高中数学解三角形专题及例题

高中数学解三角形专题及例题
高中数学解三角形专题及例题

课 题 解三角形专题1

教学目标 理解正玄定理、余弦定理的基本内容

会应用正玄定理、余弦定理解决有关三角形的问题 重点、难点

正玄定理、余弦定理的基本内容及其简单应用

考点及考试内容

本章中的有关三角形的一些实际问题,往往动笔计算比较复杂,象这样的问题的计算就要求大家能用计算器或电脑来帮助计算,能根据精确度的需要保留相应的位数。尽管科学技术发展很快,但必要的计算能力对于一个现代人还是有必要的,所以平时大家还要注意训练自己的运算速度与准确性,时刻注意锻炼自己的意志力。

教学内容

一、正弦定理及其证明

正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即

sin sin sin a b c

A B C

== 正弦定理揭示的是一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理之一。 对于正弦定理,课本首先引导学生回忆任意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系,引导学生思考是否能得到这个边、角关系准确量化表示的问题。由于涉及边角之间的数量关系,就比较自然地引导到三角函数。

在直角三角形中,边之间的比就是锐角的三角函数。研究特殊的直角三角形中的正弦,就很快证明了直角三角形中的正弦定理。分析直角三角形中的正弦定理,考察结论是否适用于锐角三角形,可以发现asinB 和bsinA 实际上表示了锐角三角形边AB 上的高。这样,利用高的两个不同表示,就容易证明锐角三角形中的正弦定理。

钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导钝角三角形中定理的证明要应用正弦函数的诱导公式,教科书要求学生自己通过探究来加以证明。可以考虑采用向量的知识来证明。 二、余弦定理及其证明

余弦定理 在一个三角形中,任一边的平方都等于其它两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的2倍,即

2222cos a b c bc A =+-;2222cos b a c ac B =+-;2222cos c a b ab C =+-;

余弦定理同样揭示的是一般三角形中的重要边角关系,它们是解三角形的两个重要定理之一。 由直角三角形三边间的关系,归纳猜想任意三角形的边角间的关系。自己学会探索、并试着去从理论上去解决。通过这个定理的探索并去从理论上证明,作为一个现代中学生,要掌握一些研究事物的方法、要学会学习,善于提出问题,并且试着去解决问题。

同样这个定理的证明也是采用了向量的相关知识很容易得到解决,向量知识在数学上的一个具体应用,这也体现了数学科学的特点之一:前后知识间联系紧密。

这也要求大家能够将前后知识联系起来,而不应该是孤立地来学习某部分知识,而不善于将所学恰当地应用,这也要求大家能够活学活用。当然这两个定理的证明证明方法,自己还可以考虑采用比如平面几何知识等其它的方法,以锻炼自己的能力。 三、正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理的应用:

1.用正弦定理解三角形是正弦定理的一个直接应用,正弦定理可以用于两类解三角形的问题: (1)已知三角形的任意两个角与一边,求其他两边和另一角。

(2) 已知三角形的两边与其中一边的对角,计算另一边的对角,进而计算出其他的边和角.

2.三角形解的个数

一般地,已知两边和其中一边的对角解斜三角形(已知a, b 和A ),用正弦定理求B 时的各种情况:

⑴若A 为锐角时:

sin sin ()sin (, )3

()a b A a b A b A a b a b <=<

???无解

一解直角二解一锐一钝一解锐角,如下图所示: b

a

b

a

b a b

a

a 已知边a,

b 和∠A

仅有一个解有两个解

仅有一个解无解

a ≥

b CH=bsinA

A

C B A

C

B1A

B

A

C

B2

C

H

H

H

⑵若A 为直角或钝角时: a b ()a b ≤>???

无解

一解锐角

余弦定理的应用:

利用余弦定理可以解决两类解斜三角形问题: (1) 已知三边,求各角;

(2) 已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个角。

考点知识点一:正弦定理

典型例题

1. 定理:

2sin sin sin a b c

R A B C

===.(R 为三角形外接圆半径) 2. 例题:

例1:在?ABC 中,已知045A =,060B =,2a =,求b .

例2:06,45,2,,ABC c A a b B C ?===中,求和.

