定稿第三章

第三章 多维随机变量及其概率分布

在第二章，我们讨论了一个随机变量及其概率分布，在实际问题中，有些随机试验的结果需要同时用两个或更多个随机变量来描述，并且这些随机变量往往并非是彼此孤立的，要研究这些随机变量以及彼此之间的关系，我们需要将它们作为一个整体来考虑，为此我们引进多维随机变量的概念，并着重讨论二维随机变量.

本章的主要内容有：二维随机变量的分布函数以及边缘分布函数，二维离散型随机变量的分布律、边缘分布律及条件分布律，二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度及条件概率密度，随机变量的独立性以及二元随机变量函数的分布等.

§1

二维随机变量及其分布函数

1.1. 二维随机变量及其分布函数

定义1.1 设随机试验E 的样本空间为Ω，X 和Y 是定义在Ω上 的随机变量，则称它们构成的向量),(Y X 为二维随机变量或二维随机向量，称二元函数

(,){()

()}{,}F x y P X x Y y P X x Y y =≤≤=≤≤ （1.1）

为二维随机变量(,)X Y 的分布函数，或称随机变量X 和Y 的联合分布函数，其中x 和y 为任意实数.

如果将二维随机变量),(Y X 视为xOy 平面上随机点的坐标，则分布函数),(y x F 在点),(y x 处的函数值就是随机点落在以点),(y x 为顶点且位于该点左下方的无界矩形域（如图1.1）内的概率.

图1.1

二维随机变量),(Y X 的分布函数),(y x F 具有下列性质：

性质1 ),(y x F 对每个变量都是单调不减函数，即对固定的x ，当

21y y <时，有

),(),(21y x F y x F ≤， （1.2） 对固定的y ，当21x x <时，有

),(),(21y x F y x F ≤ . （1.3） 性质2 1),(0≤≤y x F ，并且

0),(lim ),(==-∞-∞-∞

→-∞

→y x F F y x ；

1),(lim ),(==+∞+∞+∞

→+∞

→y x F F y x ； （1.4）

对固定的x ， 有 0),(lim ),(==-∞-∞

→y x F x F y ；

对固定的y ， 有 0),(lim ),(==-∞-∞

→y x F y F x .

性质3 ),(y x F 关于x 右连续，关于y 右连续，即有

(,)(0,)F x y F x y =+； (,)(,0)F x y F x y =+. （1.5） 性质4 对于任意的21x x <，21y y <，有 },{2121y Y y x X x P ≤<≤<

=),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +-- （1.6） 需要指出的是:如果一个二元函数具有上述四条性质，则该函数一定可以作为某个二维随机变量),(Y X 的分布函数.

1.2 边缘分布函数

二维随机变量),(Y X 作为一个整体，具有分布函数),(y x F .由于X 和Y 都是随机变量，所以各自也具有分布函数，我们把X 的分布函数记作

)(x F X ，称之为二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布函数；把Y 的分

布函数记作)(y F Y ，称之为二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布函数.

边缘分布函数)(x F X 和)(y F Y 可以由),(Y X 的分布函数),(y x F 来确定，事实上

),(},{}{)(+∞=+∞<≤=≤=x F Y x X P x X P x F X ， 即

),(lim ),()(y x F x F x F y X +∞

→=+∞=. （1.7）

类似地，有

),(lim ),()(y x F y F y F x Y +∞

→=+∞=. （1.8）

例1.1 已知二维随机变量),(Y X 的分布函数为

)arctan )(arctan (),(y C x B A y x F ++= ),(+∞<<-∞y x ， 确定常数A ，B ，C ，并求关于X 和Y 的边缘分布函数.

解 由分布函数的性质，有

)arctan )(arctan (lim ),(lim y C x B A y x F y x y x ++=+∞

→+∞→+∞

→+∞→

1)2

)(2(=+

+

=π

π

C B A ,

)arctan )(arctan (lim ),(lim y C x B A y x F x x ++=-∞

→-∞

→

0)arctan )(2

(=+-

=y C B A π

，

)arctan )(arctan (lim ),(lim y C x B A y x F y y ++=-∞

→-∞

→

0)2

)(arctan (=-+=π

C x B A ，

解得

2

,2

,1

2

π

π

π=

=

=

C B A ，

从而),(Y X 的分布函数为

)arctan 2)(arctan 2

(1),(2y x y x F ++=

πππ.

