒假作业（人教A 版必修五）
不等关系与不等式
1．已知a ，b 为非零实数，且a
A ．a 2
B ．ab 2>a 2
b
C.1ab 2<1
a 2
b D.b a 解析：若a b 2，故A 错；若0a b ，故D 错；若ab <0，即a <0，b >0，则a 2b >ab 2 ，故B 错。 答案：C 2．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ＝N C ．M D ．与x 有关 解析：M －N ＝x 2＋x ＋1＝? ????x ＋122＋34 >0，所以M >N 。 答案：A 3．已知0 A.1b >1a B.? ????12a ??12b C ．(lg a )2<(lg b )2 D.1lg a >1lg b 解析：因为0? ????12b ；(lg a )2>(lg b )2；lg a 。 答案：D 4．如果a ，b ，c 满足c A ．ab >ac B ．bc >ac C ．cb 2 D ．ac (a －c )<0 答案：C 5．已知a ，b 为实数，则“a >b >1”是“ 1a －1<1b －1 ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A 6．已知－1 11＋a ，比较A ，B ，C 的大小结果为( ) A ．A C ．A D ．B 解析：方法一：不妨设a ＝－12，则A ＝54，B ＝34 ，C ＝2，由此得B 0， A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2>0得A >B ， C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a a 2 ＋a ＋1 1＋a ＝－a ???? ?? ? ????a ＋122＋341＋a >0，得C >A ，所以B 答案：B 7．已知a<0，－1 A ．a>ab>ab 2 B ．ab 2 >ab>a C ．ab>a>ab 2 D ．ab>ab 2>a 解析：∵－1 答案：D 8．已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( ) A ．若a>b ，则|a|>|b| B ．若a>b ，则1a <1b C ．若|a|>b ，则a 2>b 2 D ．若a>|b|，则a 2>b 2 解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a>|b|≥0，则a 2>b 2. 答案：D 9．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2 B.b a <1 C ．lg(a －b)>0 D.? ????13a ??13b 解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a 2 >1，lg(a －b)＝0，可排除A ，B ，C. 答案：D 10．下面四个条件中，使a>b 成立的充分而不必要条件是( ) A ．a>b ＋1 B ．a>b －1 C ．a 2>b 2 D ．a 3>b 3 解析：若a>b 成立，则a>b －1与a 3>b 3都成立，故排除B 、D.若a 2>b 2成立，则a>b 不一定成立，故排除C. 答案：A 11．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1a B.b a >b ＋1a ＋1 C ．a －1b >b －1a D.2a ＋b a ＋2b >a b 解析：当a ＝2，b ＝1时，B 、D 项不成立，排除B 和D ；另外，函数f(x)＝x －1x 是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x ＋1x 在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立． 所以a －1a >b －1b ?a ＋1b >b ＋1a . 答案：A 12．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________。 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b 13．若－1 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则 ????? x ＋y ＝2x －y ＝3，解得????? x ＝52y ＝－12。 又因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12 (a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132 ， 即－92<2a ＋3b <132 答案：? ?? ??－92，132 14．已知下列结论： ①若a >|b |，则a 2>b 2；②若a >b ，则1a <1b ； ③若a >b ，则a 3>b 3；④若a <0，－1 >a 。 其中正确的是________(只填序号即可)。 答案：①③④ 10．比较下列各组中两个代数式的大小： (1)3x 2－x ＋1与2x 2＋x －1； (2)当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b 与a b b a 。 解析：(1)∵3x 2－x ＋1－2x 2－x ＋1＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，∴3x 2－x ＋1＞2x 2＋x －1。 (2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝a a －b ? ????1b a －b ＝? ?? ??a b a －b 。 当a ＞b ，即a －b ＞0，a b ＞1时，? ?? ??a b a － b ＞1， ∴a a b b ＞a b b a 。 当a ＜b ，即a －b ＜0,0＜a b ＜1时，? ?? ? ?a b a －b ＞1， ∴a a b b ＞a b b a 。 ∴当a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，a a b b ＞a b b a 。 15．设0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小。 解析：方法一：作差比较 当a ＞1时，由0＜x ＜1知， log a (1－x )＜0，log a (1＋x )＞0，∴|log a (1－x )|－|log a (1＋x )|＝－log a (1－x )－log a (1＋x )＝－log a (1－x 2)， ∵0＜1－x 2＜1，∴log a (1－x 2 )＜0， 从而－log a (1－x 2)＞0， 故|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|。 