所以)(x f 在x 1, x 2处分别取得极大值和极小值. 综上,当b a ,满足2
b a >时, )(x f 取得极值.
(2)要使)(x f
在区间(0,1]上单调递增,需使2'()210f
x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立.
即1,(0,1]22ax b x x ≥-
-∈恒成立, 所以max 1
()
22ax b x
≥-- 设1()22ax g x x =--,2221()
1'(
)222a x a a g x x x
-=-+=, 令'()0g x =得x =
或x =(舍去),
当
1>a 时,101a <
<,
当x ∈时'()0g x >
,1()22ax g x x =--单调增函数; 当x ∈时'()0g x <,1()22ax g x x =--单调减函数,
所以当x =
时,()g x 取得最大,
最大值为g =所以b ≥当01a <≤时,
1≥,此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立,所以1()22ax g x x =--在区间
(0,1]上单调递增,当1x =时()g x 最大,最大值为1(1)2a g +=-
,所以1
2a b +≥- 综上,当1>a 时, b ≥ 当01a <≤时, 1
2
a b +≥-
【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数
在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.
11. (海南宁夏理21)（本小题满分12分）
已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++
（I ） 如3a b ==-，求()f x 的单调区间；
（II ）
若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明
βα-＜6.
（21）解：
（Ⅰ）当3a b ==-时，32()(333)x f x x x x e -=+--，故
322'()(333)(363)x x f x x x x e x x e --=-+--++-
3(9)x e x x --=-- (3)(3)
x x x x e -=--+
当3x <-或03'()0;x f x <<>时， 当303'()0.x x f x -<<><或时，
从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少. (Ⅱ)3
2
23'()(3)(36)[(6)].x
x x f x x x ax b e
x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-
由条件得：3
'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故从而
3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+-
因为'()'()0,f f αβ==所以
3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---
2
(2)(()).x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故
βα-==
又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <-
于是 6.
βα->
12. (海南宁夏文21)（本小题满分12分）
已知函数3223()39f x x ax a x a =--+. (1) 设1a =，求函数()f x 的极值； (2) 若14
a >
，且当[]1,4x a ∈时，)('
x f ≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围. 请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
解：
（Ⅰ）当a=1时，对函数()f x 求导数，得
'2()369.f x x x =--
令 '12()0,1, 3.f x x x ==-=解得
列表讨论'(),()f x f x 的变化情况：
所以，()f x 的极大值是(1)6f -=，极小值是(3)26.f =-
（Ⅱ）'22()369f x x ax a =--的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a 对称. 若
'1
1,()4
a f x <≤则在[1,4a]上是增函数，从而
'()f x 在[1,4a]上的最小值是'2(1)369,f a a =--最大值是'2(4)15.f a a =
由'
2
2
|()|12,1236912,f x a a x ax a a ≤-≤--≤得于是有
'2'2(1)36912,(4)1512.f a a a f a a a =--≥-=≤且
由'
'14(1)121,(4)120.35
f a a f a a a ≥--
≤≤≤≤≤得由得 所以11414
(,1][,1][0,],(,].43545
a a ∈-∈ 即
若a>1,则'2'|()|1212.[1,4]|()|12f a a a x a f x a =>∈≤故当时不恒成立. 所以使'|()|12([1,4])f x a x a ≤∈恒成立的a 的取值范围是14(,].
45
13. (辽宁理21)（本小题满分 12 分）
已知函数2
1()(1)ln ,12
f x x ax a x a =
-+->， （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：若5a <，则对于任意1212,(0,),,x x x x ∈+∞≠有1212
()()
1f x f x x x ->--。
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，
211(1)[(1)]
()a x ax a x x a f x x a x x x --+----'=-+==--------------2分
（i ）若11a -=，即a=2，则2
(1)()x f x x
-'=，故()f x 在(0,)+∞上单调增加。
（ii ）若11a -<，而1a >，故12a <<，则当(1,1)x a ∈-时，()0f x '<； 当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，()0f x '>。
故()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，(1,)+∞上单调增加。
（iii ）若11a ->，即2a >， 同理可得()f x 在(1,1)a -上单调减少，在(0,1)a -，
(1,)+∞上单调增加。
（2）考虑函数2
1()()(1)ln 2
g x f x x x ax a x x =+=
-+-+，
则21()(1)(1)11)a g x x a a x -'=--+
≥-=-， 由于15a <<，故()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调增加，从而当210x x <<时， 有12()()0g x g x ->，即1212()()0f x f x x x -+->，故
1212
()()
1f x f x x x ->--；
当120x x <<时，有
12211221
()()()()
1f x f x f x f x x x x x --=>---。
14. (辽宁文21)（本小题满分12分）
设2()(1)x f x e ax x =++，且曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线与x 轴平行。 （I ） 求a 的值，并讨论f （x ）的单调性； （II ）
证明：当[0,
]f(cos )f(sin )2
2
π
θθθ∈-<时，
（21）解：（Ⅰ）2'()(121)x f x e ax x ax =++++.有条件知，
'(1)0f =，故3201a a a ++=?=-. 于是2'()(2)(2)(1)x x f x e x x e x x =--+=-++. 故当(,2)(1,)x ∈-∞-?+∞时，'()f x ＜0；
当(2,1)x ∈-时，'()f x ＞0.