于是，两个边缘分布函数分别为

),(lim ),()(y x F x F x F y X +∞→=+∞==)arctan 2

(1x +π

π，

),(lim ),()(y x F y F y F x Y +∞→=+∞==)arctan 2

(1y +π

π.

§2 二维离散型随机变量

2.1 二维离散型随机变量的分布律

定义2.1 若二维随机变量),(Y X 的所有可能取值为有限对或可列无限多对，则称),(Y X 为二维离散型随机变量.

显然，当且仅当X 和Y 都是离散型随机变量时， ),(Y X 为二维离散型随机变量.

定义 2.2 若二维离散型随机变量),(Y X 的所有可能取值为

),(j i y x ),2,1,( =j i ，并且

ij j i p y Y x X P ===},{ (,1,2,)i j =， （2.1）

则称（2.1）式为二维离散型随机变量),(Y X 的概率分布律（简称为分布律），也称为随机变量X 和Y 的联合分布律.

容易验证，),(Y X 的分布律满足下列性质： （1） 0≥ij p (,1,2,

)i j =； （2.2）

（2）

1=∑∑i

j

ij

p

. （2.3）

二维随机变量),(Y X 的分布律可以用如下的表格（表2.1）来表示，称为联合概率分布表.

表2.1 联合概率分布表

例2.1 箱子中装有10件产品，其中4件是次品，6件是正品，不放回地从箱子中任取两次产品，每次一个.定义随机变量

0,1,X ?=??第一次取到的是次品,

第一次取到的是正品,

0,1,Y ?=??第二次取到的是次品,第二次取到的是正品,

求),(Y X 的分布律以及分布函数.

解 由于

4

32

{0,0}{0}{00}10915P X Y P X P Y X =======

?=, 4

64{0,1}{0}{10}10915P X Y P X P Y X =======

?=, 6

44{1,0}{1}{01}10915

P X Y P X P Y X =======

?=,

6

55{1,1}{1}{11}10915

P X Y P X P Y X =======

?=， 所以，),(Y X 的分布律为

由分布函数的定义，知),(Y X 的分布函数为

0,

00,2,01,01,15

(,)6,01,11,01,151,1, 1.x y x y F x y x y x y x y <

?≤<≥≥≤

二维离散型随机变量的边缘分布律

设二维随机变量),(Y X 的分布律由（2.1）式给出，下面我们讨论随机变量X 和Y 各自的分布律.

对于固定的),2,1( =i i ，由于

{}{,},

()i i i j j

P X x P X x Y P X x Y y ???

?

===<+∞===?????

?

(,)i j j P X x Y y ????

===?

????

?

，

并且事件},{j i y Y x X ==（ ,2,1,=j i ）两两互不相容，所以

}),({}{ j

j i i y Y x X P x X P ====∑===j

j i y Y x X P },{∑=j

ij p

记

?=∑i j

ij

p p

，则有

?==i i p x X P }{ (1,2,

)i =， （2.4）

称之为二维随机变量),(Y X 关于X 的边缘分布律.

类似地，二维随机变量),(Y X 关于Y 的边缘分布律为

}{j y Y P =j i

ij p p ?==∑(1,2,)j =.

（2.5） 二维随机变量),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布律也可以放在联合概率分布表中，形成如下的表格（表2.2），仍称为联合概率分布表.

表2.2 联合概率分布表

例2.2已知),(Y X 的分布律为：

求),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘分布律.

解 由题意

{0}{0,0}{0,1}

132,10105

P X P X Y P X Y ====+===+= 同理

333{1}{1,0}{1,1},10105

P X P X Y P X Y ====+===+= 132{0}{0,0}{1,0},10105

P Y P X Y P X Y =======

+= 333

{1}{0,1}{1,1},10105

P Y P X Y P X Y ====+===+=

因此，关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为

§3 二维连续型随机变量

3.1 二维连续型随机变量的概率密度

定义3.1 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，如果存在非负函数(,)f x y ，使得对于任意的实数,x y 都有 (,)(,)d d x y

F x y f s t t s -∞-∞

=

??

， （3.1）

则称),(Y X 为二维连续型随机变量，并称非负函数(,)f x y 为),(Y X 的概

率密度或称(,)f x y 为X 和Y 的联合概率密度.

