2017年春季新版冀教版七年级数学下学期8.5、乘法公式导学案9
乘法公式
学习重点：探索并推理平方差公式；
．经历平方差公式的获得过程，并了解它的几何背景。
．根据平方差公式进行计算。
能力目标：通过对平方差公式的探究，发
通过探索平方差公式的过程，验数学活动充满着
探索与创造，感受数学的简洁美。
教自主互助学习
新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法(第2课时)
新人教版八年级上册数学导学案：因式分解—公式法（第2课时） 学习目标1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过 程，理解公式中字母的意 2、会用完全平方公式法对多项式进行因式分 解。 3．能灵活应用提公因式法、公式法分解因式. 重点：用完全平方公式分解因式. 难点：能灵活应用提公因式法、公 式法分解因式，且把多项式的每一 个因式都分解到不能再分解. 时间 分配 导课3分、探索新知10分、典例示范10分小结2分、巩固15分 学习过程 学案（学习过程）导案（学法指导）一.提出问题，创设情景 问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方 法，?分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？ 能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？ 问题2：把下列各式分解因式． （1）a2+2ab+b2 （2）a2-2ab+b2 二、探索新知 1、下列各式是不是完全平方式？ （1）a2-4a+4 （2）x2+4x+4y2 （3）x2-6x-9 （4）a2+a+0.25 方法总结：凡是可以写成a2+2ab+b2或a2-2ab+b2这 样形式的多项式，都可以用完全平方公式分解因式，即可 以把它们化为(a+b)2或(a-b)2的形式。因此，我们把形 如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式 . 2、完全平方公式： 文字叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积 的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 a2+2ab+b2＝（a+b）2 a2-2ab+b2＝（a-b）2 导课： 通过问题导入。 所设置的问题也是前面 学习的乘法公式。 让学生分析、讨论、总 结，最后总结方法，必 要时教师可适度引导。 完全平方公式其实就是 乘法公式的逆运算。
苏教科版初中数学七年级下册 9.4.3 乘法公式导学案(新版)
苏教科版初中数学 重点知识精选 掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！ 9.4.3 乘法公式
姓名_________ 学号_________ 班级__________ 一、【学习目标】 通过图形面积的计算,感受乘法公式的直观解释. 二、【学习重难点】 灵活运用乘法公式 三、【自主学习】 一.复习: 叙述乘法公式的内容：2)(b a +=2a +2ab+2b 2)(b a -=2a -2ab+2b (a+b)(a-b)=2a -2b 2.公式运用： ①()()22 2b a b a +=++ ②()()222b a b a -=++ ③()()()=-++22b a b a ④()()()=--+22b a b a ⑤()()()22b a b a +=+- ⑥()( )()22b a b a -=++ 四、【合作 探究】 1.学习例1.用乘法公式计算： （1） 2)35(p + （2） 2 )72(y x - （3） 2)52(--a （4） )5)(5(b a b a -+ 直接用公式进行计算和上面公式进行对照和哪一个相似？ 第（3）题先比较2)52(--a 与2)52(+a 的异同，并判断它们的值是否相等？ 2.学习例2计算： （1）)9)(3)(3(2++-x x x （2） 22)32()32(-+x x
五、【达标巩固】 1．填空：4 1)(9 1)2131(22++=-m m ； 2.选择： ①如果1212++ax x 是两个数的和的平方的形式，那么a 的值是（ ） A ．22 B ．11 C ．±22 D ．±11 ②若()()A y x y x +-=+222323，则代数式A=（ ） A ．xy 12- B ．12xy C ．24xy D ．-24xy 3.利用乘法公式进行计算： (1))1)(1)(1)(1(42++-+x x x x (2) (3x+2)2-(3x-5)2 (3) (x-2y+1)(x+2y-1) (4) (2x+3y)2 (2x-3y)2 4.已知a+b=-2,ab=-15求a 2+b 2. 板书设计： 9.4乘法公式(3) 2)(b a +=2a +2ab+2b
小学数学所有图形计算公式
小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积a:棱长 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积C周长∏ d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r
