同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章-导数与微分
第二章 导数与微分 教学目的: 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,熟练掌握基本初等函数的导数公式,了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念,会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数。 教学重点: 1、导数和微分的概念与微分的关系; 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则; 3、基本初等函数的导数公式; 4、高阶导数; 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点: 1、复合函数的求导法则; 2、分段函数的导数; 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1.直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s ??=??, 这个比值可认为是动点在时间间隔t ?t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t ?t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f ??的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t ??=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2.切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT , 直线MT就称为曲线C有点M处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0000) ()(tan x x x f x f x x y y ??=??=?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x ??=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 令, x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x ??→ . , 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x ?y =f (x 0+?x )?f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ???+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域
第二章 函数与导数第2课时 函数的定义域和值域 第三章 (对应学生用书(文)、(理)9~10页 ) 1. (必修1P 27练习6改编)函数f(x)=x +1+12-x 的定义域为________. 答案:{x|x≥-1且x≠2} 2. (必修1P 27练习7改编)函数f(x)=(x -1)2-1,x ∈{-1,0,1,2,3}的值域是 ________. 答案:{-1,0,3} 解析:f(-1)=f(3)=3,f(0)=f(2)=0,f(1)=-1,则所求函数f(x)的值域为{-1,0,3}. 3. (必修1P 31习题3改编)函数f(x)=2x 5x +1 的值域为____________. 答案:? ?????y|y≠25 解析:由题可得f(x)=2x 5x +1=25-25(5x +1).∵ 5x +1≠0,∴ f (x)≠25 ,∴ 值域为? ?????y|y≠25. 4. (原创)下列四组函数中的f(x)与g(x)表示同一函数的有________.(填序号) ① f(x)=x 0,g(x)=1x ; ② f(x)=x x ,g(x)=x ; ③ f(x)=x 2,g(x)=(x)4; ④ f(x)=|x|,g(x)=? ????x ,x ≥0,-x ,x<0.
答案:④ 解析:两个函数是否为同一函数,主要是考查函数三要素是否相同,而值域是由定义域和对应法则所唯一确定的,故只须判断定义域和对应法则是否相同,④符合. 5. (必修1P 36习题13改编)已知函数f(x)=x 2-2x ,x ∈[a ,b]的值域为[-1,3],则 b -a 的取值范围是________. 答案:[2,4] 解析:f(x)=x 2-2x =(x -1)2-1,因为x∈[a,b]的值域为[-1,3],所以当a =-1 时,1≤b ≤3;当b =3时,-1≤a≤1,所以b -a∈[2,4]. 1. 函数的定义域 (1) 函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合. (2) 求定义域的步骤 ① 写出使函数式有意义的不等式(组). ② 解不等式组. ③ 写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出). (3) 常见基本初等函数的定义域 ① 分式函数中分母不等于零. ② 偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③ 一次函数、二次函数的定义域为R . ④ y =a x ,y =sinx ,y =cosx ,定义域均为R . ⑤ y =tanx 的定义域为{x|x≠k π+π2,k ∈Z }. ⑥ 函数f(x)=x a 的定义域为{x|x≠0}. 2. 函数的值域 (1) 在函数y =f(x)中,与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值,函数值的集合叫函数的值域. (2) 基本初等函数的值域 ① y =kx +b(k≠0)的值域是R . ② y =ax 2+bx +c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为[4ac -b 24a ,+∞);当a<0时,值域为? ???-∞,4ac -b 24a . ③ y =k x (k≠0)的值域为{y|y≠0}. ④ y =a x (a>0且a≠1)的值域是(0,+∞). ⑤ y =log a x(a>0且a≠1)的值域是R . ⑥ y =sinx ,y =cosx 的值域是[-1,1]. ⑦ y =tanx 的值域是R . 3. 最大(小)值 一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1) 对于任意的x∈I,都有f(x)≤M(f(x)≥M); (2) 存在x 0∈I ,使得f(x 0)=M ,那么称M 是函数y =f(x)的最大(小)值. [备课札记]
第二章 导数与微分习题汇总
第二章 导数与微分 【内容提要】 1.导数的概念 设函数y =f (x )在x 0的某邻域(x 0-δ,x 0 + δ)(δ>0)内有定义,当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时,相应地,函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-.若0→?x 时,极限x y x ??→?0lim 存在,则称函数y =f (x )在x =x 0处可导,称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数, 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时,改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数,记为)(0x f +'。 -→?0x 时,改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数,记为)(0x f -'。 2.导数的意义 导数的几何意义:)(0x f '是曲线y =f (x )在点(x 0,y 0)处切线的斜率,导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景,是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义:路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推,速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3.可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导,则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立,即连续未必可导。 4.导数的运算 定理1(代数和求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则 v u v u '±'='±)( 定理2(积的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则 v u v u uv '+'=')( 定理3(商的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,且v (x )≠0,则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??