针对性练习

1、03,60,1,,ABC b B c a A C ?===中,求和.

2、023,60,22,ABC a A b B ?===中,求

3. 已知?ABC 中,∠A =60°,3a =,求

sin sin sin a b c

A B C

++++.

4、?ABC 中,若::1:2:3A B C =则::a b c =

5、?ABC 中,若2sin b a B =则A =

★6. 已知a 、b 为△ABC 的边,A 、B 分别是a 、b 的对角,且sin 2

sin 3

A B =,求a b b +的值

★7、002,30,135,ABC b B C a ?===中,求

考点二:余弦定理

1. 定理:2

2

2

2cos b a c ac B =+- 推论222

cos 2+-=b c a A bc

222

2cos a b c bc A =+- 222cos 2+-=a c b B ac

222

2cos c a b ab C =+- 222cos 2+-=b a c C ba

典型例题

例1. 在?ABC 中,已知3a =,4b =,060C =,求c .

练习:在?ABC 中,已知23=a ,62=+c ,060=B ,求b 及A .(答案:22b =,060A =)

例2:在ΔABC 中,已知a =3,b =4,c =6,求cosC .

知识点方法总结

小结:余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律,勾股定理是余弦定理的特例; 余弦定理的应用范围:①已知三边求三角;②已知两边及它们的夹角,求第三边.

针对性练习

1. 三角形ABC 中,A =120°,b =3,c =5,求a

2. 在?ABC 中,若222a b c bc =++,求角A . (答案:A =1200)

变式:在△ABC 中,()()3a b c b c a bc +++-=,则A =

3. 三角形ABC 中,3,2,10AB AC BC ===,求AB AC

正弦定理和余弦定理的综合问题 例1三角形ABC 中,cos C =

13

14

,a =7,b =8,求最大角的余弦

变式:在△ABC 中,已知sin A ∶sin B ∶sin C =6∶5∶4,求最大角的余弦.

例2:在ΔABC 中,已知a =7,b =10,c =6,判断三角形的类型.

=+???>+???<+??222222222是直角是直角三角形是钝角是钝角三角形是锐角a b c A ABC a b c A ABC a b c A ?是锐角三角形

ABC 练习:1. 在ΔABC 中,已知a =3,b =5,c =7,判断三角形的类型.

★2. 在△ABC 中,若2cos B sin A =sinC ,则△ABC 的形状一定是( )

A.等腰直角三角形

B.直角三角形

C.等腰三角形

D.等边三角形

★3. 已知△ABC 中,cos cos b C c B =,试判断△ABC 的形状.

★4. 三角形ABC 中,C =60°,a =3,c =7,求b

5. 在△ABC 中,已知1

2,3,cos 4

a c B ===,求(1)

b 的值(2)求sin C

★★6. 已知ABC △三个顶点的直角坐标分别为(34)A ,

,(00)B ,,(0)C c ,. (1)若5c =,求sin A ∠的值. (2) 若A 是钝角,求c 的取值范围

★★★7. 在△ABC 中,已知54

cos ,sin 135

A B ==,求cos C .

应用问题 一、面积问题

公式:S=21ab sin C ,S=21bc sin A , S=2

1

ac sin B 例1:已知在?ABC 中,∠B=30?,b=6,c=63,求a 及?ABC 的面积S

练习:1.已知在?ABC 中,∠B=30?,AB=23,AC=2,求?ABC 的面积

2. 三角形ABC 中,a =5,b =7,c =8求ABC S

★3. 在锐角ABC △中,角A

B C ,,所对的边分别为a b c ,,,已知22

sin 3

A =,若2a =,2ABC S =△,求b 的值。

课后练习

1.△ABC 中,a =3,b =7,c =2,那么B 等于( ) A . 30°

B .45°

C .60°

D .120°

2.已知△ABC 中,sinA:sinB:sinC =1∶3∶2,则A ∶B ∶C 等于 ( ) A .1∶2∶3 B .2∶3∶1 C .1∶3∶2

D .3∶1∶2

3.在ABC 中,60B =

,2

b a

c =,则ABC 一定是 ( ) A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰三角形 D 、等边三角形 4.若三条线段的长为5、6、7,则用这三条线段( )

A 、能组成直角三角形

B 、能组成锐角三角形

C 、能组成钝角三角形

D 、不能组成三角形 5.在△ABC 中,若8,3,7===c b a ,则其面积等于( ) A .12 B .

