[工程流体力学(水力学)] 禹华谦1-5章习题解答

第一章 绪论

1-1．20℃的水2.5m 3，当温度升至80℃时，其体积增加多少？ [解] 温度变化前后质量守恒，即2211V V ρρ= 又20℃时，水的密度31/23.998m kg =ρ 80℃时，水的密度32/83.971m kg =ρ 32

1

125679.2m V V ==

∴ρρ 则增加的体积为3120679.0m V V V =-=?

1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度ν增加15%，重度γ减少10%，问此时动力粘度μ增加多少（百分数）？ [解] 原原ρννρμ)1.01()15.01(-+==

原原原μρν035.1035.1==

035.0035.1=-=-原

原

原原原μμμμμμ

此时动力粘度μ增加了3.5%

1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为μρ/)5.0(002.02y hy g u -=，式中ρ、μ分别为水的密度和动力粘度，h 为水深。试求m h 5.0=时渠底（y =0）处的切应力。 [解] μρ/)(002.0y h g dy

du

-=

)(002.0y h g dy

du

-==∴ρμ

τ 当h =0.5m ，y =0时

)05.0(807.91000002.0-??=τ

Pa 807.9=

1-4．一底面积为45×50cm 2，高为1cm 的木块，质量为5kg ，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s ，油层厚1cm ，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。

[解] 木块重量沿斜坡分力F 与切力T 平衡时，等速下滑

y

u A

T mg d d sin μθ== 001

.0145.04.062

.22sin 8.95sin ????=

=

δθμu A mg s Pa 1047.0?=μ

1-5．已知液体中流速沿y 方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律y

u

d d μτ=，定性绘出切应力沿y 方向的分布图。

[解]

第二章 流体静力学

2-1．一密闭盛水容器如图所示，U 形测压计液面高于容器内液面h=1.5m ，求容器液面的相对压强。

[解] gh p p a ρ+=0

kPa gh p p p a e 7.145.1807.910000=??==-=∴ρ

2-2．密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa 。压力表中心比A 点高0.5m ，A 点在液面下1.5m 。

求液面的绝对压强和相对压强。

[解] g p p A ρ5.0+=表

Pa g p g p p A 49008.9100049005.10-=?-=-=-=ρρ表 Pa p p p a 9310098000490000

=+-=+=' 2-3．多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m 。试求水面的绝对压强p abs 。

[解] )2.13.2()2.15.2()4.15.2()4.10.3(0-+=-+---+g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ

g p g g g p a 汞水汞水ρρρρ1.13.11.16.10+=+-+

kPa g g p p a 8.3628.9109.28.9106.132.2980009.22.2330=??-???+=-+=水汞ρρ

2-4． 水管A 、B 两点高差h 1=0.2m ，U 形压差计中水银液面高差h 2=0.2m 。试求A 、B 两点的压强差。（22.736N ／m 2）

[解] 221)(gh p h h g p B A 水银水ρρ+=++

Pa h h g gh p p B A 22736)2.02.0(8.9102.08.9106.13)(33212=+??-???=+-=-∴水水银ρρ

2-5．水车的水箱长3m,高1.8m ，盛水深1.2m ，以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度a 的允许值是多少？

[解] 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为： x g

a z -

=0 当m l

x 5.12-=-

=时，m z 6.02.18.10=-=，此时水不溢出 20/92.35

.16

.08.9s m x gz a =-?-=-=∴

2-6．矩形平板闸门AB 一侧挡水。已知长l =2m ，宽b =1m ，形心点水深h c =2m ，倾角α=45，闸门上缘A 处设有转轴，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。

[解] 作用在闸门上的总压力：

N A gh A p P c c 392001228.91000=????=?==ρ

作用点位置：m A y J y y c c c D 946.21245sin 221121

45sin 2

3

=????+=+=

m l h y c A 828.12

2

45sin 22sin =-=-= α

)(45cos A D y y P l T -=?∴

kN l y y P T A D 99.3045cos 2)