基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点: 知识点一、基本初等函数的导数公式表(须掌握的知识点) 1、=c '0 2、 =n n x nx -1'() (n 为正整数) 3、 ln =x x a a a '() =x x e e '() 4、ln =a long x x a 1'() 5、ln =x x 1 '() 6、sin cos =x x '() 7、 cos sin =-x x '() 8、=-x x 211'() 知识点二:导数的四则运算法则 1、v =u v u '''±±() 2、 =u v uv v u '''+() 3、(=Cu Cu '' ) 4、u -v =u v u v v 2'''() 知识点三:利用函数导数判断函数单调性的法则 1、如果在(,)a b ,()f x '>0,则()f x 在此区间是增区间,(,)a b 为()f x 的单调增区间。 2、如果在(,)a b ,()f x '<0,则()f x 在此区间是减区间,(,)a b 为()f x 的单调减区间。 一、计算题 1、计算下列函数的导数; (1)y x 15= (2) )-y x x 3=≠0( (3))y x x 54=0 ( (4))y x x 23=0 ( (5))-y x x 23 =0 ( (6)y x 5=
(7)sin y x = (8)cos y x = (9)x y =2 (10)ln y x = (11)x y e = 2、求下列函数在给定点的导数; (1)y x 1 4= ,x =16 (2)sin y x = ,x π =2 (3)cos y x = ,x π=2 (4)sin y x x = ,x π =4 (5)3y x = ,11 28(,) (6)+x y x 2=1 ,x =1 (7)y x 2 = ,,24()
基本初等函数的导数公式的推导过程
基本初等函数的导数公式推导过程 一、幂函数()f x x α=(α∈Q *)的导数公式推导过程 命题 若()f x x α=(α∈Q *),则()1f x x αα-'=. 推导过程 ()f x ' ()()()()()()000112220 011222011222011220 lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα αααααααααααααααααααααααα ααααααα?→?→--?→--?→--?→--?→+?-=?+?-=?+?+?++?-=?-+?+?++?=??+?++?=?=+?++L L L L ()11 11 C x x x ααααααα---?== 所以原命题得证. 二、正弦函数()sin f x x =的导数公式推导过程 命题
推导过程 ()f x ' ()() ()()()()0000020lim sin sin lim sin cos cos sin sin lim cos sin sin cos sin lim cos sin sin cos 1lim cos 2sin cos sin 12sin 1222lim x x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→+?-=?+?-=??+?-=??+?-=??+?-=???????????+?-- ? ????????=2 00002sin cos cos 2sin sin 222lim 2sin cos cos sin sin 222lim 2sin cos 22lim sin 2lim cos 22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→????????- ???=???????- ???=?????+ ???=?????????=+??? ???????? 当0x ?→时,sin 22 x x ??=,所以此时sin 212x x ?=?. 所以()0lim cos cos 2x x f x x x ?→???'=+= ??? ,所以原命题得证. 三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程 命题
2014年全国高考数学分类详解 第二章 函数与导数
第二章 函数与导数 一、函数及其表示 14.、[2014·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数,且在[0,2]上 的解析式为f (x )=? ????x (1-x ),0≤x ≤1,sin πx ,1(完整版)第二章.导数和微分答案解析
