2015届文科数学高三第二次月考试卷

2015届高三第二次月考试卷（文史类）

(时间：１２０分钟，总分：１５０分)

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合M={-1,0,1}，N={x|x 2=x}，则()M C M

N =

A.{-1，0，1}

B.{0,1}

C.{ -1}

D.{1} 2.复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是

A.1i --

B. 1i -+

C. 1i -

D. 1i + 3.命题“若4

π

α=，则tan 1α=”的逆否命题是

A.若α≠

4

π

，则tan α≠1 B. 若α=

4

π

，则tan α≠1

C. 若tan α≠1，则α≠

4

π

D. 若tan α≠1，则α=

4

π

4.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表

则样本数据落在区间[10,40]的频率为

A 0.35

B 0.45

C 0.55

D 0.65 5.函数f(x)=xcos2x 在区间[0,2]π上的零点个数为

A 2

B 3

C 4

D 5 6.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

7 . sin cos αα-=，α∈(0，π)，则sin 2α=

A -1

B

C

D 1 8. 设 a ＞b ＞0 ，C ＜0 ，给出下列三个结论

① c a ＞c

b

② c a ＜c b ③ log b （a-c ）＞log a (b-c) 其中所有的正确结论的序号是

A ①

B ① ②

C ② ③

D ① ②③ 9. 将函数y ＝cos(21x ＋6

π)的图象经过怎样的平移，可以得到函数y ＝cos 21

x 的图象

A 向左平移

6π个单位长度 B 向右平移6π

个单位长度 C 向右平移3π个单位长度 D 向左平移3π

个单位长度

10.函数y=1

2

x 2-㏑x 的单调递减区间为

A （-1,1]

B （0,1]

C [1，+∞）

D （0，+∞） 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上对应题号的横上.

11. 已知向量a=（1,0），b=（1,1），则与2a b +为____________；

12. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=_________；

(第12题) (第13题)

13. 若函数)sin()(?ω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则 ?的取值是______________ 14. 已知12

cos(),(0)13

πθθπ+=

<<，则cos 2θ的值为_______________．

15. 已知函数sin y x x =，它的图象的对称轴方程是 __________________.

三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16. 在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．角A ，B ，C 成等差数列。 (Ⅰ)求cos B 的值；

(Ⅱ)边a ，b ，c 成等比数列，求sin sin A C 的值．

17. 如图，单摆的摆球离开平衡位置的位移S （厘米）和 时间 t （秒）的函数关系是)3

2(sin 21π

+=t S ，请用五点法作出摆球往复摆动一周的图像．

（第17题）

18. 已知βαβαβαβα+

4

)cos(,18090,54)cos(?<360，求

sin 2α、β2cos

19. 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC ＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π

3

.

(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．

图1-4

19．解：设∠CED ＝α.

(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，

于是由题设知，7＝CD 2

＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．

在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CD

sin α

.

于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×

3

27＝21

7，即

sin ∠CED ＝

217

. (2)由题设知，0＜α＜π

3

，于是由(1)知，

cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝27

7

.

而∠AEB ＝2π

3

－α，所以

cos ∠AEB ＝cos ???

?2π

3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α

＝－12cos α＋3

2sin α

＝－12×277＋32×217＝714

.

在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2

BE

，故

BE ＝2cos ∠AEB ＝2

7

14

＝47.

20. 已知函数f (x )＝sin ?

?

???3x ＋π4.

(1)求f (x )的单调递增区间；

(2)若α是第二象限角，f ? ????α3＝45cos ?

?

???α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．

解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为???

?－π2＋2k π，π

2＋2k π，k ∈Z ，

由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3

，k ∈Z ，

所以函数f (x )的单调递增区间为????

－π4

＋2k π3，π12＋

2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ?

???α＋π4＝4

5cos ????α＋π4(cos 2α－sin 2α)．

所以sin αcos π4＋cos αsin π

4＝

45??

?

?cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝4

5

(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．

当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π

4

＋2k π，k ∈Z .

此时，cos α－sin α＝－ 2.

当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5

4

.

由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5

2

.

综上所述，cos α－sin α＝－2或－5

2

.

21. 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.

(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x >0时，x 2

20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a . 又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2.

当x ln 2时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．

所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，

且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．

(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，

所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2

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