2018年高考数学一轮复习 课标通用 第四章三角函数与解三角形4.4简单的三角恒等变换学案理

2018年高考数学一轮复习 课标通用 第四章三角函数与解三角形4.4简单的三角恒等变换学案理
2018年高考数学一轮复习 课标通用 第四章三角函数与解三角形4.4简单的三角恒等变换学案理

§4.4 简单的三角恒等变换

考纲展示?

能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换 包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆

考点1 三角函数式的化简与证明

倍角公式与半角公式变形

(1)

答案:2sin 2α 2cos 2α 1-2sin 2α2 2cos 2α

2

-1 ±

1-cos α

2

±1+cos α

2

±

1-cos α

1+cos α

(2)1±sin α=? ????sin α

2±cos α22;

1+cos α=2cos 2

α2; 1-cos α=2sin

2

α2

; tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α.

(3)辅助角公式

a sin x +

b cos x =a 2+b 2sin(x +φ),

其中sin φ=________,cos φ=________ . 答案:

b a 2+b

2

a a 2+

b 2

倍角公式中的特殊情形. 判断正误:

(1)存在实数α,使cos 2α=2cos α.( ) (2)存在实数α,使sin 2α=2sin α.( ) (3)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(

) 答案:(1)√ (2)√ (3)√

[典题1] (1)[20172湖北随州模拟]已知α∈?

????0,π2,且2sin 2

α-sin αcos α-

3cos 2

α=0,则sin ? ????α+π4sin 2α+cos 2α+1

=________.

[答案]

268

[解析] 由2sin 2

α-sin αcos α-3cos 2

α=0,得(2sin α-3cos α)2(sin α+cos α)=0,

∵α∈?

????0,π2,∴sin α+cos α>0,

∴2sin α=3cos α,又sin 2

α+cos 2

α=1, ∴cos α=

2

13,sin α=3

13

, ∴sin ?

????α+π4sin 2α+cos 2α+1

=2

2 sin α+cos α sin α+cos α 2+ -sin 2α+cos 2

α =26

8

. (2)化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2

β-12

cos 2αcos 2β=________.

[答案]1 2

[解析]解法一:原式=1-cos 2α

2

2

1-cos 2β

2

1+cos 2α

2

2

1+cos 2β

2

1

2

cos

2αcos 2β

=1

4

(1+cos 2αcos 2β-cos 2α-cos 2β)+

1

4

(1+cos 2αcos 2β+cos 2α+cos 2β)

-1

2

cos 2αcos 2β=

1

2

.

解法二:原式=(sin α2sin β-cos α2cos β)2+2sin α2sin β2cos α2cos β

-1

2

cos 2α2cos 2β

=cos2(α+β)+

1

2

sin 2α2sin 2β-

1

2

cos 2α2cos 2β

=cos2(α+β)-

1

2

2cos (2α+2β)

=cos2(α+β)-

1

2

2[2cos2(α+β)-1]

1

2

.

[点石成金] 三角函数式化简的原则与方法

(1)三角函数式的化简遵循的三个原则

①一看“角”,这是最重要的一环,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,

从而正确使用公式.

②二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”.

③三看“结构特征”,分析结构特征,可以帮助我们找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”“整式因式分解”“二次式配方”等.

(2)三角函数式化简的方法

弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.

在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要升次.

(3)化简三角函数式的常用技巧

①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化;

②对于分式形式,应分别对分子、分母进行变形处理,有公因式的提取公因式后进行约分;

③对于二次根式,注意倍角公式的逆用;

④注意利用角与角之间的隐含关系; ⑤注意利用“1”的恒等变形

.

证明下列各式:

(1)已知:2sin β=sin α+cos α,sin 2

γ=2sin αcos α,求证:2cos 2β=cos 2

γ; (2)已知:5sin α=3sin(α-2β),求证:tan(α-β)+4tan β=0.

证明:(1)由已知可得4sin 2

β=1+2sin αcos α=1+sin 2

γ,∴1-sin 2

γ=2-4sin 2

β=2(1-2sin 2

β).

