2017年中考数学必做36道压轴题及变式训练(精华)
2017年中考必做的36道压轴题及变式训练
第1题 夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”
【例1】（2013北京，23,7分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2220y mx mx m =--≠
与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ． （1）求点A ，B 的坐标；
（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；
（3）若该抛物线在21x -<<-这一段位于直线l 的上方，并且在23x <<这一段位于直线AB 的下方，求
该抛物线的解析式．
链接：（2013南京，26,9分）已知二次函数y =a (x -m )2
-a (x -m ) (a 、m 为常数，且a ≠0)． （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图像与x 轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C ，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ． ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值；
②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值．
变式：（2012北京，23,7分）已知二次函数()()2
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y t x t x =++++
在0x =和2x =时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点A （-3，m ），求m 和k 的值；
（3）设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点B ，C 间的部分（含点B 和点C ）向左平移()0n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围．
第2题 “弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破
【例题】（2012湖南湘潭，26，10分）如图，抛物线()2
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y ax x a =--≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；]
（3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．
【变式】（2011安徽芜湖，24，14分）平面直角坐标系中，ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到'''A B OC
． （1）若抛物线过点C ，A ，A '，求此抛物线的解析式； （2）ABOC 和'''A B OC
重叠部分△OC'D 的周长；
（3）点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M 在何处时△AMA '的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标．
第3题 “模式识别”记心头，看似“并列”实“递进”
【例题】（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线1
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y x =
+与抛物线23y ax bx =+-交于A ，B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a ，b 及sin ACP ∠的值； （2）设点P 的横坐标为m ．
①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；
②连接PB ，线段PC 把PDB △分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由．
【变式一】（2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数23y x bx =+-的图象经过点P （﹣2，5）． （1）求b 的值并写出当13x <≤时y 的取值范围；
（2）设1P （m ，1y ）、2P （m +1，2y ）、3P （m +2，3y ）在这个二次函数的图象上． ①当m =4时，1y 、2y 、3y 能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当m 取不小于5的任意实数时，1y 、2y 、3y 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【变式二】（2013重庆，25题，12分）如图，已知抛物线2
y x bx c =++的图象与x 轴的一个交点为B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点C （0，5）． （1）求直线BC 与抛物线的解析式；
（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图象上的一动点，过点M 作MN ∥y 轴交直线BC 于点N ，求MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图象上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为1S ，△ABN 的面积为2S ，且126S S =，求点P 的坐标．
第4题 “准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”
【例题】（2012四川资阳，25，9分）抛物线2
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y x x m =
++的顶点在直线3y x =+上，过点F （－2，2）的直线交该抛物线于点M 、N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ． （1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值； （2）设点N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点N 的纵坐标，并说明NF ＝NB ； （3）若射线NM 交x 轴于点P ，且P A ×PB ＝
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，求点M 的坐标．
【变式一】（2010湖北黄冈，25，15分）已知抛物线()2
0y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过
抛物线上一点P （x ，y ）向直线5
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y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）． （1）求字母a ，b ，c 的值； （2）在直线x =1上有一点F （1，
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），求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM =PN 恒成立？若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．
【变式二】（2012山东潍坊，24,11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点O 的直线y kx =与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C 、D (0，－2)作平行于x 轴的直线1l 、2l ． （1）求抛物线对应二次函数的解析式； （2）求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；
（3）求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．
第5题 莫为“浮云”遮望眼，“洞幽察微”探指向
【例题】（2012浙江宁波，26，12分）如图，二次函数y =ax 2
+bx +c 的图象交x 轴于A （﹣1，0），B （2，0），交y 轴于C （0，﹣2），过A ，C 画直线． （1）求二次函数的解析式；
（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A =PC ，求OP 的长；
（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ． ①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标； ②若⊙M 的半径为
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，求点M 的坐标．
【变式一】（2010湖南邵阳，25，12分）如图，抛物线2
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y x x =-
++与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，顶点为点D ，对称轴l 与直线BC 相交于点E ，与x 轴相交于点F ． （1）求直线BC 的解析式；