【2014上海松江一模】上海市松江区2014届高三上学期元月期末(一模)考试数学(理)试题Word版含答案
松江区2013学年度第一学期高三期末考试
数学(理科)试卷
(满分150分,完卷时间120分钟) 2014.1
一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直
接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1.若函数1()1f x x =-(1)x ≠的反函数为1()f x -,则11
()2
f -= ▲ . 2.若1
42
0x
x +-=,则x = ▲ .
3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为:9.7,9.9,10.1,
10.2,10.1,则这组数据的方差为 ▲ .
4.如图,正六边形ABCDEF 的边长为1,则AC DB ?=
▲ .
5.已知{}n a 为等差数列,其前n 项和为n S .若11a =,35a =,
64n S =,则n = ▲ .
6.将直线1l :30x y +-=绕着点(1,2)P 按逆时针方向旋转45?后得到直线2l ,则2l 的方程为 ▲ . 7.执行如图所示的程序框图,输出的S = ▲ . 8.记1)1(++n n x a 为的展开式中含1-n x 项的系数,则
12111
lim(
)n n
a a a →∞
+++= ▲ . 9.若圆2
2
2
(0)x y R R +=>和曲线||||
134
x y +=恰有六个公共点,则R 的值是 ▲ .
10.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ,从{1,2,3}中随
机选取一个数b ,则关于x 的方程2
2
20x ax b ++=有两个虚根的概率是 ▲ . 11.对于任意实数x ,x 表示不小于x 的最小整数,如1.22,0.20=-=.定义在R 上的函数()2f x x x =+,若集合{}
(),10A y y f x x ==-≤≤,则集合A 中所有元素的和为 ▲ .
12.设12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若
126PF PF a +=,且12PF F ?的最小内角为30 ,则C 的渐近线方程为 ▲ .
13.已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠,若1234x x x x <<<, 且12()()f x f x =34()()f x f x ==,则
1234
1111
x x x x +++= ▲ .
14.设集合{1,2,3,,}A n = ,若B ≠?且B A ?,记()G B 为B 中元素的最大值与最小值之和,则对所有的B ,()G B 的平均值= ▲ .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在
答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.某市共有400所学校,现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本,调查学生课外阅读的情况.把这400所学校编上1~400的号码,再从1~20中随机抽取一个号码,如果此时抽得的号码是6,则在编号为21到40的学校中,应抽取的学校的编号为 A .25 B .26 C .27 D .以上都不是 16.已知b a <<0,且1a b +=,则下列不等式中,正确的是 A .0log 2>a B .212
<-b
a C .2log log 22-<+
b a D .2
12
<
+a
b b a 17.已知函数2sin ()cos 2cos x
m
f x x x
=的图像关于直线8
x π
=
对称,则()f x 的单调递增区间
为
A .3[,]()88k k k Z ππππ-
+∈ B .3[,]()
88k k k Z ππ
ππ-+∈ C .3[2,2]()44k k k Z ππππ-+∈ D .3[2,2]()44
k k k Z ππ
ππ-+∈
18.已知实数0,0a b >>,对于定义在R 上的函数)(x f ,有下述命题:
①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”; ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”; ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈,都有()()f x a f x -=-”; ④ “函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是 A .①② B .②③ C .①④ D .③④
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分
已知集合{11}A x x =-≤,2
2
{430,0}B x x ax a a =-+≤≥ (1)当1=a 时,求集合B A ;
⑵若B B A = ,求实数a 的取值范围.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
过椭圆1222
=+y x 的左焦点1F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点.
⑴求1AO AF ?
的范围;
⑵若OA OB ⊥
,求直线l 的方程.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
如图,相距200海里的A 、B 两地分别有救援A 船和B 船.在接到求救信息后,A 船能立即出发,B 船因港口原因需2小时后才能出发,两船的航速都是30海里/小时.在同时收到求救信息后,A 船早于B 船到达的区域称为A 区,否则称为B 区.若在A 地北偏东45?方
向,距A 地海里处的M 点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移. ⑴求A 区与B 区边界线(即A 、B 两船能同时到达的点的轨迹)方程; ⑵问:
①应派哪艘船前往救援?
②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇?(精确到0.1小时)
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分5分,第2小题满分5分,第3
小题满分6分
已知函数2
()(1)||f x x x x a =+--. ⑴若1a =-,解方程()1f x =;
⑵若函数()f x 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围;
⑶是否存在实数a ,使不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立?若存在,求出a 的取值范围,若不存在,请说明理由.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3
小题满分8分
对于数列{}n A :123,,,,n A A A A ,若不改变1A ,仅改变23,,,n A A A 中部分项的符号,得到的新数列{}n a 称为数列{}n A 的一个生成数列.如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,2,3,4,5--.