由此得cos 2γ=2cos 2β,故要证的等式成立.

(2)把5sin α=3sin(α-2β)化成5sin [(α-β)+β]=3sin [(α-β)-β],得 5sin(α-β)cos β+5cos (α-β)sin β=3sin(α-β)2cos β-3cos (α-β)sin β.

移项合并得2sin(α-β)cos β+8cos (α-β)sin β=0. 依题意β≠k π+π2且α-β≠k π+π

2,k ∈Z ,

则cos (α-β)cos β≠0.

上式两边都除以2cos βcos (α-β), 即得tan (α-β)+4tan β=0.

考点2 三角函数式的求值

[考情聚焦] 研究三角函数式的求值,解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,依据函数名称的特点,选择适当的公式进行求解,在高考中是一个热点考查方向.

主要有以下几个命题角度: 角度一 给值求值

[典题2] 设θ为第二象限角,若tan ? ????θ+π4=12,则sin θ+cos θ=________.

[答案] -

10

5

[解析] tan θ=tan ???????

????θ+π4-π4=12-11+12

=-13,

∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1,得109cos 2θ=1,∴cos 2

θ=910,

又易知cos θ<0,∴cos θ=-3

1010,

∴sin θ=1010,故sin θ+cos θ=-105

. 角度二 给角求值

[典题3] 4cos 50°-tan 40°=( ) A. 2 B.

2+3

2

C. 3 D .22-1

[答案] C

[解析] 4cos 50°-tan 40°=4cos 50°-sin 40°

cos 40°

=4sin 40°2cos 40°cos 40°-sin 40°

cos 40°

=2sin 80°-sin 40°

cos 40°

=2co s 10°-sin 40°

cos 40°

2cos 10°-sin 30°+10°

cos 40°

=32cos 10°-3

2sin 10°cos 40°

3 cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10°

cos 40°

3cos 40°

cos 40°

= 3.

角度三 给值求角

[典题4] [20172山东济南模拟]已知0<α<π2<β<π,tan α2=12,cos(β-α)=2

10.

(1)求sin α的值; (2)求β的值.

[解] (1)因为tan α2=1

2

所以sin α=sin ? ????22α2=2sin α2cos α2

=2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=2tan α21+tan 2α2=23

1

2

1+? ????122

=4

5

. (2)因为0<α<π2,sin α=4

5,

所以cos α=3

5

.

又0<α<π

2<β<π,所以0<β-α<π.

由cos (β-α)=

210,得0<β-α<π2. 所以sin(β-α)=

9810=72

10

, 所以sin β=sin [(β-α)+α]

=sin(β-α)cos α+cos (β-α)sin α =7210335+210345=25250=2

2. 由

π2<β<π,得β=3π4

. [点石成金] 三角函数式求值的常见题型及求解策略 (1)给值求值

已知三角函数值,求其他三角函数式的值的一般思路: ①先化简所求式子;

②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手); ③将已知条件代入所求式子,化简求值. (2)给角求值

给角求值中一般所给出的角都是非特殊角,从表面上来看是很难的,但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系.解题时,要利用观察得到的关系,结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数,从而得解.

(3)给值求角

通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则: ①已知正切函数值,则选正切函数.

②已知正、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是? ????0,π2,则选正、余弦皆

可;若角的范围是(0,π),则选余弦较好;若角的范围为? ??

??-π2,π2,则选正弦较好.

考点3 三角恒等变换的综合应用

[考情聚焦] 利用三角恒等变换将三角函数式化简后研究其图象与性质是高考中的热点,常与三角函数的其他知识(如图象平移变换、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性)相结合命题.题目难度适中,属中档题.

主要有以下几个命题角度: 角度一

三角恒等变换与三角函数性质的综合

[典题5] 已知函数f (x )=5sin x cos x -53cos 2

x +532(其中x ∈R ),求:

(1)函数f (x )的最小正周期; (2)函数f (x )的单调区间;

(3)函数f (x )图象的对称轴和对称中心.

[解] (1)因为f (x )=52sin 2x -532(1+cos 2x )+532=5? ????