第二章 导数与微分 一 导数 (一) 导数的概念(见§2.1) Ⅰ 内容要求 (ⅰ)理解导数的概念及其几何意义,了解函数的可导性与连续性之间的关系。 (ⅱ)了解导数作为函数变化率的实际意义,会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 (ⅰ)用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1. 用导数定义求证下列导数公式,并记忆下列公式(每题4分) (1)0)(='C (2)21 )1(x x - =' (3)x x 21)(=' (4)x x sin )(cos -=' (5)a a a x x ln )(=' (6)1 )(-='μμμx x (ⅱ)确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2.(6分)求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解:x y 1' = ,1)1(' ==k y ,所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3.(6分)求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解:4 3 x y =,41 ' 43-=x y ,4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ,即4 143+=x y (ⅲ)科技中一些量变化率的导数表示 4.填空题(每题4分) (1)若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =,则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T (2)若某地区t 时刻的人口数为)(t N ,则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 (ⅰ)分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 (1)(7分)|sin |x y =
高考数学第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用
第二章 函数与导数第12课时 导数在研究函数中的应用 第三章 (对应学生用书(文)、(理)30~32页 ) , 1. (选修22P 28例1改编)函数f(x)=x 3 -15x 2 -33x +6的单调减区间为______________. 答案:(-1,11) 解析:f′(x)=3x 2 -30x -33=3(x -11)(x +1),由(x -11)(x +1)<0,得单调减区间为(-1,11).亦可填写闭区间或半开半闭区间. 2. (选修22P 34习题3改编)若函数f(x)=e x -ax 在x =1处取到极值,则a =________. 答案:e 解析:由题意,f ′(1)=0,因为f′(x)=e x -a ,所以a =e. 3. (选修22P 34习题8)函数y =x +sinx ,x ∈[0,2π]的值域为________. 答案:[0,2π] 解析:由y′=1+cosx ≥0,所以函数y =x +sinx 在[0,2π]上是单调增函数,所以值域为[0,2π]. 4. (原创)已知函数f(x)=-12x 2 +blnx 在区间[2,+∞)上是减函数,则b 的取值范 围是________. 答案:(-∞,4] 解析:f′(x)=-x +b x ≤0在[2,+∞)上恒成立,即b≤x 2 在[2,+∞)上恒成立. 5. (选修22P 35例1改编)用长为90cm 、宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻折90°角,再焊接而成,则该容器的高为________cm 时,容器的容积最大. 答案:10 解析:设容器的高为xcm ,即小正方形的边长为xcm ,该容器的容积为V ,则V =(90- 2x)(48-2x)x =4(x 3-69x 2+1080x),00;当10基本初等函数的导数公式表
导数基本知识汇总试题 基本知识点: 知识点一、基本初等函数的导数公式表(须掌握的知识点) 1、"0 2、 (乂7二心I (n 为正整数) 3、 Ca x y=a x \na Ce x y=e x (long a xy=-^— 4、 xina (lnxX=- 5、 x 6、 (sin Q 二 cos x 7 (cos x )‘二-sin x '(ly=-± 8. x 对 知识点二:导数的四则运算法则 1、 ("土 v y=u ± v r 2、 (nv )r =u F v + //v r 3、 (Cu7=Cu 4、 v 知识点三:利用函数导数判断函数单调性的法则 1. 如果在广(力>°,则/a )在此区间是增区间,为/(X )的单调增区间。 2、如果在(""),广(x )v0,则/(x )在此区间是减区间,(心)为/(X )的单调减区 间。 一、计算题 1. 计算下列函数的导数: (1) y = x 15 (2) y = x* (XH O) (3) 5 y = x 4 (x a 0) (4) 2 y = x^ (XA O) (5) 2 y = x 3 (X A 0) (6) y = x 5