方法三：作商比较 ∵|log a 1－x ||log a 1＋x |＝|log a 1－x log a 1＋x |＝|log (1＋x )(1－x )|， ∵0＜x ＜1，∴log (1＋x )(1－x )＜0， 故|log a 1－x ||log a 1＋x | ＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )11－x ＝1＋log (1＋x )? ?? ??11－x ·11＋x ＝1＋log (1＋x )11－x 2。 由0＜x ＜1知，1＋x ＞1及 1 1－x 2＞1， ∴log (1＋x )11－x 2＞0，故|log a 1－x ||log a 1＋x | ＞1， ∴|log a (1－x )|＞|log a (1＋x )|。 16．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人． (1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ (2)设1≤x 1 则f(x 2)－f(x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝（60×800－2 000a ）（x 2－x 1）（800＋ax 2）（800＋ax 1） >0， 所以60×800－2 000a>0，得a<24. 所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人． 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ）a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ） a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 1．1．1正弦定理 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 一.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课 [探索研究] 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == 思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B （2）当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 思考2：还有其方法吗？ 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。 C A B B C A 第三章 不等式 一、不等式的基本性质为： ① ；② ； ③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ； ⑦ ；⑧ ； 注意：特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。 二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 若0,>b a ，则ab b a ≥+2 （当且仅当b a =时取等号） 基本变形：①≥+b a ；≥+2)2 (b a ；②2_____________222b a b a ab +≤≤≤+ ③若R b a ∈,，则ab b a 222≥+，222)2(2b a b a +≥+；④_________)2 (_______2≤+≤b a 基本应用：①放缩，变形； ②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。 当p ab =（常数），当且仅当 时， ； 当S b a =+（常数），当且仅当 时， ； 常用的方法为：拆、凑、平方； 如：①函数)21(4294>-- =x x x y 的最小值 。 ②已知5 10< 等号） 三、绝对值不等式： ≤ ≤ ≤ 注意：?+<+||||||b a b a ； ?+=+||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?+<-||||||b a b a ；?+=-||||||b a b a ； ?-<-||||||b a b a ；?-=-||||||b a b a ； 四、常用的基本不等式： （1）设R b a ∈,，则0)(,022≥-≥b a a （当且仅当 时取等号） （2）a a ≥||（当且仅当 时取等号）；a a -≥||（当且仅当 时取等号） （3）若0,0>>b a ，则2233ab b a b a +≥+； （4）若R c b a ∈,,，则ca bc ab c b a ++≥++222 （5）若R c b a ∈,,，则)(3)()(32222c b a c b a ca bc ab ++≤++≤++ （6）柯西不等式：设R b b a a ∈2121,,,，则))(()(2 221222122211b b a a b a b a ++≤+ 注意：可从向量的角度理解：设),(),,(2121b b b a a a ==，则222)(b a b a ≤? （7）b a ab b a 110,>；?R m b a ,0,，若1a b ，则m a m b a b ++>； 五、证明不等式常用方法： （1）比较法：①作差比较：B A B A ≤?≤-0；②作商比较： B A B B A ≥?>≥)0(1 作差比较的步骤： （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。 （2）变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。 （3）判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。 （2）综合法：由因导果。 期末测试题 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在等差数列3，7，11…中，第5项为( )． A ．15 B ．18 C ．19 D ．23 2．数列{}n a 中，如果n a ＝3n (n ＝1，2，3，…) ，那么这个数列是( )． A ．公差为2的等差数列 B ．公差为3的等差数列 C ．首项为3的等比数列 D ．首项为1的等比数列 3．等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝8，a 3＋a 4＝3，那么它的公差是( )． A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 4．