导数单元专项练习
导数单元专项练习
一．选择题（共12小题）
1．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，
，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）
A．B．（）C．（，1）D．（，1）
2．曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）
A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣，+∞）D．[﹣，+∞）
3．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，
则a的取值范围是（）
A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）
5．若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线：①x2﹣y2=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x2﹣|x|；④|x|+1=，存在自公切线的是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
6．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（）
A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（0，e）
7．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）
8．已知函数满足f′（x）＞f（x），则f（1）与ef（0）的大小关系为（）
A．f（1）=ef（0） B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞ef（0）D．不能确定
9．已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（）
A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1
10．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
11．要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
12．函数y=sin（2x2+x）导数是（）
A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）
C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）
二．解答题（共10小题）
13．已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．14．已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．
15．已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．
（1）求a的取值范围；
（2）设g（x）=e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．
16．已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，求a的值以及切线方程；
（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
17．设函数f（x）=xe a﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
18．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．19．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调性．
20．已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．
21．已知函数f（x）=x2+lnx
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方．
22．已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．（2016?宜春二模）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）
A．B．（）C．（，1） D．（，1）
【分析】根据题目给出的定义可得f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，即方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两
个解，利用二次函数的性质可知实数a的取值范围．
【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x
在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），
满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，
∵f（x）=x3﹣x2+a，
∴f′（x）=3x2﹣2x，
∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．
令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）
则，
解得；．
∴实数a的取值范围是（，1）
故选：C
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题
2．（2016春?邯郸期中）曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是（）
A．[，+∞）B．（，+∞）C．（﹣，+∞）D．[﹣，+∞）
【分析】先求导函数，进而可确定导函数的范围，利用导数的几何意义，可求曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围
【解答】解：由题意，f（x）=x3﹣x+2，∴
∴曲线y=x3﹣x+2上的任意一点P处切线的斜率的取值范围是，
故选D．
【点评】本题以函数为载体，考查导数的几何意义，解题的关键是求导函数，并确定函数的值域
3．（2014?西藏一模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用导数的几何意义，列出关于斜率的等式，进而得到切点横坐标．
【解答】解：已知曲线的一条切线的斜率为，∵=，
∴x=1，则切点的横坐标为1，
故选A．
【点评】函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率．应熟练掌握斜率与导数的关系．4．（2014?上海二模）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒
成立，则a的取值范围是（）
A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）
【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2
恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．
