扬州市邗江区2015届九年级数学(上)期末试题及答案

2014～2015学年度第一学期期末试卷

九年级数学 2015.2

（考试时间120分钟 满分150分）

一、选择题（每题有且只有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填入下表相应的空格内，每题3分，计24分）

1、已知1x 、2x 是一元二次方程0142

=+-x x 的两个根，则21x x ?等于（ ） A. 4- B. 1- C. 1 D. 4

2、如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ）

3、在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sinA =，则cosB 的值是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

4、对于二次函数y =（x ﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（ ）

5、如图，已知A ，B ，C 在⊙O 上，为优弧，下列选项中与∠AOB 相等的是（ ）

6、某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x 株，则可以列出的方程是（ ） A ．（3+x ）（4﹣0.5x ）=15 B ．（x +3）（4+0.5x ）=15 C ．（x +4）（3﹣0.5x ）=15

D ．（x +1）（4﹣0.5x ）=15

7、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 和点F 是矩形ABCD 外两点，AE ⊥CF 于点H ，AD =3，DC =4，DE =5

2

，∠EDF =90°，则DF 长是( )

A.

158 B.113 C. 103 D. 16

5

8、抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为D （﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②a +b +c ＜0；③c ﹣a =2；④方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（ ）

9、抛物线y =x 2﹣2x +3的顶点坐标是 ．

10、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的中线，CD =4，AC =6，则sinB 的值是 ． 11、一元二次方程x 2﹣2x +m =0总有实数根，则m 应满足的条件是 ． 12、如图，AD 是正五边形ABCDE 的一条对角线，则∠BAD = ．

13、若圆锥的底面半径是3cm ，母线长是5cm ，则它的侧面展开图的面积是 ．

14、如图，在建筑平台CD 的顶部C 处，测得大树AB 的顶部A 的仰角为45°，测得大树AB 的底部B 的俯

角为30°，已知平台CD 的高度为5m ，则大树的高度为 m ．

15、一个边长为4cm 的等边三角形ABC 与⊙O 等高，如图放置，⊙O 与BC 相切于点C ，⊙O 与AC 相交于

点E ，则CE 的长为 cm ．

16、如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上，用一个圆面去

覆盖△ABC ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 17、已知二次函数y =ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：

则当y ＜5时，x 的取值范围是 ．

18、如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标

为（2，0），若抛物线2

12

y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是______________．

第15题第16题第18

题

三、解答题（本大题共10个小题，共96分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19、（本题满分10分）

（1）解方程：2x 2﹣4x ﹣1=0 （2）解方程：方程x 2

﹣2x =0；

20、（本题满分8分）

已知：△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （0，3）、B （3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．

（1）画出△ABC 向下平移4个单位长度得到的△A 1B 1C 1，点C 1的坐标是 ； （2）以点B 为位似中心，在网格内画出△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2与△ABC 位似，且位似比为2：1，点C 2的坐标是 ； （3）△A 2B 2C 2的面积是 平方单位．

21、（本题满分8分）

已知二次函数y =x 2

﹣4x +3．

（1）用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； （2）求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标，及△ABC 的面积．

22、（本题满分8分）

如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD =260cm ，AB =130cm ，球目前在E 点位置，AE =60cm ．如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点位置． （1）求证：△BEF ∽△CDF ；

（2）求CF 的长．

23、（本题满分8分）

已知关于x 的一元二次方程()222110x m x m +++-=． （1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；

（2）若方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足()2

121216x x x x -=-，求实数m 的值

如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．

25、（本题满分10分）

如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAB=∠D=30°．

（1）∠C的度数为；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当AB=3时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）．

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B=60°，AB=10，BC=4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP=x．

（1）求AD的长；

（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；

27、（本题满分12分）

某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．

小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．

小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．

小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．

【利润=（销售价-进价） 销售量】

（1）请根据他们的对话填写下表：

（2）请你根据表格中的信息判断每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在怎样的函数关系．并求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；

（3）设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元，求W与x的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．

（1）求此抛物线的解析式

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△P AC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△P AC的最大面积．