(2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数
2017因式分解导学案.doc
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值
2019-2020学年七年级数学下册 8.5 乘法公式导学案1(新版)冀教版.doc
2019-2020学年七年级数学下册 8.5 乘法公式导学案1（新版）冀教 版 【学习目标】 1、理解平方差公式推导和意义。 2、熟悉平方差公式的使用条件，熟练利用平方差公式进行多项式的乘法。 3、能利用平方差公式进行简便运算。 【学习重点】 平方差公式的推导及应用。 【学习难点】 【预习自测】 对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。 一、创设情景，导入课题 1、完成下列练习： ①（x+1）（x－1）=__________________________=( )2+( )2 ②（2m＋n）（2m－n）=_______________________( )2+( )2 ③（3－x）（3＋x）=__________________________( )2+( )2 ④（a＋b）（a－b）=____________________________( )2+( )2 2、问题：在完成上述练习过程中，你发现了什么特点？ 【合作探究】 二、交流探索，归结公式 1、对上面的问题进行整理归纳，并回答下面的问题。 回答问题：①②③④小题等式左边有哪些特点？ 回答问题：①②③④小题等式右边有哪些特点？ 2、归结 平方差公式：两数和与这两数差的积等于这两数的______。即：（a+b）(a-b)= ______。特征：（1）两个二项式相乘时，有一项相同，另一项符号相反，积等于相同项的平方减去相反数项的平方（2）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式。 注意：第（2）点是判断的依据和方法。 【解难答疑】 例1、计算(1)(2x+y)(2x-y) (2)(-5a+3b)(-5a-3b) (3)( 1 3 a-b)(-b- 1 3 a) (4)(3a+b-2)(3a-b+2) 步骤：1、判断；2、调整；3、分步解。（注意：要用好括号；幂的运算。） 例2、用平方差公式计算 （1）101×99 （2）59.8×60.2
小学数学所有图形计算公式
小学数学图形计 算公式 1 正方形 C周长S面积a边长 周长=边长X 4 C=4a 面积=边长X边长 S=a X a 2 正方体 V: 体积a: 棱长 表面积二棱长X棱长X 6 S 表=a X a X 6 体积二棱长X棱长X棱长 V=a X a X a 3 长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)X 2 C=2(a+b) 面积=长＞宽
S=ab 4 长方体 V: 体积s: 面积a: 长b: 宽h:高(1)表面积(长＞宽+长＞高+宽滴)X 2 S=2(ab+ah+bh) ⑵体积=长＞宽滴 V=abh 5 三角形 s面积a底h高 面积=底＞高宁2 s=ah —2 三角形高二面积X 2底 三角形底二面积X 2髙 6平行四边形 s 面积a 底h 高面积=底＞髙
s=ah 7梯形 s 面积a 上底 b 下底h 高
面积=(上底+下底)高宁2 s=(a+b) x h—2 8 圆形 S面积C周长n d直径r二半径 (1)周长二直径xn =2x半径 C=n d=2 nr ⑵面积二半径x半径xn 9 圆柱体 v: 体积h: 高s;底面积r: 底面半径c: 底面周长 (1)侧面积二底面周长滴 (2)表面积二侧面积+底面积x 2 ⑶体积二底面积x高(4)体积=侧面积—2半径 10 圆锥体 v: 体积h: 高s;底面积r: 底面半径体积二底面积＞高—3 总数速、份数=平均数
和差问题的公式 （和+差）宁十大数 （和一差）十鼻小数 和倍问题 和—倍数—1）=小数 小数X咅数=大数 （或者和—小数=大数） 差咅问题 差—倍数—1）=小数 小数＞1倍数=大数 （或小数+差=大数） 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴ 如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数=段数+ 1=全长—株距—1 全长=株距＞株数—1） 株距=全长—株（数—1） ⑵ 如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数=段数=全长联距全长=株距＞株数 株距=全长联数
完全平方公式导学案