【解答】解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立
则当x＞0时，f'（x）≥2恒成立
f'（x）=+x≥2在（0，+∞）上恒成立
则a≥（2x﹣x2）max=1
故选D．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．
5．（2014?南靖县校级模拟）若在曲线f（x，y）=0（或y=f（x））上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线线f （x，y）=0（或y=f（x））的自公切线，下列方程的曲线：①x2﹣y2=1；②y=3sinx+4cosx；③y=x2﹣|x|；④|x|+1=，存在自公切线的是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】通过画出函数图象，观察其图象是否满足在其上图象上是否存在两个不同点处的切线重合，从而确定是否存在自公切线，从而得到结论．
【解答】解：x2﹣y2=1为等轴双曲线，不存在自公切线，故①不存在；函数y=3sinx+4cosx的一条自公切线为y=5，故②存在；
函数y=x2﹣|x|的图象如下左图显然满足要求，故③存在；对于方程|x|+1=，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故④不存在．
故选C．
【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及新定义自公切线，题目比较新颖，解题的关键是理解新的定义，同时考查了数形结合的思想，属于中档题．
6．（2016?延安校级二模）已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f （lnx）＞3lnx+1的解集为（）
A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（0，e）
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论
【解答】解：设t=lnx，
则不等式f（lnx）＞3lnx+1等价为f（t）＞3t+1，
设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，
则g′（x）=f′（x）﹣3，
∵f（x）的导函数f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，
则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，
即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0，
即不等式f（x）＞3x+1的解为x＜1，
即f（t）＞3t+1的解为t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（0，e），
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．
7．（2016?荆州模拟）设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（）
A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2012，0） C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）
【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．
【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），
得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，
即[x2f（x）]′＜x3＜0，
令F（x）=x2f（x），
则当x＜0时，
得F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2），
即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＞0，
∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数，
∴由F（x+2014）＞F（﹣2）得，x+2014＜﹣2，
即x＜﹣2016，
故选：C．
【点评】本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．（2016?聊城校级模拟）已知函数满足f′（x）＞f（x），则f（1）与ef（0）的大小关系为（）A．f（1）=ef（0）B．f（1）＜ef（0）C．f（1）＞ef（0）D．不能确定
【分析】引入辅助函数g（x），在函数解析式中取x等于0和1求出g（1）和g（0），然后把函数g（x）求导判断其单调性，运用函数的单调性即可得到正确结论．
【解答】解：令，则f（1）=eg（1），ef（0）=eg（0），
而=，因为f′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，
所以函数g（x）为增函数，所以g（1）＞g（0），故f（1）＞ef（0）．
故选C．
【点评】本题考查了导数的运算，考查了不等关系和不等式，训练了利用导函数判断函数单调性的方法，是中档题．9．（2012春?宿松县校级期末）已知函数f（x）=sinx+lnx，则f′（1）的值为（）
A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1
【分析】求函数在某点处的导数值，先求导函数
【解答】解：因为f′（x）=cosx+，则f′（1）=cos1+1．
故选B．
【点评】本题主要考查导数加、减法的运算法则
10．（2014春?黄山期末）f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）=0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【分析】构造函数h（x）=f（x）g（x），由已知得到当x＜0时，h′（x）＜0，所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得到函数y=h（x）为R上的奇函数，得到函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，画出函数h（x）的草图，结合图象得到不等式的解集．
【解答】解：设h（x）=f（x）g（x），
因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
所以当x＜0时，h′（x）＜0，
所以函数y=h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以函数y=h（x）为R上的奇函数，
所以函数y=h（x）在（0，+∞）单调递减，
因为f（﹣1）=0，
所以函数y=h（x）的大致图象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
故选A．
【点评】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于基础题．11．（2014?榆林模拟）要得到函数的导函数f′（x）的图象，只需将f（x）的图象（）
A．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
B．向左平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的2倍（横坐标不变）
