2017-2018学年人教A版选修2-1 2.2.1 椭圆及其标准方程 学业分层测评
学业分层测评
(建议用时:45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.如果方程x 2a 2+y 2
a +6=1表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围是
( )
A.(3,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(3,+∞)∪(-∞,-2)
D.(3,+∞)∪(-6,-2)
【解析】 由于椭圆的焦点在x 轴上,
所以??? a 2
>a +6,a +6>0,即???
(a +2)(a -3)>0,a >-6.
解得a >3或-6<a <-2,故选D. 【答案】 D
2.已知椭圆过点P ? ????35,-4和点Q ? ??
??
-45,3,则此椭圆的标准方程是( )
【导学号:37792048】
A.y 2
25+x 2=1
B.x 225+y 2=1或x 2
+y 225=1 C.x 2
25+y 2=1 D.以上都不对
【解析】 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ), 则?????
925m +16n =1,1625m +9n =1,
∴?
????
m =1,n =1
25.
∴椭圆的方程为x 2
+y 2
25=1.
【答案】 A
3.设F 1,F 2是椭圆x 29+y 2
4=1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△F 1PF 2的面积等于( )
A.5
B.4
C.3
D.1
【解析】 由椭圆方程,得a =3,b =2,c =5,∴|PF 1|+|PF 2|=2a =6,又|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,∴|PF 1|=4,|PF 2|=2,由22+42=(25)2,可知△F 1PF 2是直角三角形,故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|=1
2×4×2=4,故选B.
【答案】 B
4.椭圆mx 2+ny 2=-mn (m 【导学号:37792049】 A.(0,±m -n ) B.(±m -n ,0) C.(0,±n -m ) D.(±n -m ,0) 【解析】 将mx 2 +ny 2 =-mn (m -m =1,由 m 【答案】 C 5.设P 是椭圆x 216+y 2 12=1上一点,P 到两焦点F 1,F 2的距离之差为2,则△PF 1F 2是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 由椭圆定义知,|PF 1|+|PF 2|=2a =8, 又|PF 1|-|PF 2|=2,∴|PF 1|=5,|PF 2|=3, 又|F 1F 2|=2c =216-12=4, 即|F 1F 2|2+|PF 2|2=|PF 1|2, ∴△PF 1F 2为直角三角形. 【答案】 B 二、填空题 6.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1→⊥PF 2→ .若△PF 1F 2的面积为9,则b =________. 【解析】 依题意,有??? |PF 1|+|PF 2|=2a , |PF 1|· |PF 2|=18,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2, 可得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9,故有b =3. 【答案】 3 7.椭圆x 210-m +y 2 m -2 =1的焦距为4,则m =________. 【解析】 由题意知??? 10-m >0, m -2>0, 10-m -(m -2)=4 或??? 10-m >0,m -2>0, m -2-(10-m )=4, 解得m =4或m =8. 【答案】 4或8 8.已知P 是椭圆x 24+y 2 3=1上的一动点,F 1,F 2是椭圆的左、右焦点,延长F 1P 到Q ,使得|PQ |=|PF 2|,那么动点Q 的轨迹方程是________. 【解析】 如图,依题意,|PF 1|+|PF 2|=2a (a 是常数且a >0). 又|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PQ |=2a , 即|QF 1|=2a . 由题意知,a =2,b =3,c =a 2-b 2=4-3=1. ∴|QF 1|=4,F 1(-1,0), ∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心,4为半径的圆, ∴动点Q 的轨迹方程是(x +1)2+y 2=16. 【答案】 (x +1)2+y 2=16 三、解答题 9.设F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左、右焦点.设椭圆C 上一点? ???? 3,32到两焦点F 1,F 2的距离和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标. 【解】 ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4, ∴2a =4,a 2=4, ∵点? ???? 3,32是椭圆上的一点, ∴(3)24+? ?? ? ?322b 2=1, ∴b 2=3,∴c 2=1, ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2 3=1. 焦点坐标分别为(-1,0),(1,0). 10.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在y 轴上,焦距是4,且经过点M (3,2); (2)c ∶a =5∶13,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26. 【导学号:37792050】 【解】 (1)由焦距是4,可得c =2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2). 由椭圆的定义知, 2a =32+(2+2)2+32+(2-2)2=8, 所以a =4,所以b 2=a 2-c 2=16-4=12.又焦点在y 轴上, 所以椭圆的标准方程为y 216+x 2 12=1. (2)由题意知,2a =26,即a =13,又因为c ∶a =5∶13,所以c =5, 所以b 2=a 2-c 2=132-52=144, 因为焦点所在的坐标轴不确定, 所以椭圆的标准方程为x 2169+y 2144=1或y 2169+x 2 144=1. [能力提升] 1.已知椭圆x 24+y 2=1的焦点为F 1、F 2,点M 在该椭圆上,且MF 1→·MF 2→ =0,则点M 到x 轴的距离为( ) A.23 3 B.263 C.33 D. 3 【解析】 设M (x 0,y 0),由F 1(-3,0),F 2(3,0)得MF 1→ =(-3-x 0,-y 0),MF 2→ =(3-x 0,-y 0), 由MF 1→·MF 2→=0得x 20+y 20=3, 又x 20 4+y 20=1,解得y 0 =±33. 即点M 到x 轴的距离为3 3,故选C. 【答案】 C 2.已知M 为椭圆x 225+y 2 9=1上一点,F 1为椭圆的一个焦点,且|MF 1|=2,N 为MF 1的中点,O 为坐标原点,则ON 的长为( ) A.2 B.4 C.8 D.1 2 【解析】 设椭圆的另一个焦点为F 2,由椭圆的定义可知|MF 1|+|MF 2|=10. 又|MF 1|=2,∴|MF 2|=8. ∴|ON |=1 2|MF 2|=4. 【答案】 B 3.椭圆x 212+y 2 3=1的一个焦点为F 1,点P 在椭圆上.如果线段PF 1的中点M 在y 轴上,那么点M 的纵坐标是________. 【解析】 由条件可取F 1(-3,0), ∵PF 1的中点在y 轴上, ∴设P (3,y 0), 由P 在椭圆x 212+y 23=1上得y 0=±3 2, ∴M 的坐标为? ???? 0,±34. 【答案】 ±3 4 4.设椭圆C :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ,B 两点(如图2-2-3),∠F 1F 2B =2π 3,△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍.若|AB |=15 2,求椭圆C 的方程. 【导学号:37792051】 图2-2-3 【解】 由题意可得S △F 1F 2A =2S △F 1F 2B , ∴|F 2A |=2|F 2B |, 由椭圆的定义得 |F 1B |+|F 2B | =|F 1A |+|F 2A |=2a , 设|F 2A |=2|F 2B |=2m , 在△F 1F 2B 中,由余弦定理得 (2a -m )2=4c 2+m 2-2·2c ·m ·cos 2π 3? m =2(a 2-c 2)2a +c . 在△F 1F 2A 中,同理可得m =a 2-c 2 2a -c , 所以2(a2-c2) 2a+c = a2-c2 2a-c ,解得2a=3c, 可得m=5c 8,|AB|=3m= 15c 8= 15 2,c=4. 由c a= 2 3,得a=6,b 2=20, 所以椭圆C的方程为x2 36+ y2 20=1.