容易验证，(,)f x y 满足下列性质： （1）(,)0f x y ≥； （2）

(,)d d 1f x y x y +∞+∞

-∞

-∞

=??

； （3.2）

（3）设D 为xOy 平面上的一个区域，有 {(,)}(,)d d D

P X Y D f x y x y ∈=

?? （3.3）

（4）如果(,)f x y 在点(,)x y 处连续，则有

2(,)

(,)F x y f x y x y

?=??. （3.4）

在几何上，性质（1）和性质（2）表明：概率密度所代表的曲面位于xoy 平面的上方，并且介于它和xoy 平面之间的体积为1；性质（3）表明：随机点),(Y X 落在区域平面D 内的概率{(,)}P X Y D ∈等于以D 为底，以曲面(,)z f x y =为顶的曲顶柱体的体积.

还需要指出的是，可以证明，满足性质（1）和性质（2）的二元函数

(,)f x y 一定能够作为某二维随机变量),(Y X 的概率密度.

例3.1已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

,01,01(,)0,

cxy x y f x y <<<

其他.

求(1)常数c 的值;(2){}P X Y ≤；（3）求(,)F x y .

解 (1)由

11

00

(,)d d d d f x y x y cxy x y +∞+∞

-∞

-∞

=??

?

?

1100d d c x y y x ??=????

??

1

01d 124

c c x x ===? 得 4c =;

(2)记{(,)|01,01}D x y x y =<<<<，{(,)|}G x y x y =≤（如图3.1），因(,)f x y 仅在区域{(,)|01,1}D G x y x x y =<<≤<内取非零

值，由性质（3），有

{}(,)d d x y

P X Y f x y x y ≤≤=

??

4d d D G

xy x y =

??

1

1

14d d 2

x

x x y y ==

??

图3.1

（3）由分布函数的定义，(,)(,)d d x y

F x y f s t s t -∞-∞

=

??

(i)当0x <或0y <时，(,)0F x y =； (ii)当01,01x y ≤<≤<时，

(,)(,)d d x

y

F x y f s t s t -∞-∞=?

?

04d d x

y st t s ??=

????

?

?22x y =； (ⅲ)当01,1x y ≤<≥时，

1

00(,)4d d x F x y st t s ??=????

??2x =；

(ⅳ)当1,01x y ≥≤<时，

100(,)4d d y

F x y st t s ??=????

??2y =；

(ⅴ)当1,1x y ≥≥时，1

100(,)4d d 1F x y st t s ??=

=????

??.

因此，222

20,

00,

,01,01,(,),

01,1,1,01,,1, 1.

1,

x y x y x y F x y x x y x y y x y ?<

设二维连续型随机变量),(Y X 的概率密度为(,)f x y ，因为

()(,)(,)d d x X F x F x f s t t s ∞

-∞-∞??=+∞=????

??，

因此，X 是一个连续型随机变量，其概率密度为

()(,)d X f x f x y y ∞

-∞

=?

； （3.5）

同理，Y 是一个连续型随机变量，其概率密度为

()(,)d Y f y f x y x ∞

-∞

=

?

. （3.6）

我们分别称()X f x ，()Y f y 为二维随机变量),(Y X 关于X 和关于Y 的边缘概率密度.

例3.2 已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

(34)120,0(,)0x y e x y f x y -+?>>=??

，，

，其他,

求关于X 和关于Y 边缘概率密度.

解 由边缘概率密度的定义，有

(34)012e

d ,0,()(,)d 0,0x y X y x f x f x y y x +∞

-+∞

-∞

?>?==?

?≤?

??

，

(34)03e

d (4),0,0,0x y y x x +∞

-+?-->?=??≤?

?，

33e ,0,

0,

0x x x -?>=?

≤?， 关于Y 边缘概率密度为

(34)012e

d ,0,()(,)d 0,0,

x y Y x y f y f x y x y +∞

-+∞

-∞

?>?==?

?≤?

??

(34)04e

d(3),0,0,0,

x y x y y +∞

-+?-->?=??≤?

?

44e ,0,0,

0.

y y y -?>=?≤?

3.3 二维均匀分布与二维正态分布 1. 二维均匀分布

设G 为xoy 平面上的有界区域，其面积为G S ，如果二维连续型随机变量(,)X Y 的概率密度为

1

,(,),(,)0,G x y G S f x y ?∈?

