数学知识点人教A版数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》教案精讲-总结

3．2.2 函数模型的应用实例

[读教材·填要点]

函数模型的应用

(1)用已知的函数模型刻画实际问题；

(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：

[小问题·大思维]

1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？

提示：

提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0)反比例函数模型

f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)

指数函数模型

f (x )＝m lo

g a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1) f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)

2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？

提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．

[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．

(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q ＝g (t )；

(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/102

kg ，时间单位：天) [自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f (t )＝

?

??

??

300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200

由图2可得，种植成本与时间的函数关系为

g (t )＝

1200

(t －150)2

＋100,0≤t ≤300. (2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝

f (t )－

g (t )，即

h (t )＝???

－1200t 2＋12t ＋175

2

，0≤t ≤200，－1200t 2

＋72t －

1 025

2，200

当0≤t ≤200时，配方整理，得

h (t )＝－

1200

(t －50)2

＋100， 所以，当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上的最大值100； 当200

h (t )＝－

1200

(t －350)2

＋100， 所以，当t ＝300时，h (t )取得区间[200,300]上的最大值87.5.

综上，由100>87.5可知，h (t )在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t ＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．

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求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

图表中的第一步：实际问题

――→分析、联想抽象、转化

建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：建立函数模型――→数学

推演数学结果，这一步就是采用数学的方法，

解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译

实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．

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1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．

解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：

50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；

低谷时间段100千瓦时的用电电费为：

50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．

合计：148.4(元)．

答案：148.4

[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？

[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．

本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．

由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．

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指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N＋p x其中N 为原来的基础数，p为增长率，x为时间的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.

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