应用题的十六种常见题型

列一元一次方程解应用题的常见题型

（设未知数，找等量关系列方程）

一. 和差倍分的问题

问题的特点:已知两个量之间存在合倍差关系，可以求这两个量的多少。基本方法：以和倍差中的一种关系设未知数并表示其他量，选用余下的关系列出方程。

1. 一个数的 2 倍与 10 的和等于 18，则这个数是_______。一个数的二分之一与 3 的差等于 2，则这个数是_______。一个数的 3 倍比 10 大 2，则这个数是_______。

2．一个机床厂今年第一季度生产机床180台，比去年同期的二倍多36台，去年一季度产量多少台？

3.有一批课外书分给学生，若每人分6本，最后缺2本；若每人分5本，最后余3本，问有多少学生？

4.某学校组织10名优秀学生春游，预计费用若干元，后来又来了2名同学，原来的费用不变，这样每人可以少摊3元，则原来每人需要付费多少元？

5.七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社，已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？

二. 等积变形问题

此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

1. 把内径为 200mm，高为 500mm 的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为 160mm，高为 400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？

2. 要锻造一个直径为8cm，高为4cm的圆柱形毛坯，至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm。

三. 相遇问题（相向而行）：

这类问题的相等关系是：各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。对应公式：路程=速度×时间快者路程+慢者路程=总路程（慢者速度+快者速度）×相遇时间=相遇路程

1. 甲、乙两车从相距 264 千米的 A、B 两地同时出发相向而行，甲速是乙速的 1.2 倍，4 小时相遇，求乙速？

2. 甲、乙两站相距 600 千米，慢车从甲地出发，每小时行 40 千米，快车从乙地出发，每小时行 60 千米，若慢车先行 50 分钟，快车再开出，又行一段时间后遇到慢车，求快车开出多少小时两车相遇？

3. A、B 两地相距 75 千米，一辆汽车以 50 千米/时的速度从 A 地出发，另一辆汽车以 40 千米/时速度从 B 地出发，两车同时出发，相向而行，经过几小时两车相距 30 千米？

四. 追及问题（同向而行）：

这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

①同时不同地：快者的时间=慢者的时间快者走的路程－慢者走的路程=原来相距的路程

1.甲车在乙车前 500 千米，同时出发，速度分别是 40 千米/小时和 60 千米/小时，多少小时后，乙车追上甲车？

2. A、B两地相距64千米，甲从A地出发，每小时行14千米，乙从B地出发，每小时行18千米，若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙超过甲10千米？

②同地不同时；先走者的时间=慢走者的时间＋时间差先走者的路程=慢走者的路程

1. 一列慢车从某站开出，每小时行驶 48km，过了 45 分，一列快车从同站开出，与慢车同向而行，又经过 1.5 小时追上了慢车。求快车的时速？

2.一队学生去学校外进行军事训练,他们以每小时5千米的速度行进,走了18分钟,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去,通讯员需要多少时间可以追上学生队伍?

五. 环形跑道上的相遇和追及问题：

同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

1.一条环行跑道长400米，甲每分钟行550米，乙每分钟行250米．

（1）甲、乙两人同时同地反向出发，问多少分钟后他们再相遇？

（2）甲、乙两人同时同地同向出发，问多少分钟后他们再相遇？

2.甲,乙二人在400米的环形跑道上跑步，已知甲的速度比乙快，如果二人在同一地方出发，同向跑，则3分20秒，相遇一次，若反向跑，则40秒相遇，求甲跑步的速度每秒跑多少米？

六．行船问题：

顺流航速=船的静水速度+水流速度逆流航速=船的静水速度-水流速度

顺流速度×顺流时间=顺流路程逆流速度×逆流时间=逆流路程顺程+逆程=总路程

1. 船顺水航行24千米,又返回共用2小时20分.如顺水航行8千米,逆水行18千米,则需要1 小时20分.问静水速度和水流速度?

