陕西省高中数学必修四(北师大版)第一章学案 正切函数的图像和性质导学案
413【导学案】正切函数的定义、图像与性质
班级 姓名 组号 编写人： 王育鸽 审核人： 王松涛
【学习目标】
1、通过单位圆理解任意角的正切函数的定义；
2、能借助单位圆中的正切线画出正切函数的图像；
【学习重点】 正切函数的定义、图像和性质
【学习难点】正切函数图像
【学习过程】一、预习自学（阅读课本第36～38页，完成下列空格）
(1)在直角坐标系中,如果角α满足：α∈R, α≠ ，且角的终边与单位圆交于点P(a ，b)，那么比值a
b 叫作角α的正切函数，记作 ，其中α∈R, ．
(2)与正弦函数、余弦函数的关系
tan α= （α∈R, α≠ ）
(3)课本37页图1-42所示，线段 为角α的正切线.
(4)正切函数的图像与性质
二、合作探究 探究1. 根据正切函数的定义，想一想：当角α的终边在x 轴、y 轴及四个象限内时，正切值的情况如何？
探究2. 如何快速的作出正切函数的图像？观察正切曲线，写出满足下列条件的条件的x 的取值的集合。
（1）tanx>0 (2) tanx=0 （3）tanx<0
探究3. 已知角α的终边经过点（5，-12），试利用任意角的三角函数定义求解
sin α、cos α、tan α的值.
探究4.比较大小：（1）tan135tan138与 （2）1317tan -(-)45
ππ（）与tan 三、达标检测
1.函数tan （x-4π）的定义域是 ．
2.函数tan （x+4π）单调增区间是 ．
3.不求值，比较下列各组函数值的大小
（1）tan1与tan2 （2）tan （-8
π）与 tan （-12π）
4、已知P （x,3）是角θ终边上一点，且tan θ=求x 的值。 四、学习体会
谈谈你本节课的收获与疑惑之处：
五、课后延伸
利用函数图像变换规律作出tan
的图像并讨论它的周期性和单调区间。
y x
正切函数的性质与图像教学设计
《正切函数的性质与图像》的教学设计 一.教材分析 1.地位与作用 《正切函数的性质与图像》是高中《数学》必修4第一章第四节内容。在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质，研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升。 2.教材处理 教材采用探究的方法引导学生注意正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以提问的方式，让学生回忆如何由正弦线得到正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。设计问题一步步引导学生注意画正切曲线的细节。我把空间留给学生，采用让学生自己设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力。二．学情分析 通过对正弦函数图像与性质的研究，学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，比如定义域，函数区间等问题。这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 三．教学目标确定 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.知识目标： 1）、能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像。 2）、熟练根据正切函数的图像推导出正切函数的性质。 3）、掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 2.能力目标： 1）、通过类比，联系正弦函数图像的作法 2）、能学以致用，结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的性质。3、德育目标： 使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 4.重点与难点 重点：正切函数的图象及其主要性质。 难点：熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 教学模式：启发、探究式发现教学. 四．流程设计 （一）.复习引入： （1）问题：如何用正弦线作正弦函数图像呢？ （2）类比：利用正切线得到正切函数x 的图像 y tan
《正切函数的图像与性质》 教案及说明
课题：正切函数的图像与性质 教材：上海教育出版社高中一年级第二学期（试用本）第六章第二节 授课教师： 教学目标 （1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质． （2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． （3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点 掌握正切函数的基本性质． 教学难点 正切函数的单调性及证明． 教学方法 教师启发讲授，学生积极探究． 教学手段 计算机辅助． 教学过程 一、 设置疑问，引入新课 1、正切函数的定义 有同学，类比正弦函数、余弦函数的定义，定义了一个正切函数： 对于任意一个实数x ，都有唯一确定的值tan x 与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为tan y x =，叫做正切函数． 大家认为这个定义是否完善？ 强调：,2 x k k Z π π≠+ ∈．
(设计意图：,2 x k k Z π π≠+∈，是学生容易出错的地方，通过学生之间的自我纠错，理 解不能取,2 k k Z π π+ ∈的理由) 今天我们就要研究正切函数tan y x =（,2 x k k Z π π≠+∈）的图像与性质． 2、作函数图像的常用的方法是什么？ （1）描点法是作函数图像最基本的方法； （2）利用基本初等函数图像的变换作图． 大家认为应该选择哪种方法呢？ 学生的回答会选择（1）． 教师引导：描点应该结合函数的性质，描关键点、特殊点． 所以，首先研究函数的基本性质． 二、 主动探究，解决问题 （一）利用定义，研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域：|,,2x x R x k k Z π π? ?∈≠+∈??? ? ． 学生可以迅速解决． 2、 值域：R 请学生回答，并讲清楚理由，从而引出对正切线的复习． 复习正切线： 正切线是角x 与tanx 关系的直观体现，正切函数的性质融于其中． 3、 奇偶性：奇函数． 学生会利用tan()tan x x -=-迅速做出判断． 问：该函数是偶函数吗？
正切函数图像及性质