12sin 2x -32cos 2x =

5sin ?

????2x -π3,

所以函数的最小正周期T =2π

2

=π.

(2)由2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π

2

(k ∈Z ),得

k π-π

12≤x ≤k π+

12

(k ∈Z ), 所以函数f (x )的增区间为??????k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ). 由2k π+π2≤2x -π3≤2k π+3π

2

(k ∈Z ),得

k π+

5π12≤x ≤k π+11π12

(k ∈Z ), 所以函数f (x )的减区间为????

??k π+5π12,k π+11π12(k ∈Z ).

三角函数解三角形综合

1.已知函数f(x)=sin(ωx)﹣2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A﹣C),求sinA的值. 解:(Ⅰ). 依题意:函数. 所以. , 所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0. . (Ⅱ)∵,∴ .. 在Rt△ABC中,∵, ∴. ∵0<sinA<1,∴. 2.已知函数(其中ω>0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为. (I)求y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2b﹣a)cosC=c?cosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断△ABC的形状. 【解答】解:(Ⅰ)∵ , =, ∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为,

∴T=π,∴,∴ω=1,∴. ∵得:, ∴函数f(x)单调增区间为; (Ⅱ)∵(2b﹣a)cosC=c?cosA,由正弦定理, 得(2sinB﹣sinA)cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C), ∵sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB>0,2sinBcosC=sinB, ∴sinB(2cosC﹣1)=0,∴,∵0<C<π,∴,∴, ∴.∴, 根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值y max=1, 此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形. 3.已知函数f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1(ω>0),x∈R,且函数的最小正周期为π: (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若f(B)=0,?=,且a+c=4,试求b的值. 【解答】解:(1)f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1 ==. ∵T=,∴ω=2. 则f(x)=2sin(2x)﹣1; (2)由f(B)==0,得. ∴或,k∈Z. ∵B是三角形内角,∴B=. 而=ac?cosB=,∴ac=3.

高中数学三角函数公式大全全解

三角函数公式 1.正弦定理: A a sin = B b sin =C c sin = 2R (R 为三角形外接圆半径) 2.余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注:奇变偶不变,符号看象限。 注:三角函数值等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:函数名不变,符号看象限 注:三角函数值等于α的 异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时,原三角函数值的符号;即:

函数名改变,符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式:(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式:(符号的选择由 2 θ 所在的象限确定) ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式: [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式:

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 (08三角函数 三角恒等变换) 一、选择题 1.(2018北京文)在平面坐标系中,?AB ,?CD ,?EF ,?GH 是圆22 1x y +=上的四段弧(如图),点P 在其中一段上,角α以Ox 为始边,OP 为终边, 若tan cos sin ααα<<,则P 所在的圆弧是( ) A .?A B B .?CD C .?EF D .?GH 1.【答案】C 【解析】由下图可得,有向线段OM 为余弦线,有向 线段MP 为正弦线,有向线段AT 为正切线. 2.(2018天津文)将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π 个单位长度,所得图象对应的函数( ) (A )在区间[,]44ππ - 上单调递增 (B )在区间[,0]4π 上单调递减 (C )在区间[,]42 ππ 上单调递增 (D )在区间[,]2 π π 上单调递减 2.【答案】A 【解析】由函数sin 25y x π? ?=+ ?? ?的图象平移变换的性质可知: 将sin 25y x π? ?=+ ?? ?的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为: sin 2sin 2105y x x ?ππ? ??=-+= ???? ???. 则函数的单调递增区间满足:()22222 k x k k ππ π-≤≤π+∈Z , 即()44 k x k k ππ π- ≤≤π+∈Z , 令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ?? -????,选项A 正确,B 错误; 函数的单调递减区间满足:()322222 k x k k ππ π+≤≤π+∈Z , 即()344k x k k πππ+≤≤π+∈Z ,令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ?? ???? , 选项C ,D 错误;故选A .

