平面向量经典题型提高篇

平面向量经典题型提高篇
平面向量经典题型提高篇

平面向量:

1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)

共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-13 C .-1 D .-23

[答案] C

[解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa +b 与c 共线,

∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1.

2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与c

垂直,则k =( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1

[答案] C

[解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0, ∴k =-3.

(理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( )

A .-611

B .-116 C.611 D.116

[解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ), ∵a +b 与a -λb 垂直,

∴(a +b )·(a -λb )=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6

11. 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a 、b 间的

夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30°

[答案] B

[解析] 如图,在?ABCD 中,

∵|a |=|b |=|c |,c =a +b ,∴△ABD 为正三角形, ∴∠BAD =60°,∴〈a ,b 〉=120°,故选B.

(理)向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=3

2,a 与b 的夹角为60°,则|b |=( )

A.12

B.13

C.14

D.15

[解析] ∵|a -b |=32,∴|a |2+|b |2

-2a ·b =34, ∵|a |=1,〈a ,b 〉=60°,

设|b |=x ,则1+x 2

-x =34,∵x >0,∴x =12.

4. 若AB →·BC

→+AB →2=0,则△ABC 必定是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形

[答案] B

[解析] AB →·BC →+AB →2=AB →·(BC →+AB →)=AB →·AC →=0,∴AB →⊥AC →, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形.

5. (文)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则用a ,b 表示c

为( ) A .-a +3b B .a -3b C .3a -b D .-3a +b

[答案] B

[解析] 设c =λa +μb ,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ),

∴????? λ+μ=-2λ-μ=4,∴?????

λ=1μ=-3

,∴c =a -3b ,故选B. (理)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC →=a ,BD →=b ,则AF

→等于( ) A.14a +12b B.23a +13b C.12a +14b D.13a +23b

[答案] B

[解析] ∵E 为OD 的中点,∴BE →=3ED →, ∵DF ∥AB ,∴|AB ||DF |=|EB |

|DE |,

∴|DF |=13|AB |,∴|CF |=23|AB |=2

3|CD |, ∴AF →=AC →+CF →=AC →+23CD →=a +23(OD →-OC →) =a +23(12b -12a )=23a +1

3b .

6. 若△ABC 的三边长分别为AB =7,BC =5,CA =6,则AB →·BC

→的值为( ) A .19 B .14 C .-18 D .-19

[答案] D

[解析] 据已知得cos B =72+52-622×7×5

=1935,故AB →·BC

→=|AB →|×|BC →|×(-cos B )=7×5×? ??

??

-1935=-19.

7. 若向量a =(x -1,2),b =(4,y )相互垂直,则9x +3y 的最小值为( )

A .12

B .2 3

C .3 2

D .6

[答案] D

[解析] a ·b =4(x -1)+2y =0,∴2x +y =2,∴9x +3y =32x +3y ≥232x +y =6,等号在x =1

2,y =1时成立.

8. 若A ,B ,C 是直线l 上不同的三个点,若O 不在l 上,存在实数

x 使得x 2OA →+xOB →+BC →=0,实数x 为( ) A .-1 B .0 C.-1+5

2 D.1+5

2

[答案] A

[解析] x 2OA

→+xOB →+OC →-OB →=0,∴x 2OA →+(x -1)OB →+OC →=0,由向量共线的充要条件及A 、B 、C 共线知,1-x -x 2=1,∴x =0或-1,当x =0时,BC

→=0,与条件矛盾,∴x =-1. 9. (文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点,则AP →·(AB

→+AC

→)( ) A .最大值为8 B .最小值为2 C .是定值6 D .与P 的位置有关 [答案] C

[解析] 以BC 的中点O 为原点,直线BC 为x 轴建立如图坐标系,则B (-1,0),C (1,0),A (0,3),AB →+AC →=(-1,-3)+(1,-3)=(0,-23),

设P (x,0),-1≤x ≤1,则AP

→=(x ,-3), ∴AP →·(AB →+AC →)=(x ,-3)·(0,-23)=6,故选C.

(理)在△ABC 中,D 为BC 边中点,若∠A =120°,AB →·AC →=-1,则|AD

→|的最小值是( ) A.1

2 B.3

2 C. 2 D.22

[答案] D

[解析] ∵∠A =120°,AB →·AC →=-1, ∴|AB →|·|AC →|·cos120°=-1, ∴|AB →|·|AC

→|=2, ∴|AB →|2+|AC →|2≥2|AB →|·|AC

→|=4, ∵D 为BC 边的中点,∴AD →=12(AB →+AC →),∴|AD →|2=14(|AB →|2+|AC →|2+2AB →·AC →)=14(|AB →|2+|AC →|2-2)≥14(4-2)=12

, ∴|AD →|≥22.

10. 如图所示,点P 是函数y =2sin(ωx +φ)(x ∈R ,ω>0)的图象的最高

点,M ,N 是该图象与x 轴的交点,若PM →·PN →=0,则ω的值为( )

A.π

8 B.π

4 C .4 D .8

[答案] B

[解析] ∵PM →·PN →=0,∴PM ⊥PN ,又P 为函数图象的最高点,M 、N 是该图象与x 轴的交点,∴PM =PN ,y P =2,∴MN =4,∴T =2πω=8,∴ω=π

4.

11. 如图,一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ,AD 分别交于E 、

F 两点,且交其对角线于K ,其中AE →=13AB →,AF →=12AD →,AK →=λAC →,则λ的值为( )

A.15

B.14

C.13

D.12

[答案] A

[解析] 如图,取CD 的三等分点M 、N ,BC 的中点Q ,则EF ∥DG ∥BM ∥NQ ,易知AK →=15AC →,∴λ=15.