C．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
D．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
【分析】由题意可得f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]，而由y=sin（2x+）
y=2sin[2（x+）+]=f′（x），分析选项可判断
【解答】解：∵的导函数f'（x）=2cos（2x+）==2sin[2（x+）+]
而由y=sin（2x+）y=2sin[2（x+）+]=f′（x）
故选D
【点评】本题主要考查三角函数的平移．复合函数的求导的应用，三角函数的平移原则为左加右减上加下减．12．（2010?永州校级模拟）函数y=sin（2x2+x）导数是（）
A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x）
C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x）
【分析】设H（x）=f（u），u=g（x），则H′（x）=f′（u）g′（x）．
【解答】解：设y=sinu，u=2x2+x，
则y′=cosu，u′=4x+1，
∴y′=（4x+1）cosu=（4x+1）cos（2x2+x），
故选C．
【点评】牢记复合函数的导数求解方法，在实际学习过程中能够熟练运用．
二．解答题（共10小题）
13．（2016春?牡丹江校级期末）已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，其中m＜0
（1）若f（x）的单调增区间是（0，1），求m的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．
【分析】（1）已知函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1其中m＜0，对其进行求导，因为f（x）的单调增区间是（0，1），说明f′（x）≥0，在（0，1）上恒成立，从而求出m的值；
（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（﹣1≤x≤1）图象上任意一点，切线斜率K=f′（x）=3m﹣6（m+1）x0+（3m+6）＞3m，将问题转化为3m﹣6（m+1）x0+6＞0在x0∈[﹣1，1]，m＜0）则（g（x0））min＞0，再利用导数研究函数的
最值问题，求m的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+（3m+6）x+1，m＜0，
f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）（m＜0）
因为f（x）的增区间是（0，1）
则f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+（3m+6）＞0的解集为（0，1）
所以f′（0）=3m+6=0，f′（1）=3m﹣6（m+1）+3m+6=0
解得m=﹣2 （4分）
（2）设M（x0，y0）为y=f（x）（﹣1≤x≤1）图象上任意一点
切线斜率K=f′（x）=3m﹣6（m+1）x0+（3m+6）＞3m，
即3m﹣6（m+1）x0+6＞0在x0∈[﹣1，1]，m＜0）
设g（x0）=3m﹣6（m+1）x0+6，则g（﹣1）＞0且g（1）＞0，
即3m+6（m+1）+6＞0解得m＞﹣，又3m﹣6（m+1）+6＞0解得m＜0，∴
综上所述：m的取值范围：（﹣，0）．
【点评】此题主要利用导数研究函数的单调性及其最值问题，第二问用到了转化的思想，这是一道综合性比较强的题，为一道中档题；
14．（2015?沈阳模拟）已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．
【分析】（1）将M的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为﹣1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值．
（2）求出f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]?（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝），列出端点的大小，求出m的范围．
【解答】解：（1）∵f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式…（1分）
f'（x）=3ax2+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分）
由条件②式…（5分）
由①②式解得a=1，b=3
（2）f（x）=x3+3x2，f'（x）=3x2+6x，
令f'（x）=3x2+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）
∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增
∴[m，m+1]?（﹣∝，﹣2]∪[0，+∝）
∴m≥0或m+1≤﹣2
∴m≥0或m≤﹣3
【点评】注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为﹣1．
15．（2015?衡阳县校级一模）已知函数f（x）=x2+lnx﹣ax在（0，1）上是增函数．
（1）求a的取值范围；
（2）设g（x）=e2x﹣ae x﹣1，x∈[0，ln3]，求g（x）的最小值．
【分析】（1）求出导函数，据导函数的符号与函数单调性的关系，令导函数大于等于0恒成立，分离出a，利用基本不等式求出函数的最小值，令a小于等于最小值即可得到a的范围．
（2）通过函数将函数转化为二次函数，通过对对称轴与定义域位置关系的讨论，分情况求出函数的最小值．
【解答】解：（1），
∵f（x）在（0，1）上是增函数，∴在（0，1）上恒成立，
即恒成立，
∴只需即可．
∴（当且仅当时取等号），
∴
（2）设e x=t，∵x∈[0，ln3]，∴t∈[1，3]．
设，
其对称轴为，由（1）得，
∴
则当，即时，h（t）的最小值为
当，即a＜2时，h（t）的最小值为h（1）=﹣a
所以，当时，g（x）的最小值为，
当a＜2时，g（x）的最小值为﹣a
【点评】解决函数的单调性已知求参数的范围问题，常求出导函数，令导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立问题常分离参数转化为求函数的最值；通过换元法解题时，一定注意新变量的范围．
16．（2013?铁岭模拟）已知函数f（x）=x﹣ax2﹣lnx（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，求a的值以及切线方程；
（2）若f（x）是单调函数，求a的取值范围．
【分析】（1）先求函数f（x）的导数，再根据导数的几何意义列式求出a值，最后再根据直线的方程写出切线的方程即可．
（2）对函数求导，要讨论函数的单调性，只要讨论a的范围再判断f′（x）的符号即得．
【解答】解：（1）f′（x）=1﹣2ax﹣．…（2分）
由题设，f′（1）=﹣2a=﹣2，a=1，
此时f（1）=0，切线方程为y=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣2=0．…（5分）
（2）f′（x）=﹣，
令△=1﹣8a．
当a≥时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…（10分）
当0＜a＜时，△＞0，方程2ax2﹣x+1=0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1＜x2，