完全平方公式导学案 学习目标：1、会推导完全平方公式，掌握完全平方公式并能灵活运用 公式进行简单计算。 2、会用几何拼图方式验证平方差公式 教学过程： 一、知识回顾：请同学们应用已有的知识完成下面的几道题： （1）2)32(-x =91249664)32)(32(22 +-=+--=--x x x x x x x （2）2 )32(+x = ; （3）2 )2(y x += ; （4）2 )2(y x -= ; （5）2 )5(+a = ; （6）2)5(-a = ; 二、探究新知： 活动1：观察上面6道题中等式左边的形式和最终计算出的结果，发现其中的规律： 1、左边都是 形式，右边都是 次 项式 2、左边第一项和右边第一项有什么关系？ 3、左边第二项与右边最后一项是什么关系？ 4、右边中间一项与左边两项的关系是什么？ 归纳：完全平方公式：（a+b ）2 = （a-b ）2 = 语言叙述： 三、新知应用（参考P41例1格式步骤．．．． ，完成下列各题） 计算：（1）2)2(b a + （2）2)43(y x -（3）2 )2(a xy - （4）2 )4(y x +-（5）2 )2 1 (-a （6）2)3 13(b ab - 四、拼图游戏 活动2：其实我们还可以从几何的角度去解析完全平方公式， 你能通过下面的拼图游戏说明完全平方公式吗？ 问题1你能根据图1谈一谈 （a + b ）2=a 2 + 2ab+b 2 吗？ 问题2你能根据图2,谈一谈 （a －b ）2=a 2－2ab+b 2吗？ 五、课堂练习 （1）2 )32(+x （2）2 )32(--x （3）2 )32(-x （4）2 )32(+-x 如果两个数是相同的符号，则结果中的每一项的符号 的， 如果两个数具有不同的符号，? 则 ； 六、教学反思 你发现了吗？
新人教版八年级数学上册第14章整式的乘除与因式分解第2节乘法公式(第2课时)导学案
新人教版八年级数学上册第14章整式的乘除与因式分解第2节乘法 公式（第2课时）导学案 学习目标： 1.理解两数和的平方的公式，掌握公式的结构特征，并熟练地应用公式进行计算. 2.经历探索两数和的平方公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力. 3.培养学生探索能力和概括能力，体会数形结合的思想. 学习重点：对两数和的平方公式的理解，熟练完全平方公式进行简单的计算. 学习难点：对公式的理解，包括它的推导过程，结构特点，语言表述及其几何解释. 学习过程： 一.自主学习 （1）两数和乘以这两数的差的公式是什么？ （2）口述多项式乘以多项式法则. （3）计算（2x－1）（3x－4）（5x＋3）（5x－3） 二.合作探究 1.情景问题：有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果来招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每人三块…… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第二天有b个女孩一起去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第三天这（a＋b）个孩子一起去看老人，老人一共给了这些孩子多少块糖？（4）这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？ 2.自主总结出公式，导出：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍 用面积法检验公式：先观察右图，再用等式表示下图中图形面积的运算.
3拼图导出： （a+b ）2=a 2+2ab+b 2 你能根据图1,谈一谈 （a+b ）2=a 2+2ab+b 2 吗？ （a －b ）2=a 2－2ab+b 2 你能根据图2,谈一谈 （a －b ）2=a 2－2ab+b 2 吗？ 4.写出公式. （1）（a ＋b ）2 （2）（a - b ）2 5.提高：可将（a －b ）看成是[a ＋(－b)]，就将减法统一成加法，即： ()()2222222)()(2][b ab a b b a a b a b a +-=-+-+=-+=-， ()222 2b ab a b a +-=-在今后的计算中可直接应用. （1） ( )2 2y x +- （2）()2 52b a -- （3） 三．随堂练习 1.计算：⑴（2a ＋3b ）2 ； ⑵（2a ＋2 b ）2 2.计算： （1）（a －b ）2 ； （2）（2x －3y ）2 2 21??? ? ??--x
完全平方公式导学案
完全平方公式导学案 姓名： 一自主学习 1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律 (1)(p+1)2=(p+1)(p+1）=; (2)(m+2)2=; (3)(p-1)2=(p–1)(p–1）=; (4)(m-2)2=. 猜测：(a+b)2= (a-b)2= 2.你能通过计算验证你的猜想吗试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。 3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗 （1）(a+b)2=a2+2ab+b2 探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加b， 形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。 ①整体看： 是边长为的大正方形，面积=； ②部分看：（用分割法）四块面积分别为， 四块面积的和=。 所以= （2）(a–b)2=a2–2ab+b2 探究2.如图一块边长为a的正方形，现将其边长减少b， 形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。（试着画一画图） ①整体看： 是边长为的正方形，面积=； ②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积 所以= 4.试着用文字来描述这两个公式： 5.判断计算结果正误，错误的请写出正确答案 （1）(a+1)2=a2+1 （2）(a-2)2=a2-4 （3）(a-2b)2=a2-2ab+2b2