12. 已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若m a +4b 与a -2b 共线,则m

的值为( )

A.1

2 B .2 C .-2 D .-1

2

[答案] C

[解析] m a +4b =(2m -4,3m +8),a -2b =(4,-1), 由条件知(2m -4)·(-1)-(3m +8)×4=0, ∴m =-2,故选C.

13. 在△ABC 中,C =90°,且CA =CB =3,点M 满足BM

→=2MA →,则CM →·CB →等于( ) A .2 B .3 C .4 D .6 [答案] B

[解析] CM →·CB → =(CA →+AM →)·CB → =(CA →+13AB →)·CB → =CA →·CB →+13AB →·CB → =13|AB →|·|CB →

|·cos45° =13×32×3×22=3.

14. 在正三角形ABC 中,D 是BC 上的点,AB =3,BD =1,则AB →·AD

→=________. [答案] 15

2

[解析] 由条件知,|AB →|=|AC →|=|BC →|=3,〈AB →,AC →〉=60°,〈AB →,CB →〉=60°,CD →=23CB →,

∴AB →·AD →=AB →·(AC →+CD →)=AB →·AC →+AB →·23CB →=3×3×cos60°+23×3×3×cos60°=15

2.

15. 已知向量a =(3,4),b =(-2,1),则a 在b 方向上的投影等于

________. [答案] -25

5

[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |=-25

=-25

5.

16. 已知向量a 与b 的夹角为2π

3,且|a |=1,|b |=4,若(2a +λb )⊥a ,

则实数λ=________. [答案] 1

[解析] ∵〈a ,b 〉=2π

3,|a |=1,|b |=4,∴a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ,b 〉=1×4×cos 2π

3=-2,∵(2a +λb )⊥a ,∴a ·(2a +λb )=2|a |2+λa ·b =2-2λ=0,∴λ=1.

17. 已知:|OA →|=1,|OB →|=3,OA →·OB

→=0,点C 在∠AOB 内,且∠AOC =30°,设OC →=mOA →+nOB →(m ,n ∈R +),则m n =________. [答案] 3

[解析] 设mOA

→=OF →,nOB →=OE →,则OC →=OF →+OE →,

∵∠AOC =30°,∴|OC →|·cos30°=|OF →|=m |OA →|=m , |OC →|·sin30°=|OE

→|=n |OB →|=3n , 两式相除得:m 3n =|OC →|cos30°|OC →|sin30°=1tan30°=3,∴m

n =3.

18. (文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴

正方向相同的两个单位向量,且OA →=-2i +j ,OB →=4i +3j ,则△OAB 的面积等于________. [答案] 5

[解析] 由条件知,i 2=1,j 2=1,i ·j =0,∴OA →·OB →=(-2i +j )·(4i +3j )=-8+3=-5,又OA →·OB →=|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →,OB →〉=55cos 〈OA →,OB →〉,

∴cos 〈OA →,OB →〉=-55,∴sin 〈OA →,OB →〉=255, ∴S △OAB =12|OA →|·|OB →|·sin 〈OA →,OB →〉=12×5×5×255=5. (理)三角形ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)

①sin A +cos A =15 ②AB →·BC →<0 ③b =3,c =33,B =30° ④

tan A +tan B +tan C >0.

[答案] ④

[解析] 若A 为锐角,则sin A +cos A >1,∵sin A +cos A =1

5,∴A 为钝角,∵AB →·BC →<0,∴BA →·BC →>0,∴∠B 为锐角,由∠B 为锐角得不出△ABC 为锐角三角形;由正弦定理b sin B =c sin C 得,3sin30°=33

sin C ,∴sin C =32,∴C =60°或120°,∵c ·sin B =332,3<332<33,∴△ABC 有两解,故①②③都不能得出△ABC 为锐角三角形.

④由tan A +tan B +tan C =tan(A +B )(1-tan A tan B )+tan C =-tan C (1-tan A tan B )+tan C =tan A tan B tan C >0,及A 、B 、C ∈(0,π),A +B +C =π知A 、B 、C 均为锐角,

∴△ABC 为锐角三角形.

19. 已知平面向量a =(1,x ),b =(2x +3,-x ).

(1)若a ⊥b ,求x 的值. (2)若a ∥b ,求|a -b |. [解析] (1)若a ⊥b ,

则a ·b =(1,x )·(2x +3,-x )=1×(2x +3)+x (-x )=0, 整理得x 2-2x -3=0,解得x =-1或x =3. (2)若a ∥b ,则有1×(-x )-x (2x +3)=0, 则x (2x +4)=0,解得x =0或x =-2, 当x =0时,a =(1,0),b =(3,0), ∴|a -b |=|(1,0)-(3,0)|=|(-2,0)| =(-2)2+02=2,

当x =-2时,a =(1,-2),b =(-1,2), ∴|a -b |=|(1,-2)-(-1,2)|=|(2,-4)| =22+(-4)2=2 5.

20. 已知向量a =(sin x ,-1),b =(3cos x ,-1

2),函数f (x )=(a +b )·a

-2.

(1)求函数f (x )的最小正周期T ;

(2)将函数f (x )的图象向左平移π

6上个单位后,再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )的解析式及其对称中心坐标.

[解析] (1)f (x )=(a +b )·a -2=a 2+a ·b -2 =sin 2

x +1+3sin x cos x +12-2

1-cos2x 2+32sin2x -12=32sin2x -1

2cos2x

=sin(2x -π

6), ∴周期T =2π

2=π.

(2)向左平移π6个单位得,y =sin[2(x +π6)-π

6] =sin(2x +π

6),横坐标伸长为原来的3倍得, g (x )=sin(23x +π

6),

令23x +π6=k π得对称中心为(3k π2-π

4,0),k ∈Z .