则当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＜0，当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，
这时f（x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[，+∞）．…（12分）
【点评】本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调性，导数的几何意义在切线的求解中的应用，属于中档试题
17．（2016?北京）设函数f（x）=xe a﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（Ⅱ）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，
同时f′（2）=e﹣1，
∵f（x）=xe a﹣x+bx，
∴f′（x）=e a﹣x﹣xe a﹣x+b，则，即a=2，b=e；
（Ⅱ）∵a=2，b=e；
∴f（x）=xe2﹣x+ex，
∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，
f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，
由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，
即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，
∴f′（x）＞0恒成立，
即函数f（x）是增函数，
即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）．
【点评】本题主要考查导数的应用，根据导数的几何意义，结合切线斜率建立方程关系以及利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．
18．（2016?白银模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有成立．
【分析】（I）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，构造函数h（x）=2lnx+x+，则a≤h min（x），进而得到实数a的取值范围；
（Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），都有成立，即，结合（1）中结论可知lnx?x≥，构造新函数m（x）=，分析其最大值，可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜．
从而f（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增．
所以，当x=时，f（x）取得最小值﹣．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，
设h（x）=2lnx+x+，
则h′（x）=+1﹣==
∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=4
故a≤4
即实数a的取值范围为（﹣∞，4]
证明：（III）若则，由（I）得：lnx?x≥，当且仅当x=时，取最小值；
设m（x）=，则m′（x）=，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
故当x=1时，m（x）取最大值故对一切x∈（0，+∞），都有成立．
【点评】本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，熟练掌握导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键．
19．（2016春?乐山校级期中）已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调性．
【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=ax2+blnx，知，由f（x）在x=1处有极值，知，由
此能求出a，b的值．
（Ⅱ）由f（x）=，其定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣=．列表讨论，能求出函数f（x）
的单调区间．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2+blnx，
∴，
∵f（x）在x=1处有极值，
∴，解得a=，b=﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=，其定义域为（0，+∞），
且f′（x）=x﹣=．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
∴函数f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+∞）．
【点评】本题考查函数解析式的求法，考查函数的单调区间的求法，考查推理能力，考查运算能力，解题时要注意等价转化思想的合理运用．
20．（2016?永州模拟）已知函数，g（x）=x+lnx，其中a＞0．
（1）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（2）若对任意的x1，x2∈[1，e]（e为自然对数的底数）都有f（x1）≥g（x2）成立，求实数a的取值范围．
【分析】（1）通过、x=1是函数h（x）的极值点及a＞0，可得，再检验即可；
（2）通过分析已知条件等价于对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．结合当x∈[1，e]时及
可知[g（x）]max=g（e）=e+1．
利用，且x∈[1，e]，a＞0，分0＜a＜1、1≤a≤e、a＞e三种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵，g（x）=x+lnx，
∴，其定义域为（0，+∞），
∴．
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h′（1）=0，即3﹣a2=0．
∵a＞0，∴．
经检验当时，x=1是函数h（x）的极值点，
∴；
（2）对任意的x1，x2∈[1，e]都有f（x1）≥g（x2）成立等价于
对任意的x1，x2∈[1，e]都有[f（x）]min≥[g（x）]max．
当x∈[1，e]时，．
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数．
∴[g（x）]max=g（e）=e+1．
∵，且x∈[1，e]，a＞0．
①当0＜a＜1且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是增函数，
∴．
由1+a2≥e+1，得a≥，
又0＜a＜1，∴a不合题意；
②当1≤a≤e时，
若1≤x＜a，则，若a＜x≤e，则．
∴函数在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数．
∴[f（x）]min=f（a）=2a．
由2a≥e+1，得a≥，又1≤a≤e，∴≤a≤e；
③当a＞e且x∈[1，e]时，，
∴函数在[1，e]上是减函数．
∴．
由≥e+1，得a≥，
又a＞e，∴a＞e；
综上所述：a的取值范围为．
【点评】本题是一道关于导数的综合题，考查极值、最值等基本知识，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（2016?金凤区校级二模）已知函数f（x）=x2+lnx