第14讲 正切函数的性质与图像 第一部分 知识梳理 1. 正切函数的图像 2. 正切函数 的性质 3. 函数tan()y A x ω?=+的周期为T πω = 第二部分 精讲点拨 考点1 正切函数的图像的应用 （1 ） 直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x =相交的相邻两点间的距离是（ ） .A π .B 2 π .C 2π D 与a 值有关 y
[].1EX 解不等式tan 1x ≥- 考点2 正切函数性质应用 （2）不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小 ①0 tan167与0 tan173； ② 11tan 4π??- ???与13tan 5 π ?? - ??? （3）求函数tan 2y x =的定义域、值域和周期，并且求出它在区间[],ππ-内的图像 考点3 利用整理的思想求函数的单调区间和定义域 【例2】 求函数tan()3 y x π =+的定义域，并讨论它的单调性 [].1EX 求函数3tan(2)4 y x π =-的单调区间
考点4 正切函数综合应用 【例3】试判断函数tan 1 ()lg tan 1 x f x x +=-的奇偶性 【例4】已知3 4 x π π -≤≤ ,2 ()tan 2tan 2f x x x =++,求()f x 的最大值与最小值，并且 求相应x 的值 第三部分 检测达标 一、选择题 1．函数)4 tan(π - =x y 的定义域是 （ ） A.{x R x x 且,|∈}Z k k ∈+ ≠,4 2π π B. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈+≠,43ππ C. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈≠,π D. {x R x x 且,|∈}Z k k ∈±≠,4 2ππ 2．若 ,2 4 π απ < <则（ ） A ．αααtan cos sin >> B ．αααsin tan cos >> C ．αααcos tan sin >> D ．αααcos sin tan >>
正切函数的图像和性质-公开课教案
正切函数的图像和性质-公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在 区间（）的单调性. 教学目的 知识目标：了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标：掌握正弦函数的周期性，奇 偶性，单调性，能利用正切 曲线解决简单的问题。 情感目标：在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表 示，正切函数tan 的定义域是什么？ y x 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？
画正切函数选取哪一段好呢? 画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若 是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体 现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈?? ? ? ?-2 ,2ππ的图象 说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图 象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2 的图象，称“正切曲线”。 tan()tan x x -=-
（2）由图象可以看出，正切曲线是由被相 互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠z k k x x ,2 |ππ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数
正切函数的图象与性质(习题)
1 正切函数的图象与性质（习题） ? 例题示范 例1：已知sin33cos55tan35a b c =?=?=?， ，，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >> 思路分析： 观察33°，55°，35°之间的关系，利用三角函数在区间[090]??， 上的单调性，选择合适的公式化简，转化为可比较的函数值． 由诱导公式可得， cos55cos(9035)sin35b =?=?-?=?， ∵sin y x =在区间[090]??，上单调递增，且sin 33a =?， ∴b a >， ∵sin 35tan 35cos35c ?=?= ? ，且0cos351?=， ∴c b a >>，故选C ． 例2：函数23()sin cos 4f x x x =++，2π[0]3 x ∈，的值域是（ ） A ．[12]， B ．[]44-， C ．[1]4 -， D ．[2]4-， 思路分析： 2223()sin cos 4 31cos cos 4 7cos cos 4 f x x x x x x x =++=-++=-++由题意， 设cos t x =，2π[0]3x ∈，，由余弦函数的单调性得，12 1t -≤≤， 则原函数可化为27()4f x t t =-++，12 1t -≤≤， 由二次函数性质得，()[12]f x ∈，，故选A ． ? 巩固练习
A ．2 π B ．π C ．2π D ．4π C ．(1)(0)(1)f f f >>- D ．(0)(1)(1)f f f >-> 4. 下列函数属于奇函数的是（ ） A ．()tan(π)f x x =+ B ．π()sin()2f x x =- C ．()cos(3π)f x x =- D ．π()sin()2f x x =+ 5. 已知函数()tan f x x x =+，2()=cos g x x x +，则（ ） A ．()f x 与()g x 都是奇函数 B ．()f x 与()g x 都是偶函数 C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数 D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 6. 函数sin()2 y x π=+在（ ） A ．[]22 ππ-，上是增函数 B ．[0]π，上是减函数 C ．[0]-π，上是减函数 D ．[]-ππ，上是减函数 7. 函数()cos f x x =的一个单调递减区间是（ ） A ．[]44 ππ-， B ．[]44π3π，
7.3.4 正切函数的性质与图像2019(秋)数学 必修 第三册 人教B版(新教材)改题型