2

21

C .28

D .36 6.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则∠A=( )

A .0

90 B .0

60 C .0

120 D .0

150 7.在△ABC 中,若14

13

cos ,8,7===C b a ,则最大角的余弦是( ) A .51-

B .61-

C .71-

D .8

1

-

8.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程06752=--x x 的根, 则三角形的另一边长为( )

A. 52

B. 213

C. 16

D. 4

9.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 ( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、由增加的长度决定 10.在△ABC 中,周长为7.5cm ,且sinA :sinB :sinC =4:5:6,下列结论: ①6:5:4::=c b a ②6:5:2::=c b a ③cm c cm b cm a 3,5.2,2=== ④6:5:4::=C B A 其中成立的个数是 ( )

A .0个

B .1个

C .2个

D .3

B 组 巩固提高

11.已知锐角三角形的边长分别是2,3,x ,则x 的取值范围是 ( )

A 、15x <<

B 、513x <<

C 、05x <<

D 、135x << 13.在△ABC 中,若AB =5,AC =5,且cos C =

10

9

,则BC =________. 14.在△ABC 中,()()()6:5:4::=+++b a a c c b ,则△ABC 的最大内角的度数是 15.在△ABC 中,∠C =60°,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、.C 的对边,则

c

a b

c b a +++=________. 16.若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 和4 3 cm ,它们的夹角是45°,则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 . 17.△A BC 中,,26-=AB ∠C=300,则AC+BC 的最大值是________。

高中解三角形题型大汇总

解三角形题型总结 题型一:正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、,若,2a A B ==, 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若 ( ) C a A c b cos cos 3=-,则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =a 2,则=a b A . B . C D 5.ABC ?中,3 π = A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) A . 33sin 34+??? ? ?+πB B . 36sin 34+??? ??+πB C .33sin 6+??? ??+πB D .36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中,已知3,1,60===?ABC S b A o ,则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______

(word完整版)高中数学解三角形练习题.doc

解三角形卷一 一.选择题 1. 在△ ABC 中, sinA:sinB:sinC=3:2:4 ,则 cosC 的值为 A . 2 B .- 2 C . 1 D .- 1 3 3 4 4 、在 △ ABC 中,已知 a 4, b 6 , B 60 o ,则 sin A 的值为 2 A 、 3 B 、 3 C 、 6 6 3 D 、 3 2 2 3、在 △ ABC 中, A : B : C 1: 2:3 ,则 sin A :sin B :sin C A 、 1: 2:3 B 、 1: 2 :3 C 、 1: 2 : 3 D 、 1: 3 : 2 4、在 △ ABC 中, sin A :sin B :sin C 4:3: 2 ,那么 cosC 的值为 1 B 、 1 7 11 A 、 4 C 、 D 、 4 8 16 5、在 △ ABC 中, a 7,b 4 3, c 13 ,则最小角为 A 、 B 、 6 C 、 D 、 3 4 12 6 △ ABC 中, A 60 o ,b 16, 面积 S 220 3 ,则 c 、在 A 、 10 6 B 、 75 C 、 55 D 、49 7、在 △ ABC 中, (a c)( a c) b(b c) ,则 A A 、 30o B 、 60o C 、 120o D 、 150o 8、在 △ ABC 中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是 A 、 b 10, A 45o ,C 70o B 、 a 60,c 48, B 60o C 、 a 7, b 5, A 80o D 、 a 14, b 16, A 45o 二、填空题。 9.在△ ABC 中, a , b 分别是∠ A 和∠ B 所对的边,若 a = 3 ,b = 1,∠ B = 30°,则∠ A 的 值是 . 10.在△ ABC 中,已知 sin Bsin C = cos 2 A ,则此三角形是 __________ 三角形. 2 11. 在△ ABC 中,∠ A 最大,∠ C 最小,且∠ A = 2∠ C ,a + c = 2b ,求此三角形三边之比 为.