828.1946.2(3920045cos )(=?-?=-=

2-7．图示绕铰链O 转动的倾角α=60°的自动开启式矩形闸门，当闸门左侧水深h 1=2m ，右侧水深h 2=0.4m 时，闸门自动开启，试求铰链至水闸下端的距离x 。

[解] 左侧水作用于闸门的压力：

b h h g A gh F

c p ??==

60sin 21

1111ρρ

右侧水作用于闸门的压力：

b h h g A gh F

c p ??==

60

sin 22

2222ρρ )60sin 31()60sin 31(2

2

11

h x F h x F p p -=-∴ )60sin 31(60sin 2)60sin 31(60sin 22

22111

h x b h h g h x b h h g -?=-??ρρ

)60sin 31()60sin 31(22

2121

h x h h x h -=-? )60sin 4.031(4.0)60sin 231(22

2

-?=-??x x

m x 795.0=∴

2-8．一扇形闸门如图所示，宽度b=1.0m ，圆心角α=45°，闸门挡水深h=3m ，试求水对闸

门的作用力及方向

[解] 水平分力：

kN b h h g A gh F x c px 145.4432

.381.910002=???=??==ρρ

压力体体积：

3

2

22

21629.1)45sin 3(8]321)345sin 3(3[)45sin (8]21)45sin (

[m h h h h h V =-?+-?=-+-=

ππ 铅垂分力：

kN gV F pz 41.111629.181.91000=??==ρ

合力：

kN F F F pz px p 595.4541.11145.44222

2=+=+=

方向：

5.14145

.4441

.11arctan

arctan

===px

pz F F θ

2-9．如图所示容器，上层为空气，中层为3m N 8170=石油ρ的石油，下层为3m N 12550=甘油ρ 的甘油，试求：当测压管中的甘油表面高程为9.14m 时压力表的读数。 [解] 设甘油密度为1ρ，石油密度为2ρ，做等压面1--1，则有

)66.362.7()66.314.9(211?-?+=?-?=g p g p G ρρ

g p g G 2196.348.5ρρ+= g g p G 2196.348.5ρρ-=

96.317.848.525.12?-?=

2kN/m 78.34=

2-10．某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m ，高h 1= 1m ，铰接装置于距离底h 2= 0.4m ，闸门可绕A 点转动，求闸门自动打开的水深h 为多少米。 [解] 当2h h h D -<时，闸门自动开启

612121)2(121)2(113

1

1-+

-=-+-=+=h h bh h h bh h h A h J h h c C c D

将D h 代入上述不等式

4.0612121-<-+-h h h 1.06

121

<-h

得 ()m 3

4

>h

2-11．有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s 2沿与水平面成30o 夹角的斜面向上运动，试求容器中水面的倾角。

[解] 由液体平衡微分方程

)d d d (d z f y f x f p z y x ++=ρ

030cos a f x -=，0=y f ，)30sin (0a g f z +-=

在液面上为大气压，0d =p

0d )30sin (d 30cos 00=+--z a g x a

269.030sin 30cos tan d d 00=+==-a g a x z α 015=∴α

2-12．如图所示盛水U 形管，静止时，两支管水面距离管口均为h ，当U 形管绕OZ 轴以等角速

度ω旋转时，求保持液体不溢出管口的最大角速度ωmax 。

[解] 由液体质量守恒知，I 管液体上升高度与 II 管液体下降高度应相等，且两者液面同在一等压面上，满足等压面方程：

C z g

r =-22

2ω

液体不溢出，要求h z z 2II I ≤-， 以b r a r ==21,分别代入等压面方程得：

2

22

b a gh

-≤ω

2

2max 2

b a gh

-=∴ω

2-13．如图，060=α，上部油深h 1＝1.0m ，下部水深h 2＝2.0m ，油的重度γ=8.0kN/m 3，求：平板ab 单位宽度上的流体静压力及其作用点。

