函数项级数典型例题

函数项级数典型例题
函数项级数典型例题

高考数学-指数函数图像和性质及经典例题

高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y =

【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根.

求幂级数的和函数

幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算(恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常用级数,特别是几何级数),求出转化后的幂级数和函数后,再利用上述运算的逆运算,求出待求幂级数的和函数。以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型:一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数,首先要记牢常用级数的和函数,再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。二、求通项为P(n)x^n的和函数,其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分,再逐项求导的方法求其和函数。积分总是从收敛中心到x积分。解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之,这是不必再积分。三、求通项为x^n/P(n)的和函数,其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导,再逐项积分求其和函数,积分时不要漏掉S(0)的值。解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。四、含阶乘因子的幂级数(1)分解法:将幂级数一般项进行分解等恒等变形,利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数,分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数(2)逐项求导、逐项积分法(3)微分方程发:含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。因此先求收敛域,求出和函数的各阶导数以及在点0处的值,建立S(x)的长微分方程的初值问题,求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型 求幂级数的和函数的方法,通常是:

复变函数项级数

§4.2 复变函数项级数 教学目的:1.理解复变函数项级数收敛的概念,掌握其收敛的常用 判别法,以及收敛复函数项级数的和函数的基本性质. 2. 能正确灵活运用相关定理判断所给级数的敛散性. 3.掌握幂级数收敛半径的计算公式、幂级数的运算性质以及幂级数和函数的解析性,能灵活正确求出所给级 数的收敛半径;能用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑将简单函数表示为级数. 教学重点:掌握阿贝尔定理以及级数收敛半径的计算方法;能用间 接法和 01 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学难点:正确利用 1 (1)1n n z z z ∞ ==<-∑求函数的幂级数展式. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合 教学过程: §4.2.1 复变函数项级数 设{()n f z }是定义在平面点集E 上的一列复变函数,(书上为其中各项在区域D 内有定义,)则式子: 12()()()n f z f z f z ++++L L 称为E 上的复函数项级数,记为 1 ()n n f z ∞ =∑. 【定义】※设1 ()n n f z ∞ =∑是定义在E 上的复函数项级数, ()S z 是E

的一个复函数,如果对E 内的某一点0z ,极限 00lim ()() n n S z S z →∞ =存在,则称复变函数项级数在0z 收敛.若对E 上的每一点z E ∈,都有级数 1 ()n n f z ∞ =∑收敛, 则它的和一定是一个z 的函数()S z ,则称 1 ()n n f z ∞ =∑在E 上收敛于()S z ,此时()S z 也称为1 ()n n f z ∞ =∑在E 上的 和函数.记为1 ()()n n S z f z ∞ == ∑或者()lim ()n n S z S z →∞ =, {}()n S z 称为 1 ()n n f z ∞ =∑的部分和函数列. §4.2.2 幂级数 1.【幂级数的定义】通常把形如: 20 010200 () ()()n n n C z z C C z z C z z ∞ =-=+-+-∑ 0()n n C z z ++-+L L 的复函数项级数称为(一般)幂级数, 其中0C ,1C ,L n C ,L .和0z 都 是复常数, 分别称为幂级数 () n n n C z z ∞ =-∑的系数与中心点. 若00z =, 则幂级数0 () n n n C z z ∞ =-∑可简化为 n n n c z ∞ =∑(标准幂级

指数函数经典例题和课后习题

指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下:

指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象.

指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练

幂级数求和函数方法概括与总结

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数,简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

指数函数典型例题详细解析汇报

实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围)

【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c.

【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859=====

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数,简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L

指数函数经典例题(标准答案)

指数函数 1.指数函数的定义: 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征,就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10

()x f c 的大小关系是_____. 分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x x b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________. 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得1 4x >.∴x 的取值范围是14 ??+ ??? , ∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]2-, ∞. 令26x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤.