7.3.4正切函数的性质与图像 课标要求素养要求 1.了解正切函数图像的画法，理解正切函数的性质. 2.能利用正切函数的图像及性质解决问题. 通过对正切函数的图像与性质的学习，体会数学抽象和直观想象素养. 教材知识探究 孔子东游，见两小儿辩斗，一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”，事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地．在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下比在斜射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图像有什么联系呢？ 问题类比y＝sin x ，y＝cos x的图像与性质． （1）y＝tan x是周期函数吗？有最大（小）值吗？ （2）正切函数的图像是连续的吗？ 提示（1）y＝tan x是周期函数，且T＝π，无最大，最小值．（2）正切函数的图像在定义域上不是连续的． 函数y＝tan x的图像和性质性质是根据图像得到的结论
解析式 y ＝tan x 图像 定义域 {x |x ∈R ，且x ≠π 2＋k π，k ∈Z } 值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）都是增函数 对称中心 ? ???? k π2，0（k ∈Z ） 零点 x ＝k π（k ∈Z ） 教材拓展补遗 [微判断] 1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．（×） 提示 y ＝tan x 在区间（k π－π2，k π＋π 2）（k ∈Z ）上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan 2x 的周期为π.（×） 提示 y ＝tan 2x 的周期为π2. 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．（√） 4．函数y ＝2tan x ，x ∈??? ???0，π2的值域是[0，＋∞）.（√） [微训练] 与函数y ＝tan ? ? ???2x ＋π4的图像不相交的一条直线是 （ ） A ．x ＝π2 B ．x ＝－π 2 C ．x ＝π4 D ．x ＝π 8 解析 ∵2x ＋π4≠π 2＋k π（k ∈Z ）， ∴x ≠π8＋k π 2（k ∈Z ），故选D.
正弦、余弦、正切函数的图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像与性质 一、选择题： 1．函数y ＝sin x 2＋cos x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数 2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 3．已知函数f (x )＝sin ????x －π 2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间????0，π 2上是增函数 C ．函数f (x )的图像关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )的奇函数 4．设a ＝12log sin81o ，b ＝12log sin 25o ，c ＝12 log cos25°，则它们的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 5．函数y ＝ lncos x ????－π2＜x ＜π 2的图像是( ) A ． B C ． D. 6．当－π2＜x ＜π 2时，函数y ＝tan|x |的图像( ) A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．不是对称图形 7．函数y ＝tan(sin x )的值域为( ) D ．以上均不对
8．若直线y ＝3与函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图像相交，则相邻两交点的距离是( ) A ．π 二、填空题 9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的范围是__________． 10．函数y ＝1＋2sin x 的最大值是__________，此时自变量x 的取值集合是__________． 11．函数y ＝sin 2x －cos x 的值域是__________． 12．函数y ＝3sin ????2x ＋π6的单调递减区间是__________． 13．已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝__________. 14．若关于x 的方程cos 2x －sin x ＋a ＝0有解，则a 的取值范围是__________． 15．如果函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有三个不同的交点，那么k 的取值范围是__________． 16．关于三角函数的图像，有下列命题： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图像相同； ③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图像关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是__________． 三、解答题： 17．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ????2x ＋3π2； (2)f (x )＝sin x 1－sin x 1－sin x 18．作出下列函数的图像： (1)y ＝tan|x |； (2)y ＝|tan x |. 19、求函数f (x )＝13log tan ??? ?2x ＋π3的单调递减区间．
正切函数的图像和性质 公开课教案
1.4.2 正切函数的性质与图象 考纲要求：能画出y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性.，理解正切函数在区间 （）的单调性. 教学目的 知识目标： 了解利用正切线画出正切函数图象的方法； 了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题； 掌握正切函数的性质。 能力目标： 掌握正弦函数的周期性，奇偶性，单调性，能利用正切曲线解决简单的 问题。 情感目标： 在借鉴正弦函数的学习方法研究正切函数图象、性质的过程中体 会类比的思想。 教学重点：正切函数的图象形状及其主要性质 教学难点：1、利用正切线得到正切函数的图象 2、对正切函数单调性的理解 教学方法：探究，启发式教学 教学过程 复习导入： 1. 正切函数的定义及几何表示，正切函数tan y x =的定义域是什么？ 2. 正弦曲线是怎样画的？ 讲授新课： 思考1：能否类比正弦函数图象的作法，画出正切函数的图象呢？ 画正切函数选取哪一段好呢?画多长一段呢? 思考2：正切函数是不是周期函数？若是，最小正周期是什么？ 思考3. 诱导公式 体现了正切函数的哪种性质？ （一）作tan y x =，x ∈??? ? ?- 2,2ππ的图象 tan()tan x x -=-
