高一下学期数学期末考试模拟试题(文科)(1)

2010—2011学年度武汉中学高一下学期数学期末考试

模拟试题（文科）

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设R U =,{}

022

>-=x x x M ,则

（ ）

A.[]2,0

B.()2,0

C.()()+∞∞-,20,

D.(][)+∞∞-,20,

2．在平面直角坐标系中，不等式组,040??

?

??≤≥+-≥+a x y x y x （a 是常数）表示的平面区域面积是9，

那么实数a 的值为 （ ）

A ．223+

B ．－223+

C ．－5

D ．1

3. 已知向量,,,,且

与共线,那么的值为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4 4．在下列区间中，函数()34-+=x e x f x 的零点所在的区间为

A ．1

(,0)4

-

B ．1(0,)4

C ．11(,)42

D ．13(,)24

5．将函数)3

2sin()(π

-

=x x f 的图像左移3

π，再将图像上各点横坐标压缩到原来的2

1，则

所得到的图象的解析式为 （ ）

A ．x y sin =

B ．)3

4sin(π

+=x y

C ．)3

24sin(π

-

=x y D ．)3

sin(π

+

=x y 6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为

A ．1升

B ．

6667升 C ．4447升 D ．33

37升 7．已知长度为2的线段AB 在圆O 的圆周上，O 为圆心，则=? A ．1 B ．2 C ．4 D ．和动圆O 的半径有关

O

A

B

第7题图

8. 已知函数()x f y =的图象如图右图，则以下四个函数()x f y -=，()x f y -=，()

x f y = 与()x f y =的图象分别和下面四个图的正确对应关系是 （ ）

A.①②④③

B.①②③④

C. ④③②①

D.④③①② 答案：选A

9．设0,0>>y x ，且xy x y -+=()1，则

A ．x y +≥+221() B.xy ≤

+21

C.)12(+≤+y x

D.1)xy =

10．已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ） A .

3 B C D . 1 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上． 11．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，*

n N ∈，若32016,20,a S ==则10S 的值为 ．

12．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3

m ．

13题图

13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数

关系式为116t a

y -??

= ?

??

（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；

（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室． 14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱81=AA ， 若侧面B B AA 11水平放置时，液面恰好过AC ,BC ，

11C A ,11C B 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高

为 ． 答案：6

15．函数()x

a

x x f -

=2的定义域为(]1,0（a 为实数）.若函数()x f y =在定义域上是减函数，求的取值范围 ．

三．解答题：本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．已知集合{}

101032

≤--=x x x A ，{}

121-≤≤+=m x m x B ，若B B A = ，求

实数m 的取值范围．

17．已知函数()??

?

???∈+???

??+-=

2,6,

14sin 22cos 32πππx x x x f ．

（Ⅰ）求()x f 的最大值，并求出当()x f 取得最大值时x 的取值； （Ⅱ）求()x f 的单调递增区间．

18. （本小题满分12分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACC 1A ；

（Ⅱ）若二面角C 1-BD-C 的大小为60°， 求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值.

19．（本小题满分14分）

已知圆C 经过点()

0,3-A ，圆心落在x 轴上（圆心与坐标原点不重合），且与直线

0323:1=-+y x l 相切．

（Ⅰ）求圆C 的标准方程；

（Ⅱ）求直线x y = 被圆C 所截得 的弦长；

（Ⅲ）2l 是与1l 垂直并且在y 轴上的截距为b 的直线，若2l 与圆C 有两个不同的交点，求b 的取值范围．

20．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其

它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。

（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？

21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S

.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2

n

n n a b =的前n 项和为n T ，求n T .

A

B

C

D C 1

A 1

B 1

D 1

2010—2011学年度武汉中学高一下学期数学期末考试

模拟试题（文科）

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设R U =,{}

022

>-=x x x M ,则

（ ）

A.[]2,0

B.()2,0

C.()()+∞∞-,20,

D.(][)+∞∞-,20,

答案：选A

2．在平面直角坐标系中，不等式组,040??

?

??≤≥+-≥+a x y x y x （a 是常数）表示的平面区域面积是9，

那么实数a 的值为

（ ）

A ．223+

B ．－223+

C ．－5

D ．1

答案：D

解析：如图，∵AC AB ⊥,ABC ? 是等腰直角三角形，平面区域面积是

()64694

12

=--+?=?=a a BC BC ， 1=a ，5-=a （舍去），所以选D ．

3. 已知向量

,

,

,

,且

与共线,那么

的值为（ ）

A.1

B.2

C.3

D.4 答案：选D

4．在下列区间中，函数()34-+=x e x f x

的零点所在的区间为

A ．1(,0)4

-

B ．1(0,)4

C ．11(,)42

D ．13(,)24

答案：选C

解析：因为=-=??? ??24141e f 0164141<-e ，=

-=??