函数的幂级数的展开与技巧

1引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位,在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数,因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况,我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开,几乎不用积分型余项来讨论,今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 泰勒定理指出:若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数,则 ()()()()() () 2 0' ' 00002! x x f x f x f x x x f x -= + -+ () () ()) 00(! n n n x x f x R x n -+++ , (1) 这里()x R n =()()n x x o 0-称为皮亚诺型余项。如果增加条件“()x f 有1+n 阶连续导数”,那么()x R n 还可以写成三种形式 ()()() () 1 101 ()1! n n n R x f x x n ξ++= -+ (拉格朗日余项) ()() 1 (1) 001[()]1!n n n f x x x x x n θθ++=+--- (柯西余项) ()() (1) 1! x n n x f t x t dt n += -? , (积分型余项) 如果在(1)中抹去余项()x R n ,那么在0x 附近f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果 f 在0x x =处有任意阶的导数,这时称形式为: ()()()()() () () () 2 0000000"'2! ! n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++ -+ (2) 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数,对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达f ,或说f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是f ,这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子:

第十二讲函数列与函数项级数

第十二讲函数列与函数项级数 12 . 1 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛 一、函数列 (一)函数列的收敛与一致收敛 1 .逐点收敛 函数列(){}I x x f n ∈,,若对I x ∈?,数列(){}x f n 都收敛,则称函数列在区间 I 上逐点收敛,记 ()()I x x f x f n n ∈=∞ →,lim ,称()x f 为(){}x f n 的极限函数.简记为 ()()()I x n x f x f n ∈∞→→, 2 .逐点收敛的N -ε定义 对I x ∈? ,及 0>?ε,()0,>=?εx N N ,当N n > 时,恒有()()ε<-x f x f n 3 .一致收敛 若函数列(){}x f n 与函数()x f 都定义在区间 I 上,对 0,0>?>?N ε,当N n > 时,对一切I x ∈恒有()()ε<-x f x f n ,则称函数列(){}x f n 在区间 I 上一致收敛于()x f .记为()()()I x n x f x f n ∈∞→?, . 4 .非一致收敛 00>?ε,对N n N >?>?0,0,及I x ∈?0,使得 ()()0000ε≥-x f x f n 例 12 . 1 证明()n n x x f =在[]1,0逐点收敛,但不一致收敛. 证明:当[]1,0∈x 时,()0lim lim ==∞ →∞ →n x n n x x f ,当1=x 时,()11lim =∞ →n n f ,即极限函数 为()[)???=∈=1 ,11,0,0x x x f .但 ()x f n 非一致收敛,事实上,取031 0>=ε。对0>?N ,取 N N n >+=10,取()1,02101 0∈? ? ? ??=n x · 此时()()00002100ε>==-n x x f x f n , 即()()()[]1,0,∈∞→≠>x n x f x f n 5 .一致收敛的柯西准则 函数列(){}x f n 在 I 上一致收敛?对 0,0>?>?N ε,当 n , m > N 时,对一切I x ∈,

高一数学指数函数经典例题

高一数学 指数函数平移问题 ⑴y =12+x 与y =22+x . ⑵y =12-x 与y =22-x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象;向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象;向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3,∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12 -=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)12 41 ++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--()

指数函数典型例题详细解析

指数函数典型例题详细解析

指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0)

3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b

解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有

高一数学下指数函数典型例题解析

指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a < b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 【例4】解 比较大小与>且≠,>. 当<<,∵>,>, a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() ()

函数列与函数项级数

第十三章 函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的: 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则,函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法. (二) 教学内容: 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义;函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则;函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法. 基本要求: 1)掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数序列与函数项级数一致 收敛性判别的柯西准则,函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法. (2) 较高要求:掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法. (三) 教学建议: (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义,函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则,函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法. (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法. ———————————————————— 一 函数列及其一致收敛性 对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({,设 E x ∈0,若数列 })({0x f n 收敛,则称函数列})({x f n 在点0x 收敛,0x 称为函数列})({x f n 收敛点;若数列 })({0x f n 发散,则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域( 注意定义域与收敛域的区别 )。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛,则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛,这时D 上每一点x ,都有函数列的一个极限值

(完整版)指数函数经典习题大全

指数函数习题 新泰一中闫辉 一、选择题 1.下列函数中指数函数的个数是 ( ). ①②③④ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.若,,则函数的图象一定在() A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限 3.已知,当其值域为时,的取值范围是()A. B. C. D. 4.若,,下列不等式成立的是() A. B. C. D. 5.已知且,,则是() A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与有关 6.函数()的图象是() 7.函数与的图象大致是( ).

