2018年最新整理全国卷理科数学模拟试题(共八套含答案)

2018年全国卷理科数学模拟试题（一）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.

1. 已知全集R U =，集合}5,4,3,2,1,0{=A ，}2|{≥∈=x R x B ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A ．1}{0，

B ．{1}

C ．2}{1，

D ．2}1{0，， 2.设R b a ∈,，若p ：b

a 22<，q ：22

b a <，则p 是q 的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 3.设i 为虚数单位，则6

)(i x -的展开式中含4x 的项为（） A ．415x - B ．415x C ．420ix - D ．420ix 4.若坐标原点到抛物线2mx y =的准线的距离为2，则=m （） A ．8 B ．8± C ．4

1±

D ．81

5. 函数x x x f sin )(=，)('x f 为)(x f 的导函数，则)('x f 的图象是（）

6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是

224π

，则它的表面积是（） A ．π17 B ．π18 C ．π60 D ．π68

7. 公元263年左右，我国数学刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边

形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名是徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（）

（参考数据：1305.05.7sin ,2588.015sin ,732.13≈≈≈

）

A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

8.设n m ,为空间两条不同的直线，βα,为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若βα//,//m m ，则βα//； ②若n m m //,//α，则α//n ； ③若βα//,m m ⊥，则βα⊥；④若βαα//,⊥m ，则β⊥m . 其中所有正确命题的序号是（）

A ．③④

B ．②④

C ．①②

D ．①③ 9. 已知函数)3

2sin(3)(π

=x x f ，则下列结论正确的是（） A ．导函数为)3

2cos(3)('π

-=x x f B ．函数)(x f 的图象关于直线2

x 对称

C ．函数)(x f 在区间)125,

12(π

π-

上是增函数

D ．函数)(x f 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向右平移

个单位长度得到 10.在ABC ?中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且b a B c +=2co s 2，若ABC ?的面积c S 12

=，则ab 的最小值为（） A ．

21 B ．31 C ．6

D ．3 11.定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足：x

e x g x

f =+)()(，给出如下结论：

①2

)(x x e e x f --=且)2()1(0g f <<； ②R x ∈?，总有1)]([)]([22=-x f x g ；

③R x ∈?，总有0)()()()(=+--x g x f x g x f ；④R x ∈?0，使得)()(2)2(000x g x f x f >. 其中所有正确结论的序号是（）

A ．①②③

B ．②③

C ．①③④

D ．①②③④

12. 已知函数||)(x

xe x f =，方程)(01)()(2

R t x tf x f ∈=+-有四个实数根，则t 的取值范围为（）

A ．),1(2+∞+e e

B ．)1,(2e e +--∞

C ．2),1(2-+-e e

D ．)1

,2(2e

e +

第Ⅱ卷

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知向量)1,(t =与),4(t =共线且方向相同，则=t . 14. 若3

44=

+-x x ，则=4log 3x . 15. 正月十六登高是“中国石刻艺术之乡”、“中国民间文化艺术之乡”四川省巴中市沿袭千年的独特民俗.登高节前夕，李大伯在家门前的树上挂了两串喜庆彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是 .

16. 设函数2

)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，若存在0x 使得5

)(0≤

x f 成立，则实数a 的值是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. (12分)在等差数列}{n a 中，2372-=+a a ，2983-=+a a .（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设数列}{n n b a +是首项为1，公比为q 的等比数列，求}{n b 的前n 项和n S .

18. (本小题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动. 为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为n )进行统计. 按照[50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60), [90,100]的数据).（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的y x 、的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生人数，求ξ的分布列及数学期望.

19. (12分)如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，D 是BC 的中点.（1）求证：//1B A 平面1ADC ；（2）若AC AB ⊥，1==AC AB ，21=AA ，求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.

20. (本小题满分12分) 已知椭圆M ：13

22=+y a x (0>a )的一个焦点为)0,1(-F ，左右顶点分别为B A ,，

经过点F 的直线l 与椭圆M 交于D C ,两点.（1）求椭圆方程；（2）记A B D ?与ABC ?的面积分别为1S 和2S ，求||21S S -的最大值.