?

??12121

e f 01>-e ，

2题图

02141

? ??21,41， 5．将函数)32sin()(π

-=x x f 的图像左移3

π

，再将图像上各点横坐标压缩到原来的21，则

所得到的图象的解析式为 （ ）

A ．x y sin =

B ．)3

4sin(π

+=x y

C ．)3

24sin(π

-

=x y D ．)3

sin(π

+

=x y

答案：选B 6.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为

A ．1升

B ．

6667升 C ．4447升 D ．33

37升 【答案】

66

67

解析：设该数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，依题意

??

?=++=+++439874321a a a a a a a ，即???=+=+421336411d a d a ，解得???

????

==+667

3

471d d a ， 则d d a d a a 374115-+=+=6667662134=-=，所以应该填66

67.

7．已知长度为2的线段AB 在圆O 的圆周上，O 为圆心，则=? A ．1 B ．2 C ．4 D ．和动圆O 的半径有关

答案B.

解析：取AB 中点H ，连结OH ， 则AO

AB AO

AH OAB 2cos =

=

∠

,

22

22

==

?

?=∠=?AB AO

AB AO AB OAB

故选B.

8. 已知函数()x f y =的图象如图右图，则以下四个函数()x f y -=，()x f y -=，()

x f y = 与()x f y =的图象分别和下面四个图的正确对应关系是 （ ）

O

A

B

第7题图

A.①②④③

B.①②③④

C. ④③②①

D.④③①②答案：选A

9．设0

,0>

>y

x，且xy x y

-+=

()1，则

A．x y

+≥+

221

() B.xy≤+

21

C.)1

2

(+

≤

+y

x D.1)

xy=

答案：选A

10．已知直二面角l

αβ

--，点,

A AC l

α

∈⊥,C为垂足，,,

B BD l D

β

∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于（）

A.

3

B C D. 1

答案：选C

解析：过D作DE BC

⊥于E，由l

αβ

--为

直二面角，AC l

⊥得AC⊥平面β，进而AC DE

⊥，

又,

BC DE BC AC C

⊥=

，于是DE⊥平面ABC，

故DE为D到平面ABC的距离．

在Rt BCD

?中，利用等面积法得

BD DC

DE

BC

?

===

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．11．已知{}n a为等差数列，n S为其前n项和，*

n N

∈，若

320

16,20,

a S

==则

10

S的值为．

答案：110

12．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为3m．

答案：4

13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数

关系式为116t a

y -??

= ?

??

（a 为常数），如图所示．据图中提供的信息，回答下列问题：

（I ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；

（II ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

答案：1

10110010111610t t t y t -

??? ?????

=??????> ?

????

???，，，≤≤； 0.6 14．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱81=AA ， 若侧面B B AA 11水平放置时，液面恰好过AC ,BC ，

11C A ,11C B 的中点，当底面ABC 水平放置时，液面高

为 ．

答案：6

15．函数()x

a

x x f -

=2的定义域为(]1,0（a 为实数）.若函数()x f y =在定义域上是减函数，求的取值范围 ．

13题图 14题图

答案：(]2,-∞-

解析：若函数()x f y =在定义域上是减函数，则任取(]1,0,21∈x x 且21x x <都有

()()21x f x f > 恒成立， 即()022121>????

?

?+-x x a x x ，只要212x x a -<即可，由(]1,0,21∈x x ，故()0,2221-∈-x x ，所以2-≤a ，故a 的取值范围是(]2,-∞-．

三．解答题：本大题共６小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．已知集合{}

101032

≤--=x x x A ，{}

121-≤≤+=m x m x B ，若B B A = ，求

实数m 的取值范围．

答案 m ∈(－∞，3]

解析∵A ∪B ＝A ，∴B ?A .又A ＝{x |－2≤x ≤5}， 当B ＝?时，由m ＋1>2m －1，解得m <2.

当B ≠?时，则{ m ＋1≤2m －1， －2≤m ＋1， 2m －1≤5.解得2≤m ≤3.

空集在以下两种情况下容易忘记：①在以方程的根、不等式的解为元素构成的集合中，方程或不等式无解时的情况容易漏掉；②在A ∪B ＝B 、A ∩B ＝A 中，容易忽视A ＝?的情况．

综上可知，m ∈(－∞，3]．

17．已知函数()??

?

???∈+???

??+-=

2,6,

14sin 22cos 32πππx x x x f ．

（Ⅰ）求()x f 的最大值，并求出当()x f 取得最大值时x 的取值； （Ⅱ）求()x f 的单调递增区间． 解析：（Ⅰ） ()???

??

???? ??+-+=

x x x f 4sin 212cos 32π=??? ??++x x 22cos 2cos 3π

=x x 2sin 2cos 3-=??