说明： （1）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ ππ 2 的图象，称“正切曲线” 。 （2）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2 x k k Z π π=+∈所隔开的 无穷多支曲线组成的。 （二）正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：? ?? ? ??∈+≠ z k k x x ,2|ππ ； （2）周期性：π=T ； （3）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数； （4）单调性： 思考：正切函数在整个定义域内是增函数吗？ 引导学生观察正切曲线，小组讨论的形式。 师举例说明：
正切函数的图像与性质说课稿
《正切函数图象与性质》说课稿 各位评委老师好！ 今天我说课的课题是《正切函数的图象和性质》，下面我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序四个方面进行说课，不足的地方希望老师能给予指出。 一．教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切？正切有关的诱导公式？
正切函数的性质与图象课后反思.docx
《正切函数的性质与图象》课后反思 三角函数是函数这个系统中的一个小分支，而正切函数是三角函数这个小分支中的一个内容节点，让学生能清晰的认识所研究的内容与方法：在内容上主要研究函数的性质一一定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性；在方法选择上，数形结合应是对其性质研究的主要途径。在此也向学生进一步说明“数缺形少直观，形少数难入微”的精妙，借助一切机会向学生渗透数学文化观念，让学生体会数的美无处不在，数学无处不美。 在本节课中我采用“类比一一探究一一讨论”教学法。在学习了正弦函数图像与性质，平移正弦线得到正弦函数图像的方法类比作正切函数图象。设计问题让学生进一步探究正切函数的性质与图象，学生通过对这些“有结构”的材料进行探究，获得对止切函数的感性认识和形成止切函数图象的了解。通过创设问题情境，引发认知冲突，较好地调动了学生的积极性和主动性，符合新课程理念的精神. 通过多媒体显示得出函数图像。引导学生在有限的时间内完成正切函数性质的归纳和总结，让学生思考、动手画图、课堂交流、亲身实践。通过互相交流、启发、补充、争论，使学生对正切函数图像与性质的认识从感性的认识上升到理性认识，获得一定水平层次的科学概念。这节课主要是教给学生“动手做，动脑想；多训练，勤钻研。”的学习方法。这样做，增加了学生主动参与的机会，增强了参与意识，教给学生获取知识的途径；思考问题的方法。使学生真正成为教学的主体。学生才会逐步感到数学美，会产生一种成功感，从而提高学生学习数学的兴趣。 在课堂教学屮注重学生的学，让学生自己思考得到问题的答案，以至于后半段课堂吋间仓促，课堂练习只能变成课后练习。在以后的教学中会注意调节好学牛的研究时间。 一、指导思想与理论依据 贝塔朗菲强调，任何系统都是一个有机的整体,它不是各个部分的机械组合或简单相加, 而
正切函数的性质与图像教案
1．4．3 正切函数的性质和图像 一、教学目标 1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 二、课时 1课时 三、教学重点 正切函数的性质与图象的简单应用. 四、教学难点 正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 五、教具 多媒体、实物投影仪 六、教学过程 导入新课 思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质,你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验,以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课. 思路2.先由图象开始,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的选择,这是传统的导入法. 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质.正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数.你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？②我们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就可以得到它在整个定义域上的图象.那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？ 你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？ 活动:问题①,教师先引导学生回忆:正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的,有了这些知识准备,然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师指导学生充分利用正切线的直观性. (1)周期性 由诱导公式tan(x+π)=tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是周期函数,周期是π.这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性. (2)奇偶性 由诱导公式 tan(-x)=-tanx,x ∈R ,x≠2 π+kπ,k ∈Z 可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(2 πk ,0)k ∈Z . (3)单调性 通过多媒体课件演示,由正切线的变化规律可以得出,正切函数在(2π-,2π)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(2π -+kπ,2 π+kπ),k ∈Z 内都是增函数.
