湖北鄂州二中2015届高三5月高考模拟考试数学(理)试题(含答案)

湖北省鄂州市二中2015届高三5月高考模拟试题

理科数学

命题人 潘内阁

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、已知z 为复数，()()2

3

11i z i -=+（i 为虚数单位），则z ＝（ ）

A 、1i +

B 、1i -+

C 、1i -

D 、1i --

2、已知25

{|log 4},{|

1}3A x Z x B x x

=∈<=≥-，则A B 的元素个数为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 3、当01x <<时，则下列大小关系正确的是 （ ）

A ．x x x

33log 3<< B ．x x x 33log 3<<

C ．33log 3x x x <<

D ．33log 3x x x << 4、已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是（ ） A.16π B. 48π C. 6π D. 12π 5、已知数据123 n x x x x ，，，，是武汉市n *

(3 )n n N ≥∈，

个普通职工的2014年的年收入,设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上比尔.盖茨的2014年的年收入1n x +（约80亿美元），则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）

A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变。

6、已知()1n

x -的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若()()0111n

x a a x -=+++

()221a x ++???()1n

n a x ++，则1a 等于（ ） A 、－14

B 、448

C 、－1024

D 、－16

7、在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222

0b c b c a ++-=

，则s i n (30)

a C

b c

-=-（ ）

（第10题图）

A ．

12 B ． 12- C ．2- D ．2

8、已知实数,x y 满足2122x y x y ++≤++,且11y -≤≤，则2z x y =+的最大值为（ ） A 、6

B 、5

C 、4

D 、－3

9、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，H 分别是棱A 1B 1，D 1C 1上的点（点E 与B 1不重合），且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F ，G ．设AB ＝2AA 1＝2a ．在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1内随机选取一点，记该点取自于几何体A 1ABFE-D 1DCGH 内的概率为P ，当点E ，F 分别在棱A 1B 1，BB 1上运动且满足EF ＝a 时，则P 的最小值为（ ）

A ．1116

B ．34

C ．1316

D ．78

10、如图，已知双曲线C ：22

221x y a b

-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，

以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,．若

60PAQ ∠=?且

3OQ OP =，则双曲线C

的离心率为( )

A

B

C D 第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。. （一）必考题（11-14题） 11、一物体在力10,(02)

()34,(2)

x F x x x ≤≤?=?

+>?（单位：N ）的作用下，沿着与力F 相同的方向，从0

x =处运动到4x =处（单位：m ），则力()F x 所做的功为 J ．

12、已知a, b 均为正数且θθθθ2222sin cos ,6sin cos b a b a +≤+则的最大值

为 ．

1 3、已知函数x

x f 2)(=且)()()(x h x g x f +=，其中)(x g 为奇函数, )(x h 为偶函数，若不等

式2()(2)0a g x h x ?+≥对?]2,1[∈x 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 14. 若函数y =f （x ）在定义域内给定区间[a ，b ]上存在x o （a

()()

f b f a b a

--，

则称函数y =f （x ）是[a ，b ]上的“平均值函数”，x o 是它的一个均值点．例如y =|x |是区间 [-2，2]上的“平均值函数”，O 就是它的均值点．

（I ）若函数f （x ）=x 2

-mx -1是[-1，1]上的“平均值函数”，则实数m 的取值范围是 ． （II ）若函数f （x ）=㏑x 是区间[a ，b ]（1b a >≥）上的“平均值函数”，x o 是它的一个

均值点，要使得ln x ab

<

m 的取值范围是 ． D 1

C 1 B 1

A 1 A

B

C

D

E G

F H

（二）选考题（请考生在第15/16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分） 15、（选修4-1：几何证明选讲）

如图所示，AB 是O 的直径，过圆上异于A 、B 的一点E 作切线CD ， 交AB 的延长线于点C ，过A 作AD CD ⊥交圆于F ，若CB=2，CE=4， 则AD 的长为

16、（选修4-4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，直线ρ(cos θ－sin θ)＋2＝0被曲线C ：ρ＝2所截得弦的中点的极坐标为________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分12分）已知向量