2. 一艘船航行于 A,B 两个码头之间，顺水航行需要 2 个小时，逆水航行需要 4 个小时，已知水流速度是 4 千米/时，求这两个码头之间的距离。

七. 飞机问题：

顺风速=飞机无风速+风速逆风速=飞机无风速—风速

顺风速×顺风时间=顺风路程逆风速×逆风时间=逆风路程顺程+逆程=总路程

1. 一架飞机在两地之间飞行风速为 16 千米/时，顺飞飞行需要 3 小时，逆风飞行需要 5 小时，求无风时飞机的航速和两地之间的航程？

八．比例分配、配套问题：

一般思路为：设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。例：若甲：乙=2：3，可设甲为2x，乙为3x 常用等量关系：全部数量=各成分的数量之和

1. 现有蔬菜地 975 公顷，种植白菜、西红柿和芹菜，期中种白菜和西红柿的面积比是3：2，种西红柿和芹菜的面积比是 5：7，则三种蔬菜各种多少公顷？

2. 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅．经过测试：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐．

（1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由．

3. 机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个，已知 2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

九．工程问题：

把工作总量设为1 工作总量=工作效率×工作时间

工作效率=工作量×工作时间合做的效率＝各单独做的效率的和

1. 有一个蓄水池，装有甲、乙、丙三个进水管，单独开甲管，6 分钟可注满空水池；单独开乙管，12 分钟可注满空水池；单独开丙管，18 分钟可注满空水池，如果甲、乙、丙三管齐开，需几分钟可注满空水池？

2. 一件工作，甲单独做 6 小时完成，乙单独做 12 小时完成，丙单独做 18 小时完成，若先由甲、乙合做 3 小时，然后由乙丙合做，问共需几小时完成？

3. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？

十．利润率问题：

利润率=（利润÷进价）×100%进价（成本价）﹢利润=售价

利润=进价（成本价）×利润率

1. 某商品进价500元，按标价的 9 折销售，利润率为 15.2%，求商品的标价为多少元？

2. 某商品的进价是 2000 元，标价为 3000 元，商店要求以利润不低于 5%的售价打折出售，售货员最低可以打几折出售此商品？

3. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？

4. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？

5.某种风扇因季节原因准备打折出售，如果按定价的7﹒5折出售，将赔30元；如果按定价的9折出售，将赚25元，问这种风扇原定价为多少元？

6.

（1

（2）如果李老师家四月份的水费为 8 元，则四月份用水多少吨？

6.某牛奶加工厂现有鲜奶9吨，若在市场上直接销售，每吨可获利500元；制成酸奶销售，每吨可获利1200元；制成奶片销售，每吨可获利2000元。该工厂的生产能力是：如果制成酸奶，每天可加工3吨，制成奶片每天加工1吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批鲜奶必须在4天内全部销售或加工完毕，为此厂设计两种可行方案：

方案一：尽可能多地制成奶片，其余直接销售牛奶。

方案二：将一部分制奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成。

你认为选择哪种方案获利最多，为什么？

十一．数字问题

设 a,b 分别为一个两位数的个位上的数字与十位上的数字，则这两位数可表示为 a+10b；

若一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这三位数为：

1. 一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2 倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大 36，求原来的两位数

2. 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 4，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的新两位数比原两位数的 2 倍少 12，求原两位数？

3.一个三位数三个数字之和是24，十位数字比百位数字少2，如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒，求原来的三位数。

4.下图的数阵由77个偶数排成．

(1)图中平行四边形框内的四个数有什么关系?

(2)在数阵中任意作一类似(1)中的平行四边形框，设其中左上角的一个数是x，那么其他三个数怎样表示?

(3)如果四个数的和是326，你能求出这四个数吗?