21. (文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,设

向量m =(c -a ,b -a ),n =(a +b ,c ),若m ∥n .

(1)求角B 的大小;

(2)若sin A +sin C 的取值范围. [解析] (1)由m ∥n 知c -a a +b =b -a

c ,

即得b 2=a 2+c 2-ac ,据余弦定理知 cos B =12,得B =π3.

(2)sin A +sin C =sin A +sin(A +B )=sin A +sin(A +π

3) =sin A +12sin A +32cos A =32sin A +3

2cos A =3sin(A +π

6),

∵B =π3,∴A +C =2π3,∴A ∈(0,2π3), ∴A +π6∈(π6,5π6),∴sin(A +π6)∈(1

2,1], ∴sin A +sin C 的取值范围为(3

2,3].

(理)在钝角三角形ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,m =(2b -c ,cos C ),n =(a ,cos A ),且m ∥n .

(1)求角A 的大小;

(2)求函数y =2sin 2

B +cos(π

3-2B )的值域.

[解析] (1)由m ∥n 得(2b -c )cos A -a cos C =0, 由正弦定理得2sin B cos A -sin C cos A -sin A cos C =0, ∵sin(A +C )=sin B , ∴2sin B cos A -sin B =0,

∵B 、A ∈(0,π),∴sin B ≠0,∴A =π

3.

(2)y =1-cos2B +12cos2B +3

2sin2B =1-12cos2B +32sin2B =sin(2B -π

6)+1, 当角B 为钝角时,角C 为锐角,则 ?????

π2

3-B <π

2

?π2

3,

∴5π6<2B -π6<7π6,∴sin(2B -π6)∈(-12,12), ∴y ∈(12,32).

当角B 为锐角时,角C 为钝角,则 ?????

0

?0

6,

∴-π6<2B -π6<π6,∴sin(2B -π6)∈(-12,12), ∴y ∈(12,32),

综上,所求函数的值域为(12,3

2).

22. 设函数f (x )=a ·b ,其中向量a =(2cos x,1),b =(cos x ,3sin2x ),x

∈R .

(1)若f (x )=1-3且x ∈[-π3,π

3],求x ;

(2)若函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ,n )(|m |<π

2)平移后得到函数y =f (x )的图象,求实数m 、n 的值.

[解析] (1)依题设,f (x )=2cos 2x +3sin2x =1+2sin(2x +π

6).

由1+2sin(2x +π6)=1-3,得sin(2x +π6)=-3

2, ∵-π3≤x ≤π3,∴-π2≤2x +π6≤5π6, ∴2x +π6=-π3,即x =-π4.

(2)函数y =2sin2x 的图象按向量c =(m ,n )平移后得到函数y =2sin2(x -m )+n 的图象,即函数y =f (x )的图象.

由(1)得f (x )=2sin2(x +π

12)+1. ∵|m |<π2,∴m =-π

12,n =1.

23. 已知向量OP

→=(2cos x +1,cos2x -sin x +1),OQ →=(cos x ,-1),f (x )=OP →·OQ

→. (1)求函数f (x )的最小正周期;

(2)当x ∈[0,π

2]时,求函数f (x )的最大值及取得最大值时的x 值. [解析] (1)∵OP →=(2cos x +1,cos2x -sin x +1),OQ →=(cos x ,-1),

∴f (x )=OP →·OQ →=(2cos x +1)cos x -(cos2x -sin x +1) =2cos 2x +cos x -cos2x +sin x -1 =cos x +sin x =2sin(x +π4), ∴函数f (x )最小正周期T =2π. (2)∵x ∈[0,π2],∴x +π4∈[π4,3π

4],

∴当x+π

4=

π

2,即x=

π

4时,f(x)=2sin(x+

π

4)取到最大值 2.

24.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量m=

(-1,1),n=(cos B cos C,sin B sin C-

3

2),且m⊥n.

(1)求A的大小;

(2)现在给出下列三个条件:①a=1;②2c-(3+1)b=0;③B =45°,试从中选择两个条件以确定△ABC,求出所确定的△ABC的面积.

(注:只需要选择一种方案答题,如果用多种方案答题,则按第一方案给分).

[解析](1)因为m⊥n,

所以-cos B cos C+sin B sin C-

3

2=0,

即cos B cos C-sin B sin C=-

3

2,所以cos(B+C)=-

3

2,

因为A+B+C=π,所以cos(B+C)=-cos A,

所以cos A=

3

2,A=30°.

(2)方案一:选择①②,可确定△ABC,因为A=30°,a=1,2c-(3+1)b=0,

由余弦定理得,12=b2+(3+1

2b)

2-2b·

3+1

2b·

3

2

解得b=2,所以c=6+2 2,

所以S△ABC=1

2bc sin A=

1

2·2·

6+2

1

2=

3+1

4,

方案二:选择①③,可确定△ABC,

因为A =30°,a =1,B =45°,C =105°,

又sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=6+24,

由正弦定理c =a sin C sin A =1·sin105°sin30°=6+2

2, 所以S △ABC =12ac sin B =1

2·1·6+22·22=3+14. (注意:选择②③不能确定三角形)

(理)如图,⊙O 方程为x 2+y 2=4,点P 在圆上,点D 在x 轴上,点M 在DP 延长线上,⊙O 交y 轴于点N ,DP →∥ON →,且DM →

=32

DP →.

(1)求点M 的轨迹C 的方程;

(2)设F 1(0,5)、F 2(0,-5),若过F 1的直线交(1)中曲线C 于A 、B 两点,求F 2A →·F 2B →的取值范围.