从而()f x 在(,2)-∞-，(1,)+∞单调减少，在(2,1)-单调增加. （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在[0,1]单调增加，故()f x 在[0,1]的最大值为(1)f e =， 最小值为(0)1f =.
从而对任意1x ，2x [0,1]∈，有12()()12f x f x e -≤-<. 而当[0,
]2
π
θ∈时，cos ,sin θθ∈[0,1].
从而 (cos )(sin )2f f θθ-<
15. (福建理20)（本小题满分14分）
已知函数3
21()3
f x x ax bx =
++,且'(1)0f -= (1) 试用含a 的代数式表示b,并求()f x 的单调区间；
（2）令1a =-,设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点M (1x ,1()f x )，N(2x ,2()f x )，P(,()m f m ), 12x m x <<,请仔细观察曲线()f x 在点P 处的切线与线段MP 的位置变化趋势，并解释以下问题：
（I ）若对任意的m ∈(1x , x 2)，线段MP 与曲线f(x)均有异于M,P 的公共点，试确定t 的最小值，并证明你的结论；
（II ）若存在点Q(n ,f(n)), x ≤n< m ,使得线段PQ 与曲线f(x)有异于P 、Q 的公共点，请直接
写出m 的取值范围（不必给出求解过程） 解法一:
(Ⅰ)依题意,得2'()2f x x ax b =++ 由'(1)12021f a b b a -=-+==-得.
从而321
()(21),'()(1)(21).3f x x ax a x f x x x a =++-=++-故
令'()0,112.f x x x a ==-=-得或 ①当a>1时, 121a -<-
当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：
由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --。 ②当1a =时，121a -=-此时有'()0f x >恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数
()f x 的单调增区间为R
③当1a <时，121a ->-同理可得，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：
当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --； 当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；
当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --. (Ⅱ)由1a =-得3
21()33
f x x x x =
--令2()230f x x x =--=得121,3x x =-= 由（1）得()f x 增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在处
121,3x x =-=取得极值，故M （5
1,3
-）N （3,9-）
。 观察()f x 的图象，有如下现象：
①当m 从-1（不含-1）变化到3时，线段MP 的斜率与曲线()f x 在点P 处切线的斜率()f x 之差K mp -'()f m 的值由正连续变为负。
②线段MP 与曲线是否有异于H ，P 的公共点与K mp －'()f m 的m 正负有着密切的关联； ③Kmp －'()f m =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足K mp －'()f m 的m 就是所求的t 最小值，下面给出证明并确定的t 最小值.曲线()f x 在点(,())P m f m 处的切线斜率
2'()23f m m m =--；
线段MP 的斜率Kmp 2453
m m --=
当Kmp －'()f m =0时，解得12m m =-=或
直线MP 的方程为22454(
)33m m m m
y x ---=+ 令22454()()(
)33
m m m m g x f x x ---=-+ 当2m =时，2
'()2g x x x =-在(1,2)-上只有一个零点0x =，可判断()f x 函数在(1,0)
-上单调递增，在(0,2)上单调递减，又(1)(2)0g g -==，所以()g x 在(1,2)-上没有零点，即线段MP 与曲线()f x 没有异于M ，P 的公共点。
当(]2,3m ∈时，24(0)03
m m
g -=-
>.2(2)(2)0g m =--< 所以存在(]0,2m ∈使得()0g δ=
即当(]2,3,m ∈时MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点 综上，t 的最小值为2.
（2）类似（1）于中的观察，可得m 的取值范围为(]1,3 解法二：
（1）同解法一.
（2）由1a =-得3
21()33
f x x x x =-
--，令2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-= 由（1）得的()f x 单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数在处
取得极值。故M(5
1,
3
-).N(3,9-) (Ⅰ) 直线MP 的方程为22454.33
m m m m
y x ---=+
由223245433133m m m m
y x y x x x ?---=+????=--??
得32223(44)40x x m m x m m ---+-+=
线段MP 与曲线()f x 有异于M,P 的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数 3222()3(44)4g x x x m m x m m =---+-+在(-1,m)上有零点.
因为函数()g x 为三次函数,所以()g x 至多有三个零点,两个极值点.