8.当时,函数与的图象只可能是() 9.在下列图象中,二次函数与指数函数的图象只可能是() 10.计算机成本不断降低,若每隔3年计算机价格降低 ,现在价格为8100元的计算机,则9年后的价格为( ). A.2400元 B.900元 C.300元 D.3600元 二、填空题 1.比较大小: (1);(2) ______ 1;(3) ______ 2.若,则的取值范围为_________. 3.求函数的单调减区间为__________.

4.的反函数的定义域是__________. 5.函数的值域是__________ . 6.已知的定义域为 ,则的定义域为__________. 7.当时, ,则的取值范围是__________. 8.时,的图象过定点________ . 9.若 ,则函数的图象一定不在第_____象限. 10.已知函数的图象过点 ,又其反函数的图象过点(2,0),则函数的解析式为____________. 11.函数的最小值为____________. 12.函数的单调递增区间是____________. 13.已知关于的方程有两个实数解,则实数的取值范围是_________. 14.若函数(且)在区间上的最大值是14,那么等于 _________. 三、解答题 1.按从小到大排列下列各数: ,,,,,,, 2.设有两个函数与,要使(1);(2),求、的取值范围. 3.已知 ,试比较的大小. 4.若函数是奇函数,求的值. 5.已知,求函数的值域. 6.解方程:

幂级数求和函数方法概括与汇总

幂级数求和函数方法概括与汇总

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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分,它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”,其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆,从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法,即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦,他首先发展了幂级数的概念,对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时,他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪,高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则,使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀,清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今,级数的理论已经发展的相当丰富和完整,在工程实践中有着广泛的应用,级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数,在幂级数理论中,对给定幂级数分析其收敛性,求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少,仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上,求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的,一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解,因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 (一)、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列,则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数,简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

3第一讲__数列的极限典型例题

第一讲 数列的极限 一、内容提要 1.数列极限的定义 N n N a x n n >?N ∈?>??=∞ →,,0lim ε,有ε<-a x n . 注1 ε的双重性.一方面,正数ε具有绝对的任意性,这样才能有 {}n x 无限趋近于)(N n a x a n ><-?ε 另一方面,正数ε又具有相对的固定性,从而使不等式ε<-a x n .还表明数列{}n x 无限趋近于a 的渐近过程的不同程度,进而能估算{}n x 趋近于a 的近似程度. 注 2 若n n x ∞ →lim 存在,则对于每一个正数ε,总存在一正整数N 与之对应,但这种N 不是唯一 的,若N 满足定义中的要求,则取 ,2,1++N N ,作为定义中的新的一个N 也必须满足极限定义中的要求,故若存在一个N 则必存在无穷多个正整数可作为定义中的N . 注3 a x n →)(∞→n 的几何意义是:对a 的预先给定的任意-ε邻域),(εa U ,在{}n x 中至多除去有限项,其余的无穷多项将全部进入),(εa U . 注4 N n N a x n n >?N ∈?>??≠∞ →00,, 0lim ε,有00ε≥-a x n . 2. 子列的定义 在数列{}n x 中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为{}n x 的子列,记为{} k n x ,其中k n 表示k n x 在原数列中的项数,k 表示它在子列中的项数. 注1 对每一个k ,有k n k ≥. 注2 对任意两个正整数k h ,,如果k h ≥,则k h n n ≥.反之,若k h n n ≤,则k h ≤. 注3 K k K a x k n n >?N ∈?>??=∞→,, 0lim ε,有ε<-a x k n . 注4 ?=∞ →a x n n lim {}n x 的任一子列{} k n x 收敛于a . 3.数列有界 对数列{}n x ,若0>?M ,使得对N n >?,有M x n ≤,则称数列{}n x 为有界数列. 4.无穷大量 对数列{}n x ,如果0>?G ,N n N >?N ∈?, ,有G x n >,则称{}n x 为无穷大量,记

最新指数函数典型例题详细解析

精品文档 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如 图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b

解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6

解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 例题4(中档题)