[解析] (1)设P (x 0,y 0),M (x ,y ), ∵DM →=32DP →,∴??

?

y =32y 0x =x 0,∴???

y 0=23y

x 0=x

代入

x 20+y 2

0=4

得,x 24+y 2

9=1.

(2)①当直线AB 的斜率不存在时,显然F 2A →·F 2B →=-4, ②当直线AB 的斜率存在时,不妨设AB 的方程为:y =kx +5,

由???

y =kx +5

x 24+y 2

9=1

得,(9+4k 2)x 2+85kx -16=0,

不妨设A 1(x 1,y 1),B (x 2,y 2),则

?????

x 1+x 2=

-85k 9+4k 2

x 1x 2

=-169+4k

2

F 2A →·F 2B →=(x 1,y 1+5)·(x 2,y 2+5)=(x 1,kx 1+25)·(x 2,kx 2+25)=(1+k 2)x 1x 2+25k (x 1+x 2)+20

=-16(1+k 2)9+4k 2+-80k 29+4k 2+20=-96k 2-169+4k 2+20

=-4+2009+4k 2

∵k 2≥0,∴9+4k 2≥9,∴0<2009+4k 2≤200

9,

∴-4

综上所述,F 2A →·F 2B →的取值范围是(-4,1649].

25. 在平面直角坐标系内,已知两点A (-1,0)、B (1,0),若将动点P (x ,

y )的横坐标保持不变,纵坐标扩大到原来的2倍后得到点Q (x ,2y ),且满足AQ →·BQ

→=1. (1)求动点P 所在曲线C 的方程;

(2)过点B 作斜率为-22的直线l 交曲线C 于M 、N 两点,且OM

+ON

→+OH →=0,又点H 关于原点O 的对称点为点G ,试问M 、G 、N 、H 四点是否共圆?若共圆,求出圆心坐标和半径;若不共圆,请说明理由.

[解析] (1)设点P 的坐标为(x ,y ),则点Q 的坐标为(x ,2y ), 依据题意得,AQ

→=(x +1,2y ),BQ →=(x -1,2y ). ∵AQ →·BQ →=1,∴x 2-1+2y 2=1. ∴动点P 所在曲线C 的方程是x 22+y 2

=1. (2)因直线l 过点B ,且斜率为k =-2

2, ∴l :y =-2

2(x -1),

联立方程组???

x 22+y 2

=1

y =-2

2(x -1)

,消去y 得,2x 2-2x -1=0.

设M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2),

∴???

x 1+x 2=1,x 1x 2=-1

2,

∴y 1+y 2=-22(x 1-1)-2

2(x 2-1) =-22(x 1+x 2)+2=22.

由OM →+ON →+OH →=0得,OH →=(-x 1-x 2,-y 1-y 2), 即H (-1,-22),

平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解 讲课时间:___________姓名:___________课时:___________讲课教师:___________ 一、选择题(题型注释) 1. 空间四边形OABC 中,OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上,且MA OM 2=,N 为BC 的 中点,则MN u u u u r =( ) A C 【答案】B 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 N 为 BC 的中点,则 , ,选 B 考点:向量加法、减法、数乘的几何意义; 2.已知平面向量a ,b 满足||1= a ,||2= b ,且()+⊥a b a ,则a 与b 的夹角是( ) (A (B (C (D 【答案】D 【解析】 试题分析:2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ,||1=a ,||2=b ,设夹角为θ,则 考点:本题考查向量数量积的运算 点评:两向量垂直的充要条件是点乘积得0,用向量运算得到cos θ的值,求出角 3.若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】 试题分析 :ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ,BD b =u u u r r ,则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意可知,AEB ?与FED ?相似,且相似比为3:1,所以由向量加减法 的平行四边形法则可知,,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ,解得,故D 正确。 考点:平面向量的加减法 5.在边长为1的等边ABC ?中,,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =u u u r u u u r ,2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r ( ) A .【答案】A 【解析】 试题分析:由已知,D E 分别在边BC 与AC 上,且BD DC =u u u r u u u r , 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点,E 为AC 的三等分点,以D 为坐标原点,DA 所在直线为y 轴,BC 边所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系, ,设),(y x E ,由EC AE =2可得:

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳 (1) 常见题型分类 题型一:向量的有关概念与运算 例1:已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b = (-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标是. 例2:已知| a |=1,| b |=1,a与b的夹角为60°, x =2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二:向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1(1),a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-

为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 (2)已知O ,N ,P 在ABC ?所在平面内,且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=,且PA PB PB PC PC PA ?=?=?,则点O ,N ,P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2.已知平面向量a =(3,-1),b =(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ,便得x =a +(t 2-3)b , y =-k a +t b ,且x ⊥y ,试求函数的关系式k =f(t);(2) 根据(1)的结论,确定k =f(t)的单调区间. 例3: 已知平面向量a ?=(3,-1),b ?=(2 1,23),若存在不为零的实数k 和角α,使向量c ?=a ?+(sin α -3)b ?, d ?=-k a ?+(sin α)b ?,且c ?⊥d ?,试求实数k 的

取值范围. 例4:已知向量)1,2(),2,1(-==b a ,若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直,求k 的最小值. 题型三:向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查. 例7.设函数f (x )=a · b ,其中向量a =(2cos x , 1), b =(cos x ,3sin2x ), x ∈R.(1)若f(x )=1-3且x ∈[-

平面向量典型例题67629

平面向量经典例题: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-13 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa +b 与c 共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k , 3),若a +2b 与c 垂直,则k =( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =( 3,1)+(0,2)=( 3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c = 3k +3 3=0,∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .- 611 B .-116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ), ∵a +b 与a -λb 垂直, ∴(a +b )·(a -λb )=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a 、b 间的夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD 中, ∵|a |=|b |=|c |,c =a +b ,∴△ABD 为正三角形,∴∠BAD =60°,