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离 是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα== , ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换

4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值

三角函数-解三角形的综合应用

学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度:高、中、低命题指数:☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中,AB=6,∠A=75°,∠B=45°,则 AC=________. 2.(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若a=2,c=2 3,c os A= 3 2 且b<c,则b=________. 3.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b=6,∠A= 2π 3 ,则∠B= ________. 4.(2015·福建高考)若△ABC中,A C=3,A=45°,C=75°,则 BC=________. 5.(2015·全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边, sin2B=2sin A sin C. (1)若a=b,求cos B;[来源:学科网ZXXK] (2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积. 教 学 效 果 分 析

教学过程 6.(2015·山东高考)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知cos B= 3 3 ,sin(A+B)= 6 9 ,ac=23,求sin A和c的值. 7.(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD= 2DC. (1)求 sin B sin C ; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 8.(2015·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,已知tan ? ? ?? ? π 4 +A=2. (1)求 sin 2A sin 2A+cos2A 的值; (2)若B= π 4 ,a=3,求△ABC的面积.[来源:学科 教 学 效 果 分 析

2018年各地高考真题分类汇编 三角函数 教师版

三角函数 1.(2018年全国1文科·8)已知函数()2 2 2cos sin 2f x x x =-+,则 B A .()f x 的最小正周期为π,最大值为3 B .()f x 的最小正周期为π,最大值为4 C .()f x 的最小正周期为2π,最大值为3 D .()f x 的最小正周期为2π,最大值为4 2.(2018年全国1文科·11)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终 边上有两点()1A a , ,()2B b ,,且2 cos 23 α=,则a b -= B A . 15 B C D .1 3.(2018年全国1文科·16)△ABC 的内角A B C ,,的对边分别为a b c , ,,已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=,2228b c a +-=,则△ABC 的面积为 . 4. (2018年全国2文科·7).在中, ,,则 A A . B C D . 5. (2018年全国2文科·10)若在是减函数,则的最大值是 C A . B . C . D . 6.(2018年全国2文科·15)已知,则 . 7.(2018年全国3文科·4)若,则 B A . B . C . D . 8.(2018年全国3文科·6)函数 的最小正周期为 C A . B . C . D . 9. (2018年全国3文科·11)的内角,,的对边分别为,,.若的面积为,则 C ABC △cos 2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[0,]a a π 4 π2 3π4 π5π1tan()45 α-=tan α=1 sin 3 α= cos 2α=8 9 79 7 9 -89 - 2tan ()1tan x f x x =+4 π2 ππ2πABC △A B C a b c ABC △222 4 a b c +-C =

三角函数与解三角形-专题复习

专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式: 定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 第一定义:设是任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则 第二定义:设 是任意角,它的终边上的任意一点 P(x,y),则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上,则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式:(1)已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ,且5 4 cos - =α,则m 的值为 . (2)在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__________. (3)4tan 3cos 2sin 的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120,则扇形的弧长为 面积为 . 变式:已知在半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10,则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ,α所在的扇形弧长 为 ,弧所在的弓形的面积S 为 .

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角,且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值; (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来,并求其值. 变式:1、已知α是三角函数的内角,且3 1 tan -=α,求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α(1)求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值;(2)求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α+2sin α=-5,则tan α=________.

必修四三角函数与解三角形综合测试题(基础含答案)

必修四三角函数与解三角形综合测试题 (本试卷满分150分,考试时间120分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若点P 在3 2π的终边上,且OP=2,则点P 的坐标( ) A .)3,1( B .)1,3(- C .)3,1(-- D .)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则( ) A .47 B .169- C .329- D .32 9 3.下列函数中,最小正周期为 2 π的是( ) A .)32sin(π-=x y B .)32tan(π-=x y C .)62cos(π+=x y D .)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=( ) A .924- B .924 C .9 7- D .97 5.函数y =sin (π4 -2x )的单调增区间是 ( ) A.[kπ-3π8 ,kπ+π8 ](k ∈Z ) B.[kπ+π8 ,kπ+5π8 ](k ∈Z ) C.[kπ-π8 ,kπ+3π8 ](k ∈Z ) D.[kπ+3π8 ,kπ+7π8 ](k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位,得到)4sin(?+=x y 的图象,则?等于( ) A .12π- B .3π- C .3 π D .12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A .3 B .33 C .33- D .3- 8.在△ABC 中,sinA >sinB 是A >B 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 9.ABC ?中,π= A ,BC =3,则ABC ?的周长为( )

2017-2018高考三角函数大题(可编辑修改word版)

2017-2018 高考三角函数大题 一.解答题(共14 小题) 2.(2018?新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 3.(2018?北京)在△ABC 中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC 边上的高. 4.(2018?北京)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,求m 的最小值.