又(1)()0g g m -==.因此, ()g x 在(1,)m -上有零点等价于()g x 在(1,)m -内恰有一个极大值点和一个极小值点,即22'()36(44)0(1,)g x x x m m m =---+=在内有两不相等的实数根. 等价于222
22
3612440
3(1)6(44)0
36(44)0
1
m m m m m m m m m ??+-+?-+--+>??---+>??>?
＝（）＞ 即1521,251m m m m m -<<-<?或解得
又因为13m -<≤,所以m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的r 的最小值为2.
16. (福建文21)（本小题满分12分）
已知函数32
1(),3
f x x ax bx =++且'(1)0f -=
（I ）试用含a 的代数式表示b ；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点
1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点；
解法一：
（I ）依题意，得2
'()2f x x ax b =++ 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =- （Ⅱ）由（I ）得3
21()(21)3
f x x ax a x =
++-（ 故2
'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++- 令'*()0f x =，则1x =-或12x a =-
①当1a >时，121a -<-
当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：
由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a -- ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数
()f x 的单调区间为R
③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：
当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --； 当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；
当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- （Ⅲ）当1a =-时，得3
21()33
f x x x x =
-- 由3
'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=
由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)- 所以函数()f x 在121.3x x =-=处取得极值。 故5
(1,).(3,9)3
M N -- 所以直线MN 的方程为8
13
y x =-
- 由22133813y x x x y x ?=--????=--??
得32
330x x x --+=
令32()33F x x x x =--+
易得(0)30,(2)30F F =>=-<，而()F x 的图像在(0,2)内是一条连续不断的曲线， 故()F x 在(0,2)内存在零点0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点 解法二：
（I ）同解法一 （Ⅱ）同解法一。
（Ⅲ）当1a =-时，得3
21()33f x x x x x
=
--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=
由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值， 故5
(1,),(3,9)3
M N -- 所以直线MN 的方程为8
13
y x =-
- 由32133813y x x x y x ?=--????=--??
得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==
12331211
35119,,33x x x y y y =-=??=???
∴???
=-==-????
? 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11
(1,)3
-
17. (广东理20)（本小题满分14分）
已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()
()g x f x x
=
． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q
m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设1)1()(2
-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=；
又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a =
m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(2
2
， ()()2g x m
f x x x x
==++， 设()
,o o P x y ，则2
02
020202)()2(||x m x x y x PQ +
+=-+= m m m m m x m x 2||2222222220
2
20
+=+≥++=
当且仅当20
2
20
2x m x =时，2||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2
当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m 当0+-m 解得12--=m
（2）由()
()120m
y f x k x k x x
=-=-++=(0≠x )，得()2120k x x m -++= ()*
当1k =时，方程()*有一解2m x =-
，函数()y f x kx =-有一零点2
m
x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->，
若0m >，1
1k m
>-
， 函数
()y f x
k x =
-有两个零点
)
1(2)
1(442k k m x ---±-=
，即
1
)
1(11---±=
k k m x ；
若0m <，11k m
<-
， 函数
()y f x
k x =
-有两个零点
)
1(2)
1(442k k m x ---±-=
，即
1
)
1(11---±=
k k m x ；
当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=, 11k m
=-
, 函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=
1
1
综上，当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2
m x =-
； 当11k m >-
(0m >)，或1
1k m
<-（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1
)
1(11---±=k k m x ；
当11k m =-
时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=
1
1
. 18. (广东文21).（本小题满分14分）
已知二次函数)(x g y =的导函数的图像与直线2y x =平行,且)(x g y =在x =－1处取得最小值m －1(m 0≠).设函数x
x g x f )
()(=
(1)若曲线)(x f y =上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m 的值 (2) )(R k k ∈如何取值时,函数kx x f y -=)(存在零点,并求出零点. 解析：（1）设()2
g x ax bx c =++，则()2g x ax b '=+；
又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a = 又()g x 在1x =-取极小值， 12
b
-=- ， 2b = ()1121g a b c c m ∴-=-+=-+=-
， c m =； ()()2g x m
f x x x x
=
=++， 设(),o o P x y 则()
2
2
2
2
2000002m PQ x y x x x ??=+-=++ ??
?22
020222m x x =++≥
24∴+=
m =；
（2）由()()120m
y f x kx k x x
=-=-+
+=， 得 ()2
120k x x m -++= ()*
当1k =时，方程()*有一解2m x =-
，函数()y f x kx =-有一零点2
m x =-； 当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->，若0m >，1
1k m
>-，
函数()y f x kx =-有两个零点x ；若0m <，
11k m <-
，函数()y f x kx =-有两个零点x ； 当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=, 1
1k m
=-
, 函数()y f x k x =-有一零点
1
1
x k =-
19.(浙江文21)（本题满分15分）已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R ．
（I ）若函数()f x 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值； （II ）若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调．．．
，求a 的取值范围． 解析：（Ⅰ）由题意得)2()1(23)(2+--+='a a x a x x f
又?
?
?