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a ＝3，b ＝4，∠C ＝60°， 则c 的值等于( )． A ．5 B ．13 C ．13 D ．37 5．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N +)，那么a 4的值为( )． A ．4 B ．8 C ．15 D ．31 6．△ABC 中，如果A a tan ＝B b tan ＝C c tan ，那么△ABC 是( )． A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形 D ．钝角三角形 7．如果a ＞b ＞0，t ＞0，设M ＝b a ，N ＝t b t a ++，那么( )． A ．M ＞N B ．M ＜N C ．M ＝N D ．M 与N 的大小关系随t 的变化而变化 8．如果{a n }为递增数列，则{a n }的通项公式可以为( )． A ．a n ＝－2n ＋3 B ．a n ＝－n 2－3n ＋1 C ．a n ＝ n 21 D ．a n ＝1＋log 2n 高二数学必修五知识点归纳 第一章解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C=, AB2 C2 sin AB2 cos C2 ②.在ABC中, ab＞c , ab＜c ; A＞BsinA＞sinB, A＞BcosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若ABC为锐角，则AB＞ ,B+C ＞ ,A+C ＞ a2b2＞c2，b2c2＞a2，a2＋c2＞b2 2、正弦定理与余弦定理：①. (2R为ABC外接圆的直径) a2Rsin A、b2Rsin B、c2RsinC sinA a2R 12 b2R 、 sinC 12 c2R 12 acsinB 面积公式：SABC absinC bcsinA ②.余弦定理：abc2bccosA、bac2accosB、cab2abcosC bca 2bc cosA、cosB ac b 2ac 222 、cosC abc 222 3第二章数列 1、数列的定义及数列的通项公式： ①. anf(n)，数列是定义域为N 的函数f(n)，当n依次取1，2，时的一列函数值② i.归纳法 若S00，则an不分段；若S00，则an分段iii. 若an1panq，则可设an1mp(anm)解得m,得等比数列anm Snf(an) iv. 若Snf(an)，先求a 1得到关于an1和an的递推关系式 Sf(a)n1n1Sn2an1 例如：Sn2an1先求a1，再构造方程组：（下减上）an12an12an Sn12an11 2.等差数列： ① 定义：a n1an=d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。② 通项d0时，an为关于n的一次函数； d＞0时，an为单调递增数列；d＜0时，a n为单调递减数列。 n(n1)2 ③ 前nna1 加油吧，少年，拼一次，无怨无悔！ 高二数学必修五全套学案 §1.1.1 正弦定理 学习目标 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． 学习过程 一、课前准备 试验：固定?ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动． 思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直 角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt?ABC中，设BC=a， AC=b，AB=c， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B = sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = 2019-2020年高二数学第六章不等式： 6.1不等式的性质(一) 优秀教案 教学目的： 1了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较两个代数式的大小． 教学重点：比较两实数大小． 教学难点：差值比较法：作差→变形→判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 复习初中学过的不等式的性质 ①正数的相反数是负数 ②任意实数的平方不小于0。 ③不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式， 不等号的方向不变。 ④不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的 方向不变。 ⑤不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的 方向改变。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等式实数的差的正负与实数的大小的比较有着密切关系，这种关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入m克糖后的糖水浓度为，只要证>即可怎么证呢?引人课题 二、讲解新课： 1．不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等） （3）不等式研究的范围是实数集R． 2．判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一下他们的差距，就可以判断他们的高矮了． 三、讲解范例： 例1比较(a＋3)（a－５）与（a＋2）（a－4）的大小分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)并根据实数运算的符号法则来得出两个代数 §1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形． 一、解三角形1.正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C = = = 2.三角形面积公式 111sin sin sin 2 2 2 A B C S bc A ac B ab C = == 3.余弦定理2222cos a b c bc A =+- 222cos 2b c a A bc +-= 4.韦达定理1212b x x a c x x a ? +=-?????=?? 二、数列1.等差数列A P 定义：()12n n a a d n n N d -+-=≥∈，，是常数 通项公式：()()()111n m a a n d a n m d pn q p d q a d =+-=+-=+==-， 等差中项：2 a b A a A b A P += ?