期中练习

期中练习一

一、填空题

1. 极限

(,)(0,2)sin()

lim

x y xy x →=_____________________.

2. 与直线 1:1,1,2L x y t z t ==-+=+ 及直线 2121

:

121

x y z L ++-== 都平行且过原点的平面方程为________________________.

3. 设函数 ()x

y y

z x

=

， 则 z x ?=?__________________________________.

4. 设二元函数 2

200

+y

t x

z e dt =??，则 dz =__________________________.

5. 曲线 240z x

y ?=?=?

绕 x 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为____________.

6. 函数 222(,,)ln()u x y z x y z =++ 在 M (1,2,2)- 处的梯度为_____________.

7. 设由方程 2sin 0x e xy y -+= 确定了y 是x 的函数，则

dy

dx

=____________. 8. 旋转椭球面 222316x y z ++= 在点 (1,2,3)-- 处的切平面方程为________.

9. 设平面区域D ：22

221(,0,0)x y a b a b

+≤>>，则D dxdy =??__________________.

10.设平面薄片所占的区域D 是由y x =，0y =和1x =围成，它的面密度为

(,)x y μ=

________________________.

二、解下列各题：

1. 设向量2a b α=+

，a kb β=+ ，||2a = ，||1b =

，a b ⊥ .

(1) 若αβ⊥

，求k ；

(2) 若以,αβ

为平行四边形的面积为6，求k .

2. 设 1()()z f xy yg x y x =++，其中,f g 为具有二阶连续导数。求z x ??，2z

x y ???.

3. 将曲线2221x y z y z ?++=?=?

化成参数方程，并求此曲线在11

(,)222的切线和法平

面方程。

4. 求函数 4

2

2

3u z xz x y =-++ 在点 (1,1,1)M 处沿着方向 22l i j k =++

的

方向导数。

5. 设平面区域 22:1D x y +≤,0y ≥. 计算二重积分2

2

x

y D

e dxdy --??.

三、解下列各题：

1. 设函数 ()z f u =，方程 ()()x

y u u p t dt ?=+? 确定 u 是 ,x y 的函数，其中

(),()f u u ?可微；'(),'()p t u ? 连续且 '()1u ?≠，求 ()

()z z p y p x x y ??+??.

2. 求曲面21z xy -=上到原点最近的点。

3. 设平面区域 :02,02D x y ≤≤≤≤. 计算二重积分 max{,1}D

xy dxdy ??.

4. 求抛物面222x y z +=，xOy 平面与柱面224x y x +=所围立体的体积。

练习一答案

一、填空题

1. 2

2. 0x y z -+=

3. 1()(ln 1)x

y y y

x y x

??-.

4. 22cos y x xdx e dy -+

5. 224x z y =+

6. 244

(,,)999

-

7. 2

2cos x e y xy y

-- 8. 323160x y z +-+= 9. ab π 10. 8π

二、解下列各题

1. 2. (1) 2-, (2) 1- 或 5

2. 2''z f y f yg x x x ?=-++?，22['']'''''y z f y

f y

g yf g yg x y x x

?=-++=++??

3. cos x t y t z t ?

?=?

?

=???=

??

121/211y z --==；法平面

: 0y z ++= 4. 53 5. 11

()22e

π-

三、解下列各题

1. 0

2. (0,0,1)

±

3. 19ln 24+

4. 22

22

4cos 22(2)400122

x y x y V dxdy d r rdr π

θθπ-+≤+===????

期中练习二

一、填空题

1. 已知||a = ，||1b = ，,a b 夹角6

π

，则||a b += ____________.

2. 极限222

(,)(0,0)sin lim x y x y

x y →=+_____________________.

3. 曲线2239

0x z y ?+=?=?绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为

____________.

4. 由方程xyz +(,)z z x y =在(1,0,1)-处的全微

分dz =__________________.

5. 设函数ln x

z y

=，则22z

x

?=?___________.

6. 函数333z x y xy =-+的极值点为_________，函数在该点处取得极_____值（填“大”或者“小”）.

7. 函数222(,,)ln()u x y z x y z =++在M (1,2,2)-处的梯度grad |M u =________. 8. 曲面23z z e xy =-+在点(1,2,0)处的切平面方程___________________. 9. 积分2

1

1

y x

dx e dy -=??________.

10. 设D 是第二象限的一个有界闭区域，且01y <<. 记 31D

I yx d σ=??，

232D

I y x d σ=??，1/233D

I y x d σ=??. 则123,,I I I 的大小关系是__________.

二、解下列各题

1. 求以向量2a i j k =+- 和2b i j k =-+

为边的平行四边形的对角线之间的夹

角的正弦。

2. 设函数 ()()y x z xf yg x y =+ ，其中(),()f u g u 是二阶可微函数，求z x ??，2z

x y

???

3. 求曲线 22222

6x y z z x y ?++=?

?=+??在点(1,1,2)处的切线方程和法平面方程。 4. 求函数22z x y xy =+-在点(1,1)M 处沿Ox 轴正向组成α角的方向l 上的方向导数，并试问在怎样的方向上此方向导数有：(1)最大的值；(2) 最小的值；(3)等于0. 5.

计算二重积分??，其中22{(,):0,2}D x y y x x y x =≤≤+≤.

三、解下列各题

1. 已知ty y e x =+，而t 是由方程2221y t x +-=确定的,x y 的函数，求

dt

dx

. 2. 在椭圆2244x y +=上求一点，使其到直线2360x y +-=的距离最短. 3. 计算22|2|D

x y dxdy +-??，其中D 是由223x y +≤，0y ≤所确定的闭区域。

4. 求曲面221z x y =++在点0(1,1,3)M -处的切平面与曲面22z x y =+所围立体体积。

练习二答案

一、填空题

0 3. 22239x y z ++=.

4. dx

5. 2ln 2

(ln )ln x

y y y

x

-? 6. (1,1)-, 极小 7. 244(,,)999- 8. 240x y +-= 9. 11

22e

- 10. 312I I I <<

二、解下列各题

1. sin 1θ=

2. ''z y f f g x x ?=-?+?，222''''z y x f g x y x y

?=--??

3.切线：22x y z +=??=?；法平面: y x =

4.

sin cos z l αα?=+?；4π时最大，54π时最小，37,44ππ时为零

三、解下列各题

1.

22()ty

ty dt x y txe dx t t y e --=-- 2. 83(,)55，min d = 3. 54

π 4. 2V π

=