5.(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x. (1)若f(x)为偶函数,求 a 的值; (2)若f()= +1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解. 6.(2018?天津)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).(Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设a=2,c=3,求 b 和sin(2A﹣B)的值. 7.(2017?新课标Ⅰ)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 的面积为.(1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.

8.(2017?新课标Ⅱ)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB; (2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. 9.(2017?新课标Ⅲ)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c; (2)设D 为BC 边上一点,且AD⊥AC,求△ABD 的面积. 10.(2017?天津)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB= . (Ⅰ)求 b 和sinA 的值; (Ⅱ)求sin(2A+ )的值.

三角函数与解三角形(师)

三角函数与解三角形 一、 y=Asin (ωx+φ)函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin (ωx+φ)的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图,主要是通过变量代换,设z x ω?=+,由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象】 1.振幅变换: sin y A x x R =∈,(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0≠,且的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1 ω 倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换: 函数()sin y x x R ?=+∈,(其中0?≠)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向:“左加右减”). 一般地,函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈,的图象可以看作是用下面的方法得到的: (1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位; (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的 1 ω 倍(纵坐标不变); (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

高考真题:三角函数及解三角形综合

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.(2019浙江18)设函数()sin ,f x x x =∈R . (1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+, 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+, 故2sin cos 0x θ=, 所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ= 或3π2 . (2)2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?. 因此,函数的值域是[1- +. 27.(2018江苏)已知,αβ为锐角,4 tan 3 α= ,cos()5αβ+=-. (1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值. 【解析】(1)因为4tan 3α= ,sin tan cos ααα=,所以4 sin cos 3 αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29 cos 25 α= ,

因此,27cos22cos 125 αα=-=- . (2)因为,αβ为锐角,所以(0,π)αβ+∈. 又因为cos()αβ+=,所以sin()αβ+=, 因此tan()2αβ+=-. 因为4tan 3α=,所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--, 因此,tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+. 28.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过 点3 4(,)55 P --. (1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ,求cos β的值. 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-, 所以4 sin()sin 5απα+=-=. (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-, 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-. 29.(2017浙江)已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R . (Ⅰ)求2( )3 f π 的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 【解析】(Ⅰ)由2sin 32π=,21 cos 32 π=-,

高考数学三角函数公式

高考数学三角函数公式 同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系:平方关系: tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α (六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”) 诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。) sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sin(2kπ+α)=sinα

2018年高考理科数学三角函数100题(含答案解析)

2018年高考理科数学三角函数100题(含答案解析) 1. 己知x 0=﹣ 是函数f (x )=sin (2x+φ)的一个极小值点,则f (x )的一个单调递减区 间是( ) A .(, ) B .( , ) C .( ,π) D .( ,π) 2. 已知△ABC 是钝角三角形,若AC=1,BC=2,且△ABC 的面积为,则AB=( ) A . B . C . D .3 3. 已知1(,2)2 P 是函数()sin()(0)f x A x ω?ω=+>图象的一个最高点,,B C 是与P 相邻的两个最低点.若7 cos 25 BPC ∠= ,则()f x 的图象对称中心可以是 (A )()0,0 (B )()1,0 (C ) ()2,0 (D )()3,0 4. 已知函数()sin()f x A x ω?=+(A ,ω,?均为正的常数)的最小正周期为π,当2π 3 x =时,函数()f x 取得最小值,则下列结论正确的是( ). A .(2)(2)(0)f f f <-< B .(0)(2)(2)f f f <<- C .(2)(0)(2)f f f -<< D .(2)(0)(2)f f f <<- 5. 设函数π2sin 23y x ? ?=+ ?? ?的图象为C ,下面结论中正确的是( ). A .函数()f x 的最小正周期是2π B .图象 C 关于点π,06?? ??? 对称 C .图象C 向右平移 π 2 个单位后关于原点对称 D .函数()f x 的区间ππ,122?? - ??? 上是增函数 6.