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 (1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a a a ?== (2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos |||| a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。 (4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= (5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += (6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥? (7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y + (8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。相等 向量:长度相等且方向相同的向量。 (10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a = 0 ?|a |=0 由于0的方向是任意的, 且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) (11)、单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?| 0a |=1 (12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b (即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率; (2)给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; (4)给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①AC AB //;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. (6) 给出λλ++=1OP ,等于已知P 是AB 的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 ( 8)给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ (9)在平行四边形ABCD 中,给出0)()(=-?+,等于已知ABCD 是菱形;

平面向量经典习题_提高篇

平面向量: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,- 2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-13 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa +b 与c 共线, ∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与 c 垂直,则k =( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0, ∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .-611 B .-116

C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ), ∵a+b与a-λb垂直, ∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ =6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、 b间的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD中, ∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形, ∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B.

(理)向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=3 2,a 与b 的夹角为60°, 则|b |=( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a -b |=32,∴|a |2+|b |2 -2a ·b =34, ∵|a |=1,〈a ,b 〉=60°, 设|b |=x ,则1+x 2 -x =34,∵x >0,∴x =1 2 . 4. 若AB →·BC →+AB →2=0,则△ABC 必定是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →+AB →2=AB →·(BC →+AB →)=AB →·AC →=0,∴AB →⊥AC →, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形. 5. (文)若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则用a ,b 表示 c 为( ) A .-a +3b B .a -3b

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一.【要点精讲】 1.向量的概念 ①向量:既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模(长度),记作|AB u u u r |.即向量的大小,记作|a |。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,规定0r 平行于任何向量。(与0的区别) ③单位向量| a |=1。④平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量,记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2.向量的运算(1)向量加法:求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图,已知向量a ,b ,在平面内任 取一点A ,作AB u u u r a ,BC u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况: a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ,但这时必须“首尾相连”。②向量减法: 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.(3)实数与向量的积 3.两个向量共线定理:向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ,使得b =a 。 二.【典例解 析】 题型一: 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

平面向量部分常见的考试题型

平面向量部分常见的题型练习 类型(一):向量的夹角问题 1.平面向量, 4==且满足2.=,则与的夹角为 2.已知非零向量, (2-⊥=,则与的夹角为 类型(二):向量共线问题 1. 已知平面向量),(x 32=,平面向量),,(182--=b 若a ∥b ,则实数x 2. 设向量),(,(3212==若向量b a +λ与向量)74(--=,共线,则=λ 3.已知向量) ,(,(x 211==若24-+与平行,则实数x 的值是( ) A .-2 B .0 C .1 D .2 类型(三): 向量的垂直问题 1.已知向量b a b x a ⊥==且),()6,3(,1,则实数x 的值为 2 .已知向量=--==b b a n b n a 与),若,(),,(211 3.已知=(1,2),=(-3,2)若k +2与2-4垂直,求实数k 的值 4. 42==,且b a 与的夹角为 3 π ,若的值垂直,求与k b a k b a k 22-+。 类型(四)投影问题 1. ,45==,与的夹角3 2π θ=,则向量在向量上的投影为 2. 在Rt △ABC 中,===∠AC C .,4,2 则π 类型(四)求向量的模的问题 1. 已知零向量====b a a ,则),(2510.,12 2. 已知向量, ====221 3. 已知向量a )3,1(= ,=+-=)0,2( 4. 设向量, 1== 及34=- ,求3+的值 类型(五)平面向量基本定理的应用问题 1.若=(1,1),=(1,-1),=(-1,-2),则等于 ( ) (A) 2321+- (B)2321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+-

平面向量典型题型大全

平面向量 题型1.基本概念判断正误: 例2 (1)化简:①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___;②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____;③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ (2)若正方形ABCD 的边长为1,,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,则||a b c ++r r r =_____ (3)若O 是ABC V 所在平面内一点,且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,则ABC V 的形状为_ 9.与向量a =(12,5)平行的单位向量为 ( ) A .125,1313??- ??? B .12 5,1313??-- ??? C .125125,,13131313????-- ? ?????或 D .125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10.如图,D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点,则下列等式中成立的有_________: ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ,则( ) A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ,(0,0)B ,(3,0)C .设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ,那么有BC CE λ=u u u r u u u r ,其中λ等于 ( ) A.2 B. 1 2 C.-3 D.-13 13.设向量a=(1, -3),b=(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a ,4b -2c ,2(a -c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 14.如图2,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ,则 x = ,y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么( ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A

高中数学典型例题解析平面向量与空间向量

高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模(长度):向量的大小,记作||。长度为0的向量称为零向量,长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量。 2.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量:我们把与向量a 长度相等,方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法:求两个向量和的运算。 已知a ,b 。在平面内任取一点,作AB =a ,BC =b ,则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法:求两个向量差的运算。 已知a ,b 。在平面内任取一点O ,作OA =a ,OB =b ,则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积: (1)定义: 实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa ,并规定: ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |; ②当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同; 当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反; 当λ=0时,λa =0 (2)实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b =λa 。 另外,设a =(x 1 ,y 1), b = (x 2,y 2),则a //b x 1y 2-x 2y 1=0 9.平面向量基本定理: 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a =λ11e +λ22e ,其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一