?

??-x 23sin 2π =??

?

?

?

-

--32sin 2πx ．……………………………… 4分 又 ∵

2

6

π

π

≤

≤x ， ∴323

20ππ

≤

-

≤x ． ∴032sin 22≤??? ?

?

--≤-πx ． ∴ 当03

2=-π

x 即6

π

=

x 时，()x f 取得最大值0．…………………… 8分

（Ⅱ）由

323

22

ππ

π

≤

-

≤x ，解得

2

125ππ≤≤x ．

∴()x f 的单调递增区间为??

?

?

??2,125ππ．………………… 12分 18. （本小题满分12分）如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱. （Ⅰ）求证：BD ⊥平面ACC 1A ；

（Ⅱ）若二面角C 1-BD-C 的大小为60°， 求异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值.

解析：（Ⅰ）∵ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱

∴CC 1⊥平面ABCD ∴BD ⊥CC 1

∴ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC

又∵AC ，CC 1平面ACC 1A 1，且AC ∩CC 1=C ， ∴BD ⊥平面ACC 1A 1

（Ⅱ）设BD 与AC 相交于O ，连接C 1O 。

∵CC 1⊥平面ABCD 、BD ⊥AC 。

∴BD ⊥C 1O ∴∠C 1OC 是二面角C 1-BD-C 的平面角 ∴∠C 1OC=60° 连接A 1B ∵A 1C 1∥AC

∴∠A 1C 1B 是BC 1与AC 所成角.

设BC=a,则CO =a 2

2

a CO CC 2

6

60tan 01=?=

a BC B A 2

10

11==，a C A 211=

在△A 1BC 1中，由余弦定理得

∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为

5

5

. 19．（本小题满分14分）

已知圆C 经过点()

0,3-A ，圆心落在x 轴上（圆心与坐标原点不重合），且与直线

0323:1=-+y x l 相切．

（Ⅰ）求圆C 的标准方程；

（Ⅱ）求直线x y = 被圆C 所截得 的弦长；

A

B

C

D C 1

A 1

B 1

D 1

A

B

C

D

C 1

A 1

B 1

D 1

O

（Ⅲ）2l 是与1l 垂直并且在y 轴上的截距为b 的直线，若2l 与圆C 有两个不同的交点，求b 的取值范围．

解析：（Ⅰ）设圆C 的圆心坐标为()0,a C ，半径为r ，则由题意得

????

???=+-=+.3

13

2,13r a a 解得34-=a 或0=a 舍去），33=r ． ∴ 圆C 的标准方程为()

273

422

=++y x ．………………………… 5分

（Ⅱ）取所截弦的中点，并和圆心相连结，则该线段就是圆心到弦所在直线的距离（弦心距）．再连结圆心和弦的一个端点（所连线段即为一条半径），易知由弦心距、半径和弦的一半可构成一个直角三角形．

∵ 由点到直线的距离公式可求得弦心距为

621

134=+-，

∴ 由勾股定理可求得弦的一半的长度为()

36

2272

=-．

∴ 所求的弦长为32． ………………………………………………9分 （Ⅲ）易知直线2l 的方程为b x y +=3．………………………10分 ∵2l 与圆C 有两个不同的交点， ∴ 圆心到2l 的距离小于半径32．

∴

()

333

1343<++-?b

． 整理得3612<-b ．……………………12分

解得b 的取值范围为36123612+<<-b ．…………………… 14分

20．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其

它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为

0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。

（Ⅰ）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数； （Ⅱ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？ 解析：（Ⅰ）由题意， 每小时的燃料费用为2

0.5(050)x x <≤，从甲地到乙地所用的时间为300

x

小时，

则从甲地到乙地的运输成本x

x x y 300

8003005.02?

+?

=，(050)x <≤

故所求的函数为23003001600

0.5800150()y x x x x x

=?

+?=+，(050)x <≤． （Ⅱ

）由（１）160015015012000y x x ??=+≥?= ???， 当且仅当1600

x x

=，即40x =时取等号．…11分

故当货轮航行速度为40海里/小时时，能使该货轮运输成本最少．

21．（本小题满分14分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S

.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2

n

n n a b =

的前n 项和为n T ，求n T . 解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，

=

=，

解得11a =，故21n a n =-；

（Ⅱ）211(21)()222n

n n n n a n b n -===-， 1231111

1()3()5()(21)()2222n n T n =?+?+?++-? ， ①

①12?得，2341

11111

11()3()5()(23)()(21)()22222

2

n n n T n n +=?+?

+?++-?+-? ， ②

①-②得，231111111

2()2()2()(21)()222222n n n T n +=+?+?++?--?

11111(1)

113121222(21)()12222212

n n n n n n +-+--=?---?=---， ∴42123

33222

n n n n

n n T -+=--=-．