求下列幂级数的和函数(同时指出它们的定义域)解读

.设,0,)(1 >= ∑∞ =-x ne x S n nx 计算?x dt t S 0 )(=__ 1 1 --x e ________ 求下列幂级数的和函数(同时指出它们的定义域); +++++++1 2531 232n x x x x n =_x x -+11ln 21_____ ,定义域为__(-1,1)_______. 求下列各函数的定义域. 11),(22-+-=y x y x f 定义域是_{ 11,11),(-≤≥≤≤-y y x y x 或}________ )sin(),(22y x y x f +=定义域是_{ ππ)12(2),(22+≤+≤n y x n y x }________ )(1),(2 2 2 2 2222r R r z y x z y x R y x f >-+++ ---=定义域是__ {22222 ),,(R z y x r z y x ≤++≤}_______ 在下列积分中改变累次积分的顺序: ? ? ----2 21111),(x x dy y x f dx =__?? ? ?-------+10 11110 1 ),(),(2 2 y y y y dx y x f dy dx y x f dy ________ dy y x f dx dy y x f dx x x ? ?? ? -+)3(21 3 10 1 ),(),(2 =__? ?-y y dx y x f dy 2310 ),(______________ ?? ---x x dy y x f dx 21 4 1 2 6 2),( 求 ??-D dxdy y x xy )(,其中D 由直线围成及10,0==+=-x y x y x 求 ?? D dxdy y x 22 ,其中D 由直线围成及1,2===xy x y x 利用极坐标计算下列积分: ??D xdxdy ax y x D ≤+22 为其中 ??+D dxdy y x 22sin ,其中D 为22224ππ≤+≤y x 证明下列级数的收敛性,并求其和数: (1) ∑∞ =++1 )2)(1(1 n n n n (2) ∑∞ =++-+1 )122( n n n n 利用已知函数的幂级数展开式求下列函数在处的幂级数展开,并确定它收敛于该函数的区间:

考研级数典型例题完美版讲析

内容要点 一, 概念与性质 (一) 概念由数列 u 1,u 2, ,u n , 构成的式子 称为无穷级数,简称为级数 . u n 称为级数的一般项, s n 级数的部分和 二)性质 3, 级数增减或改变有限项,不改变其敛散性 . 4, 若级数收敛,则任意加括号后所成的级数仍收敛 5(收敛的必要条件 ), 若 u n 收敛,则 lim u n 0. n 1 n 注意:若 l n im u n 0.则 u n 必发散. 而若 u n 发散, n n n 1 n n 1 n lim u n 0. n (三) 两个常用级数 1, 等比级数 1, 若 u n 收敛,则 ku n 1 n 1 k u n . n1 2, 若 u n , v n 收敛,则 n1 n 1 u n v n1 u n1 v n . n1 n u i 称为 i1 如果 lim s n s , 则称级数 u n 收敛, s 称为该级数的 和 n1 . 此时记 u n n1 s . 否则称级数发散 则不一定

2, p 级数 二,正项级数敛散性判别法 ( 一 ) 比较判别法 设 u n , v n 均为正项级数,且 u n v n (n 1,2, ), 则 n 1 n1 v n 收敛 u n 收敛; n1 n 1 u n 发散 v n 发散 n1 n 1 ( 二) 极限判别法 如果对 p 1, l n im n p u n l(0 l ), 则 n1u n 则收敛 . ( 三 ) 比值判别法 设 u n 为正项级数,若 n1 二, 交错级数收敛性判别法 莱布尼兹判别法:设 1n 1u n (u n 0)为交错级数,如果满足: n1 1, u n u n 1(n 1,2, )2, lim u n n 则此交错级数收敛 . 三, 任意项级数与绝对收敛 (一) 绝对收敛如果 u n 收敛,则称 u n 绝对收敛 . n 1 n 1 二) 条件收敛如果 u n 收敛,但 u n 发散,则称 u n 条件收 n 1 n 1 n 1 敛. (三) 定理若级数绝对收敛,则该级数必收敛 . 函数项级数 一、主要内容 1、基本概念 函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭 如果 lim nu n l(0 l n ),则 u n 发散; n1

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