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题1

解三角形的必备知识和典型例题及详解 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。 (1)三边之间的关系:a 2 +b 2 =c 2 。(勾股定理) (2)锐角之间的关系:A +B =90°; (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B = c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。 (1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径) (3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =21 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高); (2)?S =21ab sin C =21bc sin A =2 1 ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型: (1)两类正弦定理解三角形的问题: 第1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题: 第1、已知三边求三角.

高中数学解三角形习题

xxxXXXXX学校XXXX年学年度第二学期第二次月考 XXX年级xx班级 姓名:_______________班级:_______________考号:_______________ 题号一、简答 题 二、选择 题 三、填空 题 总分 得分 一、简答题 (每空?分,共?分) 1、在中,内角所对的分别是,已知; (I)求和的值;(II)求的值. 2、在中,角A,B,C的对边分别为,b,c,且满足,. (Ⅰ)求的面积; (Ⅱ)若,求边与的值. 3、在中,角所对的边分别为,且满足. (1)求角的大小; (2)求的最大值,并求取得最大值时角的大小. 4、已知、、为的三内角,且其对边分别为、、,若. 评卷人得分

(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求的面积. 5、在△中,角,,的对边分别为,,分,且满足. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,求△面积的最大值. 二、选择题 评卷人得分 (每空?分,共?分) 6、在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是 A. = 14,b = 16,A = 45° B.= 60,c = 48,B = 100° C.= 7,b = 5,A = 80° D.b = 10,A = 45°,B = 70° 7、在△ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C 的对边,若,C=75°,则b= A . B . C . D.2 8、在△ABC中,设a,b,c分别为角A,B,C 的对边,若,C=75°,则b= A . B . C . D.2 9、在中,若,则的形状是 A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角形 10、已知角的顶点在原点, 始边与轴非负半轴重合, 终边过, 则()

高中数学必修五第一章解三角形知识点总结及练习题

第一章 解三角形 1、正弦定理: 在C ?AB 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,R 为C ?AB 的外接圆的半径,则有: 2sin sin sin a b c R C ===A B . 2、正弦定理的变形公式: ①2sin a R =A ,2sin b R =B ,2sin c R C =; ②sin 2a R A = ,sin 2b R B =,sin 2c C R =; ③::sin :sin :sin a b c C =A B ; ④ sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++=== A + B +A B . 注意:正弦定理主要用来解决两类问题:1、已知两边和其中一边所对的角,求其余的量。 2、已知两角和一边,求其余的量。 ⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。(一解、两解、无解三中情况)如:在三角形ABC 中,已知a 、b 、A (A 为锐角)求B 。具体的做法是:数形结合思想 画出图:法一:把a 扰着C 当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二:是算出CD=bsinA,看a 的情况: 当ab 时,B 有一解

注:当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式: 111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B . 4、余弦定理: 在C ?AB 中,有2222cos a b c bc =+-A , 2222cos b a c ac =+-B , 2222cos c a b ab C =+-. 5、余弦定理的推论: 222 cos 2b c a bc +-A =, 222 cos 2a c b ac +-B =, 222 cos 2a b c C ab +-=. (余弦定理主要解决的问题:1、已知两边和夹角,求其余的量。2、已知三边求角) 6、如何判断三角形的形状: 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边,则: ①若222a b c +=,则90C =; ②若222a b c +>,则90C <; ③若222a b c +<,则90C >. 7、正余弦定理的综合应用: 如图所示:隔河看两目标A 、B, C 并测得∠ACB=75O , ∠BCD=45O , ∠ADC=30O ,

高中数学专题练习-三角函数及解三角形

高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1.【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A.B. C.D. 【答案】D 【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.又,排除B,C,故选D. 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案. 2.【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,)单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④B.②④ C.①④D.①③ 【答案】C 【解析】为偶函数,故①正确.当时,,它在区间单调递减,故②错误. 当时,,它有两个零点:;当时,

,它有一个零点:,故在有个零点:,故③错误.当时,;当时, ,又为偶函数,的最大值为,故④正确.综上所述,①④正确,故选C. 【名师点睛】本题也可画出函数的图象(如下图),由图象可得①④正确. 3.【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D; 因为,周期为,排除C; 作出图象如图2,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递增,A正确; 作出的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,故选A. 图1