[解] 合力

kN

2.4660sin 60sin 2160sin 21021022011＝＋油水油h h h h h h b P γγγ+=Ω= 作用点：

m

h kN h h P 69.262.460sin 21'10

1

1

1===油γ

m h kN h h P 77.009.2360

sin 21'20

2

22===水γ m h kN

h h P 155.148.1860sin '30

2

1

3===油γ

'

'''kN b gh P 74.27145sin 28.91000

2sin 2222=?????=?=

αρ

作用点：

m h h 943.045sin 32sin 32'

2===

α 总压力大小：kN P P P 67.3474.2741.6221=-=-=

对B 点取矩：

'

''

[解] 液体作等加速度旋转时，压强分布为

C z g

r g p +-=)2(

2

2ωρ

积分常数C 由边界条件确定：设坐标原点放在顶盖的中心，则当00==z r r ，时，

a p p =（大气压），于是，

])(2[

2022

z r r g

g p p a --=-ωρ

在顶盖下表面，0=z ，此时压强为

)(2

1

2022r r p p a -=-ρω

顶盖下表面受到的液体压强是p ，上表面受到的是大气压强是p a ，总的压力为零，即

02)(2

12)(0

20220=-=-??rdr r r rdr p p R R a πρωπ 积分上式，得

2021r =

2-16．已知曲面AB 直分力Pz 。

[解] b gD P x 221ρ=8

3

?=g P z 441πρ ??=9810=2-17

[证明] 形心坐标2()5210

c c h h

z h H a h H a ==---=--

则压力中心的坐标为

32

1

;12

()1012(/10)

c D D c c c D J z h z z A

J Bh A Bh h h z H a H a h ==+=

==--+

-- 当D H a z ->，闸门自动打开，即1415

H a h >+

第三章 流体动力学基础

3-1．检验xy z y x z y u y x u y x ++-=+=+=)(4u ,2 ,2z 22不可压缩流体运动是否存在？ [解]（1）不可压缩流体连续方程

0=??+??+??z

u y u x u z

y x （2）方程左面项

x x u x 4=??；y y u y 4=??；)(4y x z

u

z +-=?? （2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流体连续方程，故运动存在。

3-2．某速度场可表示为0=+-=+=z y x u t y u t x u ；；，试求：（1）加速度；（2）流线；（3）t= 0时通过x =-1，y =1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？ [解] （1）t x a x ++=1

t y a y -+=1 写成矢量即 j i a )1()1(t y t x -++++=

0=z a

（2）二维流动，由

y

x u y u x d d =，积分得流线：1)ln()ln(C t y t x +--=+ 即 2))((C t y t x =-+

（3）1,1,0=-==y x t ，代入得流线中常数12-=C

流线方程：1-=xy ，该流线为二次曲线 （4）不可压缩流体连续方程：

0=++z

u y u x u z

y x ?????? 已知：0,1,1=-==z

u y u x u z y x ??????，故方程满足。 3-3．已知流速场j z y x i xy y x u )3()24(33+-+++=，试问：（1）点（1，1，2）的加速度是多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？

[解]

32433=++=++=z y x u z y x u xy y x u

0)2)(3()12)(24(0323+++-+++++???+??+??+??==

x z y x y x xy y x z

u

u y u u x u u t u dt du a x z x y x x x x x

代入（1，1，2）

1030)12)(213()112)(124(0=?+++-+++++=?x x a a

同理：

9=?y a

因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是j i a

9103+=

（2）运动要素是三个坐标的函数，属于三元流动

（3）0=??t

u

，属于恒定流动 （4）由于迁移加速度不等于0，属于非均匀流。

3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d =1mm 的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？

[解] 由题意s L s m D v

q V /047.0/10047.002.04

15.04

3322

=?=??

