2017-2018学年人教A版选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程 学业分层测评

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学业分层测评

(建议用时:45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.如果方程x 2a 2+y 2

a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是

( )

A.(3,+∞)

B.(-∞,-2)

C.(3,+∞)∪(-∞,-2)

D.(3,+∞)∪(-6,-2)

【解析】 由于椭圆的焦点在x 轴上,

所以??? a 2

>a +6,a +6>0,即???

(a +2)(a -3)>0,a >-6.

解得a >3或-6<a <-2,故选D. 【答案】 D

2.已知椭圆过点P ? ????35,-4和点Q ? ??

??

-45,3,则此椭圆的标准方程是( )

【导学号:37792048】

A.y 2

25+x 2=1

B.x 225+y 2=1或x 2

+y 225=1 C.x 2

25+y 2=1 D.以上都不对

【解析】 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ), 则?????

925m +16n =1,1625m +9n =1,

∴?

????

m =1,n =1

25.

∴椭圆的方程为x 2

+y 2

25=1.

【答案】 A

3.设F 1,F 2是椭圆x 29+y 2

4=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△F 1PF 2的面积等于( )

A.5

B.4

C.3

D.1

【解析】 由椭圆方程,得a =3,b =2,c =5,∴|PF 1|+|PF 2|=2a =6,又|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,∴|PF 1|=4,|PF 2|=2,由22+42=(25)2,可知△F 1PF 2是直角三角形,故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=1

2×4×2=4,故选B.

【答案】 B

4.椭圆mx 2+ny 2=-mn (m

【导学号:37792049】

A.(0,±m -n )

B.(±m -n ,0)

C.(0,±n -m )

D.(±n -m ,0)

【解析】 将mx 2

+ny 2

=-mn (m

-m =1,由

m -n >0,得焦点在y 轴上,即a 2=-m ,b 2=-n ,得c 2=a 2-b 2=n -m ,故选C.

【答案】 C

5.设P 是椭圆x 216+y 2

12=1上一点,P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰直角三角形

【解析】 由椭圆定义知,|PF 1|+|PF 2|=2a =8, 又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3,

又|F 1F 2|=2c =216-12=4, 即|F 1F 2|2+|PF 2|2=|PF 1|2, ∴△PF 1F 2为直角三角形. 【答案】 B 二、填空题

6.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1→⊥PF 2→

.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________.

【解析】

依题意,有???

|PF 1|+|PF 2|=2a ,

|PF 1|·

|PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,

可得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故有b =3. 【答案】 3

7.椭圆x 210-m +y 2

m -2

=1的焦距为4,则m =________.

【解析】

由题意知???

10-m >0,

m -2>0,

10-m -(m -2)=4

或???

10-m >0,m -2>0,

m -2-(10-m )=4,

解得m =4或m =8. 【答案】 4或8

8.已知P 是椭圆x 24+y 2

3=1上的一动点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹方程是________.

【解析】 如图,依题意,|PF 1|+|PF 2|=2a (a 是常数且a >0).

又|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PQ |=2a , 即|QF 1|=2a .

由题意知,a =2,b =3,c =a 2-b 2=4-3=1. ∴|QF 1|=4,F 1(-1,0),

∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心,4为半径的圆, ∴动点Q 的轨迹方程是(x +1)2+y 2=16. 【答案】 (x +1)2+y 2=16 三、解答题

9.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左、右焦点.设椭圆C 上一点?

????

3,32到两焦点F 1,F 2的距离和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标.

【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4, ∴2a =4,a 2=4,

∵点? ????

3,32是椭圆上的一点,

∴(3)24+? ??

?

?322b 2=1, ∴b 2=3,∴c 2=1, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2

3=1. 焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).

10.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2);

(2)c ∶a =5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.

【导学号:37792050】

【解】 (1)由焦距是4,可得c =2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2). 由椭圆的定义知,

2a =32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,

所以a =4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12.又焦点在y 轴上, 所以椭圆的标准方程为y 216+x 2

12=1.

(2)由题意知,2a =26,即a =13,又因为c ∶a =5∶13,所以c =5,

所以b 2=a 2-c 2=132-52=144, 因为焦点所在的坐标轴不确定,

所以椭圆的标准方程为x 2169+y 2144=1或y 2169+x 2

144=1.

[能力提升]

1.已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1、F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1→·MF 2→

=0,则点M 到x 轴的距离为( )

A.23

3 B.263 C.33

D. 3

【解析】 设M (x 0,y 0),由F 1(-3,0),F 2(3,0)得MF 1→

=(-3-x 0,-y 0),MF 2→

=(3-x 0,-y 0),

由MF 1→·MF 2→=0得x 20+y 20=3, 又x 20

4+y 20=1,解得y 0

=±33. 即点M 到x 轴的距离为3

3,故选C. 【答案】 C

2.已知M 为椭圆x 225+y 2

9=1上一点,F 1为椭圆的一个焦点,且|MF 1|=2,N 为MF 1的中点,O 为坐标原点,则ON 的长为( )

A.2

B.4

C.8

D.1

2

【解析】 设椭圆的另一个焦点为F 2,由椭圆的定义可知|MF 1|+|MF 2|=10. 又|MF 1|=2,∴|MF 2|=8. ∴|ON |=1

2|MF 2|=4. 【答案】 B

3.椭圆x 212+y 2

3=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上,那么点M 的纵坐标是________.

【解析】 由条件可取F 1(-3,0), ∵PF 1的中点在y 轴上, ∴设P (3,y 0),

由P 在椭圆x 212+y 23=1上得y 0=±3

2, ∴M 的坐标为? ????

0,±34.

【答案】 ±3

4

4.设椭圆C :x 2a 2+y 2

b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ,B 两点(如图2-2-3),∠F 1F 2B =2π

3,△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍.若|AB |=15

2,求椭圆C 的方程.

【导学号:37792051】

图2-2-3

【解】 由题意可得S △F 1F 2A =2S △F 1F 2B , ∴|F 2A |=2|F 2B |, 由椭圆的定义得 |F 1B |+|F 2B |

=|F 1A |+|F 2A |=2a , 设|F 2A |=2|F 2B |=2m , 在△F 1F 2B 中,由余弦定理得 (2a -m )2=4c 2+m 2-2·2c ·m ·cos 2π

3? m =2(a 2-c 2)2a +c

.

在△F 1F 2A 中,同理可得m =a 2-c 2

2a -c

所以2(a2-c2)

2a+c

a2-c2

2a-c

,解得2a=3c,

可得m=5c

8,|AB|=3m=

15c

8=

15

2,c=4.

由c

a=

2

3,得a=6,b

2=20,

所以椭圆C的方程为x2

36+

y2

20=1.

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