图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各函数图象,即可作出选择.本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半; ②不是周期函数. 4.【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα= A. B. C.D. 【答案】B 【解析】,, ,又,,又,,故选B. 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案. 5.【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论: ①在()有且仅有3个极大值点 ②在()有且仅有2个极小值点

高中数学解三角形题型完整归纳

高中数学解三角形题型目录一.正弦定理 1.角角边 2.边边角 3.与三角公式结合 4.正弦定理与三角形增解的应对措施 5.边化角 6.正弦角化边 二.余弦定理 1.边边边 2.边角边 3.边边角 4.与三角公式结合 5.比例问题 6.余弦角化边 7.边化余弦角 三.三角形的面积公式 1.面积公式的选用 2.面积的计算 3.正、余弦定理与三角形面积的综合应用 四.射影定理 五.正弦定理与余弦定理综合应用 1.边角互化与三角公式结合 2.与平面向量结合 3.利用正弦或余弦定理判断三角形形状 4.三角形中的最值问题 (1)最大(小)角 (2)最长(短)边 (3)边长或周长的最值

(4)面积的最值 (5)有关正弦或余弦或正切角等的最值 (6)基本不等式与余弦定理交汇 (7)与二次函数交汇 六.图形问题 1.三角形内角之和和外角问题 2.三角形角平分线问题 3.三角形中线问题 4.三角形中多次使用正、余弦定理 5.四边形对角互补与余弦定理的多次使用 6.四边形与正、余弦定理 六.解三角形的实际应用 1.利用正弦定理求解实际应用问题 2.利用余弦定理求解实际应用问题 3.利用正弦和余弦定理求解实际应用问题 一.正弦定理 1.角角边 ?=?=?= 例.在中,解三角形 ABC A B a 30,45,2,. ?=?=?== 练习1.在中则 ABC A B a c ,30,45, . 练习2.在中,已知45,,求 ?=?=?= 30. ABC C A a b 2.边边角 例中,解这个三角形?===? ABC a .45,. 练习1中,则 ?==+== . 1,2,sin ABC a b A C B C 练习2.中则 ?===?= ,3,60,_____ ABC c b C A

【高中数学】解三角形基本题型

解三角形 解三角形 正弦定理的基本运用 1、 △A BC 中,sin 2A =sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为 。 2、 在△ABC 中,b cos A =a cos B ,则三角形为 。 3、 已知△ABC 中,a =10,B =60°,C =45°,则c = 。 4、 在△ABC 中,已知150,350,30==?=c b B ,那么这个三角形是 。 5、 在ABC ?中,?===452232B b a ,,,则A 为 。 6、 在△ABC 中,A =60°,C =45°,b =2,则此三角形的最小边长为 。

余弦定理的基本运用 1、 在△ABC 中,a 2=b 2+c 2+bc ,则A 等于 。 2、 已知△ABC 的面积2,32,3===b a S ,解此三角形。 3、 在△ABC 中,1326+===c b a ,,,求A 、B 、C 。 4、 在△ABC 中,化简b cos C +c cos B = 。 5、 在△ABC 中,化简 ) cos cos cos (222c C b B a A c b a abc ++++。 正余弦定理的综合运用 1、已知在△ABC 中,c =10,A =45°,C =30°,求a 、b 和 B 。 2、在△ABC 中,c =22,tan A =3,tan B =2,试求a 、b 及此三角形的面积。 3、在△ABC 中,a =2,A =30°,C =45°,则△ABC 的面积S △ABC 等于 。

4、已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为。 5、△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为3,则△ABC外接圆的直径 为。 6、在△ABC中,BC=3,AB=2,且 )1 6 ( 5 2 sin sin + = B C ,A=。