正切函数的图像与性质(带答案)
正切函数图像及性质 知识点梳理 函数y ＝tan x 的图象与性质 y ＝tan x π 例1、求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )． 练习、求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域. 例3、求下列函数的周期（1）??? ?? +=42tan 3πx y （2）??? ??+=42 1tan 3πx y
例4、求函数区间，对称中心的定义域、周期和单调??? ??-=32tan πx y 练习1、求函数??? ??-=33tan πx y 的定义域、值域，并指出它的单调性、周期性； 练习2、求函数的单调区间??? ??+-=421 tan 3πx y 课堂练习 1． 函数y ＝tan ????12x －π 3在一个周期内的图象是 ( ) 2.在区间(－3π2，3π 2)内，函数y ＝tan x 与函数y ＝sin x 的图象的交点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间????π2，3π 2内的图象是 ( ) 4.利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤3 3. 5.下列说法正确的是( ) A.y ＝tan x 是增函数 B.y ＝tan x 在第一象限是增函数 C.y ＝tan x 在每个区间????k π－π 2，k π＋π 2(k ∈Z )内是增函数 D.y ＝tan x 在某一区间上是减函数 6.函数y ＝3tan(2x ＋π 4)的定义域是 ( )
A ．{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z} B ．{x |x ≠k 2π－3π8，k ∈Z} C ．{x |x ≠k 2π＋π8，k ∈Z} D ．{x |x ≠k 2π，k ∈Z} 7.直线y ＝a (a 为常数)与正切曲线y ＝tan x 相交的相邻两点间的距离是( ) A.π2 B.2π C.π D.与a 值有关 8.下列各式中正确的是( ) A.tan 4π7＞tan 3π7 B.tan ????－13π4＜tan ????－17π5 C.tan 4＞tan 3 D.tan 281°＞tan 665° 9.函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( ) A.????k π－π2，k π＋π2(k ∈Z ) B.????k π－π2，k π＋π4(k ∈Z ) C.????k π－π4，k π＋π2(k ∈Z ) D.????k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 10.已知函数y ＝tan ωx 在????－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围为__________. 11.函数y ＝2tan(3x ＋φ)????－π2＜φ＜π2的图象的一个对称中心为????π4，0，则φ＝________. 12.若tan ????2x －π6≤1，则x 的取值范围是________. 13已知函数f (x )＝3tan ????12x －π3. (1)求f (x )的定义域和值域. (2)讨论f (x )的周期性、奇偶性和单调性. 14.求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈????π4，π3的值域.