平面向量部分常见的考试题型总结

平面向量部分常见的题型练习 类型(一):向量的夹角问题 1?平面向量a,b,满足a =1,b =4且满足a.b = 2,则a与b的夹角为 _________ 2?已知非零向量a,b满足a = b,b丄(b—2a),则a与b的夹角为___________ 3?已知平面向量a,b满足(a -b).(2a - b) —4且*2,” 以且,则a与b的夹角为_________________ 4?设非零向量a、b、c满足| a |=| b |=| c |,a ■ b = c,则:::a, b = ____ 5?已知a =2」b| =3, a +b = J7,求a与b的夹角。 6?若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为____________ 类型(二):向量共线问题 1. 已知平面向量a =(2,3x),平面向量b =( 一2,18),若a // b,则实数x ____________ 2. 设向量a = (2,1),b = (2,3)若向量,a - b与向量c = (- 4, - 7)共线,则,- 3?已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b - 2a平行,则实数x的值是( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4已知向量OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且A, B, C三点共线, 则k = ___ 5. 已知A (1,3), B (—2,—3), C (x,7),设AB =a , BC = b 且a // b,则x 的值为() (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18 6. 已知a= (1, 2), b= (-3 —2)若k a+2b与2a-4b共线,求实数k的值; 7. 已知a —c是同一平面内的两个向量,其中 a = (1 —2)若|^ = 2. 5,且a // c,求c的坐标 —I- 8. n为何值时,向量a ( n ,1)与b = (4, n)共线且方向相同? 9. 已知a = 3,b = (1,2),且a // b,求a的坐标。 10. 已知向量a (2, -1),b ( -1, m),c =(-1,2),若(a b)// c,则m= ________________ 11. 已知a,b不共线,c =ka ? b,d =a -b,如果c // d,那么k= _________ ,c与d的方向关系

(完整版)平面向量线性运算经典习题.doc

平面向量线性运算经典习题 1. uuuur uuur uuur uuur uuur 设点 M是线段 BC的中点 , 点 A 在直线 BC外 , BC2 =4,| AB AC| |AB AC |,则 | uuuur ) A.8 B.4C.2 D.1 AM |=( uuur uuur uuur uuur uuur 2. 已知△ABC中, 点 D在 BC边上, 且CD 2DB ,CD r AB sAC , 则r+s 的值是( ) A. 2 B. 4 C.-3 D.0 3 3 3.平面向量 a,b 共线的充要条件是 ( ) A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为0 C. 存在λ∈ R,使 b=λa D. 存在不全为零的实数λ 1,λ 2,使λ1a+λ 2b=0 4. 已知 O?A?B 是平面上的三个点 uuur uuur uuur , 直线 AB上有一点 C, 满足2 AC CB 0, 则OC 等于( ) uuur uuur uuur uuur A.2OA OB B. OA 2OB 2 uuur 1 uuur D. 1 uuur 2 uuur C. OA OB OA OB 3 3 3 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuur 5. 设 D?E?F 分别是△ ABC 的三边 BC、CA、AB上的点 , DC 2BD , CE 2EA, AF 2FB, 则uuur uuur uuur uuur AD BE CF 与 BC() A. 反向平行 B. 同向平行 C. 不平行 D.无法判断 uuur uuur 6. 已知 a,b 是不共线的向量, AB=λa+b,AC =a+μb,( λ, μ∈ R), 那么A、B、C 三点共线的充要条件为 ( ) A. λ+μ=2 B. λ - μ=1 C.λμ=-1 D.λμ =1 uuur uuur uuur uuur a // b ;② 7.设( AB CD ) (BC DA ) a,而b是一非零向量,则下列各结论:① a b a ;③ a b b ;④ a b a b ,其中正确的是() A .①②B.③④C.②④ D .①③ 8.若a b c 化简3(a2b) 2(3b c) 2(a b)() A .a B.b C.c D.以上都不对 9.在△ ABC 中, D、 E、 F 分别 BC 、 CA 、 AB 的中点,点 M 是△ ABC 的重心,则 MA MB MC等于() A.O B.4MD C.4MF D.4ME

平面向量经典习题-提高篇61861

平面向量: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-1 3 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ), ∵λa +b 与c 共线, ∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与c 垂直,则k =( ) A .-1 B .-3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0, ∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .-611 B .-116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ),

∵a+b与a-λb垂直, ∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b间的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD中, ∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形, ∴∠BAD=60°,∴〈a,b〉=120°,故选B. (理)向量a,b满足|a|=1,|a-b|= 3 2 ,a与b的夹角为60°,则|b|=( ) A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A [解析] ∵|a-b|= 3 2 ,∴|a|2+|b|2-2a·b= 3 4 ,

平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理 一.教学目标: 了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标概念,会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算,掌握向量坐标形式的平行的条件; 教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习 1.已知=(x,2),=(1,x),若//,则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 2 2.下列各组向量,共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-=r r ()B (2,3),(3,2)a b ==r r ()C (1,2),(7,14)a b =-=r r ()D (3,2),(6,4)a b =-=-r r 3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且?=?=2,3,则=MN ____ 4.已知点(1,5)A -和向量=(2,3),若=3,则点B 的坐标为 三.知识归纳 1. 平面向量基本定理:如果12,e e u r u u r 是同一平面内的两个___________向量,那么对于这一平面内的任意向量a r ,有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+r u r u u r 成立。其中12,e e u r u u r 叫做这一平面的一组____________,即对基底的要求是向量___________________; 2.坐标表示法:在直角坐标系内,分别取与x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量i ?,j ? 作基底, 则对任一向量a ?,有且只有一对实数x ,y ,使j y i x a ???+=、就把_________叫做向量a ? 的坐标,记作____________。 3.向量的坐标计算:O (0,0)为坐标原点,点A 的坐标为(x ,y ),则向量的坐标为=___________,点1P 、2P 的坐标分别为(1x ,1y ),2P (2x ,2y ),则向量21P P 的坐标为