，，成 性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N ++=+∈，，， 若{}n a 为A P ，则123456789a a a a a a a a a ++++++，，，…仍成A P 前n 项和：() ()12 1112 2 22n n n a a n n d d d S na An Bn A B a +-??= =+ =+==- ?? ?， 性质：当项数为2n 时，S S nd -=偶奇22n n n n n S S S AP d n d --'=23，，成， 2.等比数列G P 定义： () 1 20n n a q n n N q a +-=≥∈≠，，通项公式： 1 1 10n n m n m n m a a a q a q c q c q ---??=?=?=?=≠ ??? 等比中项：)0g a b a g b GP =≠?，，，成 性质：若m n p q +=+，则()m n p q a a a a m n p q N +=∈，，，21122n n n n a a a a a -+-+=?=? 2 1726354a a a a a a a ?=?=?=前n 项和：()11111111 n n n a q a a q q S q q na q ?--?=≠=?--? =?，，性质：当项数为2n 时， S q S =偶奇 ；2n n n n n n S S S G P q q --'=23，，成，三、不等式1.性质a b b a >?>?>， a b a c b c >?+>+0a b c ac bc >>?>，0a b c ac bc >>?+>+， a b c d a c b d >-，00a b c d ac bd >>>>?>，01n n a b a b n N n +>>?>∈>，， 01a b n N n +>>? > ∈>， 2.均值不等式如果a b R + ∈， ，则 2 a b +≥，当且仅当 a b =时，等式成立如果a b R +∈，，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等式成立 课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A =， sin b B =，又s i n 1 c C == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B 2.2.1不等式的基本性质 【学习目标】： 1.复习归纳不等式的基本性质； 2.学会证明这些性质； 3.并会利用不等式的性质解决一些简单的比较大小的问题。 【学习重点】：不等式性质的证明 【课前自主学习】： 1、数轴上右边的点表示的数总左边的点所表示的数，可知： ? a- > b b a a- = b ? a b ? < a- a b b 结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。2、不等式的基本性质： （1）对称性：b a>?； （2）传递性：? b a,； b > >c （3）同加性：? a； >b 推论：同加性：? > a,； b c >d （4）同乘性：? b ,c a， >0 > ,c a； b ? < >0 推论1：同乘性：? ,0d c b a； >0 > > > 推论2：乘方性：? n N a,0； b ∈ > >+ 推论3：开方性：? b n a,0； > ∈ >+ N 【问题发现】： 【问题导学，练习跟踪】： 例1. 用符号“>”或“<”填空，并说出应用了不等式的哪条性质． （1） 设a b >，3a - 3b -； （2） 设a b >，6a 6b ； （3） 设a b <，4a - 4b -； （4） 设a b <，52a - 52b -． 变式练习（1）设36x >，则 x > ； （2）设151x -<-，则 x > ． 例2. 已知0a b >>，0c d >>，求证ac bd >． 变式练习:已知a b >，c d >，求证a c b d +>+． 当堂检测： 1.如果b a >，则下列不等式成立的是（ ） A.b a 55-<- B.b a > C.bc ac > D.22bc ac > 2.如果0< B.b a > C.b b a 1 1 >- D.22b a > 3.已知b a ,为任意实数，那么（ ） A.b a >是的22b a >必要条件 B.b a >是b a -<-11的充要条件 C.b a >是b a >的充分条件 D.b a >是22b a >的必要条件 归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边. 三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质： 高中数学必修5_教材电子课本（人教 版）.pdf 篇一：人教版高一数学必修一电子课本1 第一章集合和函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义和表示 1.1.2 集合间的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 1.2.2 函数的表示法 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性和最大（小）值 1.3.2 奇偶性 第二章基本初等函数 2.1 指数函数 2.1.1 指数和指数幂的运算 2.1.2 指数函数及其性质 2.2 对数函数 2.2.1 对数和对数运算（一） 2.2.1 对数和对数运算（二） 2.2.2 对数函数及其性质 2.3 幂函数 第三章函数的使用 3.1 函数和方程 3.1.1 方程的根和函数的零点 3.1.2 用二分法求方程的近似解 3.2 函数模型及其使用1 2 3 4 5 篇二：人教版高一数学必修一至必修五教材目录 必修一、二、四、五章节内容 必修一必修四 第一章集合和函数的概念第一章三角函数1.1 集合 1.1 任意角和弧度制1.2 函数及其表示1.2 任意角的三角函数1.3 函数的基本性质第二章基本初等函数 2.1 指数函数2.2 对数函数2.3 幂函数第三章函数的使用 3.1 函数和方程3.2 函数模型及其使用必修五第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 使用举例第二章数列 2.1 数列的概念和简单表示方法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n 项和第三章不等式 3.1 不等关系和不等式3.2 一元一次不等式及其解法3.3 二元一次不等式(组) 及其解法3.4 基本不等式 1.3 三角函数的诱导公式 1.4 三角函数的图像和性质1.5 函数y=Asin(?x+?) 