正切函数的图像和性质(教学设计)
正切函数的图象与性质教学设计 一、教学目标： 1、了解用单位圆中的正切线作正切函数图象的方法； 2、掌握正切函数的有关性质； 3、能用正切函数图象和性质解决有关问题。 二、教学过程： （一）、知识梳理 形成体系 问题1、正切函数x y tan =的定义域是什么？是不是周期函数？若是，探索它的最小正周期是多少？ 问题2、如何利用正弦线画正弦曲线的？请用这种方法画出正切函数在)2,2(ππ-的图像。 1、根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 x y tan =， )(,2Z k k x ?+≠ππ 的图象，称“正切曲线”。
由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线)(,2Z k k x ∈+=ππ所隔开的无穷多支曲线组成的。 2、观察正切函数的图像，可以得到x y tan =有以下性质： （1）定义域： ； （2）值域： 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2 π+π?→?k x 时，tan x ??→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +?→?2时，-∞?→? x tan 。 （3）周期性：=T ； （4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是 函数； （5）单调性：在开区间 内，函数单调递增。 问题4、正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ （二）、课前热身 自我检测 1、比较大小 （1）0138tan 0143tan （2）)43tan(π- )5 2tan π 2、观察正切曲线，满足0tan >x 的x 的取值的集合是 。 0 π-32π-
三、合作探究，共同进步 例1、求函数)4tan(π+ =x y 的定义域、值域、单调区间及对称中心。 例2、求x y 3tan =的周期 小结：函数)tan(?ω+=x y 的最小正周期ω π= T 。 例3、解不等式3tan ≥x 。 四、过手训练，步步为营
正切函数的图像与性质教案
正切函数的图像与性质 教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
昆明市教师资格审查教育教学能力测评试讲教案 试讲科目：高中数学 学校：云南师范大学 姓名：何会芳
2013年5 月3日制 一.教材分析 1、教材的地位和作用 本节课是在学生学习了正弦余弦函数图像及基本性质的基础上对又一个具体三角函数的学习，其研究方法与前面正余弦函数图像与性质的研究方法类似，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习函数规律的总结和探索。正确理解和熟练掌握正切函数的图像和性质也是之后学好《已知三角函数求值》的关键。 2、教学目标 （一）知识和技能目标： 1、理解并掌握正切函数图像的推导思路及画法，即“正弦函数图像类比推导法” 2、准确写出正切函数的性质，并通过练习体验正切函数基本性质的应用． （二）过程与方法目标： 1、通过学生自己动手作图，调动学生的积极性和情感投入，培养学生数形结合的思想方法； 2、培养学生类比、归纳的数学思想； 3、培养学生发现数学规律，实践第一的观点，增强学习数学的兴趣。 3.重点、难点与疑点 （一）、教学重点：正切函数的图象和性质。 1、我打算用类比正弦函数图像类比推导法，单位圆中的正切线作正切函
数图象法，引导学生作出正切函数图，并探索函数性质； 2、学会画正切函数的简图，体会与x轴的交点以及渐近线x=π/2 +kπ，k∈Z在确定图象形状时所起的关键作用。 （二）、教学难点：体验正切函数基本性质的应用， （三）、教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，但由于定义域的不连续性并非整个定义域内的增函数； 二．教学策略 在本节课中，我以“矛盾冲突”为主线撞击学生的思维，比如： 1、在得到正切函数的概念之后，提出如何研究这一具体函数的性质，启发学生可以“类比”研究正余弦函数图像和性质的方法； 2、在得到正切函数的部分性质之后，提出如何能“丰满”正切函数的性质，启发学生可以借助图像进行研究，让学生感受“数缺形少直观，形缺少数难入微”的精妙. 三．学情分析 本节课是研究了正弦、余弦函数的图像与性质后，对又一具体三角函数的学习。学生已经掌握了角的正切，正切线和与正切有关的诱导公式，对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识，这为本节课的学习提供了知识的保障． 四．教学程序 1、复习引入 （一）、复习 问题:1、什么是正切正切有关的诱导公式 练习：画出下列各角的正切线