==-π

π

1298.0v v =；12398.0v v =；······；17898.0v v = n V S v d v v v v d q 12

17

12112

4

)98.098.098.0(4

ππ=

++++=

式中S n 为括号中的等比级数的n 项和。

由于首项a 1=1，公比q=0.98，项数n=8。于是

462.798

.0198.011)1(8

1=--=--=q q a S n n

s m S d q v n V /04.8462

.7001.010047.04142

3

21=????==-ππ s m v v /98.604.898.098.07178=?==

3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速按抛物线方程：])(1[20

max r r

u u -=对称分布，

式中管道半径r 0=3cm ，管轴上最大流速u max =0.15m/s ，试求总流量Q 与断面平均流速v 。

[解] 总流量：??-==0

020

max 2])(1[r A rdr r r

u udA Q π

s m r u /1012.203.015.02

2

34220max -?=??=

=

π

π

断面平均流速：s m u r r u r Q

v /075.02

2max

20

2

0max 20==

==

ππ

π 3-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所示。已知输水管直径d =200mm ，测得水银差压计读书h p =60mm ，若此时断面平均流速v =0.84u max ，这里u max 为皮托管前管轴上未受扰动水流的流速，问输水管中的流量Q 为多大？（3.85m/s ）

[解] g

p g u g p A A ρρ=+22

p p A A h h g p g p g u 6.12)1(22=-'=-=∴

γ

γρρ s m h g u p A /85.306.06.12807.926.122=???=?=

s m v d Q /102.085.384.02.04

4322=???=

=

π

π

3-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知d A =200mm ，d B =400mm ，A 点相对压强p A =68.6kPa ，B 点相对压强p B =39.2kPa ，B 点的断面平均流速v B =1m/s ，A 、B 两点高差△z=1.2m 。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失h w 。

[解] B B A A v d v d 2

24

4

π

π

=

s m v d d v B A B A /41)200

400(2

22

=?==∴

假定流动方向为A →B ，则根据伯努利方程

w B

B B B A A A A h g

v g p z g v g p z +++=++2222αραρ

其中z z z A B ?=-，取0.1≈=B A αα

z g

v v g p p h B

A B A w ?--+-=∴22

2ρ

2.1807

.92149807392006860022-?-+-=

056.2>=m

故假定正确。 3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d 1=200mm ，d 2=100mm ，两断面的间距l =2m 。若1-1断面处的流速v 1=2m/s ，水银差压计读数h p =20cm ，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失h w 和压强差p 1-p 2。

[解] 2221214

4

v d v d π

π

=

s m v d d v /82)100

200(2

122212=?==∴

假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程

w h g

v g p l g v g p +++=+245sin 22

2222111αραρ

其中

p p h h l g p p 6.12)1(45sin 21=-'

=--ρ

ρρ ，取0.121≈=αα 054.0807

.9264

42.06.1226.122

221<-=?-+?=-+=∴m g v v h h p w

故假定不正确，流动方向为2→1。

由

p p h h l g p p 6.12)1(45sin 21=-'

=--ρ

ρρ 得 )45sin 6.12(21 l h g p p p +=-ρ

kPa 58.38)45sin 22.06.12(9807=+??=

3-9．试证明变截面管道中的连续性微分方程为

0)

(1=??+??s

uA A t ρρ，这里s 为沿程坐标。 [证明] 取一微段ds ，单位时间沿s 方向流进、流出控制体的流体质量差△m s 为

)

()()21)(21)(21()21)(21)(21(略去高阶项s

uA ds s A

A ds s u u ds s ds s A A ds s u u ds s m s ??-=??+??+??+-??-??-??-

=?ρρρρρ因密度变化引起质量差为

Ads t

m ??=?ρ

ρ

由于ρm m s ?=?

0)(1)(=??+?????-=??s

uA A t ds s

uA Ads t ρρρρ

3-10．为了测量石油管道的流量，安装文丘里流量计，管道直径d 1=200mm ，流量计喉管直径d 2=100mm ，石油密度ρ=850kg/m 3，流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数h p =150mm 。问此时管中流量Q 多大？