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值，最小值；
（2）求证：在区间[1，+∞）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方．
【分析】（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；
（2）构造函数设F（x）=x2+lnx x3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）＜F（1）=0可证．
【解答】解：（1）由f（x）=x2+lnx有f′（x）=x+（2分）
当x∈[1，e]时，f′（x）＞0∴f（x）max=f（e）=e2+1，f（x）min=f（1）=（6分）
（2）设F（x）=x2+lnx﹣x3，
则F′（x）=x+﹣2x2=
当x∈[1，+∞）时，F′（x）＜0，
且F（1）=﹣＜0故x∈[1，+∞）时F（x）＜0∴x2+lnx＜x3，得证（12分）
【点评】本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，转化为研究函数的单调性．
22．（2016?揭阳校级模拟）已知函数f（x）=lnx﹣mx+m，m∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，．
【分析】（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间，可先求出，再解出函数的单调区
间；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，可利用导数研究函数的单调性确定出函数的最大值，令最大值小于等于0，即可得到关于m的不等式，解出m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，任意的0＜a＜b，可先代入函数的解析式，得出
再由0＜a＜b得出，代入即可证明出不等式．
【解答】解：（Ⅰ）
当m≤0时，f′（x）＞0恒成立，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；…2分
当m＞0时，由
则，则f（x）在上单调递增，在上单调递减．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：当m≤0时显然不成立；
当m＞0时，只需m﹣lnm﹣1≤0即….6分
令g（x）=x﹣lnx﹣1，
则，函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴g（x）min=g（1）=0．则若f（x）≤0在x∈（0，+∞）上恒成立，m=1．…8分
（Ⅲ）
由0＜a＜b得，
由（Ⅱ）得：，则，则原不等式成立．…12分
2020高考文科数学：函数与导数主观题专项练习
函数与导数主观题专项练习 1．[2018·北京卷]设函数f (x )＝[ax 2 －(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，求a ； (2)若f (x )在x ＝2处取得极小值，求a 的取值范围． 解析：(1)因为f (x )＝[ax 2 －(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ， 所以f ′(x )＝[ax 2 －(2a ＋1)x ＋2]e x . 所以f ′(1)＝(1－a )e. 由题设知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0，解得a ＝1. 此时f (1)＝3e≠0. 所以a 的值为1. (2)由(1)得f ′(x )＝[ax 2 －(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x . 若a >12，则当x ∈? ????1a ，2时，f ′(x )<0； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝2处取得极小值． 若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤1 2x －1<0， 所以f ′(x )>0. 所以2不是f (x )的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是? ?? ??12，＋∞. 2．[2019·安徽省安庆市高三模拟]已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性； (2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0. 解析：解法一 (1)f ′(x )＝e x －a (x >0)， ①若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②若a >0，则当0
(完整word版)第一章导数及其应用测试题(含答案)
第一章导数及其应用测试题 一、 选择题 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 2 2sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π e 8．积分 =-? -a a dx x a 22（ ）．
高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)
高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点．
5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 《导数及其应用》强化训练试题 一、选择题 1．已知2)(x x f =，，则=')3(f = ( C ) A 0 B x 2 C 6 D 9 2.满足()()1 0f x dx f a =?，其中的函数()21f x x =+，则a 的值是（ B ） A 112-或 B 12 C 13 D 113 -或 3.曲线()ln 32y x =-在点（1，0）处的切线方程是（ C ） A 74y x =+ B 72y x =+ C 33y x =- D 2y x =- 4．函数f (x )＝3x 3－x 的极大值、极小值分别是（ D ） A 1，－1 B 132，612 - C 1，－17 D 29，29- 5．()2402cos 1x dx π -=? ( A ) A 12 B 1 C 12 - D －1 6. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 ( C ) A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3 -∞ 7．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ A ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 8．已知函数()y xf x '=的图象如图1所示，则函数y=f (x)的图象可能为 （ C ） 二、填空 9.某物体做直线运动，其运动规律是()2v t t =- ( t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在[]1,4 上的路程为 3/2 . 10. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程是__4x-y-3=0__ 函数与导数专题1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）： 考点一：导数几何意义： 角度一 求切线方程 1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′? ?? ?? π4，f ′(x )是f (x ) 的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( ) A ．3x －y －2＝0 B ．4x －3y ＋1＝0 C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0 解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝ f ′? ?? ??π4＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 角度二 求切点坐标 2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(1，－1) C ．(1,3) D ．(1,0) 解析：选C 由题意知y ′＝3 x ＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)． 角度三 求参数的值 3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋7 2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( ) （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组]及答案 一、选择题 1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α 2．若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象是（ ） 3．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的 取值范围是（ ） A ．),3[]3,(+∞--∞ B ．]3,3[- C ．),3()3,(+∞--∞ D ．)3,3(- 4．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ） A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C. (0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +> 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示， 则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、填空题 1．若函数()()2 f x x x c =-在2x =处有极大值，则常数c 的值为_________； 2．函数x x y sin 2+=的单调增区间为 。 3．设函数())(0)f x ??π=+<<，若()()f x f x '+为奇函数，则?=__________ 4．设3 2 1()252 f x x x x =- -+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的 取值范围为 。 5．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则 数列1n a n ?? ? ?+?? 的前n 项和的公式是 三、解答题 1．求函数3(1cos 2)y x =+的导数。 2．求函数y = 3．已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2 3 x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间 (2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围。 4．已知23()log x ax b f x x ++=,(0,)x ∈+∞，是否存在实数a b 、,使)(x f 同时满足下列 两个条件：（1）)(x f 在(0,1)上是减函数，在[)1,+∞上是增函数；（2）)(x f 的最小值是1，若存在，求出a b 、，若不存在，说明理由. （数学选修1-1）第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 一、选择题 1．A ' ' ()sin ,()sin f x x f αα== 导数专项训练 例题讲解 【1】导数的几何意义及切线方程 1．已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是________. 2. 曲线y =3x -x 3上过点A （2,-2）的切线方程为___________________. 3. 曲线x y 1 =和2x y =在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 ． 4．若直线y =kx -3与曲线y =2ln x 相切,则实数k =_______. 5．已知直线2+=x y 与曲线()a x y +=ln 相切,则a 的值为 _______. 6. 等比数列{}n a 中,120121,9a a ==,函数122012()()() ()2f x x x a x a x a =---+,则 曲线 ()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为_____________. 7．若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点,则点P 到直线y=x-2的最小距离为________. 8. 若点P 、Q 分别在函数y =e x 和函数 y =ln x 的图象上,则P 、Q 两点间的距离的最小值是_____. 9. 已知存在实数a ,满足对任意的实数b ,直线y x b =-+都不是曲线 33y x ax =-的切线,则实数a 的取值范围是_________. 10. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根,则实数k 的取值范围是_____________. 11. 函数f (x)=ax 2+1(a >0),g (x )=x 3+bx .若曲线y =f (x )与曲线y =g(x ) 在它们的交点(1, c )处具有公 共切线,则c 的值是___________. 【2】常见函数的导数及复合函数的导数 1．f(x)=2 , 则f ’(2) =______. 2. 设曲线y =ln 1 x x +在点(1, 0)处的切线与直线x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝_______. 3．函数333()(1)(2) (100)f x x x x =+++在1x =-处的导数值为___________. 4. 已知函数f (x )在R 上满足f (x )=2f (2-x )-x 2+8x -8,则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线方程是____________. 5. 若函数()1*()n f x x n N +=∈的图像与直线1x =交于点P ，且在点P 处的切 线 与 x 轴交点的横坐标为 n x ，则 20131201322013320132012log log log log x x x x +++ +的值为 ． 2 2 x x e e -??