=???

其他, （3.7）

则称(,)X Y 服从区域G 上的均匀分布.

若(,)X Y 在区域G 上服从均匀分布，则对于任一平面区域D ，有

{(,)}(,)D

P X Y D f x y dxdy ∈=??11

D G

G

G

G

D G D G

S dxdy dxdy S S S =

==

????

， 其中D

G S 为平面区域

D 与G 的公共部分的面积.

特别地，若D G ?，则

{(,)}P X Y D ∈.D

G

S S =

其中D S 为区域D 的面积.这表明G 上二维均匀分布的随机变量(,)X Y 落在G 内任意子区域D 内的概率与D 的面积成正比，而与D 的形状及位置无关.这恰好与平面上的几何概型相吻合，即若在平面有界区域G 内任取一点，用(,)X Y 表示该点的坐标，则(,)X Y 服从区域G 上二维均匀分布.

例 3.3 设G 为曲线2y x =

与y 围成的平面图形区域（如图

3.2），二维随机变量(,)X Y 在G 上服从均匀分布，求：

（1）{}P X Y >；

（2）(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘密度. 解: 区域G 的面积为

1

20

1

)3

G S x dx =

=

?

， 因此，(,)X Y 的概率密度为

3,(,),

(,)0,(,).

x y G f x y x y G ∈?=?

??

图3.2 图3.3

(1) 设{(,)|}D x y x y =>，则

{}{(,)}P X Y P X Y D >=∈161

132

D G G S S ===. （2）由公式（3.5）和（3.6），有

()(,)d X f x f x y y ∞

-∞

=

?

2

,01,

0,

x dy x ?≤≤?

=???其他,

2),01,

0,x x ?≤≤?=?

??

其他. ()(,)d Y f y f x y x ∞

-∞

=

?

2

,01,

0,

,y x y ?≤≤?

=???其他

2),01,

0,y y ?≤≤?=???

其他.

我们注意到，例3.3中二维均匀分布随机变量(,)X Y 的两个边缘分布都不再是均匀分布了.读者可以计算一下矩形区域

{(,)|,G x y a x b c y d =≤≤≤≤上二维均匀分布随机变量(,)X Y 的两

个边缘分布，并与例3.3的结果相对照，作出合理的解释.

2. 二维正态分布

如果二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

21221()1(,)2(1)x f x y μρσ??-?

=

-??-???

21222

12

2()()

()2x y y μμμρ

σσσ??---?

-+?????

（3.8） ,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，

其中1μ，2μ，1σ，2σ，ρ均为常数，且10σ>，20σ>，||1ρ<，则

称(,)X Y 服从参数为

1212,,,,μμσσρ的二维正态分布，记作

221212(,)

(,,,,)X Y N μμσσρ.

例3.4 设(,)X Y 的概率密度为

22221

1(,)exp ()22f x y x y πσσ??=

-+????

， ,,x y -∞<<+∞-∞<<+∞

求概率{(,)}P X Y G ∈，其中222{(,)|}G x y x y σ=+≤.

解 依题意，有

222

{(,)}(,)d d (,)d d G

x y P X Y G f x y x y f x y x y σ+≤∈==

????

222

20

1

d exp d 22r r r πσ

θπσσ??

=-??????

图3.4 122

20

exp 1e 2r σ

σ-

??

=--=-??

??

.

例 3.5 设221212(,)

(,,,,)X Y N μμσσρ，求(,)X Y 关于X 和关于

Y 的边缘概率密度.

解 由于

21221()1

2(1)x μρσ?--?-?21222122()()()2x y y μμμρσσσ?----+?? 21221()1

2(1)x μρσ?-=-?-?22122

2

12()()()2y x y μμμρσσσ?---+-?? 22

2

21122

11()()x x μμρρσσ??--+-????

2

12

1()2x μσ-=-+2

2122112(1)y x μμρρσσ??---- ?-??

， 所以(,)X Y 关于X 的边缘密度为

()(,)d X f x f x y y ∞

-∞

=?

2121()2x μσ??

-=

??-??

2212211exp d 2(1)y x y μμρρσσ+∞

-∞

????---??-?? ?-??????

?. 对于任意给定的实数x ，令

2

121y x t μμρσσ?