正切函数的性质与图象教案
1.4.3 正切函数的性质与图象教案 教学目标： 1、知识与技能 理解并掌握正切函数的同期性等相关性质 会利用正切线及正切函数的性质作图像 2、过程与方法 培养学生的作图能力，运用函数图像分析、探究问题的能力 3、情感、态度与价值观 经历根据正切函数的性质描绘图函数图像的过程，进一步体会函数线的作用 教学重点： 正切函数的性质与图像 教学难点： 利用正切线研究正切函数的单调性及值域 教学方法： 多媒体、讲授法 教学过程： 复习回顾：1、我们是怎样研究正、余弦函数的性质的？ 图像-----性质 2、如何作出正弦函数图像的？ 引入：一般来说对于函数性质的研究总是先作图，通过图像获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度给出证明，对于正切函数，我们看看能不能换个角度，在性质的指导下作正切函数图像
讲授新课： 一、正切函数tan y x =的性质 1.定义域：|,2x x k k Z π π?? ≠ +∈??? ? <注>从单位圆中直观看到，探究tan(2)4 y x π =+ 2.奇偶性：()()f x f x -=± tan()tan x x -=- 强调定义域问题，由一般到特殊 3.周期性：()()f x T f x +=x D ∈ tan()tan x x π+=不用证明 4.单调性：通过单位圆中的正切线的变化直观引入 例：已知1 sin cos 5 αα+= ，0απ<<，求tan α的值. A 、43 B 、34 C 、34± D 、43 - 探究：足球场子边线队员射门的角度 5.值域：由正切线观察-----体会逼近的思想 6.图像 用性质去验证说明图像特征： 1、间断性：正切曲线是被互相平行的直线2 x k π π=+ ，k z ∈能隔开的无穷多支曲线组成的。 2、在每一个开区间(,)22 k k π πππ-++k z ∈呈上升趋势向上与直线2 x k π π=+k z ∈无限接近但永不相 交，向下与直线2 x k π π=- 无限接近但不相交。----渐近线
正切函数的图像和性质
正切函数的图像和性质 主备人：李怀忠 刘崇生 审核人： 李洪川 教学目标： 1、理解并掌握作正切函数图象的方法． 2、理解并掌握正切函数 教学重点：掌握正切函数图象作法和性质 教学过程 一、基础梳理： 正切函数的图像与性质 二、自测自评： 1、函数tan x y a =的周期是（ ） （A ）a π （B ）a π （C ）a π （D ）a π 2、下列函数中，同时满足①在（0, 2π）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是（ ） ()tan A y x = ()cos B y x = 1()tan 2 C y x = ()sin D y x = 3、以下函数中，不是．．奇函数的是( ) A.y ＝sin x ＋tan x Ｂ．y ＝x tan x －1 Ｃ．y ＝ x x x cos 1tan sin +- Ｄ．y ＝lg x x tan 1tan +- 4、下列命题中正确的是( ) A ．y ＝cos x 在第二象限是减函数 Ｂ．y ＝tan x 在定义域内是增函数 Ｃ．y ＝｜cos （2x ＋3π）｜的周期是2π Ｄ．y ＝sin ｜x ｜是周期为2π的偶函数
三、典例剖析： 例1、讨论函数tan()4y x π =-的性质。 例2、不通过求值，比较下列各组数的大小. （1） tan135°与tan138°； （2） ??? ??-413tan π与?? ? ??-517tan π 例4求下列函数的定义域 1、1 tan cot -= x x y 2、y 四、当堂检测： 1.函数y ＝sin x ＋tan x ，x ∈［－4π，4π ］的值域为 . 2.函数y ＝cot x －tan x 的周期为 . 3.作出函数y ＝｜tan x ｜的图象，并观察函数的最小正周期和单调区间. 4.试证cot x ＝－tan （2 π＋x ），并指出通过怎样的图象变换可由y ＝tan x 的图象得到y ＝cot x 的图象.