已知函数π()sin (0)4f x x ωω? ?=> ?? ?+的最小正周期为π,刚该函数的图象( ). A .关于点π,04?? ???对称 B .关于直线π 8 x = 对称 C .关于点π,08?? ??? 对称 D .关于直线π 4 x = 对称 7. 为了得到函数sin cos y x x =+的图像,只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点( ). A .向左平移π 4 个单位长度 B .向右平移π 4 个单位长度 C .向左平移 π 2 个单位长度 D .向右平移 π 2 个单位长度 8. 已知(0,π)α∈,3 cos 5 α=-,则tan α=( ). A . 34 B .34 - C . 43 D .43 - 9. 已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ω?ω?? ?=+>>< ?? ?图象如图所示,则下列关于函数()f x 的 说法中正确的是( ). A .对称轴方程是π π()6 x k k =+∈Z B .对称中心坐标是 ππ,0()3k k ?? +∈ ??? Z C .在区间ππ,22?? - ??? 上单调递增 D .在区间2ππ,3? ?-- ?? ?上单调递增 10.

高中数学三角函数公式大全

高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多,很复杂,而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在,下面是三角函数公式大全:操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)

02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)

最新-高考三角函数大题

2017-2018高考三角函数大题 一.解答题(共14小题) 2.(2018?新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB; (2)若DC=2,求BC. 3.(2018?北京)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=﹣. (Ⅰ)求∠A; (Ⅱ)求AC边上的高. 4.(2018?北京)已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若f(x)在区间[﹣,m]上的最大值为,求m的最小值.5.(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.

(1)若f(x)为偶函数,求a的值; (2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解. 6.(2018?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos(B﹣).(Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)设a=2,c=3,求b和sin(2A﹣B)的值. 7.(2017?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC; (2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长. 8.(2017?新课标Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.

(1)求cosB; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 9.(2017?新课标Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+cosA=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 10.(2017?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值; (Ⅱ)求sin(2A+)的值. 11.(2017?北京)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sinC的值;

高考专题; 三角函数、解三角形综合问题

题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期;

(2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值.

题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+

三角函数的图像和性质2018高考真题练习 精品

三角函数的图像和性质练习 江西 在△ABC 中,角C B A ,,的对边分别是c b a ,,,已知2sin 1cos sin C C C -=+. (1)求C sin 的值; (2)若8)(422-+=+b a b a ,求边c 的值. 天津15.(本小题满分13分) 已知函数()tan(2),4f x x π =+ (Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期; (II )设0,4πα??∈ ???,若()2cos 2,2f αα=求α的大小. 浙江18.(本题满分14分)在ABC ?中,角..A B C 所对的边分别为a,b,c . 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b = . (Ⅰ)当5,14 p b ==时,求,a c 的值; (Ⅱ)若角B 为锐角,求p 的取值范围; .(2018北京,文15)已知函数f (x )=2cos2x +sin 2x . (1)求f (3 π)的值; (2)求f (x )的最大值和最小值. 16.(2018湖北,文16)已知函数f (x )=2 sin cos 22x x -,g (x )=21sin2x -41. (1)函数f (x )的图象可由函数g (x )的图象经过怎样的变化得出? (2)求函数h (x )=f (x )-g (x )的最小值,并求使h (x )取得最小值的x 的集合.