+ ? ?? （Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性； （Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-?，且方程()h x m =有两个不相等的实数根1x ，2x ．求证：121x x +>． 联立212y x y x ax =-??'=-+-? 消去y 得：2(1)10x a x +-+=， 由题意得：2(1)40a -=-=△， 解得：3a =或1-； （Ⅱ）由（1）得：l 1(n )x f x =+'， 1(0,)e x ∈时，)0(f x '<，()f x 递减， 1(,)e x ∈+∞时，)0(f x '>，()f x 递增， ①1104e t t <<+≤，即110e 4 t <≤-时， min 111)ln )444 ()()((f x f t t t ==+++， ②110e 4t t <<<+，即111e 4e t -<<时， min e ()1e )(1f x f -==； ③11e 4t t ≤<+，即1e t ≥时，()f x 在[1,4]t t +递增， min ())ln (f x f t t t ==； 综上，min 1111)ln ),044e 41111,e e 4e 1l (e (,()n f x t t t t t t t ++<≤--???-<<≥?=?????； 因此(0,)x ∈+∞时，min max 1()()e f x m x ≥-≥恒成立， 又两次最值不能同时取到， 故对任意(0,)x ∈+∞，都有2ln e e x x x x >-成立． ∴()0g x '>， ∴函数()g x 在定义域内为增函数， ∴(1)(0)g g >，即12 e (1)(0) f f >，亦即(1) f > 故选：A ． 2．解析：∵()1cos 0f x x '=+≥， ∴()sin f x x x =+在实数R 上为增函数， 又∵()sin ()f x x x f x -=--=-， ∴()sin f x x x =+为奇函数， ∴2222222222(23)(41)0(23)(41) (23)(41)2341(2)(1)1f y y f x x f y y f x x f y y f x x y y x x x y -++-+≤?-+≤--+?-+≤-+-?-+≤-+-?-+-≤， 由22(2)(1)11x y y ?-+-≤?≥? 可知，该不等式组所表示的区域为以点(2,1)C 为圆心，1为半径的上半个圆，1 y x +表示的几何意义为点(,)P x y 与点(1,0)M -连接的斜率，作出半圆与点P 连线，数形结合可得1 y x +的取值范围为13,44?????? ． 3．解析：依题意，可得右图：()2f x = 数学选修2-2第一章 单元测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )的图像如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )有极小值点( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1 x 2在 同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[1 2 ，2]上的最大值是( ) A.13 4 B.54 C ．8 D ．4 3．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋2 3 上移动，设点P 处的切线的倾斜角为 α，则α的取值围是( ) A ．[0，π 2] B ．[0，π2]∪[3 4π，π) C ．[3 4 π，π) D ．[π2，3 4 π] 4．已知函数f (x )＝1 2x 4－2x 3＋3m ，x ∈R ，若f (x )＋9≥0恒成立， 则实数m 的取值围是( ) A ．m ≥32 B ．m ＞32 C ．m ≤32 D ．m ＜32 5．函数f (x )＝cos 2 x －2cos 2 x 2 的一个单调增区间是( ) A.? ????π3，2π3 B.? ???? π6 ，π2 C.? ???? 0，π3 D.? ???? －π6 ，π6 6．设f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx →0 f x 0＋3Δx －f x 0 Δx ＝1， 则f ′(x 0)等于( ) A ．1 B ．0 C ．3 D.13 7．经过原点且与曲线y ＝x ＋9 x ＋5 相切的切线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋25y ＝0 C ．x ＋y ＝0或x ＋25y ＝0 1.导数应用之函数单调性 题组1： 1.求函数32()3912f x x x x =--+的单调区间. 2.求函数2()3ln f x x x x =-+的单调区间. 3.求函数2()3ln f x x x x =+-的单调区间. 4.求函数1 ()ln f x x x =的单调区间. 5.求函数ln ()ln ln(1)1x f x x x x =-+++的单调区间. 题组2： 1.讨论函数43 22411()(0)43 f x x ax a x a a =+-+>的单调区间. 2.讨论函数3 2 ()3912f x x ax x =+--的单调区间. 3.求函数321()(2)4132 m f x mx x x =-+++(0)m >的单调递增区间. 4.讨论函数1ln )1()(2 +++=ax x a x f 的单调性. 5.讨论函数1()ln 1a f x x ax x -=-+-的单调性. 题组3： 1.设函数3 2 ()1f x x ax x =+++. (1)讨论函数()f x 的单调区间； (2)设函数()f x 在区间21()33 --， 内是减函数,求a 的取值范围． 2.(1)已知函数2 ()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递增,求实数a 的取值范围.(a>=-2/9) (2)已知函数2()ln f x ax x x =++在区间(1,3)上单调递减,求实数a 的取值范围.(a<=-1) 3.已知函数3 2 ()(3)x f x x x ax b e -=+++. (1)若3a b ==-,求()f x 的单调区间； (2)若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调递增,在(,2),(,)αβ+∞单调递减,证明:6βα-<. 4.设函数3 2 2 ()1f x x ax a x =+-+,2 ()21g x ax x =-+, (1)若0a >,求函数()f x 的单调区间； (2)若()f x 与()g x 在区间(,2)a a +内均为增函数,求a 的取值范围． 导数及其应用专题训练 (时间:100分钟满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若函数y=e x+mx有极值,则实数m的取值范围是() A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1 2.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.函数f(x)=-的图象大致为() 4.已知函数f(x)=a x+x2-x ln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒 成立,则a的取值范围为() A.[e2,+∞) B.[e,+∞) C.[2,e] D.[e,e2] 5.已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),若f'(x)-f(x)<-3,f(0)=4,则不等式f(x)>e x+3的解集是() A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(0,+∞) D.