高中数学测试材料(导数单元检测基础)
一、 选择题(每题5分,共60分)
1.满足()()f x f x ¢=的函数是
A . f (x )=1-x
B. f (x )=x
C . f (x )=0
D . f (x )=1
2.曲线34y x x =-在点(-1,-3)处的切线方程是 A . 74y x =+
B. 72y x =+
C. 4y x =-
D. 2y x =-
3.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x ¢=,则m n +的值为
A. 3-
B. 1-
C. 1 D . 3 4.设ln y x x =-,则此函数在区间(0,1)内为
A .单调递增, B.有增有减 C.单调递减, D.不确定
5. 已知()f x =3x ·sin x x ,则(1)f ¢=
A .
31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3
1
sin1-cos1 D.sin1+cos1 6.函数f (x )=x 3
-3x +1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是 A . 1,-1 B. 3,-17 C. 1,-17 D. 9,-19
7.f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数,若f (x )、g (x )满足f ′(x )=g ′(x ),则 A f (x )=g (x ) B f (x )-g (x )为常数函数 C f (x )=g (x )=0 D f (x )+g (x )为常数函数
8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f ¢在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
9.设函数()f x 在定义域内可导,()y f x = ( )
10.设f (x )
,g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当
x <0时,f ′(x )
g (x )+
f (x )
g ′(x )>0, 且(3)0g -=,则不等式f (x )g (x )<0的解集是
A . (-3,0)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0,3) C . (-∞,-3)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3) 11.给出以下命题:
A B
C D
⑴若
()0b a
f x dx >?
,则f (x )>0; ⑵20
sin 4xdx =?
π;
⑶已知()()F x f x ¢=,且F (x )是以T 为周期的函数,则0
()()a a T T
f x dx f x dx +=?
?
;
其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.0
12.已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3,数列?
??
???)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为( )
2012
2011
.
2011
2010.
2010
2009.
2009
2008.
D C B A 二.填空题(每题5分,共20分)
13.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则a 的取值范围是__
14.函数32()26(f x x x m m =-+为常数) 在[22]-,
上有最大值3,那么此函数在[22]-, 上的最小值为_____ 15.周长为20cm 的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为 16.已知)(x f 为一次函数,且10
()2
()f x x f t dt =+?
,则)(x f =______ .
三.解答题(共70分)
17. (本小题满分10分)
已知曲线 3
2y x x =+- 在点 P 0 处的切线 1l 平行直线4x -y -1=0,且点 P 0 在第三象限. (1)求P 0的坐标;
(2)若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点P 0 ,求直线l 的方程.
18.(本小题满分12分)
将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做成一个无盖的方盒.欲使所得的方盒有最大容积,截去的小正方形的边长应为多少?方盒的最大容积为多少?
19.(本小题满分12分)
已知a 为实数,))(4()(2
a x x x f --= (1)求导数)(x f ¢;
(2)若0)1(=-¢f ,求)(x f 在[-2,2] 上的最大值和最小值; (3)若)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的,求a 的取值范围.
20.(本小题满分12分)
已知函数()ln(1)f x x x =+-. (1)求函数f (x )的单调递减区间; (2若1x >-,证明:1
1ln(1)1
x x x -≤+≤+.
21. (本小题满分12分)
已知函数()ln f x x =(0)x ≠,函数1
()()(0)()
g x af x x f x ¢=
+≠¢ (1)当0x ≠时,求函数()y g x =的表达式;
(2)若0a >,函数()y g x =在(0,)+∞上的最小值是2 ,求a 的值;
《导数及其应用》参考答案【理科】
一、选择题 CDBCB BBADD BD 二.填空题
13.2a > 或1a <- 14. 37- 15.
4000
27
π cm 2 16. ()1f x x =- 三.解答题
17.解:⑴由y =x 3+x -2,得y ′=3x 2+1,
由已知得3x 2+1=4,解之得x =±1.当x =1时,y =0;当x =-1时,y =-4. 又∵点P 0在第三象限, ∴切点P 0的坐标为 (-1,-4). ⑵∵直线1l l ⊥,1l 的斜率为4,∴直线l 的斜率为14
-, ∵l 过切点P 0,点P 0的坐标为 (-1,-4) ∴直线l 的方程为1
4(1)4
y x +=-
+即4170x y ++=. 18.解:设小正方形的边长为x ,则盒底的边长为a -2x ,
∴方盒的体积2(2)((0,)),2
a
V x a x x =-∈
121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226
a a a a a
V a x a x V x x x x V =--==
==?∈>令则由且对于
(,),'0,62
a a x V ∈<∴函数V 在点x =a
6处取得极大值,由于问题的最大值存在,
∴V (a 6)=2a 327即为容积的最大值,此时小正方形的边长为a 6
.
19. 解:⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--=¢ax x x f
⑵由0)1(=-¢f 得21=
a ,此时有43)(),21)(4()(2
2--=¢--=x x x f x x x f . 由0)(=¢x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,2
9
)1(,2750)34(==-=--
=f f f f 所以f(x)在[-2,2]上的最大值为,2
9
最小值为.2750- ⑶解法一:423)(2--=¢ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥¢≥-¢f f 即
{
480840
a a +≥-≥ ∴-2≤a ≤2.
所以a 的取值范围为[-2,2].
解法二:令0)(=¢x f 即,04232
=--ax x 由求根公式得: 1,212()3
a x x x =<
所以.423)(2--=¢ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当2x -…或2x …时, )(x f ¢≥0, 从而12x -…, 22x …,
即???+≤+-≤+612.
61222
a a a a 解不等式组得-2≤a ≤2.
∴a 的取值范围是[2,2]-.
20.解:⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞.()f x ¢=11x +-1=-1
x x +. 由()f x ¢<0及x >-1,得x >0.
∴ 当x ∈(0,+∞)时,f (x )是减函数,即f (x )的单调递减区间为(0,+∞).
⑵证明:由⑴知,当x ∈(-1,0)时,()f x ¢>0,当x ∈(0,+∞)时,()f x ¢<0, 因此,当1x >-时,()f x ≤(0)f ,即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤.
令1()ln(1)11g x x x =++
-+,则211
()1(1)g x x x ¢=-++=2
(1)x x +. ∴ 当x ∈(-1,0)时,()g x ¢<0,当x ∈(0,+∞)时,()g x ¢>0.
∴ 当1x >-时,()g x ≥(0)g ,即 1ln(1)11x x ++-+≥0,∴ 1ln(1)11
x x +≥-+.
综上可知,当1x >-时,有1
1ln(1)1
x x x -≤+≤+. 21.解:⑴∵()ln f x x =,
∴当0x >时,()ln f x x =; 当0x <时,()ln()f x x =-
∴当0x >时,1()f x x ¢=
; 当0x <时,11
()(1)f x x x
¢=
?-=-. ∴当0x ≠时,函数()a
y g x x x ==+.
⑵∵由⑴知当0x >时,()a
g x x x
=+,
∴当0,0a x >>时
, ()≥g x
x =.
∴函数()y g x =在(0,)+∞
上的最小值是
∴依题意得2=∴1a =.
⑶由27361
y x y x x ?=+????=+??
解得2121322,51326x x y y ?==????
??=??=???
∴直线27
36
y x =
+与函数()y g x =的图象所围成图形的面积 232271()()3
6S x x dx x ??
=+-+?????=2ln 23ln 247-+