配完全平方公式

配完全平方及应用

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【知识要点】

1.配完全平方,即利用公式2222222()2()a b ab a b a b ab a b ++=++-=-及把一个展开了的多项式配成另一个多项式的平方的形式,有些多项式可以刚好配成,则称之为完全平方式.

2.配方的作用一般有：

①求最小值：如果一个式子配成了形如22()()(,.,.)m a b n c d k m n k ++++其中为常数,且m,n 同正的形式，则其可取的最小值为k .

②降次：将一个复杂的等量关系本转化为几个简单的等量关系，如一个复杂的多项式可以配成形如22()()0(.),0,0m a b n c d m n a b c d +++=+=+=为常数,且m,n 同号则可以得出．

3.配方的方法就在于利用两项来确定第三项来配（如有22

a b +了则第三项一定是2ab 或2ab -，有了22a ab +或22a ab -则第三项一定是2b ）．不过，在某些较为复杂的题目中，还需要利用一些分拆的技巧，需要注意．

【课前热身】

1．填空：x 2+( )+

41=( )2； 4x 2+12xy+( ) =( )2； 2

1x 2-6xy+( ) =( )2； 2x 2+( )+18y 2 =( )2； 2．如果(x+y)2

—4(x+y)+4=0，则x+y=_____________ 3．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________

4．已知2216x ax ++是一个完全平方式，则a 的值等于

5．如果4x 2—axy+9y 2

是一个完全平方式，则a 的值是 【典型例题】

例1．（1）已知0122

=--a a ，求841a a +的值． （2）已知()21a b +=，()225a b -=．求22a b ab ++．

例2．当a ,b 为何值时，多项式22

4618a b a b +-++有最小值？并求出这个最小值。

例3．求多项式222451213x xy y y -+-+的最小值。

例4．已知x 、y 满足不等式2x 2+3y 2+5≤4x+6y,求x+y 的值.

例5．若a 、b 、c 为正数，且满足444222222,a b c a b b c c a ++=++那么a 、b 、c 之间有什么关系？为什么？

【经典练习】

1．已知(x+y)2-2x-2y+1=0，则x+y=__________

2．如果x 2+y 2-2x+6y+10=0，则x+y=

3．如果22530a ab m -+是一个完全平方式，那么m = 。

4.将下列各式配成完全平方与一个常数的和。

（1）23x x -+ （2）2459x x +-

5.如果(a 2+b 2)(a 2+b 2-6)+9=0，求a 2+b 2

6.（1）如果x 2+y 2-4x-6y+13=0，求xy （2）已知044452

2=+--+b ab b a ，求a+b

7．已知的值则ca bc ab c b a c b b a ---++=--=-222,5,2。

8．已知2224222

1,032y y xy x x y x ++--=--求

的值。

9．可取的最小值为多少则若222,3

2211z y x z y x ++-=+=

-？

10（思考题）．若1003722=+b a ，1007322=+d c ，10037=+bc ad ，求c

d b a -的值.

课后作业

1．计算：

（1）222)2131(y x +- （2）22)23

1()231(y x y x --+-

2．将下列各式配成完全平方与一个常数的和。

(1)324

12++x x (2)7642++x x

(3)1362++x x (4)1152+-x x