二.新知讲授 例1．运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2(2)992练习运用完全平方公式计算 （1）(2x+1)23 （2）(x- 42 3 y)2 （3）1022(4)(-x-2y)2 例2.若a+b=5,ab=-6,求a2+b2的值。 小测 1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a+b)2=a2+b2；（）(2)(a-b)2=a2-b2；（） (3)(a+b)2=(-a-b)2；（）(4)(a-b)2=(b-a)2（）2、计算(1)（x–2y）2(2)（-x-y）2 3、已知x–y=8，xy=12，求x2+y2的值
小学数学中的计算公式大全{完整
小学数学中的计算公式大全 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形：C周长S面积a边长 周长＝边长×4C=4a 面积=边长×边长S=a×a
2、正方体：V:体积a:棱长表面积=棱长
×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形：C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体：V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5、三角形s面积a底h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6、平行四边形：s面积a底h高 面积=底×高s=ah 7、梯形：s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)×h÷2 8 、圆形：S面C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9、圆柱体：v：体积h:高s：底面积r：底面半径c：底面周长
【学案】初中数学《完全平方公式》导学案
初中数学 完全平方公式（学案） 一、学习目标 1．会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算 2．了解完全平方公式的几何背景 二、学习重点：会用完全平方公式进行运算 三、学习难点：理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算 四、学习设计 （一）预习准备 （1）预习书p47-49 （2）思考：和的平方等于平方的和吗？ （3）预习作业： （1）(32)(32)a b a b -+= （2）(32)(32)a b a b --=＝ （3）2(1)(1)(1)p p p +=++= （4）2(2)m += （5）2(1)(1)(1)p p p -=--= （6）2(2)m -= （7）2()a b += （8）2()a b -= （二）学习过程 观察预习作业中（3）（4）题，结果中都有两个数的平方和，而 221,422p p m m ==，恰好是两个数乘积的二倍． （3）、（4）与（5）、（6）比较只有一次项有符号之差，（7）、（8）更具有一般性，我认为它可以做公式用． 因此我们得到完全平方公式： 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加（或减）它们的积的 倍． 公式表示为：2()a b += 2()a b -= 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央（加减看前方，同号加异号减） 例1．应用完全平方公式计算： （1）2(4)m n + （2）21()2 y - （3）2()a b -- （4）2(2)x y -+
变式训练1： 1．纠错练习.指出下列各式中的错误，并加以改正： （1）22(21)221a a a -=-+ （2）22(21)41a a +=+ （3）22(1)21a a a --=--- 2．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 分析：完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同： 222()2a b a ab b ±=±+ 22()()a b a b a b +-=- 结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项 3．计算： （1）2(12)x -- （2）2(21)x -+ （3）()()n m n m +--22 （4）??? ??-??? ??+b a b a 2131213 1 例2．计算： （1）)4)(2)(2(22y x y x y x --+； （2）22)32 1()321(b a b a +-； （3）)432)(432(-++-y x y x . 方法小结 （1）当两个因式相同时写成完全平方的形式；（2）先逆用积的乘方法则，再用乘法公式进行计算；（3）把相同的结合在一起，互为相反数的结合