已知数列{}n a 为数列1{}()2
n n N *
∈的生成数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和. ⑴写出3S 的所有可能值; ⑵若生成数列{}n a 满足: 311
(1)78
n n S =
-,求{}n a 的通项公式; ⑶证明:对于给定的n N *
∈,n S 的所有可能值组成的集合为:
121
{|,,2}2
n n
m x x m N m *--=
∈≤.
松江区2013学年度第一学期高三期末考试
数学(理科)试卷参考答案
2014.1
一、填空题
1. 3 2. 1
3.0.032 4.3
2
-
5.8 6. 2y = 7.102 8. 2
9. 3 10.1
5
11.-4 12
.y = 13.2 14. 1n +
二、选择题
15.B 16. C 17.A 18.A
三、解答题 19.解:
(1)由11x -≤, 得02x ≤≤,所以[0,2]A =…… 2分
当1=a 时, 2
4{30}x x B x -+≤={}
13x x =≤≤,……………………… 4分 ∴[1,2]A B = ……………………… 6分 (2) 0a ≥ , ∴[]a a B 3,=, ………………………7分 若B B A = ,则A B ?, ……………………… 8分 ∴032
a a ≥??
≤? 即2
[0,]3a ∈ ………………………12 分
20.
解:(1)易知1,1,2===
c b a ∴)0,1(1-F , ……………1分
设),(11y x A ,则22
1111AO AF x x y ?=++ ……………………… 3分
∵12
2
12
1=+y x
∴2222
11111111111(1)222AO AF x x y x x x ?=++=++=++ ………………5分
∵]2,2[1-∈x
∴11
[2]2
AO AF ?∈ , ……………………… 6分
(2)设A 、B 两点的坐标为11(,)A x y 、22(,)B x y
①当l 平行于y
轴时,点(1,2A -、(1,)2B --,此时102
OA OB ?=≠ ……8分 ②当l 不平行于y 轴时,设直线l 的斜率为k ,则直线l 方程为(1)y k x =+, 由22
(1)12
y k x x y =+???+=?? 得 2222
(12)4220k x k x k +++-= ………………… 9分 2122412k x x k +=-+,2122
22
12k x x k -=+ ………………… 11分 22212121212(1)()OA OB x x y y k x x k x x k ?=+=++++
=22
222(1)12k k k -+?+2222
401
k k k -?+= 得 2
2k =,k = 13分 故所求的直线方程为1)y x =+ ………… 14分
21.
解:⑴设点P 为边界线上的点,由题意知
23030
PA PB =+,即60PA PB -=, 即动点P 到两定点A 、B 的距离之差为常数,
∴点P 的轨迹是双曲线中的一支。 ……… …………… 3分
由2200,260c a ==得30a =,222100309100b =-=
∴方程为22
19009100
x y -=(0x >) ………………… 6分
⑵①M 点的坐标为(50,150)M ,A 点的坐标为(100,0)A -,B 点的坐标为(100,0)B ,
∴150212.1
MA =≈
,158.1MB =
≈,
212.1158.15460MA MB -=≈-=<,∴点M 在A 区,又遇险船向正北方向漂移,,即
遇险船始终在A 区内,∴应派A 船前往救援 …………………8分
②设经t 小时后,A 救援船在点N 处与遇险船相遇。在AMN ?
中,AM =,10,30,135MN t AN t AMN ==∠=? ………………… 9分
∴2
2
2
(30)(10)210t t t =+-??? 整理得24152250t t --=,
解得159.6068t +=≈
或158
t -=(舍) ………………… 13分
∴A 救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇. …………………14分
22.
解:(1)当1a =-时,2
()(1)|1|f x x x x =+-+, 故有,
221,1()1,
1x x f x x ?-≥-=?<-?, …………………2分
当1x ≥-时,由()1f x =,有2
211x -=,解得1x =或1x =-…………………3分 当1x <-时,()1f x =恒成立 …………………4分 ∴ 方程的解集为{|11}x x x ≤-=或 …………………5分 (2)22(1),()(1),x a x a x a
f x a x a x a ?-++≥=?+-
, …………………7分
若()f x 在R 上单调递增,则有 1
4
10
a a a +?≤?