21. (12分)已知函数2

3)(bx ax x f +=在1=x 处取得极值

.（1）求b a ，的值；（2）若对任意的),0[+∞∈x ，都有)1ln()('+≤x k x f 成立(其中)('x f 是函数)(x f 的导函数)，求实数k 的最小值；

（3）证明：

2)1ln(1

++<∑=n i n

i (*

∈N

n ).

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为

a 22

)4sin(=+πθρ，曲线2C 的参数方程为???+-=+-=?

?sin 1cos 1y x （?为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方

程和曲线2C 的普通方程；（2）当曲线1C 和曲线2C 有两个不同公共点时，求实数a 的取值范围.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数|3|)(--=x m x f ，不等式2)(>x f 的解集为)4,2(.（1）求实数m 的值；（2）若关于x 的不等式)(||x f a x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1．【考向】考查集合的列举法、描述法、韦恩图法三种表示及交集、补集运算 2．【考向】原创考查指数函数、幂函数的性质，不等式的性质，充分必要条件的判断 3．【考向】由2016年四川高考题改编考查二项式定理的通项公式和复数的基本运算 4．【考向】抛物线的几何性质简单应用 5．【考向】由山东高考题改编考查导数的求导公式与法则、函数的图象与性质 6．【考向】由2016年新课标全国高考题改编考查简单的三视图及球的体积、表面积公式 7．【考向】考查算法中的循环结构、传承并弘扬灿烂的中国古代数学文化 8.【考向】整合课本相关理论知识创编主要考查：（1）直线与平面平行的判定定理及其性质定理；（2）直线与平面垂直的判定定理及其性质定理

9.【考向】由传统经典题改编考查)sin(φω+=x A y 型三角函数的求导、对称性、单调性、图象变换等主干性质

10.【考向】本题由2014年全国新课标Ⅰ卷16题改编考查正余弦定理、三角形面积公式、两角和的正弦、基本不等等基础知识，是一道兼具基础性与能力性的好题.其中根据正余弦定理实施边角互化是解题的关键 11.【考向】由必修一P83.4题原创考查函数的奇偶性与单调性、指数式的基本运算、全称量词与存在量词等主干知识

12.【考向】传统经典题目改编考查分段函数中导数与函数单调性的关系、复合函数方程中方程的实根与两函数图像公共点的等价转化关系.综合检测分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，体现出较高的交汇性与能力性

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．2； 14．1±； 15．

； 16．5

1 13.【考向】考查向量同向（或反向）的充要条件

14.【考向】由人教版必修1.P75.8.1原创交换课本题目的条件与结论，得到一道将解方程的基本方法与指数式与对数式的互化、换底公式等基本技能融合在一起的好题.此题不难，但学生任意马虎、遗漏，造成丢分.

15.【考向】由人教版教材几何概型习题及2013年四川高考题改编考查几何概型、线性规划及其实际应用与数学文化.分清几何概型中的长度比，面积比，角度比，体积比是解决问题的关键

16.【考向】原创考查函数结构形似联想与几何意义、导数的几何意义、存在量词等，体现等价转化与数形结合的思想，有一定的灵活性、综合性与创意性三、解答题：本大题共6个题，共70分．

17．解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则62)(7283-==+-+d a a a a ，∴3-=d . ∴2372172-=+=+d a a a ，解得11-=a . ∴数列}{n a 的通项公式为23+-=n a n .

（2）∵数列}{n n b a +是首项为1，公比为q 的等比数列，

∴1-=+n n n q b a ，即123-=++-n n q b n ，∴1

23-+-=n n q n b ，

【考向】考查等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及分类讨论思想

18．【分析】（1）根据：频率=频数/样本容量，可得5010016.08

=?=n ，004.010

502

==y ，再根据频率

之和为1，可求x 的值；（2）首先确定ξ的可能取值为1，2，3，基本事件的总数为353

7=C ，求出相应的

概率列出分布列.

解：（1）由题意可知，样本容量50100.0168

=?=n ，004.010

502

==y ，

又由1)010.0040.0016.0(10=++++y x ，得030.0=x .