高一数学解三角形知识点总结及习题练习.doc

. 解三角形 一、基础知识梳理 a = b = c =2R ( R 为△ABC 外接圆半径),了解正弦定理 1 正弦定理: sin C sin A sin B 以下变形: a 2Rsin A,b 2R sin B, c 2Rsin C sin A a , sin B b , sin C c 2R 2R 2R a : b : c sin A : sin B : sin C a b c a b c sin A sin B sin C sin A sin B sin C 最常用三角形面积公式: S ABC 1 1 1 acsin B 1 bcsin A ah a ab sin C 2 2 2 2 2 正弦定理可解决两类问题: 1 .两角和任意一边,求其它两边和一角; (唯一解) 2 .两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角 (解可能不唯一) 了解:已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各种情况 : b 2 c 2 a 2 3 . 余弦定理 : a 2 b 2 c 2 2bccos A cosA 2bc c 2 a 2 b 2 b 2 c 2 a 2 2ac cosB cosB 2ca c a b 2ab cosC a 2 b 2 c 2 2 2 2 cosC 2ab 4 . 余弦定理可以解决的问题: (1 )已知三边,求三个角; (解唯一) (2 )已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角 (解唯一): (3 )两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角 (解 可能不唯一)

解三角形知识点归纳总结

第一章 解三角形 一.正弦定理: 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即 R C c B b A a 2sin sin sin ===(其中R 是三角形外接圆的半径) 2.变形:1)sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B . 2)化边为角:C B A c b a sin :sin :sin ::=; ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3)化边为角:C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4)化角为边: ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5)化角为边: R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角; 例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。 例:已知边a,b,A, 解法:由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ,再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中,已知锐角A ,边b ,则 ①A b a sin <时,B 无解; ②A b a sin =或b a ≥时,B 有一个解; ③b a A b <

(完整版)高中数学解三角形方法大全

解三角形 1.解三角形:一般地,把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明,均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,则有以下关系成立: (1)边的关系:c b a >+,b c a >+,a c b >+(或满足:两条较短的边长之和大于较长边) (2)角的关系:π=++C B A ,π<A , C B A sin )sin(=+,C B A cos )cos(-=+,2 cos 2sin C B A =+ (3)边角关系:正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一:正弦定理及其应用 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin ===,其中R 为AB C ?的外接圆半径 2.正弦定理适用于两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两角和一边,先求第三个角,再根据正弦定理求出另外两边; (2)已知三角形的两边与其中一边所对的角,先求另一边所对的角(注意此角有两解、一解、无解 【例1】考查正弦定理的应用 (1)ABC ?中,若ο 60=B ,4 2 tan = A ,2=BC ,则=AC _____; (2)ABC ?中,若ο 30=A ,2= b ,1=a ,则=C ____; (3)ABC ?中,若ο 45=A ,24=b ,8=a ,则=C ____; (4)ABC ?中,若A c a sin =,则c b a +的最大值为_____。

总结:若已知三角形的两边和其中一边所对的角,解这类三角形时,要注意有两解、一解和无解的可能如图,在ABC ?中,已知a、b、A (1)若A为钝角或直角,则当b a>时,ABC ?有唯一解;否则无解。 (2)若A为锐角,则当A b a sin <时,三角形无解; 当A b a sin =时,三角形有唯一解; 当b a A b< < sin时,三角形有两解; 当b a≥时,三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时,我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二:余弦定理及面积公式 1.余弦定理:在ABC ?中,角C B A、 、的对边分别为c b a、 、,则有 余弦定理: ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,其变式为: ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2.余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题: (1)已知三角形的两边及其夹角,先由余弦定理求出第三边,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; (2)已知三角形的三条边,先由余弦定理求出一个角,再由正弦定理求较短边所对的角(或由余弦定理求第二个角),最后根据“内角和定理”求得第三个角; 说明:为了减少运算量,能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3.三角形的面积公式 (1) c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? ( a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高); (2)B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? (3)= ?ABC S C B A R sin sin sin 22(R为外接圆半径) (4) R abc S ABC4 = ? ; (5)) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = (6)l r S ABC ? = ?2 1 (r是内切圆的半径,l是三角形的周长)