--=

-

??， 则 d t y =

，

又

2d 12t t +∞

-∞

??-=????

?

， 因此

2121()()2X x f x μσ??-=??-?

?

2exp d 22t t π+∞

-∞

??-????

?

212

1

()2x μσ??-=-????

， x -∞<<+∞， 同理

222

2()()2Y y f y μσ??-=-???

?，y -∞<<+∞. 由例 3.5可知，如果二维正态分布(,)X Y 服从二维正态分布

221212(,,,,)N μμσσρ，则(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布都是一维正态分布，且221122(,),(,)X

N Y μσμσ.另外，(,)X Y 的分布与参数ρ

有关，对于不同的ρ，有不同的二维正态分布，但(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布都与ρ无关.这一事实表明，仅仅根据(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布，一般不能确定随机变量X 和Y 的联合分布的.

§4 条件分布与随机变量的独立性

4.1

离散型随机变量的条件分布律

设二维离散型随机变量(,)X Y 的分布律为

{,}i j ij P X x Y y p ===， ,1,2,

i j =，

(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为

?==i i p x X P }{ ， 1,2,

i =， {}j j P Y y p ?== ， 1,2,

j =.

对于固定的j ，若.0j p >，则在事件{}j Y y =已经发生的条件下，事件{}i X x =发生的条件概率为

{,}{|}{}

i j ij i j j j

P X x Y y p P X x Y y P Y y p ?=====

=

=， 1,2,

i = . （4.1）

容易验证

（i ）{|}0i j P X x Y y ==≥，

（ii ） 111

1

{|}1ij

i j ij

i i i j

j p P X x Y y p

p p ∞∞

∞

===??====

=∑∑∑，

我们称（4.1）式为在给定j Y y =条件下随机变量X 的条件分布律.

同理，对于固定的,i 若0i p ?>，则称 {,}{|}{}

i j ij j i i i

P X x Y y p P Y y X x P X x p =====

=

=，1,2,j = （4.2）

为在i X x =条件下随机变量Y 的条件分布律.

例4.1已知(,)X Y 的分布律为

求：（1）在的条件下的条件分布律；（2）在的条件下Y 的条件分布律.

解 由边缘分布律定义得

（1）在0Y =的条件下，X 的条件分布律为

{0,0}124

{0|0}{0}78

7P X Y P X Y P Y =====

===，

{1,0}383

{1|0}{0}77

P X Y P X Y P Y =====

===，

即

（2）在1X ={1,0}38

{0|1}1{1}38P X Y P Y X P X =====

===，

{1,1}0

{1|1}0{1}3P X Y P Y X P X =====

===，

即

4.2 连续型随机变量的条件概率密度

设(,)X Y 为二维连续型随机变量，其分布函数和概率密度分别为

(,)F x y 和(,)f x y .

对于给定实数y 及任意给定的正数ε，设{}0P y Y y εε-<≤+>.如果对于任意实数x ，极限

0{|}lim P X x y Y y ε

εε+

→≤-<≤+ 0

{,}

{}lim P X x y Y y P y Y y εεεεε+→≤-<≤+=

-<≤+ 存在，则称此极限值为在Y y =条件下X 的条件分布函数，记为

|(|)X Y F x y .

如果在点(,)x y 处(,)f x y 连续，边缘概率密度()0Y f y >，则有

|(|)X Y F x y =0{,}

{}

lim

P X x y Y y P y Y y εεεεε+

→≤-<≤+-<≤+

(,)(,)

()()lim Y Y F x y F x y F y F y εεεεε+→+--=

+-- 0

(,)(,)

(,)(,)

()()()()

lim Y Y Y Y F x y F x y F x y F x y F y F y F y F y ε

εεεε

εεεε

+

→+----

=

+---+

(,)

()Y F x y y

d

F y dy

??=，

因此

|(|)X Y

F x y =(,)(,)

()

()

x

x

Y Y f u y du f u y du f y f y -∞

-∞

=

=??

， 称上式右端的被积函数为在Y y =条件下X 的条件概率密度，记为

|(|)X Y f x y ，即

|(,)

(|)()

X Y Y f x y f x y f y =

. （4.3） 类似地，当边缘概率密度()0X f x >时，在X x =条件下Y 的的条件概率密度为

|(,)

(|)()

Y X X f x y f y x f x =

. （4.4）