(7) >,=v2 , 24) (7) y = sin x (8) y = cos x (9) y=r (10) y = In x (11) y = e x 2、求下列函数在给泄点的导数: 2 (1)尸存,“16 7T . X =— (4) y = xsinx , 4 x y = --- (6) 1+F ,兀=1 (2) y = sinx (3)y = cosx x = 2TT 3 (5) >,=v
高考数学第二章函数与导数第3课时函数的单调性
第二章函数与导数第3课时函数的单调性第三章(对应学生用书(文)、(理)11~12页) 1. (必修1P54测试4)已知函数y=f(x)的图象如图所示,那么该函数的单调减区间是
________. 答案:[-3,-1]和[1,2] 2. (必修1P 44习题2改编)下列函数中,在区间(0,2)上是单调增函数的是________.(填序号) ① y =1-3x ;② y=-1x ;③ y=x 2 +1;④ y=|x +1|. 答案:②③④ 3. (必修1P 44习题4改编)函数y =f(x)是定义在[-2,2]上的单调减函数,且f(a +1)2a , 解得-1≤a<1. 4. (必修1P 44习题3改编)函数y =(x -3)|x|的单调递减区间是________. 答案:???? ??0,32 解析:y =(x -3)|x|=?????-x (x -3),x<0,x (x -3),x ≥0, 画图可知单调递减区间是??????0,32. 5. (必修1P 54测试6改编)已知函数f(x)=mx 2 +x +m +2在(-∞,2)上是增函数,则 实数m 的取值范围是________. 答案:???? ??-14,0 解析:当m =0时,f(x)=x +2,符合;当m≠0时,必须?????m<0,-12m ≥2,解得-1 4≤m<0.综 上,实数m 的取值范围是-1 4 ≤m ≤0.
1. 增函数和减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数.(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间). 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法:利用定义严格判断. (2) 利用函数的运算性质. 如若f(x)、g(x)为增函数,则:① f(x)+g(x)为增函数;② 1 f(x) 为减函数(f(x)>0); ③ f(x)为增函数(f(x)≥0);④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);⑤ -f(x)为减函数.
基本初等函数及常数的导数公式
()()()()()()()( )( )()()1 222 2 ()'0 ()'()'ln '1 (log )'ln 1ln '(sin )'cos cos 'sin tan 'sec cot 'csc sec 'sec tan csc 'csc cot arcsin 'arccos '1arctan '11cot '1a a x x x x a c x ax a a a e e x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x x -========-==-==-= ==+-=+ 导数运算法则 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'''''''''u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x v x u x v x u x v x u x u x ±=±=+??-= ? ???????
1220 ln 1ln 1log ln sin cos cos sin tan sec cot csc sec sec tan csc csc cot arcsin arccos 1arctan 1arc cot u u x x x x a dc dx ux dx de e dx da a adx d x dx x d x dx x a d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx d x dx d x dx x d x -========-==-==-= ==+-=211dx x + 微分的四则运算: ()()2()0d u v du dv d uv udv vdu v udv vdu d u u u ±=±=+-??=≠ ???