231.因式分解公式法(一)学案(试题+参考答案)
公式法（一） 【目标导航】 能说出平方差公式的特征，并熟练地利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解． 【复习导入】 把下列各式分解因式： 1．－4m3＋16m2－26m； 2．(x－3)2＋(3x－9)； 3．－m2n(x－y)n＋mn2(x－y)n＋1； 4（2011福建福州）分解因式：225 x-=. 5．y2－25 【合作探究】 1．由练习中4、5说出分解依据及多项式的特点： 2．由乘法中的平方差公式反过来，得到因式分解中的平方差公式： 【合作探究】 练习：下列各多项式能否用平方差公式分解因式？为什么？ (1) x2＋y2；(2) x2－y2；(3)－x2＋y2； (4)－x2－y2；(5) 1 4 a2b2－1；(6) x4－y4. 例1 把下列多项式分解因式 (1) 4x2－9； (2) (x＋p)2－(x＋q)2； (3) 16－ 1 25 m2； (4)－(x＋2)2＋16(x－1)2． 例2 把下列多项式分解因式 (1) x4－y4； (2) （2011贵州安顺）因式分解：x3－ 9x= ． (3)－ 1 4 xy3＋0.09xy； (4)a2－b2＋a－b； (5)(p－4)(p＋1)＋3p. 练习：把下列多项式分解因式 (1) a2－ 1 25 b2； (2) 9a2－4b2； (3) （2011广西南宁）把多项式x3-4x分解因 式所得的结果是（） (A) x (x2－4) (B) x（x+4）（x－4） (C) x（x+2）（x－2）(D)（x+2）（x－2） (4)－a4＋16； (5) m4(m－2)＋4(2－m) 例3 在实数范围内分解因式 (1) x2－2； (2) 5x2－3. 例4(1) 计算：9972－9 (2)设n是整数，用因式分解的方法说明： (2n＋1)2－25能被4整除． (3) 已知x、y为正整数，且4x2－9y2=31， 你能求出x、y的值吗？ 【课堂操练】 1．9a2－ =(3a＋b)(3a－b). 2．分解因式:4x2－9y2= ； 3x2－27y2= ； a2b－b3= ； 2x4－2y4= . 3．下列各式中，能用平方差公式分解的是（） A. x2＋y2 B. x2＋y4 C. x2－y4 D. x2－2x 4．已知－(2a－b)(2a＋b)是下列一个多项式分解 因式的结果，这个多项式是（） A. 4a2－b2 B.4a2＋b2 C. －4a2－b2 D. －4a2＋b2 5．分解因式： (1)9a2－ 1 4 b2； (2)2x3－8x； (3)(m＋a)2－(n－b)2. 【课后巩固】 1.把下列各式分解因式： (1) 9(m＋n)2－(m－n)2 (2) p4－16 (3) －(x＋2y)2＋(2x＋3y)2
八年级数学上教案乘法公式习题课(1)导学案
课题：乘法公式习题课 【学习目标】 理解添括号法则，会灵活应用平方差公式、完全平方公式进行运算． 【预习案】 1．平方差公式： ； 2．完全平方公式： （1） (a ＋b )2= ；（2） (a －b )2= ． 【探究案】 探究1 观察下列式子并填空 （1）=-=+-=++-+222)(]2)][(2)[()2)(2(b a b a ． （2）=-=-+=--++22)( )]( )][([)1)(1(x x x y x y x ． （3）=? ?+=+=++)( 2)(])[()2(222c b a ． （4）=? ?-=- =--)( 2)(])[()32(222y x ． 探究2 运用乘法公式计算 （1）22)()(b a b a --+ （2）))()((2 2y x y x y x --+ （3）()()2 2 22y x y x -+ 探究3 完全平方公式变形 公式变形1：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(2 22+-=+ 公式变形2：ab b a b a 4)()(2 2+-=+ ()()ab b a b a 42 2 -+=- 1. 已知5a b +=，6ab =，求下列各式的值． （1）2 2 a b +； （2）()2 a b -； （3）2 2 a a b b -+； （4）4 4 a b +． 2．已知7a b +=，2225a b +=，且a b >，求a －b 的值． 3．已知229a b +=，2()5a b -=，求2 ()a b +和ab ． 探究4 齐次式 （1） 因为21()x x += ，所以22 1 x x + = ， 因为21()x x -= ，所以221 x x += ． （2）已知15x x + =，求下列各式的值：①221x x +；②21()x x -；③4 41x x +． 探究5 完全平方式与配方法 1．填空：（1）x 2－10x ＋______＝( －5)2 ； （2）x 2＋______＋16＝(______－4)2； （3）x 2－x ＋______＝(x －______)2； （4）4x 2＋______＋9＝(______＋3)2． 2．