十二. 积分、得分问题：

1.某区中学生足球联赛共赛8轮（即每队均需赛8场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。在这次足球联赛中，小平安队踢平的场数是所负场数的2倍，共得17分，试问该队胜了几场？

2.一份数学试卷有20道选择题，规定做对一题得5分，一题不做或做错倒扣一分，结果某学生得了76分，问他做对了几道题？

十三. 年龄问题其基本数量关系：

大小两个年龄差不会变： 这类问题主要寻找的等量关系是：抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。

1. 现在儿子的年龄是8岁，父亲的年龄是儿子年龄的4倍，多少年后父亲的年龄是儿子年龄的3倍？。

2. 小明今年13岁，他爸爸今年39岁，几年后小明的年龄将是爸爸年龄的一半？

3、 现在甲的年龄是乙的2倍，8年以后，两人年龄之和74，现在甲比乙大几岁？

4. 两根同样长的蜡烛，点完一根粗蜡烛要2小时，而点完一根细蜡烛要1小时.一天晚上停电，小芳同时点燃了这两支蜡烛看书，若干分钟后来电了，小芳将两支蜡烛同时熄灭，发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍，问停电多少分钟？

十四. 劳力调配问题：

1. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人.现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人，应调往甲、乙两处各多少人？

2. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有27人，在乙处植树的有18人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，需要从乙队调多少人到甲队？

3. 甲队人数是乙队人数的2倍，从甲队调12人到乙队，这时甲队人数比乙队人数的一半多3人，求甲队原来的人数。

4. 甲、乙两车队共有汽车 240 辆，现从乙队调 20 辆车给甲队，这时甲队车辆正好是乙 队车辆的 3 倍，则甲乙两队原有汽车多少辆？

5. 甲队有工人 272 人，乙队有工人196人，如果要求乙队的人数是甲队人数的

3

1，应从乙队调多少人到甲队？

十五. 方案选择问题：

1.某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：

（A ）记时制：2.8元／小时， （B ）包月制：60元／月。

此外，每一种上网方式都加收通讯费1.2元／小时。

（1）某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？

（2）某用户有120元钱用于上网（1个月），选用哪种上网方式比较合算？

（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式。

2.老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动，甲旅馆社说：“如果老师买全票一张，则学生可享受半价优惠。”乙旅行社说：“包括老师在内按全票价的6折优惠。”若全票价为240元，当学生人数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？

3.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？

十六. 储蓄问题：

利息=本金×利率×期数 本息和=本金+利息 利息税=利息×税率

年利率＝月利率×12＝日利率×365

1. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 25

2.7 元，求 银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

2. 某储蓄所去年储户存款为4600万元，今年与去年相比，定期存款增加20%，而活期存款减少25%，

十七. 浓度类问题：

溶质=溶液浓度（浓度=溶液溶质，溶液=浓度

溶质），溶液=溶质+溶剂 1. 有浓度为 98%的硫酸溶液 8 千克，加入浓度为 20%的硫酸溶液多少千克，可配制成浓度 为 60%的硫酸溶液

2. 某中学的实验室需含碘 20%的碘液，现有 25%的碘酒 350 克，应加纯酒精多少克？

十八.探寻规律类

这类方程的特点是，从给出的材料中找出规律，并利用这一规律找出解决问题的相等关系，列出方程。例如：数字排列规律。2、4、6、8…。-1、2、-3、4、-5…。还有日历中的规律、年龄的规律、数字表示规律等。

1、有一列数字按照一定规律排列，3、-9、27、-81…。在这列数字中相邻三个的和140，求这三个数。问题中的规律在于前一个数乘以-3等于后一个数。根据这一规律，及和为140这个等量关系可以设第一个数为X ，列方程为

2、在某一月份日历中，圈出任意四天，这四天日期之和为可能是45吗？日历中的规律是：横排日期后一个数比前一个大1，竖排下一个日期比上一个大7，圈出的正方形对角线数字和相等。根据这一规律，可以设 为X ，列出方程 ，解出的值不符合题意说明 。

3． 在日历上任意圈出一竖列上的4个数，如果这4个数的和是54，那么这4个数是多少呢？如果这4数的和是70，那么这4个数是多少呢？你能否找到一种最快的方法，马上说出这4个数是多少？

4.在一张日历表中，用正方形圈出4个数，这4个数的和可以是78吗？

5． 有一些分别标有5,10,15,20,25……的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大5，小明拿到了相邻的3张卡片，且这些卡片上的数之和为240。（1）小明拿到了哪3张卡片？（2）你能拿到相邻的3张卡片，使得这些卡片上的数之和是63吗？