(-∞,0) 6.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线方程是() A.y=-2x+3 B.y=x C.y=3x-2 D.y=2x-1 7.若正项递增等比数列{a n}满足1+(a2-a4)+λ(a3-a5)=0(λ∈R),则a6+λa7的最小值为() A.-2 B.-4 C.2 D.4 8.已知函数f(x)为R内的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-e x+1-m cos x,记a=-2f(- 2),b=-f(-1),c=3f(3),则a,b,c之间的大小关系是() A.b 函数与导数专题复习 类型一 导数的定义 运算及几何意义 例1：已知函数)(x f 的导函数为)('x f ，且满足x xf x f ln )1(2)(' +=，则=)1('f （ ） A ．-ｅ B.-1 C.1 D.e 解：x f x f 1)1(2)(''+=，1)1(1)1(2)1('''-=∴+=f f f 【评析与探究】求值常用方程思想，利用求导寻求)('x f 的方程是求解本题的关键。 变式训练1 曲线33+-=x x y 在点（1,3）处的切线方程为 类型二 利用导数求解函数的单调性 例2：d cx bx x x f +++= 233 1)(何时有两个极值，何时无极值？)(x f 恒增的条件是什么？ 解：,2)(2'c bx x x f ++=当0442>-=?c b 时， 即c b >2时，0)('=x f 有两个异根2,1x x ，由)('x f y =的图像知，在2,1x x 的左右两侧)('x f 异号，故2,1x x 是极值点，此时)(x f 有两个极值。 当c b =2时，0)('=x f 有实数根0x ，由)('x f y =的图像知，在0x 左右两侧)(' x f 同号，故0x 不是)(x f 的极值点 当c b <2时，0)(' =x f 无根，当然无极值点 综上所述，当时c b ≤2，)(x f 恒增。 【评析与探究】①此题恒增条件c b ≤2易掉“=”号，②c b =2 时，根0x 不是极值点也易错。 变式训练2 已知函数b x x g ax x x f +=+=232)(,)(，它们的图像在1=x 处有相同的切线 ⑴求函数)(x f 和)(x g 的解析式； 第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （）A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（） A．B． C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （）A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D． 第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a． 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 》 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ） ． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2π e C ．],1[2π e D ．),1(2π e 8.07622 3 =+-x x 在区间)2,0(内根的个数为 （ ） ] A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 导数及其应用测试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.函数()2 sin f x x =的导数是（） A.2sin x B.2 2sin x C.2cos x D.sin2x 2．已知()2 1 cos 4 f x x x =+，() ' f x为() f x的导函数，则() ' f x的图像是（） 3.若2 x=-是函数21 ()(1)x f x x ax e- =+-的极值点，则() f x的极小值为（） A.1 - B.3 2e- - C.3 5e- D.1 4．若曲线() ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b为正实数，则 2 e a b + + 的取值范围是（） A. 2 , 2 e e ?? ++∞ ? ?? B.[) ,e+∞ C.[) 2,+∞ D.[) 2,e 5．已知函数2x y=的图象在点) , (2 x x处的切线为l，若l也与函数x y ln =，)1,0( ∈ x的 图象相切，则 x必满足（） A． 2 1 < 导数及其应用 专项训练 一、选择、填空题 1、若2 1(1)ln (21),0, ()2ln , x a a x a x x a f x x x x x a ?--+++?≤． 是(0,)+∞上的减函数，则实数a 的取值范 围是（ ） A ．[1,e] B ．[e,)+∞ C ．3 2 (0,]e D ．32 [1,e ] 2、设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()()()f x f x x R >∈，2 (2)f e =（e 为自然对数的底数），则不等式2 (2ln )f x x <的解集为（ ） A ．)e B ． C. (0,)e D ．(1,)e 3、若直线1y x =+与函数()ln f x ax x =-的图像相切，则a 的值为 ． 4、已知函数f （x ）＝（e x ﹣a ）（x +a 2）（a ∈R ），则满足f （x ）≥0恒成立的a 的取值个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5、函数1221 ()(1)2 x f x e ax a x a -=-+-+在（一∞，十∞）上单调递增，则实数a 的范围是（ ） A. {1} B. (－1，1) C. (0. 1) D. {－1，1} 6、设过曲线f(x)= －e x －x(e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g(x)＝a x+2cosx 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为 7、曲线()2 a f x x x =+ 在点()()1,1f 处的切线与直线20x y +-=垂直,则实数a = . 8、已知函数1ln )(2++=x a x x f ，若1x ?，[)+∞∈,32x ，)(21x x ≠，[]2,1∈?a ， m x x x f x f <--1 221) ()(， 则实数m 的最小值为（ ） A ．3 20- B ．2 9 - C ．419- D ．3 19 - 9、曲线x y = 在点)2,4(处的切线的斜率为 10、函数13)(23-+=x ax x f 存在唯一的零点0x ，且0x 0<，则实数a 的取值范围是 ． 11、曲线()1x y ax e =+在点()01， 处的切线的斜率为2-，则a =________． 12、已知()f x 为偶函数，当0x <时，()ln()3f x x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 _______________。函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练
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