，

，其中,A B 是△ABC 的内角，

．

（1）求tanA?tanB 的值；

（2）若a 、b 、c 分别是角,,A B C 的对边，当角C 最大时，求2

ab

c 的值．

18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg }

n

a 的前n 项和最大？

19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，

PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是梯形，其中 AD //BC ，BA ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，M 是 AB 边上的点，已知PA =AD =4， AB =3，BC =2． （1）求证：BC ⊥PM ；

（1）设平面PMC 与平面PAB 所成锐二面角为θ，求cos θ的最大值与最小值； （2）已知AM =2BM ，且N 是PM 上一点，且ON //平面PCD ，求

PN

PM

的值． A P B

C

O

M N

20. （本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为4

1010.999-． （Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；

（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小

于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．

21．（本小题满分13分）

如图，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>

的离心率为2

，以椭圆C 的左顶点T 为圆心

作圆T ：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N ． （1）求椭圆C 的方程； （2）求TM TN ?的最小值；

（3）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线,MP NP 分别与x 轴交于点,R S ，

O 为坐标原点，求证：OR OS +是定值．

22.（本小题满分14分） 已知函数f (x )=ax +1

a x

-+(1-2a )(a ＞0) （1）当1

2

a ≥

时，比较f (x )与㏑x 在[1，+∞)上的大小关系； （2）证明：1+

12+13+…+1

n ＞㏑（n +1）+()

21n n +（n ≥1）； （3）已知S =111

1232014

+++???+

，求S 的整数部分.（ln 20147.6079≈，ln 20157.6084≈）

参考答案

1---10 BACDB BABDB

11．17,12??

-

+∞???? 14. (I) (0，2)； (II) 1m ≥, 16. ??? ?

?43,2π 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 解： =0

即

， ﹣5cos （A+B ）+4cos （A ﹣B ）=0

cosAcosB=9sinAsinB ∴tanA?tanB=．

（2）由于tanA?tanB=＞0，且A 、B 是△ABC 的内角，∴tanA ＞0，tanB ＞0

=

﹣，当且仅当

取等号．∴c 为最大边时，有

，tanC=﹣，

∴sinC=，sinA=

由正弦定理得：

22sin sin 5

sin 18

ab A B c C ==。

18. 解：（1）令n=1，得112

122a S a ==λ，0)2(11=-a a λ

若）（，时，，当则1n 0a 0a 2n 00n 1-n n n n 1≥=∴=-=≥==S S S a 若时，当，则2n 2

1a 0a 1≥=

≠λ

n n 2

a 2S +=

λ

，1-n 1-n 2

a 2S +=

λ

两式相减得）（，2n a 2a a a 2-a 21-n n n 1-n n ≥=∴=从而数列{}n a 为等比数列 所以λ

n

1

-n 1n 22

a a =

?=

综上：当0a 0a n 1==时，，当λ

n

n 12a 0=≠时，a ……………………（6分）

（2）当）知，由（时，令，1a 1

lg

b 1000a n

n 1==>λ2nlg -22100lg b n n ==

所以数列{}n b 是单调递减的等差数列（公差为-lg2）

令0,2lg20,2lg2,lg100lg2,10026n n n n a n n >∴->∴>∴>∴>∴≤

所以数列?

??

???n a 1lg 的前6项和最大。……………………（12分）

19、（1）略

（2）解法1：连接MO 并延长交CD 于G ，连接PG

∵ON//平面PCD, ∴ON//PG 在BAD 中 ∵12BO BC OD AD ==,又1

2

BM MA = ∴

BO BM

OD MA

= ∴MO//AD ………………………………………9分 又在直角梯形ABCD 中，MO=OG=4

3

，

∵ON//PG ∴PN=MN , ∴

1

2

PN PM = ………………12分 解法2 A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 为x.y,z 轴建立如图所示直角坐标系， 则A （0，0，0）、B （3，0，0）、C （3，2，0）、D （0，4，0）、M （2，0，0）、P （0，0，4）、O （2，4/3,0）

设平面PCD 的法向量 'v = (x’,y’,z’) ∵PC =(3,2,-4), PD =(0,4, -4) ∴3'2'4'0

4'4'0x y z y z +-=??