【高中数学】解三角形的知识总结和题型归纳

解三角形的知识总结和题型归纳 一、知识必备: 1.直角三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,C =90°,AB =c ,AC =b ,BC =a 。(1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2。(勾股定理)(2)锐角之间的关系:A +B =90°;(3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) sin A =cos B =c a ,cos A =sin B =c b ,tan A =b a 。 2.斜三角形中各元素间的关系: 在△ABC 中,A 、B 、C 为其内角,a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。(1)三角形内角和:A +B +C =π。 (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径)(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=c 2+a 2-2ca cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C 。 3.三角形的面积公式: (1)?S = 21ah a =21bh b =21 ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高);(2)?S =21ab sin C =21bc sin A =2 1 ac sin B ; 4.解三角形:由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地,这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面 【高中数学】

(完整版)高中数学必修五解三角形测试题及答案

(数学5必修)第一章:解三角形 [基础训练A 组] 一、选择题 1.在△ABC 中,若0 30,6,90===B a C ,则b c -等于( ) A .1 B .1- C .32 D .32- 2.若A 为△ABC 的内角,则下列函数中一定取正值的是( ) A .A sin B .A cos C .A tan D . A tan 1 3.在△ABC 中,角,A B 均为锐角,且,sin cos B A >则△ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 4.等腰三角形一腰上的高是3,这条高与底边的夹角为060,则底边长为( ) A .2 B . 2 3 C .3 D .32 5.在△ABC 中,若B a b sin 2=,则A 等于( ) A .006030或 B .006045或 C .0060120或 D .0015030或 6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A .090 B .0120 C .0135 D .0150 二、填空题 1.在Rt △ABC 中,090C =,则B A sin sin 的最大值是_______________。 2.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 _________。 3.在△ABC 中,若====a C B b 则,135,30,20 _________。 4.在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C =7∶8∶13,则C =_____________。 5.在△ABC 中,,26-= AB 030C =,则AC BC +的最大值是________。 三、解答题 1. 在△ABC 中,若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么?

必修五-解三角形-题型归纳

一. 构成三角形个数问题 1.在ABC ?中,已知,2,45a x b B === ,如果三角形有两解,则x 的取值范围是( ) A .. D.02x << 2.如果满足 60=∠ABC ,12=AC ,k BC =的△ABC 恰有一个,那么k 的取值范围是__________. 3.在ABC ?中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( ) 二. 求边长问题 4.在ABC ?中,角,,A B C 所对边,,a b c ,若03,120a C ==,ABC ?的面积则c =( ) A .5 B .6 C .7 5.在△ABC 中,01,45,2ABC a B S ?===,则b =_______________. 三. 求夹角问题 6.在ABC ?中,,则=∠BAC sin ( ) A

7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别S c b a ,,,为表示△ABC 的面积,若 ,sin cos cos C c A b B a =+ B=( ) A .90° B .60° C .45° D .30° 四. 求面积问题 8.已知△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边长分别为c b a ,,.若2cos ,,13 a b A B c π ===,则 △ABC 的面积等于 ( ) 9.锐角ABC ?中,角C B A 、、的对边分别是c b a 、、,已知 (Ⅰ)求C sin 的值; (Ⅱ)当2=a ,C A sin sin 2=时,求b 的长及ABC ?的面积. 10.如图,在四边形ABCD 中, (1)求AD 边的长; (2)求ABC ?的面积.

高中数学必修5第一章解三角形全章教案整理

课题: §1.1.1正弦定理 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中, 角与边的等式关系。 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B =, C 同理可得 sin sin c b C B =, b a 从而sin sin a b A B =sin c C = A c B 从上面的研探过程,可得以下定理 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 sin sin a b A B =sin c C = [理解定理] (1)正弦定理说明同一三角形中,边与其对角的正弦成正比,且比例系数为同一正数,即存在正数k 使sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =; (2)sin sin a b A B =sin c C =等价于sin sin a b A B =,sin sin c b C B =,sin a A =sin c C 从而知正弦定理的基本作用为: ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A a B =; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b =。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形。 例1.在?ABC 中,已知045A =,075B =,40a =cm ,解三角形。 例2.在?ABC 中,已知20=a cm ,202b =cm ,045A =,解三角形。