（2）由题意可知，分数[80,90)在有人，分数在[90,100]有2人，共7人. 抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则

71355)1(372215====C C C P ξ，743520)2(371225====C C C P ξ，7

3510)3(3

5====C C P ξ，所以ξ的分布列为

所以7

157********=?+?+?

=ξE 【考向】（1）频率分布直方图（2）古典概型及离散型随机变量分布列的求法.

19.（1）证明：如图，连接C A 1，交1AC 于点E ，则点E 是C A 1和1AC 的中点，连接DE ，则B A DE 1//. ∵?DE 平面1ADC ，?B A 1平面1ADC ，∴//1B A 平面1ADC

（2）解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则)0,0,0(A ，)0,0,1(B ，)0,1,0(C ，)2,1,0(1C ，)0,2

,21(D ，则)0,2

21(=，)2,1,0(1=AC ，

设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =，则?????=?=?00

1AC m AD m ，得?????=+=+0

202

121z y y x ，取1=z ，得2-=y ，2=x ，得)1,2,2(-=，易得平面1ABA 的法向量为)0,1,0(=，故3

|||,cos -

=>=

5)3

(12

--. 【考向】（1）线面平行的判定定理；（2）利用法向量求二面角的平面角.

20.解：（1） ∵点)0,1(-F 为椭圆的一个焦点，∴1=c ，又32=b ，∴4222=+=c b a ，

∴椭圆方程为13

2=+y x . （2）当直线l 斜率不存在时，直线方程为1-=x ，

此时)23,1(-D ，)2

3,1(--C ，ABD ?与ABC ?的面积相等，0||21=-S S 当直线l 斜率存在时，设直线方程为)1(+=x k y (0≠k )，设),(11y x C ，),(22y x D 显然21,y y 异号.

由??

???+==+)1(1342

2x k y y x 得01248)43(2

222=-+++k x k x k ，

显然0>?，方程有实根，且2

221438k k x x +-=+，22214312

4k k x x +-=，

此时2

121212122143|

|12|2)(|2|)1()1(|2||2||||||2||k k k x x k x k x k y y y y S S +=++=+++=+=-=-，

由0≠k 可得

3||4|

|3212

||4||31243||122

=?≤+=+k k k k k k ，当且仅当23±=k 时等号成立. ∴||21S S -的最大值为3

【考向】（1）椭圆的标准方程的求法；（2）用韦达定理及均值不等式求面积最值问题. 21．解：（1）由题设可得bx ax x f 23)('2

+=，∵)(x f 在1=x 处取得极值

， ∴?????==61)1(0)1('f f ，即???

??=+=+61

23b a b a ，解得31-=a ，21=b . 经检验知，31

=a ，2

1=b 满足题设条件. （2）由（1）得232

131)(x x x f +-=，∴x x x f +-=2

)('，

∴)1ln(2

+≤+-x k x x 在),0[+∞∈x 上恒成立，即0)1ln(2

≥++-x k x x 在),0[+∞∈x 上恒成立，设)1ln()(2

++-=x k x x x g ，则0)0(=g ，

2112)('2+-++=++-=x k x x x k x x g ，),0[+∞∈x

设12)(2

-++=k x x x h ， ①当0)1(81≤--=?k ，即8

≥k 时，0)(≥x h ，∴0)('≥x g ，)(x g 在),0[+∞上单调递增， ∴0)0()(=≥g x g ，即当89

≥

k 时，满足题设条件. ②当0)1(81>--=?k ，即8

=-++k x x 的两个实根，且21x x <，

由2

21-=+x x 可知01

由题设可知，当且仅当02≤x ，即021≥?x x ，即01≥-k ，即1≥k 时，对任意的),0[+∞∈x 有0)(≥x h ，即0)('≥x g 在),0[+∞上恒成立，∴)(x g 在),0[+∞上单调递增，

∴0)0()(=≥g x g ，∴8

≤k 时，也满足题设条件. 综上，k 的取值范围为1≥k ，∴实数k 的最小值为1.