[解] 根据文丘里流量计公式得

036.0873.3139.01)1.02

.0(807

.9242.014.31)(2442

4212

1==-??=-=d d g d K π s

L s m h K q p V /3.51/0513.015

.0)185

.06

.13(036.095.0)1(

3==?-??=-'=ρρμ 3-11．离心式通风机用集流器A 从大气中吸入空气。直径d =200mm 处，接一根细玻璃管，管

的下端插入水槽中。已知管中的水上升H =150mm ，求每秒钟吸入的空气量Q 。空气的密度ρ为1.29kg/m 3。

[解] gh p p p gh p a a 水水ρρ-=?=+22

s m h g v h g v g

v gh p g p g v p g p a a a /757.4729

.115.01000807.92222g 2g 00022

2222

2

2=???==?=?+

-=?++=++气水气水气水气气气ρρρρρρρρρ

s m v d q V /5.14

757

.472.014.343222

=??==π

3-12．已知图示水平管路中的流量q V =2.5L/s ，直径d 1=50mm ，d 2=25mm ，，压力表读数为9807Pa ，

若水头损失忽略不计，试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h 。

[解]

s m d q v s

m d q v v d v d q V V V /093.5025

.014.310

5.244/273.105.014.3105.244442

3

2222

3

21122

2121=???==

=???==?==--ππππ

O mH g g p g v v g p p g

v v g p p p g v p p g v

g p a a a 22

2

12

12

222

12

2212

222

112398.0807

.910009807

2273.1093.522)(2g 020=?--=--=-?

-=-+?+-+=++ρρρρρ

O mH g

p p h p gh p a a 22

22398.0=-=

?=+ρρ 3-13．水平方向射流，流量Q=36L/s ，流速v =30m/s ，受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡，截去流量Q 1=12 L/s ，并引起射流其余部分偏转，不计射流在平板上的阻力，试求射流的偏转角及对平板的作用力。（30°；456.6kN ）

[解] 取射流分成三股的地方为控制体，取x 轴向右为正向，取y 轴向上为正向，列水平即x 方向的动量方程，可得：

022cos v q v q F V V ραρ-='-

y 方向的动量方程：

?

=?===?=?-=305.02412sin sin sin 00

221111221122αααραρv v v q v q v q v q v q v q V V V V V V

不计重力影响的伯努利方程：

C v p =+22

1

ρ

控制体的过流截面的压强都等于当地大气压p a ，因此，v 0=v 1=v 2

N

F N

F F 5.4565.45630

10361000cos 301024100033='?-='-????-???='---α 3-14．如图（俯视图）所示，水自喷嘴射向一与其交角成60o的光滑平板。若喷嘴出口直径d =25mm ，喷射流量Q =33.4L/s ，，试求射流沿平板的分流流量Q 1、Q 2以及射流对平板的作用力F 。假定水头损失可忽略不计。

[解] v 0=v 1=v 2

s m d Q v /076.68025

.014.3104.33442

3

20=???==-π x 方向的动量方程：

s

L Q Q Q Q s

L Q Q Q Q Q Q Q Q Q Qv v Q v Q /05.2575.0/35.825.05.060cos 60cos )(0212222102211==-=?==?+=-??+=??

--+=ρρρ

y 方向的动量方程：

N

Qv F v Q F 12.196960sin )

60sin (000=?='??--='ρρ

3-15．图示嵌入支座内的一段输水管，其直径从d 1=1500mm 变化到d 2=1000mm 。若管道通过

流量q V =1.8m 3/s 时，支座前截面形心处的相对压强为392kPa ，试求渐变段支座所受的轴向力F 。不计水头损失。

[解] 由连续性方程：

s m d q v s m d q v v d v d q V V V /29.20

.114.38

.144/02.15.114.38.1444

42

22222112

2

212

1=??===??==?=

=

ππππ；

伯努利方程：

kPa v v p p g v p g v g p 898.3892

29

.202.110001039222g 0202

2

32

22

1122

2

22

11=-?+?=-?