《正切函数的性质与图象》教案及说明
1.4.3正切函数的性质与图象 教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书?数学（A版）》必修4 课题：143正切函数的性质与图象 一、教学目标 1.利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质，根据性质探究正切函数的图象。 2.借助单位圆中的三角函数线能画出），= tanx的图象，借助图象理解正切函数在（-工, 二）上的性质（如单调性、周期性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等），并能解决 2 2 一些简单问题。 3.让学生亲身经历数学研窕的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 二、教学重点、难点 1.教学重点： （1）利用正切函数已有的知识（如定义、诱导公式、正切线等）研究性质， （2）根据性质探究正切函数的图象。 rr 2.教学难点：画正切函数的简图，体会与x釉的交点以及渐近线x = —+ 在确定 2 图象形状时所起的关键作用。 三、课前准备 教师准备：教学课件 四、教学过程 一、提出学习课题，明确学习目标 ?■ y^sin x HW R 2.正弦函数的两个代数性质：sin（x + 24）=sin x,sin（-x） = -sin x反映了正弦函数图象的什么几何特征？ 明晰： 1、定义域：x w R周期性：T = 2兀奇偶性：奇函数 单调性：在「_2+ 2攵4，江+ 2立]是单调递增的：
2 2 . 在+ 2k兀.—+ 2a]是单调递减的 .2 2 _ 值域：y e [-1,1] 2、sin（x + 2/r） = sinx反映了函数的周期性，sin（—x） = —sinx反映了函数的奇偶性 3、函数图象的每一个几何特征也都是函数性质的直观反映，函数的每一个代数性质反映在图象上都有其相应的几何特征：所以可借助于函数的图象来研究函数的性质：也可借助于函数的性质研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象。 二、探索正切函数的性质（进入新课） 提问：类比研究正弦和余弦函数的方法，从前面的学过的有关正切函数的知识中你认为有那些性质？ 明晰： 1.正切函数的定义域：定义域为入工工太4+ 2, 2 2.正切函数的周期性： 由tan（x + 4）= tanx,可知正切函数是周期函数，最小正周期：丁 =万 3.正切函数的奇偶性： 由tan（—x） = -tanx,可知正切函数是奇函数 4.正切函数的单调性 （1）给出在（_￡，）内的一些特殊角，进行计算、观察、归纳，猜想。 2 2 （2）借助多媒体，动态演示单位圆中的正切线的变化规律可以得出：正切函数在（- ￡.￡） 2 2 内是增函数，又由正切函数的周期性可知：正切函数在开区间（-上+版?，巳+ A/r）.AeZ内都 2 2 是增函数。 教师要重点强调正切函数只有增区间没有减区间。 5.正切函数的值域 用多媒体展示单位圆中的正切线的变化规律，得到：正切函数的值域是实数集R 三、自主探究正切函数图象（应用新知）
高中数学必修四《正切函数的性质与图象教案》优秀教学设计
1.4.3 正切函数的性质与图象教案 教学目标： 1、知识与技能 理解并掌握正切函数的同期性等相关性质 会利用正切线及正切函数的性质作图像 2、过程与方法 培养学生的作图能力，运用函数图像分析、探究问题的能力 3、情感、态度与价值观 经历根据正切函数的性质描绘图函数图像的过程，进一步体会函数线的作用 教学重点： 正切函数的性质与图像 教学难点： 利用正切线研究正切函数的单调性及值域 教学方法： 多媒体、讲授法 教学过程： 复习回顾：1、我们是怎样研究正、余弦函数的性质的？ 图像-----性质 2、如何作出正弦函数图像的？ 引入：一般来说对于函数性质的研究总是先作图，通过图像获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度给出证明，对于正切函数，我们看看能不能换个角度，在性质的指导下作正切函数图像 讲授新课： 一、正切函数tan y x =的性质 1.定义域：|,2x x k k Z ππ??≠+∈? ?? ? <注>从单位圆中直观看到，探究 tan(2) 4y x π =+ 2.奇偶性： ()()f x f x -=± tan()tan x x -=- 强调定义域问题，由一般到特殊 3.周期性：()()f x T f x +=x D ∈ tan()tan x x π+=不用证明
4.单调性：通过单位圆中的正切线的变化直观引入 例：已知 1 sin cos 5αα+= ，0απ<<，求tan α的值. A 、43 B 、34 C 、34± D 、4 3- 探究：足球场子边线队员射门的角度 5.值域：由正切线观察-----体会逼近的思想 6.图像 1，k z ∈能隔开的无穷多支曲线组成的。 2、在每一个开区间(,) 2 2k k ππ ππ-++k z ∈呈上升趋势向上与直线2x k ππ=+k z ∈无限接近但永不相交，向下与直线 2x k π π=- 无限接近但不相交。----渐近线 例1、求函数 tan 23y x π π??=+ ? ??的定义域、周期和单调区间 解:定义域： ?? ? ???∈+≠Z k k x x ,312| 周 期：2T = 单调区间： 51(2,2)33k k - +k z ∈ 例2不求值，比较下列函数值的大小 （1）tan138与0 tan 143 （2） 与 ) tan(π-) 5 17tan(π-