（3）证明：由（2）知，当1=k 时，)1ln(2

+≤+-x x x ，即)1ln(2

++≤x x x 在),0[+∞上恒成立(当且仅当0=x 时取等号). 令n x 1=

(*∈N n )，得n n n

n n n ln )1ln(1

)11ln(1122-++=++<. ∴当2≥n 且*∈N n 时，

)1ln()1ln(1

1ln()1

11()3121()211(1)

1ln()1(13212111)

1ln(1

31211]

ln )1[ln()2ln 3(ln )1ln 2(ln 1

3121113121112222221++<++-=++--++-+-+=++-++?+?+<++++++=-+++-+-+++++<++++=∑=n n n

n n n n n

n n n n n n n i n

i 当1=n 时，原不等式显然成立. ∴原不等式得证.

【考向】（1）可导函数在某点处取得极值的充要条件；（2）用求导法、分类讨论思想探寻恒成立有关的逆向求参问题；（3）用特殊赋值法构造“零件”不等式，然后通过叠加、放缩证明难度较大的数列不等式.

22.解：（1）由a 22)4sin(=

θρ，有a 2

)cos sin (22=+θρθρ，

∴1C 的直角坐标方程为0=-+a y x . 由???+-=+-=?

?sin 1cos 1y x （?为参数）可得2C 的普通方程为1)1()1(22=+++y x . （2）∵曲线1C 和曲线2C 有两个不同公共点，∴

11|<---a ，解得2222-<<--a ， ∴实数a 的取值范围为)22,22(---

【考向】（1）极坐标、参数方程与普通方程的互化；（2）直线与圆的位置关系.

23．解：（1）∵|3|)(--=x m x f ，∴不等式2)(>x f ，即2|3|>--x m ，∴15+<<-m x m ，而不等式2)(>x f 的解集为)4,2(，∴25=-m 且41=+m ，解得3=m . （2）由（1），|3|3)(--=x x f ，

关于x 的不等式)(||x f a x ≥-恒成立?关于x 的不等式|3|3||--≥-x a x 恒成立

? 3|3|||≥-+-x a x 恒成立，

而|3||)3()(||3|||-=---≥-+-a x a x x a x ，∴只需3|3|≥-a ，则33≥-a 或33-≤-a ，解得6≥a 或0≤a . 故实数a 的取值范围为),6[]0,(+∞-∞ .

【考向】（1）绝对值不等式解集的逆向求参；（2）用绝对值不等式的性质解决不等式恒成立问题.

2018年全国卷理科数学模拟试题（二）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合()(){}(){},,,1A x y y f x B x y x =

===，则A B ?中元素的个数为（）

A ．必有1个

B ．1个或2个

C ．至多1个

D ．可能2个以上

2. 已知复数z 满足

111

121z i i

+-，则复数z 的虚部是（） A ．1

B ．15i

C ．15-

D ．15i -

3. 已知向量,a b 是互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?=-，则()

35a b c b -+?=（） A ．1- B ．1 C ．6 D ．6-

4. 已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据

则变量x 与y 之间的线性回归方程可能为（）

A ．0.7 2.3y x =-

B ．0.710.3y x =-+

C ．10.30.7y x =-+

D ．10.30.7y x =- 5.设()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数，若()20171f =-，那么 ()2018f =（） A ．1 B ．2 C ．0 D ．1- 6. 若01m <<，则（）

A ．()()11m m log m log m +>-

B ．(10)m log m +> C. ()2

11m m ->+

D ．()()1

132

11m m ->-

7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（）

A ．

B ．4 C. 3 D

8. 若函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（） A ．()1,5 B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞?+∞

9. 如图，将45?直角三角板和30?直角三角板拼在一起，其中45?直角三角板的斜边与30?直角三角板的30?角所对的直角边重合.若,0,0DB xDC yDA x y =+>>，则x y +=（）

A ．1+

B ．1+ C.2 D ．10. 已知,,,A B

D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（）

A ．

B ．48π C. 24π D ．16π

11. 已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y =-，,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的（）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件

12. 已知函数()2

1ln 1

f x x =-+（, 2.71828x e e >=是自然对数的底数）.若()()f m f n =，则()

f m n 的取值范围为（）

A ．5,17??????

B ．9,110?????? C. 5,17?????? D ．3,14??????

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. (6

1+的展开式中有理项系数之和为．

14. 函数1sin 0,22y x x x π??

??=∈ ??????