（1）若k x x ++22 是完全平方式，则k = ． （2）若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 ． （3）已知m 为整数，多项式42++mx x 是完全平方式，则m =___________． （4）如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = ． （5）多项式291x +加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可 以是 （填上你认为正确的所有的可能情况）. 3．（1）5－(a －b )2的最大值是________，当5－(a －b )2取最大值时，a 与b 的关系是________. （2）当x = 时，多项式2 67x x -+有最 值为____________． （3）已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 4．试说明不论x ，y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数．
初中数学各种公式 完整版
数学各种公式及性质 1．乘法与因式分解 ①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； ④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。2．幂的运算性质 ①a m×a n＝a m+n；②a m÷a n＝a m-n；③(a m)n＝a mn；④(ab)n＝a n b n；⑤(a b )n＝ n n a b ； ⑥a-n＝1 n a ，特别：()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。 3．二次根式 ①()2＝a(a≥0)；②＝丨a丨；③＝×；④＝(a＞0，b≥0)。 4．三角不等式 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）； 加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b） |a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ； |a-b|≥|a|-|b|；-|a|≤a≤|a|； 5．某些数列前n项之和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2； 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)；12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4；1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；6．一元二次方程 对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x 24 b b ac -±-△＝b2－4ac叫做根的判别式。 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。 ②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)。
完全平方公式导学案
14.2.2 完全平方公式导学案姓名： 一自主学习 1.计算并观察下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=( p+1) ( p+1）= ; (2) (m+2)2= ; (3) (p-1)2 =( p–1) ( p–1）= ; (4) (m-2)2= . 猜测：(a+b)2 = (a-b)2 = 2.你能通过计算验证你的猜想吗？试着计算(a+b)2、(a-b)2的结果。 3.你能从几何的角度来验证这个猜想吗？ （1）(a+b)2 =a2+2ab+b2 探究1.如图，一块边长为a的正方形，现将其边长增加 b， 形成一个大正方形，请用不同的方法来表示大正方形的面积。 ①整体看： 是边长为的大正方形，面积= ； ②部分看：（用分割法）四块面积分别为， 四块面积的和= 。 所以= （2）(a–b)2 =a2–2ab+b2 探究2.如图一块边长为a的正方形，现将其边长减少 b， 形成一个新的正方形，请用不同的方法来表示形成的新正方形的面积。（试着画一画图） ①整体看： 是边长为的正方形，面积= ； ②间接计算：你能用什么方法表示出新的正方形的面积？ 所以= 4.试着用文字来描述这两个公式： 5.判断计算结果正误，错误的请写出正确答案 （1）(a+1)2=a2+1 （2）(a-2)2=a2-4 （3）(a-2b)2=a2-2ab+2b2
二. 新知讲授 例1．运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2 (2) 992 练习运用完全平方公式计算 （1）(2x+1)2 （2）2)32 43(y x - （3）1022 (4) (- x -2y )2 例2. 若 求a 2 + b 2的值。 小测 1、判断正误：对的画“√”，错的画“×”，并改正过来. (1)(a +b )2=a 2+b 2；（ ） (2)(a -b )2=a 2-b 2；（ ） (3)(a +b )2=(-a -b )2；（ ） (4)(a -b )2=(b -a )2（ ） 2、计算(1)（x –2y ）2 (2)（- x - y ）2 3、已知 x – y = 8，xy = 12，求 x 2 + y 2 的值 ,6,5-==+ab b a
