广东省兴宁市一中2015届高三上学期期末考试数学(文)试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．设集合{}23,log P a =，{}Q ,a b =，若{}Q=0P ，则Q=P （ ） A ．{}3,0 B ．{}3,0,1 C ．{}3,0,2 D ．{}3,0,1,2

2. 若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1-或1

3．已知非零向量a 、b 满足向量+a b 与向量-a b 的夹角为2

π

，那么下列

结论中一定成立．．．．的是（ ） A ．||||=a b

B ．=a b

C ．⊥a b

D ．a ∥b

124.,1:20:(1)40a R a l ax y l x a y ∈=+=+++=设则“”是“直线与直线平行”的（ ）条件。 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要

5．已知A(2,4),B(1,1),C(4,2).给出平面区域为三角形ABC 的内部及其边界,若使目标函数

)0(>+=a y ax z 取得最大值的

最优解有无穷多个,则a 值等于（ ）

A ．3

1

B ．6

C ． 3

D ．1

6．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α?b ，c ∥α，则c ∥b B ．若//,c c αβαβ⊥⊥，则 C ．若c ∥α，βα⊥，则β⊥c D ．若,////b b c c αα?，则

7.已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线12

2

=+m

y x 的离心率为( )

A ．

23或25 B ．23 C ．5 D ．2

3或5 8．将函数sin()6y x π=+图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2

倍（纵坐标不变），再把所得

图象向右平移6

π

个单位后得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =的图象（ ）

A ．关于点(0,0)对称

B ．关于点(,0)4

π

对称

C ．关于直线3

x π

=对称 D ．关于直线x π=对称

9．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，x x f --=21)(，则不等式2

1)(-

A ．()1,-∞-

B ．(]1,-∞-

C ．()+∞,1

D ． [)+∞,1

10．已知各项均不为零的数列{}n a ,定义向量1(,)n n n a a +=c ，(,1)n n n =+b ，n ∈*N ．下列命题

中真命题是（ ）

A ．若n ?∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等差数列。

B ．若n ?∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列。

C ．若n ?∈*N 总有n n ⊥c b 成立，则数列{}n a 是等比数列。

D ．若n ?∈*N 总有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列。

二．填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。

（一）必做题（11~13题）

11.函数2

)1(0

＋－＝x x y 的定义域为___________ . 12．一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是______ cm 2。

13．曲线1

1

x y x +=

-在点(3,2)处的切线的方程为________________ .

（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 的极坐标方程为：cos sin 0k ρθρθ-+=，其中

k 为正数．．。以极点为坐标原点，极轴为x 正半轴，建立平面直角坐标系，在此坐标系下，曲线

2C 的方程为cos sin x y αα=??=?（α为参数）。若曲线1C 与曲线2C 相切，则k = 。

15．（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径cm AB 6=，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若?=∠30CPA ，则

=PC ．

三．解答题（本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

16．（本小题满分12分）已知函数.sin 32

cos 2)(2x x

x f +=. （1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若α为第二象限角，且51)3(-=+

π

αf ，求

cos 21tan α

α

-的值。 17.（本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。 （1）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．

（2）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽取的2所学校均为小学的概率．

18.（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，

PA ⊥平面ABCD ， 2==AB PA ，4=BC ,E 是PD 的中点.

（1）求证：平面PDC ⊥平面

PAD ； （2）求直线CD 与平面AEC 所成角的正弦值.

19．（本小题共14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S =-．数列{}n b 满足12b =，

128n n n b b a +-=．

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）证明：数列{}2n n

b 为等差数列，并求{}n b 的通项公式；

（3）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，是否存在常数λ，使得不等式16

(1)16

n n n T T λ+--<+

-*()n N ∈恒

成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为

2222

1(0),x y a b a b +=>>它的离心率为1

2，一个焦点是(-1,0)，过直线4x =上一点引椭圆的两条切线，切点分别是A 、B. (1)求椭圆的标准方程；

(2)若在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上的点00(,)x y 处的切线方程是00221x x y y

a b +=.求证：直线AB 恒过

定点C ，并求出定点C 的坐标；

(3)是否存在实数λ使得||||||||AC BC AC BC λ+=? (点C 为直线AB 恒过的定点)，若存在，求出实数λ，若不存在，说明理由。

21. (本题满分14分) 设函数()()2ln 1f x x b x =++. （1）若x =1时，函数()f x 取得最小值，求实数b 的值； （2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围；

（3）若1b =-，证明对任意正整数n ，不等式33311

......31211)1(n ＜k f n

k ++++∑=都成立.

兴宁一中高三（文科）数学期考试题答案2015-01-02

18证明：（1）ABCD PA 平面⊥ ABC CD 平面? CD PA ⊥∴ ……2分 是矩形ABCD CD AD ⊥∴ ……………4分

而A AD PA =? PAD CD 平面⊥∴ …………5分 PDC CD 平面? …………6分 PDC PAD ∴⊥平面平面 …………7分 （2）延长AE ，过D 作DG 垂直AE 于G ，连结CG ，又∵AE CD

⊥，

∴AE ⊥平面CDG ， …………8分

过D 作DH 垂直CG 于H ，则DH AE ⊥所以⊥DH 平面AGC 即⊥DH

平面AEC ，所以CD 在平面ACE 内的射影是CH ，

DCH

∠是直线与平面所成的角。……10分

55

45

14sin sin =

?=?

=∠?=∠?=AE OE AD OAE AD DAG AD DG 2=CD 5

5

6425516=

+?=

∴CG 325

5

65

5

4sin =

==∠∴CG DG DCG …………14分

当n 为偶数

时，31221n λ<

-

-，λ∴<7

6

， …………………………13分 综上，17

(,)26

λ∈-时，不等式成立 …………………………………14分

P

B

E

D

C A

O

F

H

21.解:（1）

由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f(x)的定义域为( - 1，+ ∞),对x∈( - 1，+ ∞),都有f(x)≥f(1)，∴f(1)

是函数f(x)的最小值，故有f /

(1) = 0,

,022,12)(/=+∴++

=b

x b x x f 解得b= - 4. 经检验，列表（略），合题意---4分

（2）∵,

12212)(2/

+++=++=x b x x x b x x f 又函数f(x)在定义域上是单调函数，

∴f / (x) ≥0或f /

(x)≤0在( - 1，+ ∞)上恒成立.

若f / (x) ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2

+2x+b≥0在( - 1，+ ∞)上恒成立,