?的单调递增区间是． 15．若圆221:5O x y +=与圆()()2

22:20O x m y m R ++=∈相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是．

16．定义域为R 的偶函数()f x 满足对x R ?∈，有()()()21f x f x f +=-，且当[]2,3x ∈时，()221218f

x x x =-+- ，若函数()()log 1a y f x x =-+在()0,+∞上至多有三个零点，则a 的取值范围是

．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-. （1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）求数列1n n a ??

+????

的前n 项和n T .

18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[](](](]5,15,15,25,25,3535,45,，由此得到样本的重量频率分布直方（如图）.

（1）求a 的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[]5,15内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望.（以频率分布直方图中的频率作为概率）

19. 如图，正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，,M N 分别是,DE AB 的中点.

（1）证明：//MN 平面BCE ；（2）求锐二面角M AB E --的余弦值

20. 已知椭圆22

143

x y +=的左焦点为F ，左顶点为A .

（1）若P 是椭圆上的任意一点，求PF PA ?的取值范围；

（2）已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点,M N (均不是长轴的端点），AH MN ⊥，垂足为H 且2

AH MH HN =?，求证:直线l 恒过定点.

21.已知a R ∈，函数()()2ln 12f x x x ax =+-++.

（1）若函数()f x 在[)1,+∞上为减函数，求实数a 的取值范围；

（2）令1,a b R =-∈，已知函数()22g x b bx x =+-，若对任意()11,x ∈-+∞，总存在[)21,x ∈-+∞ ，使得

()()12f x g x =成立，求实数b 的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y α

α=??=?

(α为参数），在以原点为极点，x 轴正半

轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ?

?-= ??

?（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；

（2）设点()0,2,P l 和C 交于,A B 两点，求PA PB +. 23.已知函数()1f x x =+.

（1）求不等式()211f x x <+-的解集M ；（2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.

试卷答案

一、选择题

1-5: CCDBA 6-10: DABBA 11、12：CC

二、填空题

13. 32 14. 0,6π??

???? 15. 4 16.()1,??+∞????

三、解答题

17.（1）证明：当1n =时，12a =，

由1122,22n n n n S a S a ++=-=-得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，所以

2n n

a a +=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，于是2n n a =. （2）解：令11

n n n n n b a ++==，则123

234

2222n n

n T +=

++++

，① ①12?得2341

12341

222222n n n n n T ++=+++

，② ①﹣②，得231111

111222

22n n n n T ++=+++

22n n ++=-

所以3

n n n T +=-

. 18.解：（1）由题意，得()0.020.320.018101a a ++++?= 解得0.03a =；

由最高矩形中点横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数为20克； 50个样本小球重量的平均值为

0.2100.32200.3300.184024.6?+?+?+?= (克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值为24. 6克（2）该盒子中小球重量在[]5,15内的概率为0.2，

X 的可能取值为0，1，2，3.

由题意知13,5X

B ??

???

，所以()0

1464055125P X C ????

==?= ? ?????，

()1

1448155125

P X C ????

==?= ? ?????，

()21

1412255125

P X C ????

==?= ? ?????，

()30

141355125P X C ????

==?= ? ?????

，

所以X 的分布列为

所以()6448121301231251251251255

E X =?

+?+?+?=. （或者()13

355

E X =?=）

19.（1）证明：取AE 中点P ,连结,MP NP . 由题意可得////MP AD BC ,

因为MP ?平面BCE ,BC ?平面BCE , 所以//MP 平面BCE , 同理可证//NP 平面BCE . 因为MP NP P ?=, 所以平面//MNP 平面BCE , 又MN ?平面MNP , 所以//MN 平面BCE .

（2）解：取CD 的中点F ,连接,NF NE .

由题意可得,,NE NB NF 两两垂直,以N 为坐标原点，,,NE NB NF 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.

令2AB =，则()()(

)

10,0,0,0,1,0,0,1,0,,,12N B A E

M ?

--????

所以()31,,1,0,2,02AM AB ??

== ????

设平面MAB 的法向量(),,n x y z = 则31

0220n AM x y z n

AB y ??=

++=?

???==?