答案:江西17解:(1)已知2 sin 1cos sin C C C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin 22222C C C C C C C -+=-+∴ 整理即有:012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin 22=?? ? ??+-?=+-C C C C C C C 又C 为ABC ?中的角,02 sin ≠∴C 412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-?=??? ? ?-?=-∴C C C C C C C C 4 3sin 432cos 2sin 2=?=∴C C C (2)()8422-+=+b a b a ()()2,2022044442 222==?=-+-?=++--+∴b a b a b a b a 又4 7sin 1cos 2=-=C C ,17cos 222-=-+=∴C ab b a c 天津15.本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式,同角三角函数的基本关系,二 倍角的正弦、余弦公式,正切函数的性质等基础知识,考查基本运算能力.满分13分. (I )解:由2,42x k k Z πππ+ ≠+∈, 得,82 k x k Z π π≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82 k x R x k Z π π∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为 .2π (II )解:由()2cos 2,2a f a = 得tan()2cos 2,4a a π += 22sin()42(cos sin ),cos()4 a a a a π π+=-+ 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a a a a a a a a +=+-- 因为(0,)4a π∈,所以sin cos 0.a a +≠

解三角形与三角函数专题

三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )=sin x -23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间??????0,2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a sin A =4b sin B ,ac =5(a 2-b 2-c 2). (1)求cos A 的值; (2)求sin(2B -A )的值. 3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=2,c =5,cos B =1 7,求△ABC 中线AD 的长.

4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )=cos x (cos x +3sin x ). (1)求f (x )的最小值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若f (C )=1,S △ABC =334,c =7,求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(2sin B ,-3),n =(cos 2B ,2cos 2B 2-1),B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小; (2)如果b =2,求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,且满足(a +b +c )(sin B +sin C -sin A )=b sin C . (1)求角A 的大小; (2)设a =3,S 为△ABC 的面积,求S +3cos B cos C 的最大值.

2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测(三)理

2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测 (三)理 一、选择题(每小题5分,共45分) 1sin,则2sin2-1=() A.B.-C.D.± 1.B【解析】由已知得cos θ=,所以2sin2-1=-cos θ=-. 2.已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值是() A.B.C.D.- 2.B【解析】sin 239° tan 149°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=(-c os 31°)(-tan 31°)=sin 31°=. 3y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,则 φ=() A.B. C.D. 3.D【解析】由题可知=3-1?T=8,所以ω=.由函数图象过点(1,1),将其代入函数式,解得 φ=. 4a,b,c为三角形ABC三边,a≠1,b

5.D【解析】由f(x)=cos 2x向左平移个单位得到的是g(x)=cos 2,则g=cos 2=cos π=-1. 6.已知tan(π-α)=-2,则=() A.-3 B. C.3 D.- 6.D【解析】根据tan(π-α)=-2可得tan α=2,从而 =-. 7.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是() A.B.C.D. 7.B【解析】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C得a2≤b2+c2-bc,变形得b2+c2-a2≥bc,∴cos A=,又∵A为三角形的内角,∴A的取值范围是. 8ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,△ABC的面积为,则C= () A.30° B.45° C.60° D.75° 8.C【解析】∵△ABC中,∠B=30°,AC=1,AB=,由正弦定理可得,∴sin ∠C=,∴∠C=60°或120°,当∠C=60°时,∠A=90°;当∠C=120°时,∠A=30°.当∠A=90°时,∴△ABC的面积为·AB·AC=;当∠A=30°时,∴△ABC的面积为·AB·AC·sin ∠A=,不满足题意,则∠ C=60°. 9.已知f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,则sin 2θ+cos 2θ的值为() A.B.2 C.D.1 9.D【解析】∵f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),∴(-x)2+(sin θ-cos θ)(-x)+sin θ=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ,∴sin θ-cos θ=0,即sin θ=cos θ,∴sin 2θ+cos 2θ=2sin2θ+cos2θ-sin2θ=sin2θ+cos2θ=1. 二、填空题(每小题3分,共15分) 10ABC中,已知角C=,a2+b2=4(a+b)-8,则边c=. 10.2【解析】由a2+b2=4(a+b)-8得(a-2)2+(b-2)2=0,所以a=2,b=2,由余弦定理得 c2=a2+b2-2ab cos=4+4-2×2×2×=4,所以c=2. 11.已知tan α=2,tan(α+β)=,则tan β的值为.

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