(word完整版)高中数学解三角形练习题

解三角形卷一 一.选择题 1.在△ABC 中,sin A :sin B :sin C =3:2:4,则cos C 的值为 A .23 B .-23 C .14 D .-14 2、在ABC △中,已知4,6a b ==,60B =o ,则sin A 的值为 A 、3 B 、2 C 、3 D 、2 3、在ABC △中,::1:2:3A B C =,则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中,sin :sin :sin 4:3:2A B C =,那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中,13,34,7===c b a ,则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中,60,16,A b ==o 面积3220=S ,则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中,()()()a c a c b b c +-=+,则A = A 、30o B 、60o C 、120o D 、150o 8、在ABC △中,根据下列条件解三角形,则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===o o B 、60,48,60a c B ===o C 、7,5,80a b A ===o D 、14,16,45a b A ===o 二、填空题。 9.在△ABC 中,a ,b 分别是∠A 和∠B 所对的边,若a =3,b =1,∠B =30°,则∠A 的值是 . 10.在△ABC 中,已知sin B sin C =cos 22 A ,则此三角形是__________三角形. 11. 在△ABC 中,∠A 最大,∠C 最小,且∠A =2∠C ,a +c =2b ,求此三角形三边之比为 .

高二解三角形综合练习题

解三角形 一、选择题 1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=60°,c=2,b=1,则a=( ) A.1 B.3 C.2 D.3 2.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C所对的边,则直线l1:sin A·x+ay+c=0与l2:bx-sin B·y+sin C=0的位置关系是( ) A.平行B.重合 C.垂直D.相交但不垂直 3.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ) A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形 4.在△ABC中,已知A∶B=1∶2,∠ACB的平分线CD把三角形分成面积为3∶2的两部分,则cos A等于( ) A.1 3 B. 1 2 C.3 4D.0 5.在△ABC中,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高等于( ) A. 3 2 B. 33 2 C.3+6 2 D. 3+39 4 6.已知锐角三角形三边长分别为3,4,a,则a的取值范围为( ) A.1

C.7

高一数学解三角形(含答案).

解三角形 1.正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===或变形:::sin :sin :sin a b c A B C =. 2.余弦定理: 222222 2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ?=+-?=+-??=+-? 或 222222222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ?+-=?? +-?= ???+-= ?? . 3.(1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角,求其他边角. (2)两类余弦定理解三角形的问题:1、已知三边求三角. 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角. 4.判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.解题中利用 ABC ?中A B C π ++=,以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算,如: sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cot 222222 A B C A B C A B C +++===. 高一数学测试题———正弦、余弦定理与解三角形 一、选择题: 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 ( ) A .60° B .60°或120° C .30°或150° D .120° 2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 ( ) A .a=1,b=2 ,c=3 B .a=1,b= 2 ,∠A=30° C .a=1,b=2,∠A=100° C .b=c=1, ∠B=45° 3、在锐角三角形ABC 中,有 ( ) A .cosA>sin B 且cosB>sinA B .cosAsinB 且cosBsinA 4、若(a+b+c)(b+c-a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 ( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形

解三角形练习题及答案

第一章 解三角形 一、选择题 1.己知三角形三边之比为5∶7∶8,则最大角与最小角的和为( ). A .90° B .120° C .135° D .150° 2.在△ABC 中,下列等式正确的是( ). A .a ∶b =∠A ∶∠B B .a ∶b =sin A ∶sin B C .a ∶b =sin B ∶sin A D .a sin A =b sin B 3.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( ). A .1∶2∶3 B .1∶3∶2 C .1∶4∶9 D .1∶2∶3 4.在△ABC 中,a =5,b =15,∠A =30°,则c 等于( ). A .25 B .5 C .25或5 D .10或5 5.已知△ABC 中,∠A =60°,a =6,b =4,那么满足条件的△ABC 的形状大小 ( ). A .有一种情形 B .有两种情形 C .不可求出 D .有三种以上情形 6.在△ABC 中,若a 2+b 2-c 2<0,则△ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .形状不能确定 7.在△ABC 中,若b =3,c =3,∠B =30°,则a =( ). A .3 B .23 C .3或23 D .2 8.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 的对边.如果a ,b ,c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为 2 3 ,那么b =( ). A . 2 3 1+ B .1+3 C . 2 3 2+ D .2+3 9.某人朝正东方向走了x km 后,向左转150°,然后朝此方向走了3 km ,结果他离出发点恰好3km ,那么x 的值是( ).

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