令2x =，则(2,0,n =

因为()0,0,2AD =是平面ABE 的一个法向量

所以2cos ,7n AD n AD n AD

?-=

==所以锐二面角M AB E --的余弦值为

. 20.解：（1）设()00,P x y ，又 ()()12,0,1,0A F -- 所以()()2100012PF PA x x y ?=----+，

因为P 点在椭圆22143

x y +=上，

所以2200143x y +=，即2200334y x =-，且022x -≤≤，所以21001

354

PF PA x x ?=++，

函数()20001

354

f x x x =++在[]2,2-单调递增，

当02x =-时，()0f x 取最小值为0；当02x =时，()0f x 取最大值为12. 所以1PF PA ?的取值范围是[]0,12. （2）由题意：

联立22,1.4

3y kx m x y =+??

?+=??得，()

22234+84120k x kmx m ++-=

由()()()

2284344120km k m ?=-?+->得 2243k m +>①

设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222

8412

,3434km m x x x x k k --+==

++. ()()

0AM AN AH HM AH HM AH AH HM HM AH HM HN ?=+?+=+?+?+?=，所以()()1212220x x y y +++=

即()

()()2212121240k x x km x x m ++++++= 2241670k km m -+=，

所以12k m =

或7

k m =均适合①.

当1

k m =时，直线l 过点A ，舍去，当72k m =

时，直线2:7l y kx k =+过定点2,07??- ???

. 21.解：（1）因为()()()2ln 12,1,f x x x ax x =+-++∈-+∞，要使()f x 在[)1,+∞为减函数，则需()0f x '≤在[)1,+∞上恒成立.

即1

a x x ≤-+在[)1,+∞上恒成立，因为121x x -+在[)1,+∞为增函数，所以121x x -+在[)1,+∞的最小值为32

，所以32

a ≤

. （2）因为1a =-，所以()()()2ln 12,1,f x x x x x =+--+∈-+∞.

()21232111

x x

f x x x x --'=--=

++，当 10x -<<时，()0f x '>，()f x 在()1,0-上为递增，当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,+∞上为递减，所以()f x 的最大值为()02f =，所以()f x 的值域为(),2-∞.

若对任意()11,x ∈-+∞，总存在()21,x ∈-+∞.使得()()12f x g x =成立，则，函数()f x 在()1,-+∞的值域是()g x 在[)1,-+∞的值域的子集. 对于函数()()2

222g x x bx b x b b b =-++=--++，

①当1b ≤-时，()g x 的最大值为()11g b -=--，所以()g x 在[)1,-+∞上的值域为(],1b -∞--，由12b --≥得3b ≤-；

②当1b >-时，()g x 的最大值为()2g b b b =+，所以()g x 在[)1,-+∞上的值域为(

2,b b ?-∞+?，由22b b +≥得1b ≥或2b ≤- (舍）. 综上所述，b 的取值范围是(][),31,-∞-?+∞.

22.解：（1）由3cos sin x y αα

=??=?消去参数α，得2

219x y +=

即C 的普通方程为2

219

x y +=

由sin 4πρθ?

?-= ??

?sin cos 2ρθρθ-=①

将cos sin x y ρθ

ρθ=??=?

代入①得2y x =+

所以直线l 的斜率角为

. （2）由（1）知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 4

2sin

x t y t ππ?

=????=+??(t 为参数)

即2x y ?=

????=+??(t 为参数)，代入2

219

x y +=

并化简得25270t ++=

4527108?=-??=>0

设,A B 两点对应的参数分别为12,t t .

则121227

0,05

t t t t +=<=>，所以120,0t t <<

所以12PA PB t t +=+23. （1）解：①当1x ≤-时，原不等式化为122x x --<--解得 1x <-； ②当1

12x -<≤-时,原不等式化为1x x +<-2-2解得 1x <-，此时不等式无解；

③当1

x >-时，原不等式化为12x x +<解 1x >.

综上，{1M x x =<-或 }

1x > （2）证明，因为()()()1111f a f b a b a b a b --=+--+≤+-+=+. 所以要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+，即证2

1ab a b +>+，

即证2222212a b ab a ab b ++>++，

即证22221a b a b --+>0，即证()()

22110a b -->，