2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示课时训练
第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示 1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个. ① A =N ,B =N *,f :x →y =|x -2|; ② A ={1,2,3},B =R ,f(1)=f(2)=3,f(3)=4; ③ A =[-1,1],B ={0},f :x →y =0. 答案:2 2. 已知函数y =f(x),集合A ={(x ,y)|y =f(x)},B ={(x ,y)|x =a ,y ∈R },其中a 为常数,则集合A ∩B 的元素有________个. 答案:0或1 解析:设函数y =f(x)的定义域为D ,则当a ∈D 时,A ∩B 中恰有1个元素;当a ?D 时,A ∩B 中没有元素. 3. 若f(x +1)=x +1,则f(x)=___________. 答案:x 2-2x +2(x ≥1) 解析:令t =x +1,则x =(t -1)2,所以f(t)=(t -1)2+1. 4. 已知函数φ(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x 的正比例函数,g(x)是x 的反比例函数,且φ????13=16,φ(1)=8,则φ(x)=________. 答案:3x +5 x (x ≠0) 解析:由题可设φ(x)=ax +b x ,代入φ????13=16,φ(1)=8,得a =3,b =5. 5. 已知函数f(x)=3x -1,g(x)=? ????x 2-1,x ≥0,2-x ,x<0.若x ≥1 3,则g(f(x))=________. 答案:9x 2-6x 解析:当x ≥1 3 时,f ()x ≥0,所以g(f(x))=(3x -1)2-1=9x 2-6x. 6. 工厂生产某种产品,次品率p 与日产量x(万件)间的关系为p =? ?? 1 6-x ,0c (c 为常数,且0c 解析:当x>c 时,p =23,所以y =????1-23·x ·3-23·x ·32=0;当02第二章 导数与微分答案
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1.填空题. (1) ()'f 0= 0; (2) (2, 4) (3) 1 . (4) =a 2 ,=b -1 . 2.选择题. (1)B ; (2)B ; (3) C ; (4)D ; (5) B ; (6)B 3.解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度,由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4.设()? x 在x a =处连续,()()()f x x a x =-?, 求()'f a ;若)(||)(x a x x g ?-=,()x g 在x a =处可导吗? 解(1)因为()? x 在x a =处连续, 故)()(lim a x a x ??=→,所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ (2)类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时,()0)(' ==a a g ?;当()0≠a ?时,())(' ' a g a g -+≠, 故这时()x g 在x a =处不可导。 5.求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
常用基本初等函数求导公式积分公式.doc
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) , (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设,都可导,则 ( 1)( 2)(是常数) ( 3)( 4) 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且,则它的反函数在对应区间内也可导,且 或 复合函数求导法则 设,而且及都可导,则复合函数的导数为 或 2. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数,它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出.
可以推出下表列出的公式: 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别, 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别,e x d x e x c ln a
⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别, a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别, a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式 学习目标: 掌握初等函数的求导公式; 学习重难点: 用定义推导常见函数的导数公式. 一、复习 1、导数的定义; 2、导数的几何意义; 3、导函数的定义; 4、求函数的导数的流程图。 (1)求函数的改变量()(x f x x f y -?+=? (2)求平均变化率 x y = ?? (3)取极限,得导数/y =()f x '=x y x ??→?0 lim 本节课我们将学习常见函数的导数。首先我们来求下面几个函数的导数。 (1)、y=x (2)、y=x 2 (3)、y=x 3 问题:1-=x y ,2-=x y ,3-=x y 呢? 问题:从对上面几个幂函数求导,我们能发现有什么规律吗? 二、学习过程 1、基本初等函数的求导公式: ⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数) ⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '= ⑸ 32()3x x '= ⑹ 2 1 1()x x '=- ⑺ '= 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ 1()x x ααα-'= (α为常数) ⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠, ⑽ a a 11(log x)log e (01) x xlna a a '= = >≠,且 ⑾ x x e )(e =' ⑿ x 1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx -=' 从上面这一组公式来看,我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
例1、求下列函数导数。 (1)5-=x y ( 2)x y 4= (3)x x x y = (4)x y 3log = (5)y=sin(2 π +x) (6) y=sin 3 π (7)y=cos(2π-x) 例2.若直线y x b =-+为函数1y x = 图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x 2 在点(1,1)处的切线方程. 总结切线问题:找切点 求导数 得斜率 变式2:求曲线y=x 2过点(0,-1)的切线方程 变式3:已知直线1y x =-,点P 为y=x 2 上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短. 三:课堂练习. 1.求下列函数的导数 (1)3y x = (2)y = (3)2 1y x = (4)3x y = (5)2log y x = (6)cos y x = 四、小结 (1)基本初等函数公式的求导公式 (2)公式的应用 随堂检测: 1. 已知3()f x x =,则'(1)f = 。 2.设y = ,则它的导函数为 。 3.过曲线3y x -=上的点1 (2,)8 的切线方程为 。 4.求下列函数的导函数 (1)2y x -= (2)y = (3)41y x = (4)2x y = (5)4log y x = (6)ln y x = (7)sin()2y x π=- (8)3cos()2 y x π =+ 5.求曲线x y e =在0x =处的切线方程。