-=+-='==3)2()0(0
)0(a a f b f ，解得0=b ，3-=a 或1=a
（Ⅱ）函数)(x f 在区间)1,1(-不单调，等价于
导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点，根据零点存在定理，有
0)1()1(<'-'f f ， 即：0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得：0)1)(1)(5(2<-++a a a ，解得15-<<-a
20.(浙江理22)（本题满分14分）已知函数322
()(1)52f x x k k x x =--++-，22()1g x k x kx =++，
其中k ∈R ．
（I ）设函数()()()p x f x g x =+．若()p x 在区间(0,3)上不单调．．．
，求k 的取值范围； （II ）设函数(),0,
()(),0.
g x x q x f x x ≥?=?
的非零实数2x （21x x ≠），使得21()()q x q x ''=成立？若存在，求k 的值；若不
存
在，请说明理由．
解析：（I ）因32()()()(1)(5)1P x f x g x x k x k =+=+-++-，
()232(1)(5)p x x k x k '=+-++，因()p x 在区间(0,3)上不单调，．．．．所以()0p x '=在()0,3上有实数解，且无重根，由()0p x '=得2
(21)(325),k x x x +=--+
()2(325)391021214213x x k x x x -+??
∴=-=-++-??++??，令21,t x =+有()1,7t ∈，记
9
(),h t t t
=+则()h t 在(]1,3上单调递减，在[)3,7上单调递增，所以有()[)6,10h t ∈，于
是()[)9
216,1021
x x ++
∈+，得(]5,2k ∈--，而当2k =-时有()0p x '=在()0,3上有两
个相等的实根1x =，故舍去，所以()5,2k ∈--；
（II ）当0x <时有()()2232(1)5q x f x x k k x ''==--++；
当0x >时有()()22q x g x k x k ''==+，因为当0k =时不合题意，因此0k ≠， 下面讨论0k ≠的情形，记A (,)k =+∞，B=()5,+∞（ⅰ）当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ?，因此有5k ≥，（ⅱ）当
10x <时，()q x '在()0,+∞上单调递减，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且A B ?，因此5k ≤，综合（ⅰ）（ⅱ）5k =；
当5k =时A=B ，则()110,x q x B A '?<∈=，即20,x ?>使得()()21q x q x ''=成立，因为
()q x '在()0,+∞上单调递增，所以2x 的值是唯一的；
同理，10x ?<，即存在唯一的非零实数221()x x x ≠，要使()()21q x q x ''=成立，所以5k =满足题意．
21.（安徽文21）（本小题满分14分） 已知函数2
()1ln f x x a x x
=-+-，a ＞0， （I ） 讨论()f x 的单调性;
（II ）
设a=3，求()f x 在区间[1，2
e ]上值域。其中e=2.71828…是自然对数的底数。
解：（Ⅰ）由于/
22()1a
f x x x
=+- 令1
t x
=
得/2()21(0)f x t at t =-+≠
① 当2
80a ?=-≤，即02a <≤/()0f x ≥恒成立，∴()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上
都是增函数。
② 当2
80a ?=->，即a >
由2
210t at -+>得4a t <或4
a t +>
∴0x <或x >0x <<
又由2
210t at -+综上 当0a <≤()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上都是增函数；当a >()f x 在
(-∞及)+∞上都是增函数，
在()22
a a +是减函数。
（2）当3a =时，由（1）知，()f x 在[1，2]上是减函数，在[22,]e 上市增函数。
又2
2
2
2
(1)0,(2)23ln 20,()50f f f e e e ==-<=-
-> ∴函数()f x 在区间[1，2
e ]上的值域为222[23ln 2, e 5]e
---。
（安徽文9）．设函数32sin ()tan 3f x x θθ=++，其中θ∈50,12π??
????
，则导数
/(1)f 的取值范围是
www.shu
（A ）．[]2,
- （B ）. （C ）?? （D ??
解析：/2()sin f x x x θθ=，∴/
(1)sin 2sin()3
f π
θθθ==+
/(1)2f ≤≤，选D
22.（安徽理19）（本小题满分12分）
已知函数2
()(2ln ),(0)f x x a x a x
=-+->，讨论()f x 的单调性.
本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。本小题满分12分。
解：()f x 的定义域是(0,+∞),222
22
()1.a x ax f x x x x -+'=+-=
设2
()2g x x ax =-+,二次方程()0g x =的判别式2
8a ?=-.
③ 当2
80a ?=-<，即02a <<对一切0x >都有()0f x '>,此时()f x 在(0,)
+∞上是增函数。
④ 当2
80a ?=-=,即a =时，仅对x =
有()0f x '=,对其余的0x >都有
()0f x '>,此时()f x 在(0,)+∞上也是增函数。
⑤ 当2
80a ?=->，即a >
方程()0g x =有两个不同的实根12a x =22
a x =,120x x <<.