高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量 一、选择题 1。在△ABC中,AB=AC,D,E分别就是AB,AC得中点,则()。 A。与共线B.与共线 C。与相等?D。与相等 2.下列命题正确得就是()。 (第1题) A。向量与就是两平行向量 B.若a,b都就是单位向量,则a=b C.若=,则A,B,C,D四点构成平行四边形 D.两向量相等得充要条件就是它们得始点、终点相同 3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足=α +β ,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C得轨迹方程为(). A。3x+2y-11=0???B.(x-1)2+(y-1)2=5 C.2x-y=0?? D.x+2y-5=0 4.已知a、b就是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b得夹角就是()。 A. ? B.???C. ?D。 5.已知四边形ABCD就是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=()。 A.λ(+),λ∈(0,1)????B。λ(+),λ∈(0,) C.λ(-),λ∈(0,1)??? ?D。λ(-),λ∈(0,) 6.△ABC中,D,E,F分别就是AB,BC,AC得中点,则=(). A。+????B.- C。+???D。+ 7.若平面向量a与b得夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a得模为( )。 A。2??B。4 ??C.6 ??D.12 8。点O就是三角形ABC所在平面内得一点,满足·=·=·,则点O就是△ABC得()。

A 。三个内角得角平分线得交点 ??B.三条边得垂直平分线得交点 C.三条中线得交点??????D 。三条高得交点 9。在四边形ABCD 中,=a +2b ,=-4a -b,=-5a -3b,其中a,b 不共线,则四边形A BCD 为( )。 A。平行四边形??B 。矩形????C.梯形? ? D.菱形 10.如图,梯形ABCD 中,||=||,∥∥则相等向量就是( )。 A。与 ?B 。与 C 。与??D.与 二、填空题 11。已知向量=(k ,12),=(4,5),=(-k ,10),且A ,B ,C 三点共线,则k = . 12。已知向量a=(x +3,x 2-3x -4)与相等,其中M (-1,3),N(1,3),则x= 。 13.已知平面上三点A ,B ,C满足||=3,||=4,||=5,则·+·+·得值等于 . 14。给定两个向量a =(3,4),b=(2,-1),且(a+m b )⊥(a-b ),则实数m等于 。 15.已知A,B ,C 三点不共线,O 就是△AB C内得一点,若++=0,则O 就是△ABC 得 . ?16.设平面内有四边形A BCD 与点O,=a ,=b ,=c , =d ,若a+c=b +d,则四边形ABC D得形状就是 。 三、解答题 17.已知点A (2,3),B (5,4),C (7,10),若点P满足=+λ(λ∈R ),试求 λ为何值时,点P 在第三象限内? 18.如图,已知△AB C,A (7,8),B(3,5),C(4,3),M ,N,D 分别就是AB ,AC ,BC 得中点,且MN 与AD交于F,求。 ?19.如图,在正方形ABCD 中,E ,F 分别为AB ,BC 得中点,求证:AF ⊥DE (利用向量证明). 20。已知向量a =(c os θ,si n θ),向量b=(,-1),则|2a -b |得最大值. ?参考答案 (第10题) (第18题) (第19题)

高中数学典型例题解析汇报平面向量与空间向量

实用文档 文案大全高中数学典型例题第八章平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、、疑难知识导析 1.向量的概念的理解,尤其是特殊向量“零向量” 向量是既有大小,又有方向的量.向量的模是正数或0,是可以进行大小比较的,由于方向不能比较大小,所以向量是不能比大小的.两个向量的模相等,方向相同,我们称这两个向量相等,两个零向量是相等的,零向量与任何向量平行,与任何向量都是共线向量; 2.在运用三角形法则和平行四边形法则求向量的加减法时要注意起点和终点; 3.对于坐标形式给出的两个向量,在运用平行与垂直的充要条件时,一定要区分好两个公式,切不可混淆。因此,建议在记忆时对比记忆; 4.定比分点公式中则要记清哪个点是分点;还有就是此公式中横坐标和纵坐标是分开计算的; 5.平移公式中首先要知道这个公式是点的平移公式,故在使用的过程中须将起始点的坐标给出,同时注意顺序。 二知识导学 1.模(长度):向量AB的大小,记作|AB|。长度为0的向量称为零向量,长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量。 2.平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,又叫做共线向量。 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量:我们把与向量a?长度相等,方向相反的向量叫做a?的相反向量。记作-a?。 5.向量的加法:求两个向量和的运算。 已知a?,b?。在平面内任取一点,作AB=a?,BC=b,则向量AC 叫做a与b?的和。记作a?+b?。 6. 向量的减法:求两个向量差的运算。 已知a?,b?。在平面内任取一点O,作OA=a?,OB=b?,则向量BA 叫做a?与b?的差。记作a?-b?。 7.实数与向量的积: (1)定义:实数λ与向量a?的积是一个向量,记作λa?,并规定: ①λa?的长度|λa?|=|λ|·|a?|; ②当λ>0时,λa?的方向与a?的方向相同; 当λ<0时,λa?的方向与a?的方向相反; 当λ=0时,λa?=0? (2)实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,则 ①λ(μa?)=(λμ) a?