45.3.2因式分解公式法(第1课时)
14．3．2公式法导学案（第1课时） 备课时间： 主备：张洪波 高永爱 审核：高永爱 使用时间： 【学习目标】 1.运用平方差公式分解因式，能说出平方差公式的特点. 2.会用提公因式法与平方差公式法分解因式． 3.会两次运用平方差公式分解因式，知道因式分解必须进行到不能分解为止. 【学习重难点】 学习重点:用平方差公式法进行因式分解. 学习难点:把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式分解因式 【自主学习】 1、对于等式x 2+x = x (x+1)： 1) 如果从左到右看，是一种什么变形？ 2) 什么叫因式分解？这种因式分解的方法叫什么？ 3) 如果从右到左看，是一种什么变形？ 4) 因式分解和整式乘法是两种互为_______的变形. 【合作探究】 探究一： 1.计算：（1）（x-1）(x+1)=_________;(2)(y+4)(y-4)=_______ 2.根据1题的结果分解因式：（1）21_____x -=;(2)216________y -= 3.你能将22a b -进行因式分解吗？你是如何思考的？ 分析：要将22a b -进行因式分解，可以发现它_________公因式，不能用提公因式法分解因式，但我们还可以发现这个多项式是两个数的 ____________ 形式，所以用平方差公式可以写成如下 形式：
结论：多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的方法称为运用公式法。 拓展延伸： 1．把一个单项式写成平方的形式： （1）24a =（ ）2；（2）40.16a =（ ）2；（3）221.21a b =（ ）2； 例1：分解因式：（１）；249x -； （２）22()()x p x q +-+ （３）．22221.1b b a - 结论：（1）中的_______（2）中的________和（３）中的________相当于平方差公式中的a ；（1）中的______（2）中的_________和（３）中的__________相当于平方差公式中的b ，这说明公式中的a 和b 可以表示一个数，也可以表示一个单项式，或是多项式，只要符合公式的特点( )()22-，就可以运用公式分解因式． 总结平方差公式的特点： ①左边是二项式，每项都是 的形式，两项的符号 . ②右边是两个多项式的 ，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 . 例2：因式分解：（1）44x y - ； （2）3a b ab -； 【尝试应用】 1．口答：①24x -=_________ ②29t -= ③21649____m -= ④2254______x -+= 2．因式分解： （1）22125 a b -； （2）2294a b -； （3）24x y y -；
乘法公式(1)教学案
乘法公式(1)教学案 以下是为您推荐的乘法公式(1)教学案希望本篇文章对您学习有所帮助。 乘法公式(1)教学案 学习目标 1、通过运算多项式乘法，来推导平方差公式，学生的认识由一般法则到特殊法则的能力。 2、通过亲自动手、观察并发现平方差公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义。 3、初步学会运用平方差公式进行计算。 学习重难点重点是平方差公式的推导及应用。 难点是对公式中a，b的广泛含义的理解及正确运用。 自学过程设计教学过程设计 看一看 认真阅读教材，记住以下知识： 文字叙述平方差公式：_________________ 用字母表示：________________ 做一做： 1、完成下列练习： ①(m+n)(p+q) ②(a+b)(x-y) ③(2x+3y)(a-b) ④(a+2)(a-2)
⑤(3-x)(3+x) ⑥(2m+n)(2m-n) 想一想 你还有哪些地方不是很懂?请写出来。 _______________________________ _______________________________ ________________________________. 1.下列计算对不对?若不对，请在横线上写出正确结果. (1)(x-3)(x+3)=x2-3( )，__________; (2)(2x-3)(2x+3)=2x2-9( )，_________; (3)(-x-3)(x-3)=x2-9( )，_________; (4)(2xy-1)(2xy+1)=2xy2-1( )，________. 2.(1)(3a-4b)( )=9a2-16b2; (2)(4+2x)( )=16-4x2; (3)(-7-x)( )=49-x2; (4)(-a-3b)(-3b+a)=_________. 3.计算：5049=_________. 应用探究 1.几何解释平方差公式 展示：边长a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 (1)请计算图的阴影部分的面积(让学生用正方形的面积公式计算)。 (2)小明将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长与宽是多少?你能表示出它的面积吗?
