高一下学期学生暑假作业(十九)

暑假作业(十九)

一. 选择题:

1．若平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α与β之间的线段，AB ⊥CD ，且AB =1，直线AB 与平面α所成

角为60°，那么线段CD 的长度的取值范围是 ( )

A.[3，23]

B.[

2

3，

)

+∞ C.(

2

3，3] D.[3，

)

+∞

2．二面角β

α

--l 为?60，A ，B 是棱l 上的两点，AC ，BD 分别在半平面,αβ内，,,

A C

l B D l ⊥⊥ 且

,2A B A C a B D a

===，则C D 的长为 ( )

A ．2a

B

C ．a

D

3．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角分别为?60和?45，则异面直

线B 1C 和C 1D 所成的角的余弦值为 ( ) A ．

6

2 B ．

3

6 C ．

4

6 D ．

6

3

二. 填空题:

4．异面直线a 、b 互相垂直，直线c 与a 成30°角，则c 与b 所成的角的取值范围是

。

5．已知四面体BCD A -中，?=∠90BCD ，BC =CD =1，AB ⊥面BCD ，?=∠60ADB ，点E 、F 分别在AC 、 AD 上，使面BEF ⊥面ACD ，且EF ∥CD ，则平面BEF 与平面BCD 所成的二面角的正弦值为_________.

6．如图所示，在正方体1111D C B A ABCD

-中，M

是C 1C 的中点，O 是底面ABCD 的中

心，P 是A 1B 1上的任意点，则直线MB 与OP 所成的角为_____________.

三. 解答题:

7. 已知平面α⊥平面β，交线为AB ，C ∈α，D ∈β，34===BC AC AB ，E 为BC 的中点，AC ⊥BD ，BD =8．

①求证：BD ⊥平面α； ②求证：平面AED ⊥平面BCD ； ③求二面角B －AC －D 的正切值．

8．如图，ABC ?是正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且a AB AE 2==，a CD =，F 是BE 的中点．

（1）求证：//DF 平面ABC ；

（2）求异面直线BE 和CD 间的距离．

9．已知PA ⊥菱形ABCD ，且PA=AC=AB=a, E ∈PD 且PE ∶ED=2∶1，F 为PC 中点．

（1）求证BF ∥平面ACE ； （2）求点F 到平面ACE 的距离．

10. 如图，二面角M —DC —N 是α度的二面角，A 为M 上一定点，且ΔADC 面积为S ，DC ＝a ，过点A 作直线AB ，使AB ⊥DC 且与半平面N 成30°的角，求α变化时，ΔDBC 面积的最大值.

E

A

B

C D

F

暑假作业(十九)

一. 选择题: D A C 二. 填空题: 4. ,

3

2ππ???

?

??

5. 7

7 6.

2

π

三. 解答题:

7. 解：① AB 是AC 在平面β上的射影，由AC ⊥BD 得AB ⊥BD ．∵ α⊥β．∴ DB ⊥α．

② 由AB =AC ，且E 是BC 中点，得AE ⊥BC ，又AE ⊥DB ，故AE ⊥平面BCD ，因此可证得平面AED ⊥平面BCD ．

③ 设F 是AC 中点，连BF ，DF ．由于△ABC 是正三角形，故BF ⊥AC ．又由DB ⊥平面α，则DF ⊥AC ， ∠BFD 是二面角B －AC －D 的平面角，在Rt △BFD 中，3

4tg =

=

∠BF

BD BFD ．

8. 证：（1）设AB 中点为G ，连FG ，CG ， 则FG //AE ，且FG =12

AE ，AE 和CD 都垂直于平

面ABC ，CD AE //，AE CD 2

1=

，∴CD FG //且CD FG =，∴CG DF //， DF ?平面ABC ，CG ?平面ABC ，∴DF ∥平面ABC ．

（2）∵G 是AB 中点，∴CG ⊥AB ，又AE ⊥平面ABC ，AB 是

BE 在平面ABC 内的射影，∴CG ⊥BE ， ∴BE DF ⊥，又⊥CD 平面ABC ，

∴⊥CD CG ，∴⊥CD DF ，∵F DF BE =?，D DF DC =?，∴DF 是BE 和CD 的公垂线段， DF =CG =

a AB 323=

， 即BE 和CD

．

9. 解：（1）取PE 中点M ，连接MF 、MB ，则MF ∥EC,接BD ，交AC 于O ，交OE ∥MB ，∴平面MBF ∥平面ACE ，∴BF ∥平面ACE. （2）连接DF ，交EC 于点N ，连ON ，则∵BF ∥平面ACE ，∴BF ∥ON, ∵O 为BD 中点，∴N 为DF 中点,证AC ⊥FO 且AC ⊥BD ，∴AC ⊥平面BDF ,

∴平面ACE ⊥平面BDF ，且ON 为两平面的交线，∴作FH ⊥ON ，

则FH ⊥平面AEC, ∴FH 即为点F 到平面ACE 的距离。 RtΔEOD 中，OF ＝12

PA ＝

2

a

，DF

a ，∴ON ＝NF ＝

2

a

, ∴ΔNOF 为边长是

2

a 的正三角形，∴FH

4

a ，∴F 到平面AEC

4

a 。

10.解：在M 内作AE ⊥DC 于E ，则AE 为ΔADC 的高，则有

2

1AE·DC ＝ABC S ?，AE ＝

a

S 2.由于DC ⊥AE ，

DC ⊥AB ，则有DC ⊥ΔAEB 所在的平面，∴DC ⊥BE ，则∠AEB 是二面角M —DC —N 的平面角，即∠AEB ＝α.又由于DC ⊥ΔAEB 所在平面，且DC 在N 上，所以平面N ⊥ΔAEB 所在平面.令AF ⊥BE 于F ，则有 AF ⊥平面N ，于是，FB 是AB 在平面N 上的射影，所以∠ABE 是AB 与N 所成的角.∴∠ABE ＝30°，在ΔAEB 中，有

)

30sin(?+αEB ＝

?

30sin AE ，∴EB ＝

a

S 4sin(α+30°).据题意，有α∈(0°，180°)，当α＝60°时，

E

A

B C

D F G

有EB max ＝

a

S 4，这时(S ΔDBC )max ＝

2

1a·

a

S 4＝2S.