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题 【编著】黄勇权 一、填空题 1、向量a=(2,4),b=(-1,-3),则向量3a-2b的坐标是。 2、已知向量a与b的夹角为60°,a=(3,4),|b | =1,则|a+5b | = 。 3、已知点A(1,2),B(2,1),若→ AP=(3,4),则 → BP= 。 4、已知A(-1,2),B(1,3),C(2,0),D(x,1),若AB与CD共线,则|BD|的值等于________。 5、向量a、b满足|a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量a与b的夹角为________。 6、设向量a,b满足|a+b|= 10,|a-b|= 6 ,则a·b=。 7、已知a、b是非零向量且满足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a与b的夹角是。 8、在△ABC中,D为AB边上一点,→ AD = 1 2 → DB, → CD = 2 3 → CA + m → CB,则 m= 。 9、已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,a⊥(2a+b),则a与b的夹角是。 10、在三角形ABC中,已知A(-3,1),B(4,-2),点P(1,-1)在中线AD 上,且→ AP= 2 → PD,则点C的坐标是()。 二、选择题 1、设向量→ OA=(6,2),→ OB=(-2,4),向量→ OC垂直于向量→ OB,向量 → BC平行于 →OA,若→ OD + → OA= → OC,则 → OD坐标=()。 A、(11,6) B、(22,12) C、(28,14) D、(14,7) 2、把A(3,4)按向量a(1,-2)平移到A',则点A'的坐标() A、(4 , 2) B、(3,1) C、(2,1) D、(1,0) 3、已知向量a,b,若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则(2a+ b)⊥(a-2b),则向量a与b的夹角是()。 A、90° B、60° C、30° D、0° 4、已知向量ab的夹角60°,| a|= 2,b=(-1,0),则| 2a-3b|=()

平面向量典型例题

平面向量典型例题

平面向量经典例题: 1. 已知向量a =(1,2),b =(2,0),若向量λa +b 与向量c =(1,-2)共线,则实数λ等于( ) A .-2 B .-13 C .-1 D .-23 [答案] C [解析] λa +b =(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa +b 与c 共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1. 2. (文)已知向量a =(3,1),b =(0,1),c =(k ,3),若a +2b 与c 垂直,则k =( ) A .-1 B .- 3 C .-3 D .1 [答案] C [解析] a +2b =(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a +2b 与c 垂直,∴(a +2b )·c =3k +33=0,∴k =-3. (理)已知a =(1,2),b =(3,-1),且a +b 与a -λb 互相垂直,则实数λ的值为( ) A .-611 B .-116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a +b =(4,1),a -λb =(1-3λ,2+λ), ∵a +b 与a -λb 垂直, ∴(a +b )·(a -λb )=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6 11. 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则向量a 、b 间的夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD 中, ∵|a |=|b |=|c |,c =a +b ,∴△ABD 为正三角形,∴∠BAD =60°,∴〈a ,b 〉=120°,故选B. (理)向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=3 2 ,a 与b 的夹角为60°,则|b |=( ) A.12 B.13 C.14 D.15 [答案] A [解析] ∵|a -b |= 32,∴|a |2+|b |2-2a ·b =34 ,∵|a |=1,〈a ,b 〉=60°, 设|b |=x ,则1+x 2-x =34,∵x >0,∴x =1 2 .

平面向量典型例题

平面向量经典例题: 1.已知向量a=(1,2),b=(2,0),若向量λa+b与向量c=(1,-2)共线,则实数λ等于( ) A.-2 B.-1 3 C.-1 D.-2 3 [答案] C [解析] λa+b=(λ,2λ)+(2,0)=(2+λ,2λ),∵λa+b与c共线,∴-2(2+λ)-2λ=0,∴λ=-1、 2.(文)已知向量a=(3,1),b=(0,1),c=(k,3),若a+2b与c垂直,则k=( ) A.-1 B.- 3 C.-3 D.1 [答案] C [解析] a+2b=(3,1)+(0,2)=(3,3), ∵a+2b与c垂直,∴(a+2b)·c=3k+33=0,∴k=-3、 (理)已知a=(1,2),b=(3,-1),且a+b与a-λb互相垂直,则实数λ的值为( ) A.-6 11 B.- 11 6 C、6 11 D、 11 6 [答案] C [解析] a+b=(4,1),a-λb=(1-3λ,2+λ), ∵a+b与a-λb垂直, ∴(a+b)·(a-λb)=4(1-3λ)+1×(2+λ)=6-11λ=0,∴λ=6 11、 3.设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则向量a、b间的夹角为( ) A.150° B.120° C.60° D.30° [答案] B [解析] 如图,在?ABCD中, ∵|a|=|b|=|c|,c=a+b,∴△ABD为正三角形,∴∠BAD=60°,∴

〈a ,b 〉=120°,故选B 、 (理)向量a ,b 满足|a |=1,|a -b |=32 ,a 与b 的夹角为60°,则|b |=( ) A 、1 2 B 、1 3 C 、14 D 、15 [答案] A [解析] ∵|a -b |= 32 ,∴|a |2+|b |2-2a ·b = 34 ,∵|a |=1,〈a ,b 〉=60°, 设|b |=x ,则1+x 2-x =34,∵x >0,∴x =1 2、 4. 若AB →·BC →+AB →2 =0,则△ABC 必定就是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →+AB →2=AB →·(BC →+AB →)=AB →·AC →=0,∴AB →⊥AC →, ∴AB ⊥AC ,∴△ABC 为直角三角形. 5. 若向量a =(1,1),b =(1,-1),c =(-2,4),则用a ,b 表示c 为( ) A.-a +3b B.a -3b C.3a -b D.-3a +b [答案] B [解析] 设c =λa +μb ,则(-2,4)=(λ+μ,λ-μ), ∴?? ? λ+μ=-2λ-μ=4 ,∴?? ? λ=1μ=-3 ,∴c =a -3b ,故选B 、 在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于O ,E 就是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC → = a ,BD →= b ,则AF → 等于( ) A 、1 4a +1 2b B 、2 3a +1 3b C 、12a +14 b D 、13a +23 b

相关文档
最新文档