2018高中自主招生必做试卷(数学)含答案
2018高中自主招生必做试卷(数学)
(满分150分 时间120分钟)
一、选择题(每题4分,共40分)
1、在-|-3|3,-(-3)3,(-3)3,-33中,最大的是 ( ) A 、-|-3|3 B 、-(-3)3 C 、(-3)3 D 、-33
2、已知
114a b -=,则
2227a ab b
a b ab ---+的值等于 ( ) A 、215 B 、2
7
- C 、6- D 、6
3、如图,在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是 ( ) A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2
2
2
b a
c =+ D 、22b a c ==
4、a 、b 是有理数,如果,b a b a +=-那么对于结论:(1)a 一定不是负数;(2)b 可能是负数,其中 ( ) A 、只有(1)正确 B 、只有(2)正确
C 、(1),(2)都正确
D 、(1),(2)都不正确
5、已知关于x 的不等式组??
?
??<≥-203b
x a x 的整数解有且仅有4个:-1,0,1,2,那么适合这个不等式组的所 有可能的整数对(a,b)的个数有 ( )
A 、1
B 、2
C 、4
D 、6
6、如图,表示阴影区域的不等式组为 ( )
2
x
+.y ≥5, 2x + y ≤5, 2x +.y ≥5, 2x + y ≤5, A 、 3x + 4y ≥9, B 、 3x + 4y ≥9, C 、 3x + 4y ≥9, D 、 3x + 4y ≤9, y ≥0 x ≥0 x ≥0 y ≥0
7、如图,点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点,连AF 、CE 交于点G ,则
A
B C D A G C D S S 矩形四边形等于 ( )
A 、
43 B 、54 C 、32 D 、6
5
8、若b x a x x x +++-732234能被22-+x x 整除则a :
b 的值是 ( ) A 、-2 B 、-12 C 、6 D 、4
9、在矩形ABCD 中,AB =8,BC =9,点E 、F 分别在BC 、AD 上,且BE =6,DF =4,AE 、FC 相交于点G ,GH ⊥AD ,交AD 的延长线于点H ,则GH 的长为 ( ) A
B C D
E
F G
第3题图
第9题图 第7题图
第6题图
学校 姓名 考号
装 订 线 外 请 不 要 答 题
10、若a 与b 为相异实数,且满足:
21010=+++a b b a b a ,则b
a
= ( )
A 、0.6
B 、0.7
C 、0.8
D 、0.9
二、填空题(每题5分,共20分)
11、已知,αβ是方程2210x x +-=的两根,则3510αβ++的值为
12、在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式2222x y x y +≤+的整数点坐标(,x y )的个数为 13、今年参加考试的人数比去年增加了30%,其中男生增加了20%,女生增加了50%。设今年参加考试的
总人数为a ,其中女生人数为b ,则
b
a
= 14、在等腰直角△ABC 中,AB =BC =5,P 是△ABC 内一点,且PA
PC =5,则PB = .
三、解答题(共90分)
15、(12分)因式分解:224443x x y y --+-
16、(14分)如图,抛物线y =ax 2-5ax +4(a <0)经过△ABC 的三个顶点,已知BC ∥x 轴,点A 在x 轴上,
点C 在y 轴上,且AC =BC . (1)求抛物线的解析式.
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M ,使|MA -MB |最大?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说
明理由.
17、(15分)如图所示,有一张长为3、宽为1的长方形纸片,现要在这张纸片上画两个小长方形,使小
长方形的每条边都与大长方形的一边平行,并且每个小长方形的长与宽之比也都为3:1,然后把它们剪下,这时,所剪得的两张小长方形纸片的周长之和有最大值.求这个最大值.
18、(15分)如图,在以O为圆心的圆中,弦CD垂直于直径AB,垂足为H,弦BE与半径OC相交于点
F,且OF=FC,弦DE与弦AC相交于点G.
(1)求证:AG=GC;
(2)若AG=3,AH:AB=1:3,求△CDG的面积与△BOF的面积.
19、(16分)已知直角三角形ABC 和ADC 有公共斜边AC ,M 、N 分别是AC ,BD 中点,且M 、N 不重合.