+=?++=++ρρρ

动量方程：

kN F F F v v q d p F d p v v q F F F V V p p 21.382228617.30622518.692721)

02.129.2(8.110004

0.114.310898.38945.114.310392)(44

)

(23

23122

22

2

11

1221='?--='?-??=???-'-????-=-'-?-=-'-ρππρ

3-16．在水平放置的输水管道中，有一个转角045=α的变直径弯头如图所示，已知上游管道直径mm d 6001=，下游管道直径mm d 3002=，流量0.425V q =m 3/s ，压强kPa p 1401=，求水流对这段弯头的作用力，不计损失。

[解] （1）用连续性方程计算A v 和B v

1221440425 1.50.6V q .v πd π?=

==?m/s ； 22

2

2440425

6.020.3Q .v πd π.?===?m/s （2）用能量方程式计算2p

210.1152v g =m ；22

1.8492v g

=m 22

12211409810.115 1.849122.9822v v p p g .()g g ρ??=+-=+?-= ???

kN/m 2

（3）将流段1-2做为隔离体取出，建立图示坐标系，弯管对流体的作用力R 的分力为

Y X R R 和，列出y x 和两个坐标方向的动量方程式，得

22

22cos 45(cos 450)

4

y p d F Q v π

ρ-?+=?-

221

12

221cos 45(cos 45)4

4

x p d p d F Q v v π

π

ρ-?-=?-

将本题中的数据代入：

22

1

12

221cos 45(cos 45)4

4

x V F p d p d q v v π

π

ρ=-?-?-=32.27kN

2

2

22cos 45cos 454

y V F p d q v π

ρ=?+?

=7.95 kN

F ==33.23kN

1

0tan 13.83y x

F F θ-==

水流对弯管的作用力F 大小与F 相等，方向与F 相反。

3-17．带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B =3m ，孔高h =2m ，闸前水深H =4.5m ，泄流量q V =45m 3/s ，闸前水平，试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推力F ，并与按静压分布计算的结果进行比较。

[解] 由连续性方程：

s m v s m BH q v Bhv BHv q V V /5.72

345

/33.35.43452121=?==?==

?==； 动量方程：

)

(4.51)

33.35.7(451000)5.42(3807.910002

1

)

(21

21)

()(22122212211221→='='-?-?+-????='-?-++-='-?-++-='-?-='--kN F F F v v q B gh B gH F v v q F F F v v q F F F V V p p V p p ρρρρρ 按静压强分布计算

kN

F kN B h H g F 4.5194.913)25.4(807.9100021

)(2122='>=?-???=-=ρ

3-18．如图所示，在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形，单宽流量q V =14m 3/s ，上游水深h 1=5m ，试验求下游水深h 2及水流作用在单宽坝上的水平力F 。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。

[解] 由连续性方程：

2

211221114/8.2514h v s m Bh q v v Bh v Bh q V V ====

?==；

由伯努利方程：

m

h h h v h h g v g v h g v h 63.18.2)5(807.92)14

()(22020222222

1

21222

222

11=?+-?=?+-=?++=++

由动量方程：

kN

F F F h h g v v q F v v q F gh gh v v q F F F V V V p p 5.28)

63.15(807.910002

1

)8.263.114(141000)

(21)()(2

1

21)

(222

221121222211221='='-?-???--??='-?---='-?-='--?

-='--ρρρρρρ4-2 用式（4-3）证明压强差△p 、管径d 、重力加速度g 三个物理量是互相独立的。

解： = = =

将 、 、 的量纲幂指数代入幂指数行列式得 = -2 0

因为量纲幂指数行列式不为零，故 、 、 三者独立。

4-4 用量纲分析法，证明离心力公式为F= kWv2 / r 。式中，F 为离心力；

M 为作圆周运动物体的质量； 为该物体的速度；d 为半径；k 为由实验确定的常数。

解：设

据量纲一致性原则求指数 、 、 ：

M ： 1 = L ： 1 = T ： -2 = - 解得 = 1 = 2 = -1 故

4-6 有压管道流动的管壁面切应力 ，与流动速度 、管径D 、动力粘度 和

流体密度 有关，试用量纲分析法推导切应力 的表达式。

解：[解] 由已知 选择 为基本量，m=3，n=5，则组成n-m=2个π项

将π数方程写成量纲形式

解上述三元一次方程组，得