小学数学一到六年级所有的计算公式
小学数学一到六年级所有的计算公式！考试必备！ 小学阶段的学生通常在学习上存在着总结归纳能力欠缺等问题，为了很好地帮助孩子系统地掌握小学阶段的数学知识，小编把小学数学一年级到六年级所有的计算公式都进行了整理和总结，就在下面↓ 小学数学图形计算公式 ? 平面图形的周长 1.长方形的周长=（长+宽）×2，C=（a+b）×2 2.正方形的周长=边长×4，C=4a 3.直径=半径×2，d=2r；半径=直径÷2，r=d÷2 4.圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2，c=πd=2πr ? 平面图形的面积 1.长方形的面积=长×宽，S=ab 2.正方形的面积=边长×边长，S=a×a= a2 3.三角形的面积=底×高÷2，S=ah÷2 4.平行四边形的面积=底×高，S=ah 5.梯形的面积=（上底+下底）×高÷2，S=（a+b）h÷2 6.圆的面积=圆周率×半径×半径，S=πr2 7.长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（ab+ah+bh）×2 8.正方体的表面积=棱长×棱长×6，S=6 a2 9.圆柱的侧面积=底面圆的周长×高，S=ch 10.圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积，S=2πr2 +2πrh
立体图形的体积1.长方体的体积 =长×宽×高，V =abh 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，V=a×a×a= a3 3.圆柱的体积=底面积×高，V=Sh，V=πr2h 4.圆锥的体积=底面积×高÷3，V=Sh÷3=πr2h÷3 具体情景问题 ? 和、差、倍问题（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数 和÷（倍数+1）=小数，小数×倍数=大数（或者和-小数=大数）差÷（倍数-1）=小数，小数×倍数=大数（或小数+差=大数） ? 植树问题 （1 ）非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形： a.如果在非封闭线路的两端都要植树，那么： 株数=段数+1=全长÷株距+1 全长=株距×（株数-1） 株距=全长÷（株数-1） b.如果在非封闭线路的一端要植树，另一端不要植树，那么： 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数 c.如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么： 株数=段数-1=全长÷株距-1 全长=株距×（株数+1） 株距=全长÷（株数+1） （2）封闭线路上的植树问题的数量关系如下： 株数=段数=全长÷株距 全长=株距×株数 株距=全长÷株数
完全平方公式导学案
完全平方公式 【学习目标】 会运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 【学习重点】 运用完全平方公式进行一些数的简便运算。 【学习难点】 灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算。 【学习过程】 一、预习准备 1．利用完全平方公式计算 （1） （2） （3） （4）2．计算： （1） （2）平方差公式和完全平方公式的逆运用 由 反之 反之 二、课堂练习 1．填空： （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）若 ，则k = （8）若是完全平方式，则k = 298220321022 19722(3)x x +-22 (1)(1)ab ab +--()()22b a b a b a -=-+()() b a b a b a -+=-22()2222b ab a b a +±=±()2 222b a b ab a ±=+±24(2)()a a -=+225(5)()x x -=-22()( ) m n -=264()()x -=2449(27)() m m -=-442222()()()()() a m a m a m -=+=+22)2(4+=++x k x x 92++kx x
例1． 计算：1． 2．现在我们从几何角度去解释完全平方公式：从图（1）中可以看出大正方形的边长是a+b ，它是由两个小正方形和两个矩形组成， 所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和。则S ＝ ＝ 即： 如图（2）中，大正方形的边长是a ，它的面积是 ；矩形DCGE 与矩形BCHF 是全等图形，长都是 ，宽都是 ，所以它们的面积都是 ；正方形HCGM 的边长是b ，其面积就是 ；正方形AFME 的边长是 ，所以它的面积是 。从图中可以看出正方形AEMF 的面积等于正方形ABCD 的面积减去两个矩形DCGE 和BCHF 的面积再加上正方形HCGM 的面积。 也就是：（a-b ）2= 。这也正好符合完全平方公式。 例2．计算： （1） （2）三、变式训练： （1） （2）()()42122+--+a a a ()()2 21212+--xy xy 2(3)x y --2 ()a b c ++2)3(-+b a ) 2)(2(-++-y x y x