(1)线段MN 与BD 是否垂直?请说明理由. (2)若∠BAC = 30°,∠CAD = 45°,AC = 4,求MN 的长 . 20、(18分)已知实数,,a b c 满足:2,4a b c abc ++==。 (1)求,,a b c 中最大者的最小值;
(2)求a b c ++的最小值。 装 订 线 外 请 不 要 答 题
参考答案
二、填空题(每题5分,共20分)
11、2- 12、9 13、5
13
14
三、解答题(本题6小题,共90分)
15、224443x x y y --+-22(441)(44)x x y y =-+--+ …………6分
12
2= (2x-)-(y-2)
= (2x+y-3)(2x-y+1) …………12分
17、要考虑的不同画线方案,可归纳为如下4类:
(1)如图(1),其周长和=11
2(212)5.33
??+?= …………3分
(2)如图(2),其周长和=[]2(3)2(1)3(1)8.x x x x ++-+-= …………6分 (3)如图(3),其周长和=8. …………9分
(4)如图(4),其周长和=3162(3)2(3)8.33x x x x x -?
?++-+=+????
∵031x <≤,10.3
x <≤
∴当13
x =时,周长和有最大值7
9.9 …………14分
综上所述,剪得的两个小长方形周长之和的最大值为7
9.9
…………15分
18、(1)证明:连接AD ,BC ,BD ∵AB 是直径,AB ⊥CD,
∴BC=BD ,∠CAB=∠DAB, ∴∠DAG=2∠CAB, ∵∠BOF=2∠CAB, ∴∠BOF=∠DAG ,
又∵∠OBF=∠ADG, ∴△BOF ∽△DAG , ∴OB DA
OF AG
=
, ∵OB=OC=2OF,∴
2DA
AG
=, 又∵AC=DA ,∴AC=2AG , ∴AG=GC; …………7分 (2)解:连接BC ,则∠BCA=90°, 又∵CH ⊥AB,
∴2AC AH AB =,
∵2:1:3AC AG AH AB ===
∴21
,3
AB AB =
∴AB=6,∴AH=2,
∴
CH=,∴S △ACD
=1122
2
CD AH =??
又∵AG=CG ,∴S △CDG = S
△DAG =12
S △ACD = …………11分 ∵△BOF ∽△DAG , ∴23(),4BOF DAG S OB S AD =
= ∴S =
…………15分
19、(1)证明:如图(1)当B,D 在AC 异侧时,连接BM,DM
90
1
22
4M AC ADC BM DM AC
BDM N MN BD
∠∠=∴==∴∴
⊥为中点,ABC=分
为等腰三角形
又
为BD 中点
分
如图(2)当B,D 在AC 同侧时同理可证MN BD ⊥ …………6分 (2)如图三:连接BM 、MD ,延长DM ,过B 作DM 延长线的垂线段BE , 则可知在Rt △BEM 中,∠EMB=30°, ∵AC=4,∴BM=2,∴BE=1,
,MD=2,
从而可知
=
由Rt △BMN 可得:
=(不化简不扣分) …………11分 如图四:连接BM 、MD ,延长AD ,过B 作垂线BE ,
∵M 、N 分别是AC 、BD 中点,∴MD=1
2AC ,MB=12
AC , ∴MD=MB ∵∠BAC=30°,∠CAD=45°, ∴∠BMC=60°,∠DMC=90°,
∴∠BMD=30°,∴∠BDM=
18030
752
-= ∵∠MDA=45°,∴∠EDB=180°-∠BDM -∠MDA=60°
令ED=x ,则
,
AD=,
AB=∴由Rt △ABE
可得:222)(x =++,
解得x =
BD=∵M 、N 分别是AC 、BD 中点 ∴MD=2,
由Rt △MND 可得:
…………16分 15注:本题也可以用75或
三角函数解答,答案对就给分
20、解:(1)由题意不妨设a最大,即,,0.
a b a c a
≥≥>且
4
2,.
b c a bc
a +=-=
∴b、c是方程2
4 (2)0
x a x
a
--+=的两实根
△24
(2)40
a
a
=--?≥
∴2
(4)(4)0
a a
+-≥
∴4
a≥(当4
a=时,1
b c
==-满足题意)……………9分(2)∵0
abc>∴,,
a b c全大于0,或一正二负
若,,
a b c均大于0,由(1)知,,,
a b c最大者不小于4,这与2
a b c
++=矛盾,故此情况不存在故,,
a b c为一正二负,不妨设0,0,0
a b c
><<
(2)226
a b c a b c a a a
++=--=--=-≥(当4
a=时成立)
所以a b c
++最小值为6 …………18分