1.6 三角函数模型的简单使用第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.2 平面向量的线性运算 2.3 平面向量的基本定理及坐标表 2.4 平面向量的数量积 2.5 平面向量使用举例第三章三角恒等变换 3.1 两角和和差的正弦、余弦3.2 简单的三角恒等变换必修二 第一章空间几何体1.1 空间几何体的结构 1.2 空间几何体的三视图和直观图1.3 空间体的表面积和体积 第二章点、直线、平面间的关系2.1 空间点、直线、平面之间的位2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线和方程 3.1 直线的倾斜角和斜率3.2 直线的方程 3.3 直线的交点坐标和距离公式 《 等式性质与不等式性质》 1、知识与技能 （1）能用不等式 (组)表示实际问题的不等关系； （2）初步学会作差法比较两实数的大小； （3）掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 2、过程与方法 使学生感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；以问题方式代替例题，学习如何利用不等式研究及表示不等式，利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 3、情感态度与价值观 通过学生在学习过程中的感受、体验、认识状况及理解程度，注重问题情境、实际背景的设置，通过学生对问题的探究思考，广泛参与，改变学生学习方式，提高学习质量. 【教学重点】 能用不等式(组)表示实际问题的不等关系， 会作差法比较两实数的大小 ，通过类比法，掌握不等式的基本性质. 【教学难点】 运用不等式性质解决有关问题. （一）新课导入 用不等式(组)表示不等关系 中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,它的飞行速度(v )不小于第一宇宙速度(记作2v ),且小于第二宇宙速度(记 1v ). 12v v v ≤< （二）新课讲授 问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗 （1）某路段限速40km /h ； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm /h ，“限速40km /h ”就是v 的大小不能超过40，于是0＜v ≤40. 对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不少于%，蛋白质的含量p 应不少于%. 2.5%2.3% f p ≥??≥? 对于（3），设△ABC 的三条边为a ，b ，c ，则a +b ＞c ，a -b ＜c . 对于（4），如图，设C 是线段AB 外的任意一点，CD 垂直于AB ，垂足 为D ，E 是线段AB 上不同于D 的任意一点，则CD ＜CE . 以上我们根据实际问题所蕴含的不等关系抽象出了不等式图接着， 就可以用不等式研究相应的问题了 问题2:某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就可能减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 解：提价后销售的总收入为错误!x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式 必修五·数学试卷Ⅳ Ⅰ、选择题 一、选择题 1、在ABC V 中，若 sin cos A B a b = ，则角B 等于 （ ） A 、30? B 、45? C 、60? D 、90? 2、在ABC V 中，10,30a c A ===?，则角B 等于 （ ） A 、105? B 、60? C 、15? D 、105?或15? 3、已知一个锐角三角形的三边边长分别为3，4，a ，则a 的取值范围 （ ） A 、(1,5) B 、(1,7) C 、 ) D 、 ) 4、ABC V 中，若 1cos 1cos A a B b -=-，则ABC V 一定是 （ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、锐角三角形 D 、钝角三角形 5、在等差数列{} n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +等于 （ ） A 、45 B 、75 C 、180 D 、300 6、设等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，且2 11210,38m m m n a a a S -+-+-==，则m 等于 （ ） A 、38 B 、20 C 、10 D 、9 7、若数列{} n a 的通项公式为n a = ，且9m S =，则m 等于 （ ） A 、9 B 、10 C 、99 D 、100 8、已知{} n a 为等差数列，135105a a a ++=，34699a a a ++=，用n S 表示{} n a 的前n 项和，则使n S 达到最大值的n 是 （ ） A 、21 B 、20 C 、19 D 、18 9、若关于x 的不等式2 20ax bx ++>的解集为1 12 3x x ?? - < B 、12 a b a -< C 、22log log 2a b +<- D 、12a b b a a +> 12、已知集合{} 22 40,1M x x N x x ??=->= B 、{} 2x x <- C 、N D 、M Ⅱ、非选择题 二、填空题 13、ABC V 的三个内角之比为1:2:3，则这个三角形的三边之比为 . 14.已知数列{} n a 的前n 项和为2 31n S n n =++，则它的通项公式为 . 15、设等差数列{} n a 的前n 项和为n S ，且53655S S -=，则4a = . 16、已知函数16 ,(2,)2 y x x x =+∈-+∞+，则此函数的最小值为 . 三、解答题 17、在ABC V 中，已知a =2,150c B ==?，求边b 的长及ABC V 的面积S . 18、在ABC V 中，sin b a C =且sin(90)c a B =?-，试判断ABC V 的形状.(完整版)高二数学不等式练习题及答案(经典)
新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)
高中数学必修五 知识点总结【经典】
高二数学必修5全套教案(人教版)
人教版数学高二不等式知识点大整合
人教版高中数学必修5期末测试题
高二数学必修五知识点归纳
人教版高二数学必修五学案(全套)
2019-2020年高二数学 第六章 不等式： 6.1不等式的性质(一)优秀教案
人教版高中数学必修5全册导学案
数学必修5公式
高中数学人教版必修5全套教案
中职数学2.2.1不等式的基本性质
人教版高中数学必修五知识点总结
高中数学必修5教材电子课本(人教版)
人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》
人教版高中数学必修五试题