2014～2015学年度第一学期期末试卷九年级数学（答案）

C=202

21、解：（1）y=x2﹣4x+3

=x2﹣4x+4﹣4+3

=（x﹣2）2﹣1，………………………………………………2分所以顶点C的坐标是（2，﹣1），………………………………………………3分

当x≤2时，y随x的增大而减少；当x＞2时，y随x的增大而增大；…………4分

（2）解方程x2﹣4x+3=0得：x1=3，x2=1，

即A点的坐标是（1，0），B点的坐标是（3，0），………………………………6分

过C作CD⊥AB于D，

∵AB=2，CD=1，

∴S△ABC=AB×CD=×2×1=1．………………………………………………8分

22、：（1）在矩形ABCD中，由对称性可得出：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，

∴△BEF∽△CDF；………………………………………………4分（2）∵△BEF∽△CDF．

∴，即，

解得：CF=169．

即：CF的长度是169cm．………………………………………………8分

[2(m+1)]﹣4（2m﹣1）≥0，

23、解：（1）由题意有△=2

整理得8m+8≥0，

解得m≥﹣1，

∴实数m的取值范围是m≥﹣1；………………………………………………4分

（2）由两根关系，得x 1+x 2=﹣2（m +1），x 1?x 2=m 2

﹣1，……………………5分 （x 1﹣x 2）2

=16﹣12x x

212(x )x ﹣312x x ﹣16=0，

∴2[-2(m+1)]﹣3（m 2

﹣1）﹣16=0，

∴m 2

+8m ﹣9=0，

解得m =﹣9或m =1 …………………………………7分 ∵m ≥﹣1

∴m =1． ………………………………………………8分

24、解：过点A 作AH ⊥CD ，垂足为H ，

由题意可知四边形ABDH 为矩形，∠CAH =30°， ∴AB =DH =1.5，BD =AH =6，

在Rt △ACH 中，tan ∠CAH =，

∴CH =AH ?tan ∠CAH ，

∴CH =AH ?tan ∠CAH =6tan 30°=6×（米），………………………………5分

∵DH =1.5，∴CD =2+1.5， ………………………………………………6分

在Rt △CDE 中，

∵∠CED =60°，sin ∠CED =， ∴CE =

=（4+

）（米），

答：拉线CE 的长为（4+）米． ………………………………………………10分

25、解答：（1）解：∠C =∠D =30°；

故答案为30°； ………………………………………………2分 （2）证明：∵AC 是⊙O 的直径，

∴∠ABC =90°， ∴∠BAC =60°， 而∠EAB =30°， ∴∠EAC =∠EAB +∠BAC =90°， ∴CA ⊥AE ， ∴AE 是⊙O 的切线； ………………………………………………6分

∵∠BAC=60°，AB=3，

∴△OAB为等边三角形，

∴OA=3，∠AOB=60°，

∴∠BOC=120°，

∴图中阴影部分的面积=S△AOB+S扇形BOC

=×32+

=+3π．………………………………………………10分

26、解：（1）过点C作CE⊥AB于E，

在Rt△BCE中，

∵∠B=60°，BC=4，

∴CE=BC?sin∠B=4×=2，

∴AD=CE=2．………………………………………………4分

（2）存在．若以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．

①当∠PCB=90°时，在Rt△PCB中，BC=4，∠B=60°，PB=8，

∴AP=AB﹣PB=2．

又由（1）知AD=2，在Rt△ADP中，tan∠DP A===，

∴∠DP A=60°，

∴∠DP A=∠CPB，

∴△ADP∽△CPB，

∴存在△ADP与△CPB相似，此时x=2．………………………………………………7分

②∵当∠CPB=90°时，在Rt△PCB中，∠B=60°，BC=4，

∴PB=2，PC=2，

∴AP=3．

则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．

综上所述：当x=2时△PCB与△ADP相似………………………………………10分

（其他说明方法参照给分）

27、（1）300, 250, 150； ………………………………………………3分 （2）判断：y 是x 的一次函数．

设y =kx +b ，∵x =10，y =300；x =11，y =250，∴???=+=+2501130010b k b k ，解得???=-=800

50

b k ，

∴y =﹣50x +800， ………………………………………………7分 经检验：x =13，y =150也适合上述关系式，∴y =﹣50x +800． ………………8分 （3）W =(x ﹣8)y =(x ﹣8)(﹣50x +800)=﹣50x 2+1200x -6400=250(12)800x --+ ∵a =﹣50<0，∴当x =12时，W 的最大值为800，

即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．…12分 28、解：（1）设抛物线为y =a （x ﹣4）2

﹣1，

∵抛物线经过点A （0，3），

∴3=a （0﹣4）2

﹣1，；

∴抛物线为； …………………………3分

（2）相交．

证明：连接CE ，则CE ⊥BD ， 当

时，x 1=2，x 2=6．

A （0，3），

B （2，0），

C （6，0）， 对称轴x =4， ∴OB =2，AB =

=

，BC =4，

∵AB ⊥BD ， ∴∠OAB +∠OBA =90°，∠OBA +∠EBC =90°， ∴△AOB ∽△BEC ， ∴=

，即=

，解得CE =

，

∵

＞2，

∴抛物线的对称轴l 与⊙C 相交．………………………………………………8分

（3）如图，过点P 作平行于y 轴的直线交AC 于点Q ；

可求出AC 的解析式为； 设P 点的坐标为（m ，），

∴PQ=﹣m+3﹣（m2﹣2m+3）=﹣m2+m．

∵S△P AC=S△P AQ+S△PCQ=×（﹣m2+m）×6

=﹣（m﹣3）2+；

∴当m=3时，△P AC的面积最大为；

此时，P点的坐标为（3，）．………………………………………………12分