??+>?, 解得,13a ≥ …………………9分 ∴ 当1
3
a ≥时,()f x 在R 上单调递增 ……………10分
(3)设()()(23)g x f x x =--
则22(3)3,()(1)3,
x a x a x a
g x a x a x a ?-+++≥=?--+ …………………11分
不等式()23f x x ≥-对一切实数x R ∈恒成立,等价于不等式()0g x ≥对一切实数x R ∈恒成立.
①若1a >,则10a -<,即201a <-,取02
1x a
=
-,此时0(,)x a ∈-∞ 022
()()(1)31011g x g a a a a a
==-?-+=-<--,
即对任意的1a >,总能找到02
1x a
=-,使得0()0g x <,
∴不存在1a >,使得()0g x ≥恒成立. …………………12分
②若1a =,2244,1
()2,1x x x g x x ?-+≥=?
,()g x 值域[2,)+∞,
所以()0g x ≥恒成立. …………………13分 ③若1a <,
当(,)x a ∈-∞时,()g x 单调递减,其值域为2
(23,)a a -++∞,
由于2
2
23(1)22a a a -+=-+≥,所以()0g x ≥成立. 当[,)x a ∈+∞时,由1a <,知34a a +<
, ()g x 在3
4
a x +=处取最小值, 令2
3(3)()3048
a a g a ++=+-≥,得35a -≤≤,又1a <,所以31a -≤<……15分
综上,[3,1]a ∈-. …………………16分
23.
(1)由已知,112a =,1||(,2)2
n n a n N n *
=∈≥, ∴2311
,48
a a =±=± ……………………………………2分
由于1117111511131111,,,2488248824882488
++=+-=-+=--=
∴3S 可能值为1357
,,,8888
. …………………4分
(2)∵311(1)78
n n S =
-, 当1n =时,1233111
(1)788
a a a S ++==-=, …………………5分 当2n ≥时,32313333111111
(1)(1)78788
n n n n n n n n a a a S S ----++=-=---= ……6分
∵{}n a 是1()2n n N *??
∈?
???
的生成数列 ∴323212n n a --=±
;31311
2n n a --=±
;3312n n
a =±
;
∴323133231311111(421)(),22288
n n n n n n n n a a a n N *
----++=±±±=±±±=∈ ……8分
在以上各种组合中, 当且仅当32313421,,()888
n n n n n n a a a n N *
--=
=-=-∈时,才成立。……………9分 ∴1
,322,1,322n
n n
n k a k N n k *?=-??=∈?
?-≠-?? ………………10分 (3)证法一:用数学归纳法证明:
①1n =时, 11
2
S =,命题成立。 ………………………………11分 ②假设(1)n k k =≥时命题成立,即k S 所有可能值集合为:
1
21{|,,2}2k k
m x x m N m *--=∈≤ 由假设,k S =121
(,2)2
k k
m m N m *--∈≤ ………………………………13分 则当1n k =+,1123111
21111111
2222222
k k k k k k k k S S S +++++±=±±±±±=±= 1
111
212(21)122k k k k k S m S ++++±-±==1
(,2)k m N m *-∈≤………………………………15分 即112(21)12k k m S ++?--=或11
2(2)12k k m S ++?-=1
(,2)k m N m *-∈≤ 即11212
k k m S ++-= (,2)k
m N m *∈≤ ∴1n k =+时,命题成立 ……17分
由①②,n N *∈,n S 所有可能值集合为1
21{|,,2}2
n n
m x x m N m *--=∈≤。……18分
证法二:
231111
2222n n S =
±±±± 共有12n -种情形。 23231111111122222222n n n S ----≤≤++++ 即12122
n n n n
S -≤≤ ………………………………12分 又11322212n n n n n S ---±±±±= ,分子必是奇数,满足条件121
222n n n n
x -≤≤的奇数x 共有
12n -个。 ………………………………14分
设数列{}n a 与数列{}n b 为两个生成数列,数列{}n a 的前n 项和n S ,数列{}n b 的前n 项和n T ,从第二项开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第k 项。
由于1
||||2
k k k a b ==,不妨设0,0k k a b ><,则
11121111
()()22()
2222
n n k k n k k n k k k n S T a a a b b b ++++-=+++-+++≤?-?+++ 11111
22()02222
k k n n -=?-?-=>
所以,只有当数列{}n a 与数列{}n b 的前n 项完全相同时,才有n n S T =。……………16分
∴2311112222
n n S =±±±± 共有1
2n -种情形,其值各不相同。
∴n S 可能值必恰为13521,,,,2222n n n n n - ,共1
2n -个。
即n S 所有可能值集合为121
{|,,2}2
n n
k x x k N k *--=∈≤ …………………………18分