-=?

令'3y =，则'2,'3x z == ∴()'2,3,3v =

设PN ＝λPM ，则∵PM ＝（２，０，-４）∴PN ＝（２λ，０，－４λ） ON = AN AO AP PN AO -=+- =（2λ-2，-4/3,4-4λ） ∵ON ⊥'v ∴4λ-4-4+12-12λ=0 ∴12λ=,∴

1

2

PN PM = …12分

20. 解：（Ⅰ）记任一投保人出险的概率是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ．

记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金， 2分

()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又4

10()10.999P A =-，故0.001p =． 5

分

（Ⅱ）因为每人每年缴纳的保险费为10000元，所以保险公司总收入为10000a 元，

支出是赔偿金总额与成本的和，为1000050000ξ+元，

所以盈利10000(1000050000)a ηξ=-+，

所以盈利的期望为 100001000050000E a E ηξ=--，········ 9分 因为43~(1010)B ξ-，，31000010E ξ-=?，

所以4441010510E a E ηξ=--?44434

10101010510a -=-??-?．

0E η≥4441010105100a ?-?-?≥1050a ?--≥15a ?≥（元）． 故每位投保人应交纳的最低保费为15元． 12分

21．解：（1）依题意，得2a =

，c e a =

=

， 1,32

2=-==∴c a b c ；故椭圆C 的方程为2

2

14

x y +=（2）点M 与点N 关于x 轴对称，设),(11y x M ，),(11y x N -， 不妨设01>y ．

由于点M 在椭圆C 上，所以4

12

12

1x

y -=． （*）

由已知(2,0)T -，则),2(11y x +=，),2(11y x -+=，

2

1

211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+?+=?∴

344

5)41()2(12

12

12

1++=--+=x x x x 51)58(4521-+=x ．

由于221<<-x ，故当581-=x 时，TM TN ?取得最小值为1

5

-．

(3)设),(00y x P ，则直线MP 的方程为：)(01

01

00x x x x y y y y ---=

-， 令0y =，得101001y y y x y x x R --=

， 同理：1

01

001y y y x y x x S ++=，

故2

1

2

02

1

2

02

02

1y y y x y x x x S R --=

? （**）

又点M 与点P 在椭圆上，故)1(42

02

0y x -=，)1(42

12

1y x -=， 代入（**）式，得：

4)(4)1(4)1(42

1

2

02

1202

1

2

02

1

202021=--=

----=

?y y y y y y y y y y x x S R ．

所以4=?=?=?S R S R x x x x OS OR ，

22、解: (Ⅰ)令[)1

()()ln 12ln ,1,,a g x f x x ax a x x x

-=-=+

+--∈+∞ 则,

)1)(1()1(11)(',0)1(2

22

2x a a

x x a x a x ax x x a a x g g ---=---=---== 当.11,

21≤-≥a

a

a 时 因为)(,0)(',1x g x g x >>则是增函数，所以,0)1()(=>g x g 即()ln f x x > 。

（II ）由（I ）可知：当2

1

≥

a 时，有)1(ln )(≥≥x x x f 令,21=a 有)1(ln )1(21)(≥≥-=x x x x x f 且当x x

x ln )1

x 211>->（时，

令??

?

???+--+=??????+--<++=

)111()11(211121k 1ln ,1k k k k k k k k k x 有， 即n k k k k k ,...3,2,1),1

1

1(21ln )1ln(=++<

-+ 将上述n 个不等式依次相加得)

1(21)13121(21)1ln(+++???+++<

+n n n 整理得.)

1(2)1ln(131211+++>++++

n n

n n ……（9分） (Ⅲ)由重要不等式

ln(1)1x x x ≤++,令11x n =-，得1

ln ln(1)n n n <--， 通过累加可得1+12+13+…+1

n

1ln n <+，

所以1ln n +>1+

12+13+…+1

n

＞㏑(n+1)+()21n n +

令n=2014,得1+ln2014>S>ln2015+10072015

1+ln2014≈8.60791，ln2015+

1007

2015

≈8.1 所以S 的整数部分为8 …… …… （14分）